Esercizio 1. Data la matrice:

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1 Domande 1. Definizione di prodotto scalare di uno spazio vettoriale. (2 punti) Prova scritta CdL Informatica, Canale A-G Data: 12/02/2019. Tema 1. Nome e cognome: Matricola: Firma: Il compito è di 4 pagine. Svolgere gli esercizi utilizzando gli spazi vuoti di ciascuna pagina, con indicazione dei calcoli effettuati e fornendo spiegazioni chiare ed essenziali. Per ciascuna domanda, evidenziare la risposta finale. Esercizio 1. Data la matrice: A = a) Determinare gli autovalori di A. (3 punti) 2. Enunciare la legge di annullamento del prodotto. (2 punti) b) Dire se A è diagonalizzabile. (2 punti) c) Determinare, se possibile, una matrice diagonalizzante di A. (3 punti) 3. Dimostrare la legge di annullamento del prodotto. (2 punti) 4 1

2 Esercizio 2. Per ciascuno dei seguenti insiemi di vettori: S := { u 1 = (1, 1, 0), u 2 = (0, 1, 1), u 3 = (1, 0, 1) } R 3 T := { v 1 = (1, 1, 1, 1), v 2 = (2, 2, 2, 2), v 3 = (1, 2, 3, 4) } R 4 U := { w 1 = (0, 1, 2, 0, 0), w 2 = (0, 2, 3, 0, 0), w 3 = (0, 0, 0, 1, 0), w 4 = (2, 0, 0, 0, 0), w 5 = (0, 0, 0, 0, 3) } R 5 a) verificare se è libero o legato. (3 punti) b) Quale di questi insiemi è una base dello spazio vettoriale ambiente? (Motivare la risposta.) (1 punto) c) Se possibile, scrivere un vettore (scelto a piacere) di T come combinazione lineare dei rimanenti. (2 punti) d) Calcolare la dimensione dello spazio generato dai vettori dell insieme T. (1 punti) Esercizio 3. Si considerino i punti dello spazio tridimensionale A(0, 1, 1) B(1, 1, 0) C( 1, 1, 2) D(1, 0, 1) a) Dire se i punti A, B, C e D sono complanari (contenuti in un piano). (2 punti) b) Dire se i punti A, B e C sono allineati (contenuti in una retta). (2 punti) c) Scrivere una equazione cartesiana di un piano Π passante per A, B e C. (3 punti) d) Il piano Π trovato al punto precedente passa per D? (2 punti) 2 3

3 Domande 1. Definizione di applicazione lineare. Fare un esempio. (2 punti) Prova scritta CdL Informatica, Canale A-G Data: 12/02/2019. Tema 2. Nome e cognome: Matricola: Firma: Il compito è di 4 pagine. Svolgere gli esercizi utilizzando gli spazi vuoti di ciascuna pagina, con indicazione dei calcoli effettuati e fornendo spiegazioni chiare ed essenziali. Per ciascuna domanda, evidenziare la risposta finale. Esercizio 1. Data la matrice: A = a) Determinare gli autovalori di A. (3 punti) 2. Enunciare il lemma di Steinitz. (2 punti) b) Dire se A è diagonalizzabile. (2 punti) c) Determinare, se possibile, una matrice diagonalizzante di A. (3 punti) 3. Dimostrare il lemma di Steinitz. (2 punti) 4 1

4 Esercizio 2. Per ciascuno dei seguenti insiemi di vettori: S := { u 1 = (1, 2, 3), u 2 = (2, 3, 4), u 3 = (3, 4, 5), u 4 = (4, 5, 6) } R 3 T := { v 1 = (0, 1, 0, 1), v 2 = (2, 1, 2, 1), v 3 = (1, 0, 1, 0) } R 4 U := { w 1 = (0, 0, 1, 0, 0), w 2 = (0, 1, 0, 0, 0), w 3 = (1, 0, 0, 0, 0), w 4 = (0, 0, 0, 1, 2), w 5 = (0, 0, 0, 2, 3) } R 5 a) verificare se è libero o legato. (3 punti) b) Quale di questi insiemi è una base dello spazio vettoriale ambiente? (Motivare la risposta.) (1 punto) c) Se possibile, scrivere un vettore (scelto a piacere) di T come combinazione lineare dei rimanenti. (2 punti) d) Calcolare la dimensione dello spazio generato dai vettori dell insieme T. (1 punti) Esercizio 3. Si considerino i punti dello spazio tridimensionale A(0, 1, 1) B(1, 1, 0) C(1, 0, 1) D(0, 0, 0) a) Dire se i punti A, B, C e D sono complanari (contenuti in un piano). (2 punti) b) Dire se i punti A, B e C sono allineati (contenuti in una retta). (2 punti) c) Scrivere una equazione cartesiana di un piano Π passante per A, B e C. (3 punti) d) Il piano Π trovato al punto precedente passa per D? (2 punti) 2 3

5 Domande 1. Definizione di nucleo di una applicazione lineare. (2 punti) Prova scritta CdL Informatica, Canale A-G Data: 12/02/2019. Tema 3. Nome e cognome: Matricola: Firma: Il compito è di 4 pagine. Svolgere gli esercizi utilizzando gli spazi vuoti di ciascuna pagina, con indicazione dei calcoli effettuati e fornendo spiegazioni chiare ed essenziali. Per ciascuna domanda, evidenziare la risposta finale. Esercizio 1. Data la matrice: A = a) Determinare gli autovalori di A. (3 punti) 2. Enunciare la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz. (2 punti) b) Dire se A è diagonalizzabile. (2 punti) c) Determinare, se possibile, una matrice diagonalizzante di A. (3 punti) 3. Dimostrare la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz. (2 punti) 4 1

6 Esercizio 2. Per ciascuno dei seguenti insiemi di vettori: S := { u 1 = (1, 3, 5), u 2 = (0, 0, 0), u 3 = (0, 7, 9) } R 3 T := { v 1 = (1, 0, 0, 0), v 2 = (1, 1, 0, 0), v 3 = (0, 1, 1, 0), v 4 = (0, 0, 1, 1) } R 4 U := { w 1 = (0, 1, 0, 1, 0), w 2 = (1, 0, 1, 0, 1), w 3 = (0, 2, 0, 2, 0) } R 5 a) verificare se è libero o legato. (3 punti) b) Quale di questi insiemi è una base dello spazio vettoriale ambiente? (Motivare la risposta.) (1 punto) c) Se possibile, scrivere un vettore (scelto a piacere) di S come combinazione lineare dei rimanenti. (2 punti) d) Calcolare la dimensione dello spazio generato dai vettori dell insieme S. (1 punti) Esercizio 3. Si considerino i punti dello spazio tridimensionale A(0, 1, 1) B(1, 1, 0) C( 1, 1, 2) D(1, 0, 1) a) Dire se i punti A, B, C e D sono complanari (contenuti in un piano). (2 punti) b) Dire se i punti A, B e C sono allineati (contenuti in una retta). (2 punti) c) Scrivere una equazione cartesiana di un piano Π passante per A, B e C. (3 punti) d) Il piano Π trovato al punto precedente passa per D? (2 punti) 2 3