Campi conservativi. Riccarda Rossi. Università di Brescia. Analisi Matematica B
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1 Campi conservativi Riccarda Rossi Università di Brescia Analisi Matematica B Riccarda Rossi (Università di Brescia) Campi conservativi Analisi Matematica B 1 / 99
2 Premessa Riccarda Rossi (Università di Brescia) Campi conservativi Analisi Matematica B 2 / 99
3 Riccarda Rossi (Università di Brescia) Campi conservativi Analisi Matematica B 3 / 99
4 Riccarda Rossi (Università di Brescia) Campi conservativi Analisi Matematica B 4 / 99
5 Riccarda Rossi (Università di Brescia) Campi conservativi Analisi Matematica B 5 / 99
6 Riccarda Rossi (Università di Brescia) Campi conservativi Analisi Matematica B 6 / 99
7 Riccarda Rossi (Università di Brescia) Campi conservativi Analisi Matematica B 7 / 99
8 Riccarda Rossi (Università di Brescia) Campi conservativi Analisi Matematica B 8 / 99
9 Riccarda Rossi (Università di Brescia) Campi conservativi Analisi Matematica B 9 / 99
10 Campi conservativi e potenziali Definizione (Campo conservativo) Sia Ω R n un aperto e sia F : Ω R n un campo vettoriale. Diciamo che F è conservativo O che F ammette potenziale O che F è un gradiente se esiste un campo scalare φ : Ω R differenziabile tale che F (x) = φ(x) x Ω. In tal caso chiamiamo il campo φ UN potenziale di F. Riccarda Rossi (Università di Brescia) Campi conservativi Analisi Matematica B 10 / 99
11 Riccarda Rossi (Università di Brescia) Campi conservativi Analisi Matematica B 11 / 99
12 Esempio Il campo vettoriale F : R 2 R 2 dato da F (x, y) = (y, x) è conservativo. Riccarda Rossi (Università di Brescia) Campi conservativi Analisi Matematica B 12 / 99
13 Riccarda Rossi (Università di Brescia) Campi conservativi Analisi Matematica B 13 / 99
14 Esempio Il campo vettoriale F : R 2 R 2 dato da ( ) 2x F (x, y) = 1 + x 2 + y 2, 2y 1 + x 2 + y 2 è conservativo. Riccarda Rossi (Università di Brescia) Campi conservativi Analisi Matematica B 14 / 99
15 Riccarda Rossi (Università di Brescia) Campi conservativi Analisi Matematica B 15 / 99
16 Non unicità del potenziale.. Riccarda Rossi (Università di Brescia) Campi conservativi Analisi Matematica B 16 / 99
17 Obiettivo & piano di battaglia Riccarda Rossi (Università di Brescia) Campi conservativi Analisi Matematica B 17 / 99
18 Obiettivo & piano di battaglia Riccarda Rossi (Università di Brescia) Campi conservativi Analisi Matematica B 18 / 99
19 Obiettivo & piano di battaglia Riccarda Rossi (Università di Brescia) Campi conservativi Analisi Matematica B 19 / 99
20 Il problema della esistenza di un potenziale & il problema della primitiva Riccarda Rossi (Università di Brescia) Campi conservativi Analisi Matematica B 20 / 99
21 Riccarda Rossi (Università di Brescia) Campi conservativi Analisi Matematica B 21 / 99
22 Definizione (Insiemi connessi per archi) Sia Ω R n. Diciamo che Ω è connesso per archi se per ogni p, q Ω esiste una curva γ : [a, b] R n tale che γ([a, b]) Ω e tale che γ(a) = p e γ(b) = q. Riccarda Rossi (Università di Brescia) Campi conservativi Analisi Matematica B 22 / 99
23 Riccarda Rossi (Università di Brescia) Campi conservativi Analisi Matematica B 23 / 99
24 Esempio è connesso per archi. Ω = {(x, y) R 2 : 1 x 2 + y 2 4} Riccarda Rossi (Università di Brescia) Campi conservativi Analisi Matematica B 24 / 99
25 Esempio Insieme Ω = {(x, y) R 2 : x 2 + y 2 1} {(x, y) R 2 : (x 3) 2 + y 2 1} non è connesso per archi. Riccarda Rossi (Università di Brescia) Campi conservativi Analisi Matematica B 25 / 99
26 Altri esempi.. Riccarda Rossi (Università di Brescia) Campi conservativi Analisi Matematica B 26 / 99
27 Riccarda Rossi (Università di Brescia) Campi conservativi Analisi Matematica B 27 / 99
28 In analogia con la teoria degli integrali indefiniti vale il seguente risultato: Teorema (Potenziali su insiemi connessi per archi differiscono per una costante) Sia Ω R n connesso per archi e sia F : Ω R n un campo conservativo. Siano φ e ψ due potenziali di F. Allora esiste una costante c R tale che φ ψ = c. Riccarda Rossi (Università di Brescia) Campi conservativi Analisi Matematica B 28 / 99
29 Corollario Teorema (Teorema di struttura dell insieme dei potenziali) Sia Ω R n connesso per archi e sia F : Ω R n un campo conservativo. Siano φ e ψ due potenziali di F. Allora l insieme di tutti i potenziali di F è dato da {φ + c : c R}, dove φ : Ω R è un particolare potenziale. Riccarda Rossi (Università di Brescia) Campi conservativi Analisi Matematica B 29 / 99
30 Dimostrazione del Teorema: Potenziali su insiemi connessi per archi differiscono per una costante Premessa: la dimostrazione si basa su una estensione della formula per la derivazione della funzione composta. Riccarda Rossi (Università di Brescia) Campi conservativi Analisi Matematica B 30 / 99
31 Riccarda Rossi (Università di Brescia) Campi conservativi Analisi Matematica B 31 / 99
32 Riccarda Rossi (Università di Brescia) Campi conservativi Analisi Matematica B 32 / 99
33 Riccarda Rossi (Università di Brescia) Campi conservativi Analisi Matematica B 33 / 99
34 Derivazione della funzione composta Riccarda Rossi (Università di Brescia) Campi conservativi Analisi Matematica B 34 / 99
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36 Riccarda Rossi (Università di Brescia) Campi conservativi Analisi Matematica B 36 / 99
37 Riccarda Rossi (Università di Brescia) Campi conservativi Analisi Matematica B 37 / 99
38 Un caso particolare della formula della derivata della funzione composta Lemma Sia Ω R n un aperto e sia [a, b] R un intervallo. Siano f : Ω R e g : [a, b] Ω due funzioni differenziabili. Allora per ogni t (a, b) vale d dt f (g(t)) = f (g(t)) g (t). Riccarda Rossi (Università di Brescia) Campi conservativi Analisi Matematica B 38 / 99
39 Riccarda Rossi (Università di Brescia) Campi conservativi Analisi Matematica B 39 / 99
40 Riccarda Rossi (Università di Brescia) Campi conservativi Analisi Matematica B 40 / 99
41 Riccarda Rossi (Università di Brescia) Campi conservativi Analisi Matematica B 41 / 99
42 Corollario Teorema (Secondo teorema fondamentale del calcolo per integrali curvilinei) Sia Ω R n un aperto connesso per archi e sia F : Ω R n un campo conservativo continuo. Sia φ un potenziale di F e siano p, q Ω. Allora si ha F = φ(q) φ(p). γ per ogni curva γ : [a, b] R n regolare a tratti e tale che γ([a, b]) Ω e γ(a) = p, γ(b) = q. Riccarda Rossi (Università di Brescia) Campi conservativi Analisi Matematica B 42 / 99
43 Dimostrazione Riccarda Rossi (Università di Brescia) Campi conservativi Analisi Matematica B 43 / 99
44 Riccarda Rossi (Università di Brescia) Campi conservativi Analisi Matematica B 44 / 99
45 Riccarda Rossi (Università di Brescia) Campi conservativi Analisi Matematica B 45 / 99
46 Riccarda Rossi (Università di Brescia) Campi conservativi Analisi Matematica B 46 / 99
47 Osservazioni Riccarda Rossi (Università di Brescia) Campi conservativi Analisi Matematica B 47 / 99
48 Riccarda Rossi (Università di Brescia) Campi conservativi Analisi Matematica B 48 / 99
49 Riccarda Rossi (Università di Brescia) Campi conservativi Analisi Matematica B 49 / 99
50 Teorema (Caratterizzazione di campi conservativi) Sia Ω R n un aperto connesso per archi. Sia F : Ω R n un campo vettoriale continuo. Allora le seguenti proprietà di F sono equivalenti: 1 F è conservativo. 2 L integrale curvilineo di F è indipendente dalla traiettoria e dipende solo dagli estremi della curva, cioè, se γ : [a, b] R n e r : [c, d] R n sono due curve regolari a tratti a valori in Ω e tali che γ(a) = r(c) e γ(b) = r(d), allora vale F = F. γ r 3 Se γ : [a, b] R n è una curva chiusa regolare a tratti a valori in Ω, allora F = 0. γ Riccarda Rossi (Università di Brescia) Campi conservativi Analisi Matematica B 50 / 99
51 Osservazioni Riccarda Rossi (Università di Brescia) Campi conservativi Analisi Matematica B 51 / 99
52 Riccarda Rossi (Università di Brescia) Campi conservativi Analisi Matematica B 52 / 99
53 Dimostrazione Riccarda Rossi (Università di Brescia) Campi conservativi Analisi Matematica B 53 / 99
54 Riccarda Rossi (Università di Brescia) Campi conservativi Analisi Matematica B 54 / 99
55 Riccarda Rossi (Università di Brescia) Campi conservativi Analisi Matematica B 55 / 99
56 Riccarda Rossi (Università di Brescia) Campi conservativi Analisi Matematica B 56 / 99
57 L implicazione (2) (1) è una conseguenza del Teorema (Primo teorema fondamentale del calcolo per integrali curvilinei) Sia Ω R n un aperto connesso per archi e sia F : Ω R n un campo conservativo continuo. Supponiamo che F abbia integrali curvilinei indipendenti dalla traiettoria. a Sia p Ω un punto fissato arbitrariamente, e definiamo un campo scalare φ : Ω R in questo modo: per ogni q Ω, poniamo φ(q) := F ove γ è una (qualsiasi) curva regolare a tratti congiungente p a q. Allora, φ è differenziabile su Ω e vale Infatti, φ C 1 (Ω). φ(q) = F (q) q Ω. a N.B. Questa proprietà è stata formalizzata rigorosamente qualche slide fa.. γ Riccarda Rossi (Università di Brescia) Campi conservativi Analisi Matematica B 57 / 99
58 Riccarda Rossi (Università di Brescia) Campi conservativi Analisi Matematica B 58 / 99
59 Riccarda Rossi (Università di Brescia) Campi conservativi Analisi Matematica B 59 / 99
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63 Riccarda Rossi (Università di Brescia) Campi conservativi Analisi Matematica B 63 / 99
64 Riccarda Rossi (Università di Brescia) Campi conservativi Analisi Matematica B 64 / 99
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66 Riccarda Rossi (Università di Brescia) Campi conservativi Analisi Matematica B 66 / 99
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68 Riccarda Rossi (Università di Brescia) Campi conservativi Analisi Matematica B 68 / 99
69 Riccarda Rossi (Università di Brescia) Campi conservativi Analisi Matematica B 69 / 99
70 Riccarda Rossi (Università di Brescia) Campi conservativi Analisi Matematica B 70 / 99
71 Riccarda Rossi (Università di Brescia) Campi conservativi Analisi Matematica B 71 / 99
72 Riccarda Rossi (Università di Brescia) Campi conservativi Analisi Matematica B 72 / 99
73 Campi irrotazionali Definizione Sia Ω R n un aperto e sia F : Ω R n un campo vettoriale di classe C 1 (Ω). Diciamo che F è irrotazionale se per ogni x Ω e per ogni j, k = 1,..., n vale F j (x) = F k (x) (1) x k x j La proprietà (1) viene anche chiamata l uguaglianza delle derivate in croce. Riccarda Rossi (Università di Brescia) Campi conservativi Analisi Matematica B 73 / 99
74 Riccarda Rossi (Università di Brescia) Campi conservativi Analisi Matematica B 74 / 99
75 Riccarda Rossi (Università di Brescia) Campi conservativi Analisi Matematica B 75 / 99
76 Riccarda Rossi (Università di Brescia) Campi conservativi Analisi Matematica B 76 / 99
77 Teorema (I campi conservativi sono irrotazionali) Sia Ω R n un aperto e sia F : Ω R n un campo vettoriale di classe C 1 (Ω). Se F è conservativo, allora F è anche irrotazionale. Riccarda Rossi (Università di Brescia) Campi conservativi Analisi Matematica B 77 / 99
78 Dimostrazione Riccarda Rossi (Università di Brescia) Campi conservativi Analisi Matematica B 78 / 99
79 Riccarda Rossi (Università di Brescia) Campi conservativi Analisi Matematica B 79 / 99
80 Riccarda Rossi (Università di Brescia) Campi conservativi Analisi Matematica B 80 / 99
81 Non vale il viceversa del Teorema precedente, cioè non tutti i campi irrotazionali sono conservativi: Esempio Sia Ω = R 2 \ {(0, 0)} e sia F : Ω R 2 un campo vettoriale definito da ( F (x, y) = y ) x 2 + y 2, x x 2 + y 2 Allora F è irrotazionale in Ω, cioè y F 1 (x, y) = x F 2 (x, y), Riccarda Rossi (Università di Brescia) Campi conservativi Analisi Matematica B 81 / 99
82 Riccarda Rossi (Università di Brescia) Campi conservativi Analisi Matematica B 82 / 99
83 Esempio Ma F non è conservativo in Ω. Infatti, se γ : [0, 2π] R 2 è la circonferenza unitaria parametrizzata da γ(t) = (cos t, sin t), allora si ha F = 2π. γ Da qui segue che F NON è conservativo in Ω: se lo fosse, l integrale sarebbe nullo. Riccarda Rossi (Università di Brescia) Campi conservativi Analisi Matematica B 83 / 99
84 Quando irrotazionale conservativo? Riccarda Rossi (Università di Brescia) Campi conservativi Analisi Matematica B 84 / 99
85 Riccarda Rossi (Università di Brescia) Campi conservativi Analisi Matematica B 85 / 99
86 Definizione Una curva γ : [a, b] R n is dice semplice se per ogni coppia di punti t 1, t 2 [a, b] con t 1 t 2 e almeno uno dei due interno ad (a, b), si ha γ(t 1 ) γ(t 2 ). Riccarda Rossi (Università di Brescia) Campi conservativi Analisi Matematica B 86 / 99
87 Definizione Sia Ω R 2 un aperto connesso per archi. Diciamo che Ω è semplicemente connesso se per ogni curva chiusa e semplice γ : [a, b] R 2 a valori in Ω vale che [regione delimitata da γ ] Ω Riccarda Rossi (Università di Brescia) Campi conservativi Analisi Matematica B 87 / 99
88 Esempi di insiemi semplicemente connessi Ogni insieme convesso in R 2 è semplicemente connesso. Riccarda Rossi (Università di Brescia) Campi conservativi Analisi Matematica B 88 / 99
89 Esempi di insiemi semplicemente connessi L insieme Ω = R 2 \ {(0, 0)} è connesso per archi, ma non è semplicemente connesso. Riccarda Rossi (Università di Brescia) Campi conservativi Analisi Matematica B 89 / 99
90 Teorema Sia Ω R 2 semplicemente connesso e sia F : Ω R 2 un campo di classe C 1 (Ω). Se F è irrotazionale, allora F è conservativo. Riccarda Rossi (Università di Brescia) Campi conservativi Analisi Matematica B 90 / 99
91 Esempi Riccarda Rossi (Università di Brescia) Campi conservativi Analisi Matematica B 91 / 99
92 Potenziali Dato un aperto Ω e un campo conservativo F : Ω R n, come trovare un potenziale φ : Ω R tale che F = φ? Il metodo degli integrali indefiniti. Esempio 1: il campo F (x, y) = (2x + y, x + 2y) è irrotazionale in R 2 e quindi anche conservativo (R 2 è semplicemente connesso). Un suo potenziale φ : R 2 R deve soddisfare x φ(x, y) = 2x + y (2) y φ(x, y) = x + 2y (3) Riccarda Rossi (Università di Brescia) Campi conservativi Analisi Matematica B 92 / 99
93 Riccarda Rossi (Università di Brescia) Campi conservativi Analisi Matematica B 93 / 99
94 Riccarda Rossi (Università di Brescia) Campi conservativi Analisi Matematica B 94 / 99
95 Riccarda Rossi (Università di Brescia) Campi conservativi Analisi Matematica B 95 / 99
96 Esempio 2: il campo F : R 2 R 2 dato da ( ) 2x F (x, y) = 1 + (x 2 + y 2 ) 2, 2y 1 + (x 2 + y 2 ) 2 è irrotazionale in R 2 e quindi anche conservativo. Un suo potenziale φ : R 2 R deve soddisfare x φ(x, y) = y φ(x, y) = 2x 1 + (x 2 + y 2 ) 2 (4) 2y 1 + (x 2 + y 2 ) 2 (5) Riccarda Rossi (Università di Brescia) Campi conservativi Analisi Matematica B 96 / 99
97 Riccarda Rossi (Università di Brescia) Campi conservativi Analisi Matematica B 97 / 99
98 Riccarda Rossi (Università di Brescia) Campi conservativi Analisi Matematica B 98 / 99
99 Riccarda Rossi (Università di Brescia) Campi conservativi Analisi Matematica B 99 / 99
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