b) Dimostrare che se f(x) è differenziabile in x 0, allora è continua in x 0.

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1 Analisi Matematica II - Calcolo in più variabili Nome, Cognome, Matricola: Corso di Laurea: Versione A Avvertenza: La prova d esame si compone di due esercizi e di due quesiti. La risposta ai quesiti va data su questo stesso foglio, utilizzando gli spazi appositamente predisposti. Lo svolgimento degli esercizi (calcoli, spiegazioni e conclusioni) deve essere fatto su fogli a parte, sui quali deve essere riportato nome e cognome del candidato e tipo di compito. Esercizio 1. (8 punti) Nel piano (y, z) si consideri la regione D = {(y, z) : 2 y 3; 1 (y 2) 2 z 1}. a) Disegnare la regione D. b) Determinare la misura dell area di D. c) Trovare il volume del solido generato da una rotazione completa di D attorno all asse z. Esercizio 2. (8 punti) Data la funzione f(x, y) = (x 2 4) log(4 y), si chiede di: a) determinare il dominio di f e rappresentarlo graficamente; b) trovare i punti stazionari di f; c) determinare la natura di tali punti stazionari. Quesito 1. (8 punti) Sia f(x) una funzione reale definita in un insieme aperto A di R n. a) Dire che cosa significa che la funzione è differenziabile in un punto x 0 di A. b) Dimostrare che se f(x) è differenziabile in x 0, allora è continua in x 0.

2 c) Dimostrare che se f(x) è differenziabile in x 0, vale la relazione: f v (x 0) = f(x 0 ) v, con v R n, v 0. Quesito 2. (6 punti). Rispondere alle seguenti domande e spiegare il perché della risposta data nell apposito spazio, ove richiesto. a) Sia γ(t) = (cos t, sin t, 2t), con 0 t 2π, un arco di curva. La lunghezza di γ è 2 5π. b) Sia F : R 3 R 3 il campo vettoriale definito da F = (2yze x, z 2 e x, z 2 ye x ). Il campo F è conservativo in R 3.

3 Analisi Matematica II - Calcolo in più variabili Nome, Cognome, Matricola: Corso di Laurea: Versione A Avvertenza: La prova d esame si compone di due esercizi e di due quesiti. La risposta ai quesiti va data su questo stesso foglio, utilizzando gli spazi appositamente predisposti. Lo svolgimento degli esercizi (calcoli, spiegazioni e conclusioni) deve essere fatto su fogli a parte, sui quali deve essere riportato nome e cognome del candidato e tipo di compito. Esercizio 1. (8 punti) Determinare gli estremi assoluti della funzione f(x, y) = e x2 +y 2 nell insieme D = {(x, y) : 1 x 1; x 1 y 1 x 2 }. Esercizio 2. (8 punti) Calcolare il momento di inerzia rispetto all origine della regione D (definita nell esercizio precedente) supponendo che sia omogenea con densità di massa unitaria. Quesito 1. È dato il campo vettoriale continuo F(x, y, z) = (f 1(x, y, z), f 2 (x, y, z), f 3 (x, y, z)). Rispondere alle seguenti domande utilizzando gli appositi spazi: a) Supponiamo che F(x, y, z) sia conservativo: che cosa si intende per potenziale di F(x, y, z)? b) Elencare tre proprietà equivalenti dei campi conservativi.

4 c) Sia F(x, y, z) un campo vettoriale di classe C 1 in un aperto Ω R n ; dimostrare che se F è conservativo in Ω allora F è irrotazionale in Ω. Quesito 2. (6 punti). Rispondere alle seguenti domande e spiegare il perché della risposta data nell apposito spazio, ove richiesto. a) L arco di curva γ(t) = (sin t, e t 1) con t [ π, π] è regolare. b) Sia F : R 2 R 2 il campo vettoriale definito da F = (sin x 2, x + cos y); sia γ l ellisse di equazione x y2 4 = 1, percorsa in senso antiorario. Risulta che F dp = 6π. γ

5 Analisi Matematica II - Calcolo in più variabili Nome, Cognome, Matricola: Corso di Laurea: Versione A Avvertenza: La prova d esame si compone di due esercizi e di due quesiti. La risposta ai quesiti va data su questo stesso foglio, utilizzando gli spazi appositamente predisposti. Lo svolgimento degli esercizi (calcoli, spiegazioni e conclusioni) deve essere fatto su fogli a parte, sui quali deve essere riportato nome e cognome del candidato e tipo di compito. Esercizio 1. (8 punti) Nel piano (x, y) si consideri la regione D = {(x, y) : 1 y 1; 1 x 3 1 y 2 }. a) Disegnare la regione D. b) Determinare la misura dell area di D. c) Trovare il momento di inerzia di D rispetto all origine, supponendo che D sia omogenea con densità unitaria. Esercizio 2. (8 punti) Data la funzione f(x, y) = y + x + y x, si chiede di: a) determinare il dominio di f e rappresentarlo graficamente; b) calcolare la derivata direzionale di f(x, y) nel punto A = (0, 3) nella direzione del vettore v = (1, 2); c) determinare i punti di massimo e di minimo assoluto (se esistono) di f(x, y) nel suo dominio. Quesito 1. (8 punti). Sia f(x, y) una funzione di classe C 2 in un aperto A R 2. a) Dire che cosa significa la frase: Q A è un punto stazionario per f. b) Enunciare il teorema che consente di classificare la natura di un punto stazionario P A a partire dalle proprietà della matrice hessiana di f in P. c) Dimostrare il teorema enunciato al punto b) precedente.

6 Quesito 2. (6 punti). Rispondere alle seguenti domande e spiegare il perché della risposta data nell apposito spazio, ove richiesto. a) Il sottoinsieme dei punti (x, y) del piano tali che x 2 + y 4 = 1 non è vuoto ed è una varietà unidimensionale in R 2. b) Sia F : R 2 R 2 il campo vettoriale definito da F (x, y) = (x + e x, y ln y). La circuitazione di F sulla circonferenza di centro il punto (0, 4) e raggio unitario è 2π.