ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA

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1 ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA A 28 giugno minuti Istruzioni: Scrivere cognome, nome, matricola in STAMPATELLO negli appositi spazi. Per ogni quiz nella prima parte, indicare l affermazione giudicata corretta nella tabella in questa pagina. Trascrivere la risposta alle singole domande dell esercizio della seconda parte nelle pagine con l indicazione svolgimento. Per la brutta utilizzare i fogli distribuiti dal docente. COGNOME, NOME: MATRICOLA: DOCENTE: Q1 a b c d Q5 a b c d Q2 a b c d Q6 a b c d Q3 a b c d Q7 a b c d Q4 a b c d Q8 a b c d Non scrivere in questo spazio QUIZ ESERCIZIO TOTALE

2 A QUIZ Q1. Si considerino i seguenti sottospazi vettoriali di R 4 : U = L ((0, 1, 1, 1), (1, 0, 1, 1)), V = { (x, y, z, t) x t = 0, y + z = 0 }. (a) R 4 = U + V. (b) V U. (c) dim(u V ) = 1. (d) dim(u + V ) = 1. Q2. Siano f: R 3 R 2 e g: R 2 R 3 due applicazioni lineari. (a) g è suriettiva. (b) g f = f g. (c) Imf = ker f. (d) g f non è suriettiva. Q3. Siano date le matrici π cos A = 2/ , B = 15 1 π (a) 2A 3B non ha autovalori in R. (b) det(a 21 B 17 ) = π 3. (c) A e B sono linearmente dipendenti in R 3,3. (d) det(a 21 B 17 ) = 1. Q4. Nello spazio vettoriale R 3 siano dati i vettori v 1 = (0, 8, 1), v 2 = (1, 3, 0), v 3 = ( 1, 5, 0). (a) Il vettore (0, 0, 1) è una combinazione lineare di v 1 e v 3 (b) v 1, v 2, v 3 sono linearmente dipendenti. (c) v 1, v 2, v 3 costituiscono una base per R 3. (d) v 1, v 1 + v 2, v 2 sono linearmente indipendenti. 2

3 A Q5. Nello spazio con fissato sistema di riferimento cartesiano ortogonale siano dati i punti A = (1, 1, 1), B = (1, 0, 0), C = (0, 0, 1). (a) A, B, C sono allineati. (b) L area del triangolo avente vertici A, B, C è 2/2. (c) Nessuna delle altre affermazioni è vera. (d) L area del triangolo avente vertici A, B, C è 3/2. Q6. Nello spazio con fissato sistema di riferimento cartesiano ortogonale sia data la quadrica Q di equazione Q : x 2 + y 2 2z 2 4x + 2y + 4 = 0. (a) Q è un paraboloide. (b) Q è un iperboloide. (c) Q è un ellissoide. (d) Q è un cono. Q7. Sia data l applicazione lineare f: R 2 R 2 definita da: f( 1, 0) = (1, 1), f(1, 1) = (0, 0), e sia A la matrice associata ad f rispetto alla base canonica (nel dominio e codominio). ( ) 1 0 (a) A = 0 1 ( ) 1 1 (b) A = 1 1 ( ) 1 1 (c) A = 1 1 ( ) 1 1 (d) A = 1 1 Q8. Nello spazio con fissato sistema di riferimento cartesiano ortogonale siano dati la retta r e il piano α rispettivamente di equazioni: x = t r : y = 2t α : 3x 3y z = 1. z = 1 3t, (a) r α. (b) r α =. (c) r e α sono perpendicolari. (d) Nessuna delle altre affermazioni è vera. 3

4 A ESERCIZIO Sia f l endomorfismo di R 3 associato alla matrice: A = rispetto alla base canonica (nel dominio e codominio). (i) Provare che ker f Imf. (ii) Spiegare perché f non è suriettivo. (iii) Stabilire quali fra 0, 5 e 5 sono autovalori di A. (iv) Determinare tutti gli autovalori di f. (v) Stabilire se A è diagonalizzabile, motivando esaurientemente la risposta. Svolgimento dell esercizio: 4

5 A Svolgimento dell esercizio: 5

6 6 A

7 ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA B 28 giugno minuti Istruzioni: Scrivere cognome, nome, matricola in STAMPATELLO negli appositi spazi. Per ogni quiz nella prima parte, indicare l affermazione giudicata corretta nella tabella in questa pagina. Trascrivere la risposta alle singole domande dell esercizio della seconda parte nelle pagine con l indicazione svolgimento. Per la brutta utilizzare i fogli distribuiti dal docente. COGNOME, NOME: MATRICOLA: DOCENTE: Q1 a b c d Q5 a b c d Q2 a b c d Q6 a b c d Q3 a b c d Q7 a b c d Q4 a b c d Q8 a b c d Non scrivere in questo spazio QUIZ ESERCIZIO TOTALE

8 B QUIZ Q1. Nello spazio con fissato sistema di riferimento cartesiano ortogonale siano dati i punti A = (1, 1, 1), B = (1, 0, 0), C = (0, 1, 1). (a) A, B, C sono allineati. (b) L area del triangolo avente vertici A, B, C è 2/2. (c) Nessuna delle altre affermazioni è vera. (d) L area del triangolo avente vertici A, B, C è 3/2. Q2. Sia data l applicazione lineare f: R 2 R 2 definita da: f(0, 1) = (1, 1), f(1, 1) = (1, 0), e sia A la matrice associata ad f rispetto alla base canonica (nel dominio e codominio). ( ) 0 1 (a) A = 1 1 ( ) 2 1 (b) A = 1 0 ( ) 1 1 (c) A = 1 0 ( ) 2 1 (d) A = 1 1 Q3. Si considerino i seguenti sottospazi vettoriali di R 4 : U = L ((1, 0, 1, 1), (0, 1, 1, 0)), V = { (x, y, z, t) x t = 0, y + z = 0 }. (a) U V. (b) dim(u + V ) = 3. (c) dim(u V ) = 2. (d) R 4 = U + V. Q4. Nello spazio con fissato sistema di riferimento cartesiano ortogonale sia data la quadrica Q di equazione Q : x 2 + y 2 2z 2 4x + 2y + 5 = 0. (a) Q è un paraboloide. (b) Q è un iperboloide. (c) Q è un ellissoide. (d) Q è un cono. 2

9 B Q5. Siano date le matrici π cos A = 2/ , B = 15 1 π (a) A e B sono linearmente indipendenti in R 3,3. (b) det(a 21 B 17 ) = 1. (c) 2A 3B non ha autovalori in R. (d) det(a 21 B 17 ) = π 3. Q6. Nello spazio vettoriale R 3 siano dati i vettori v 1 = ( 1, 3, 0), v 2 = (1, 5, 0), v 3 = (0, 8, 1). (a) v 1, v 2, v 3 sono linearmente dipendenti. (b) Il vettore (1, 0, 0) è una combinazione lineare di v 2 e v 3. (c) v 1, v 2 v 1, v 2 sono linearmente indipendenti. (d) L (v 1, v 2, v 3 ) = R 3. Q7. Nello spazio con fissato sistema di riferimento cartesiano ortogonale siano dati la retta r e il piano α rispettivamente di equazioni: x = t r : y = 2t α : 2x + y 3z = 1. z = 1 3t, (a) r α. (b) r α =. (c) r e α sono perpendicolari. (d) Nessuna delle altre affermazioni è vera. Q8. Siano f: R 3 R 2 e g: R 2 R 3 due applicazioni lineari. (a) f è iniettiva. (b) g f = f g. (c) g f non è iniettiva. (d) Imf = ker f. 3

10 B ESERCIZIO Sia f l endomorfismo di R 3 associato alla matrice: A = rispetto alla base canonica (nel dominio e codominio). (i) Provare che ker f Imf. (ii) Spiegare perché f non è suriettivo. (iii) Stabilire quali fra 0, 5 e 5 sono autovalori di A. (iv) Determinare tutti gli autovalori di f. (v) Stabilire se A è diagonalizzabile, motivando esaurientemente la risposta. Svolgimento dell esercizio: 4

11 B Svolgimento dell esercizio: 5

12 6 B

13 ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA C 28 giugno minuti Istruzioni: Scrivere cognome, nome, matricola in STAMPATELLO negli appositi spazi. Per ogni quiz nella prima parte, indicare l affermazione giudicata corretta nella tabella in questa pagina. Trascrivere la risposta alle singole domande dell esercizio della seconda parte nelle pagine con l indicazione svolgimento. Per la brutta utilizzare i fogli distribuiti dal docente. COGNOME, NOME: MATRICOLA: DOCENTE: Q1 a b c d Q5 a b c d Q2 a b c d Q6 a b c d Q3 a b c d Q7 a b c d Q4 a b c d Q8 a b c d Non scrivere in questo spazio QUIZ ESERCIZIO TOTALE

14 C QUIZ Q1. Nello spazio con fissato sistema di riferimento cartesiano ortogonale sia data la quadrica Q di equazione Q : x 2 + y 2 + 2z 2 4x + 2y + 4 = 0. (a) Q è un paraboloide. (b) Q è un iperboloide. (c) Q è un ellissoide. (d) Q è un cono. Q2. Nello spazio con fissato sistema di riferimento cartesiano ortogonale siano dati la retta r e il piano α rispettivamente di equazioni: x = t r : y = 2t α : 3x 3y z + 1 = 0. z = 1 3t, (a) r α. (b) r α =. (c) r e α sono perpendicolari. (d) Nessuna delle altre affermazioni è vera. Q3. Nello spazio con fissato sistema di riferimento cartesiano ortogonale siano dati i punti A = (1, 1, 1), B = (1, 0, 0), C = (0, 0, 1). (a) L area del triangolo avente vertici A, B, C è 2/2. (b) L area del triangolo avente vertici A, B, C è 3/2. (c) Nessuna delle altre affermazioni è vera. (d) A, B, C sono allineati. Q4. Sia data l applicazione lineare f: R 2 R 2 definita da: f(1, 0) = (2, 0), f(1, 1) = (0, 0), e sia A la matrice associata ad f rispetto alla base canonica (nel dominio e codominio). ( ) 2 2 (a) A = 0 0 ( ) 2 0 (b) A = 2 0 ( ) 2 0 (c) A = 0 0 ( ) 1 1 (d) A = 0 1 2

15 C Q5. Si considerino i seguenti sottospazi vettoriali di R 4 : U = L ((1, 0, 1, 1), (0, 1, 1, 1)), V = { (x, y, z, t) x t = 0, y + z = 0 }. (a) U V. (b) dim(u V ) = 1. (c) R 4 = U + V. (d) dim(u + V ) = 1. Q6. Siano f: R 3 R 2 e g: R 2 R 3 due applicazioni lineari. (a) g f non è suriettiva. (b) g è suriettiva. (c) g f = f g. (d) Imf = ker f. Q7. Siano date le matrici π cos A = 2/ , B = 15 1 π (a) det(a 21 B 17 ) = π 3. (b) A e B sono linearmente dipendenti in R 3,3. (c) det(a 21 B 17 ) = 1. (d) 2A 3B non ha autovalori in R. Q8. Nello spazio vettoriale R 3 siano dati i vettori v 1 = (0, 8, 1), v 2 = (1, 3, 0), v 3 = ( 1, 5, 0). (a) v 1, v 2, v 3 costituiscono una base per R 3. (b) Il vettore (0, 0, 1) è una combinazione lineare di v 1 e v 3 (c) v 1, v 2, v 3 sono linearmente dipendenti. (d) v 1, v 1 + v 2, v 2 sono linearmente indipendenti. 3

16 C ESERCIZIO Sia f l endomorfismo di R 3 associato alla matrice: A = rispetto alla base canonica (nel dominio e codominio). (i) Provare che ker f Imf. (ii) Spiegare perché f non è suriettivo. (iii) Stabilire quali fra 0, 5 e 5 sono autovalori di A. (iv) Determinare tutti gli autovalori di f. (v) Stabilire se A è diagonalizzabile, motivando esaurientemente la risposta. Svolgimento dell esercizio: 4

17 C Svolgimento dell esercizio: 5

18 6 C

19 ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA D 28 giugno minuti Istruzioni: Scrivere cognome, nome, matricola in STAMPATELLO negli appositi spazi. Per ogni quiz nella prima parte, indicare l affermazione giudicata corretta nella tabella in questa pagina. Trascrivere la risposta alle singole domande dell esercizio della seconda parte nelle pagine con l indicazione svolgimento. Per la brutta utilizzare i fogli distribuiti dal docente. COGNOME, NOME: MATRICOLA: DOCENTE: Q1 a b c d Q5 a b c d Q2 a b c d Q6 a b c d Q3 a b c d Q7 a b c d Q4 a b c d Q8 a b c d Non scrivere in questo spazio QUIZ ESERCIZIO TOTALE

20 D QUIZ Q1. Sia data l applicazione lineare f: R 2 R 2 definita da: f(0, 1) = (1, 1), f(1, 1) = (1, 0), e sia A la matrice associata ad f rispetto alla base canonica (nel dominio e codominio). ( ) 0 1 (a) A = 1 1 ( ) 0 1 (b) A = 1 1 ( ) 1 1 (c) A = 1 0 ( ) 0 1 (d) A = 1 1 Q2. Nello spazio vettoriale R 3 siano dati i vettori v 1 = ( 1, 3, 0), v 2 = (1, 5, 0), v 3 = (0, 8, 1). (a) v 1, v 2, v 3 sono linearmente dipendenti. (b) L (v 1, v 2, v 3 ) = R 3. (c) Il vettore (1, 0, 0) è una combinazione lineare di v 2 e v 3. (d) v 1, v 2 v 1, v 2 sono linearmente indipendenti. Q3. Nello spazio con fissato sistema di riferimento cartesiano ortogonale sia data la quadrica Q di equazione Q : x 2 + y 2 + 2z 4x + 2y + 4 = 0. (a) Q è un paraboloide. (b) Q è un iperboloide. (c) Q è un ellissoide. (d) Q è un cono. Q4. Si considerino i seguenti sottospazi vettoriali di R 4 : U = L ((1, 0, 1, 1), (0, 1, 1, 0)), V = { (x, y, z, t) x t = 0, y + z = 0 }. (a) U V. (b) R 4 = U + V. (c) dim(u + V ) = 1. (d) dim(u V ) = 1. 2

21 D Q5. Siano f: R 3 R 2 e g: R 2 R 3 due applicazioni lineari. (a) f è iniettiva. (b) g f non è iniettiva. (c) g f = f g. (d) Imf = ker f. Q6. Nello spazio con fissato sistema di riferimento cartesiano ortogonale siano dati la retta r e il piano α rispettivamente di equazioni: x = t r : y = 2t α : x + 2y 3z = 1. z = 1 3t, (a) r α. (b) r α =. (c) r e α sono perpendicolari. (d) Nessuna delle altre affermazioni è vera. Q7. Nello spazio con fissato sistema di riferimento cartesiano ortogonale siano dati i punti A = (1, 1, 1), B = (1, 0, 0), C = (0, 1, 1). (a) L area del triangolo avente vertici A, B, C è 2/2. (b) L area del triangolo avente vertici A, B, C è 3/2. (c) Nessuna delle altre affermazioni è vera. (d) A, B, C sono allineati. Q8. Siano date le matrici π cos A = 2/ , B = 15 1 π (a) det(a 21 B 17 ) = 1. (b) 2A 3B non ha autovalori in R. (c) det(a 21 B 17 ) = π 3. (d) A e B sono linearmente indipendenti in R 3,3. 3

22 D ESERCIZIO Sia f l endomorfismo di R 3 associato alla matrice: A = rispetto alla base canonica (nel dominio e codominio). (i) Provare che ker f Imf. (ii) Spiegare perché f non è suriettivo. (iii) Stabilire quali fra 0, 5 e 5 sono autovalori di A. (iv) Determinare tutti gli autovalori di f. (v) Stabilire se A è diagonalizzabile, motivando esaurientemente la risposta. Svolgimento dell esercizio: 4

23 D Svolgimento dell esercizio: 5

24 6 D

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