GEOMETRIA E ALGEBRA LINEARE Prova scritta del 3 LUGLIO Compito A

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1 Cognome e Nome: Matricola: Corso di laurea: GEOMETRIA E ALGEBRA LINEARE Prova scritta del 3 LUGLIO Compito A (a) (b) (c) (d) Parziali Regole: TOTALE: Scrivere solo con penna nera o blu (niente matita!), in modo leggibile ed ordinato. Scrivere i vari passaggi motivandoli con spiegazioni brevi e precise, niente brutta copia. Esercizio 1. Sia data l applicazione lineare f : R 4 R 3 definita da: f(x, y, z, t) = (x y, 2x 2y, 3x 3y). (a) Trovare, se possibile, una base del nucleo e una base dell immagine. (b) Dire se l applicazione è iniettiva e/o suriettiva. (c) Disegnare l immagine di f. (d) Disegnare p(ker(f)), essendo p : R 4 R 3 l applicazione lineare definita da p(x, y, z, t) = (x, y, z). Svolgimento dell esercizio 1

2 Esercizio 2. Sia dato il fascio di piani incidenti in { x = 2 + t r : y = t z = 1 t. (a) Trovare in esso il piano π passante per il punto P (0, 0, 2). (b) Si determini poi il piano π parallelo a π e passante per Q(2, 4, 0). (c) Trovare la retta s passante per Q e perpendicolare a π. (d) Calcolare la distanza tra π e π. Svolgimento dell esercizio 2 (1 punto)

3 Esercizio 3. In E 2, dire quali dei tre seguenti endomorfismi siano isometrie: (a) f(x, y) = (2x + y, x + y); (b) g(x, y) = (y, x); 2 (c) h(x, y) = ( 2 x, 2 2 y). (d) Verificare quanto appena dimostrato sulla lunghezza delle immagini della base canonica. Svolgimento dell esercizio 3

4 Esercizio 4. Sia f : R 3 R 3, con f(x, y, z) = ( 2y, 1 2 x, 7x + z). (a) Trovare gli autospazi di f. (b) Scrivere la matrice rappresentativa di f rispetto alla base canonica e stabilire se tale matrice sia diagonalizzabile. (c) Per ciascun autospazio disegnare un autovettore e la relativa immagine. (d) Disegnare gli autospazi ed interpretarli dal punto di vista geometrico. Svolgimento dell esercizio 4 (1 punto)

5 Cognome e Nome: Matricola: Corso di laurea: GEOMETRIA E ALGEBRA LINEARE Prova scritta del 3 LUGLIO Compito B (a) (b) (c) (d) Parziali Regole: TOTALE: Scrivere solo con penna nera o blu (niente matita!), in modo leggibile ed ordinato. Scrivere i vari passaggi motivandoli con spiegazioni brevi e precise, niente brutta copia. Esercizio 1. Sia data l applicazione lineare f : R 4 R 3 definita da: f(x, y, z, t) = (x y, 2x 2y, 3x 3y). (a) Trovare, se possibile, una base del nucleo e una base dell immagine. (b) Dire se l applicazione è iniettiva e/o suriettiva. (c) Disegnare l immagine di f. (d) Disegnare p(ker(f)), essendo p : R 4 R 3 l applicazione lineare definita da p(x, y, z, t) = (x, y, z). Svolgimento dell esercizio 1

6 Esercizio 2. Sia dato il fascio di piani incidenti in { x = 2 + t r : y = t z = 1 t. (a) Trovare in esso il piano π passante per il punto P (0, 0, 2). (b) Si determini poi il piano π parallelo a π e passante per Q(2, 4, 0). (c) Trovare la retta s passante per Q e perpendicolare a π. (d) Calcolare la distanza tra π e π. Svolgimento dell esercizio 2 (1 punto)

7 Esercizio 3. In E 2, dire quali dei tre seguenti endomorfismi siano isometrie: (a) f(x, y) = (2x + y, x + y); (b) g(x, y) = (y, x); 2 (c) h(x, y) = ( 2 x, 2 2 y). (d) Verificare quanto appena dimostrato sulla lunghezza delle immagini della base canonica. Svolgimento dell esercizio 3

8 Esercizio 4. Sia f : R 3 R 3, con f(x, y, z) = ( 2y, 1 2 x, 7x + z). (a) Trovare gli autospazi di f. (b) Scrivere la matrice rappresentativa di f rispetto alla base canonica e stabilire se tale matrice sia diagonalizzabile. (c) Per ciascun autospazio disegnare un autovettore e la relativa immagine. (d) Disegnare gli autospazi ed interpretarli dal punto di vista geometrico. Svolgimento dell esercizio 4 (1 punto)

9 Cognome e Nome: Matricola: Corso di laurea: GEOMETRIA E ALGEBRA LINEARE Prova scritta del 3 LUGLIO Compito C (a) (b) (c) (d) Parziali Regole: TOTALE: Scrivere solo con penna nera o blu (niente matita!), in modo leggibile ed ordinato. Scrivere i vari passaggi motivandoli con spiegazioni brevi e precise, niente brutta copia. Esercizio 1. Sia data l applicazione lineare f : R 4 R 3 definita da: f(x, y, z, t) = (x y, 2x 2y, 3x 3y). (a) Trovare, se possibile, una base del nucleo e una base dell immagine. (b) Dire se l applicazione è iniettiva e/o suriettiva. (c) Disegnare l immagine di f. (d) Disegnare p(ker(f)), essendo p : R 4 R 3 l applicazione lineare definita da p(x, y, z, t) = (x, y, z). Svolgimento dell esercizio 1

10 Esercizio 2. Sia dato il fascio di piani incidenti in { x = 2 + t r : y = t z = 1 t. (a) Trovare in esso il piano π passante per il punto P (0, 0, 2). (b) Si determini poi il piano π parallelo a π e passante per Q(2, 4, 0). (c) Trovare la retta s passante per Q e perpendicolare a π. (d) Calcolare la distanza tra π e π. Svolgimento dell esercizio 2 (1 punto)

11 Esercizio 3. In E 2, dire quali dei tre seguenti endomorfismi siano isometrie: (a) f(x, y) = (2x + y, x + y); (b) g(x, y) = (y, x); 2 (c) h(x, y) = ( 2 x, 2 2 y). (d) Verificare quanto appena dimostrato sulla lunghezza delle immagini della base canonica. Svolgimento dell esercizio 3

12 Esercizio 4. Sia f : R 3 R 3, con f(x, y, z) = ( 2y, 1 2 x, 7x + z). (a) Trovare gli autospazi di f. (b) Scrivere la matrice rappresentativa di f rispetto alla base canonica e stabilire se tale matrice sia diagonalizzabile. (c) Per ciascun autospazio disegnare un autovettore e la relativa immagine. (d) Disegnare gli autospazi ed interpretarli dal punto di vista geometrico. Svolgimento dell esercizio 4 (1 punto)

13 Cognome e Nome: Matricola: Corso di laurea: GEOMETRIA E ALGEBRA LINEARE Prova scritta del 3 LUGLIO Compito D (a) (b) (c) (d) Parziali Regole: TOTALE: Scrivere solo con penna nera o blu (niente matita!), in modo leggibile ed ordinato. Scrivere i vari passaggi motivandoli con spiegazioni brevi e precise, niente brutta copia. Esercizio 1. Sia data l applicazione lineare f : R 4 R 3 definita da: f(x, y, z, t) = (x y, 2x 2y, 3x 3y). (a) Trovare, se possibile, una base del nucleo e una base dell immagine. (b) Dire se l applicazione è iniettiva e/o suriettiva. (c) Disegnare l immagine di f. (d) Disegnare p(ker(f)), essendo p : R 4 R 3 l applicazione lineare definita da p(x, y, z, t) = (x, y, z). Svolgimento dell esercizio 1

14 Esercizio 2. Sia dato il fascio di piani incidenti in { x = 2 + t r : y = t z = 1 t. (a) Trovare in esso il piano π passante per il punto P (0, 0, 2). (b) Si determini poi il piano π parallelo a π e passante per Q(2, 4, 0). (c) Trovare la retta s passante per Q e perpendicolare a π. (d) Calcolare la distanza tra π e π. Svolgimento dell esercizio 2 (1 punto)

15 Esercizio 3. In E 2, dire quali dei tre seguenti endomorfismi siano isometrie: (a) f(x, y) = (2x + y, x + y); (b) g(x, y) = (y, x); 2 (c) h(x, y) = ( 2 x, 2 2 y). (d) Verificare quanto appena dimostrato sulla lunghezza delle immagini della base canonica. Svolgimento dell esercizio 3

16 Esercizio 4. Sia f : R 3 R 3, con f(x, y, z) = ( 2y, 1 2 x, 7x + z). (a) Trovare gli autospazi di f. (b) Scrivere la matrice rappresentativa di f rispetto alla base canonica e stabilire se tale matrice sia diagonalizzabile. (c) Per ciascun autospazio disegnare un autovettore e la relativa immagine. (d) Disegnare gli autospazi ed interpretarli dal punto di vista geometrico. Svolgimento dell esercizio 4 (1 punto)