ALGEBRA E GEOMETRIA Esercizi Corso di Laurea in Chimica - anno acc. 2015/2016 docente: Elena Polastri,

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1 ALGEBRA E GEOMETRIA Esercizi Corso di Laurea in Chimica - anno acc. 0/06 docente: Elena Polastri, plslne@unife.it Esercizi 6: DIAGONALIZZAZIONE e APPLICAZIONI LINEARI Matrici ortogonali.. Verificare che le seguenti matrici sono ortogonali: A = B = C = Basta applicare la definizione: A è ortogonale se det A 0 e se A t A = I.. Determinare gli eventuali valori di α R per i quali la matrice α A = 0 α 0 risulti ortogonale. α = ± 0 Diagonalizzazione di una matrice.. Stabilire se la seguente matrice è diagonalizzabile e, in caso affermativo, diagonalizzarla: A = 4 P = 0 0, D =

2 4. Stabilire se la seguente matrice è diagonalizzabile e, in caso affermativo, diagonalizzarla: A = 0 8 P = 0 0 4, D = Stabilire se la seguente matrice è diagonalizzabile e, in caso affermativo, diagonalizzarla: A = P = 0 0, D = Stabilire se la seguente matrice è diagonalizzabile e, in caso affermativo, diagonalizzarla: A = P = 0 0 0, D = Stabilire se la seguente matrice è diagonalizzabile e, in caso affermativo, diagonalizzarla: A = 0 A non è diagonalizzabile. 8. Stabilire se la seguente matrice è diagonalizzabile e, in caso affermativo, diagonalizzarla: A =

3 A non è diagonalizzabile. 9. Stabilire se la seguente matrice è diagonalizzabile e, in caso affermativo, diagonalizzarla: A = P = 0 0, D = Dire per quali α R la seguente matrice è diagonalizzabile: A = α A è diagonalizzabile per α.. Siano: A = , B = a) Dire se A è diagonalizzabile e in caso affermativo diagonalizzarla. b) Stabilire se A e B sono simili. a) A è diagonalizzabile con P = 0, D = b) Poiché A è diagonalizzabile, A e B sono simili se e solo se B è diagonalizzabile ed ha gli stessi autovalori di A con la stessa molteplicità. B non è diagonalizzabile, quindi A e B non sono simili.. Diagonalizzare con una matrice ortogonale la seguente matrice simmetrica: A =

4 4 Abbiamo U = 0 0 0, D = Diagonalizzare con una matrice ortogonale la seguente matrice simmetrica: A = Abbiamo U = , D = Diagonalizzare con una matrice ortogonale la seguente matrice simmetrica: A = Abbiamo U = , D = Diagonalizzare con una matrice ortogonale la seguente matrice simmetrica: A = Abbiamo 0 U = 0, D =

5 Applicazioni lineari. 6. Sia f : R R : (x, y, z) (x + y + z, y + z) un applicazione lineare. i) Determinare una base e la dimensione di Ker(f) e stabilire se f è iniettiva. ii) Determinare una base e la dimensione di Im(f) e stabilire se f è suriettiva. iii) Calcolare w = f((,, )) e determinare f ((w)). i) Abbiamo che {(,, )} è una base di Ker(f), quindi dim Ker(f) = e f non è iniettiva. ii) Abbiamo che {(, 0); (, )} è una base di Im(f), quindi dim Im(f) = e f è suriettiva perché Im(f) R. iii) w = (7, 4) e f (w) = {(z, 4 z, z) z R}. 7. Sia f : R 4 R : (x, y, z, t) (x t, y + z + t, x y z t) un applicazione lineare. i) Scrivere la matrice A associata ad f. ii) Trovare una base e la dimensione di Ker(f) e di Im(f). ii) {(, 0, ); (0,, ); (,, )} base di Im(f), con dim Im(f) = e {(0,,, 0)} base di Ker(f), con dim Ker(f) =. 8. Sia f l applicazione lineare in R per la quale f((, 0, 0)) = (,, ) f((0,, 0)) = (,, 0) f((0, 0, )) = (,, ) i) Scrivere f((x, y, z)). ii) Trovare una base e la dimensione di Ker(f) e di Im(f). iii) Dire se f è iniettiva e/o suriettiva. iv) Discutere l appartenenza di (0, α, ) a Im(f), al variare di α R. v) Determinare f ((, 0, 0)) e f ((0,, )). ii) {(,, ); (,, 0)} base di Im(f), con dim Im(f) = e {(,, )} base di Ker(f), con dim Ker(f) =. iv) (0, α, ) Im(f) se α =. {( z v) f ((, 0, 0)) = e f ((0,, )) =, z ) }, z z R. 9. Sia f : R R : (x, y, z) (x y + z, y + α z, x + z) un applicazione lineare. i) Scrivere la matrice A associata ad f nella base canonica di R. ii) Trovare una base e la dimensione di Ker(f) e di Im(f) al variare di α R.

6 6 ii) Se α = 7, abbiamo che dim Im(f) = e dim Ker(f) =. Se α 7, abbiamo che dim Im(f) = e dim Ker(f) = 0, in tal caso f è iniettiva e suriettiva, ossia biiettiva. 0. Sia f : R R : (x, y, z) (x + y, x + y, y + kz) un applicazione lineare, dove k R. i) Scrivere la matrice A associata ad f nella base canonica di R. ii) Trovare una base e la dimensione di Ker(f) e di Im(f) al variare di k R. iii) Stabilire se il vettore v = (,, ) appartiene a Im(f) al variare di k R. ii) Se k = 0, abbiamo che dim Im(f) = e dim Ker(f) =. Se k 0, abbiamo che dim Im(f) = e dim Ker(f) = 0, in tal caso f è iniettiva e suriettiva, ossia biiettiva. iii) Abbiamo che v Im(f) per ogni k R.. Sia f : R R un applicazione lineare associata alla matrice A = k k k rispetto alla base canonica, dove k R. i) Trovare una base e la dimensione di Ker(f) e di Im(f) al variare di k R. ii) Stabilire per quali k R l applicazione lineare è invertibile. Se k = 0, abbiamo che dim Im(f) = e dim Ker(f) =. Se k 0, abbiamo che dim Im(f) = e dim Ker(f) = 0, in tal caso f è iniettiva e suriettiva, ossia biiettiva e quindi invertibile. Cambiamento di base.. Siano C = {(, 0, 0), (0,, 0), (0, 0, )} e B = {(, 0, ), (,, 0), (, 0, 0)} rispettivamente la base canonica e una base di R. Dati i vettori v = (,, ) le cui componenti sono scritte rispetto la base C e w = (0,, 4) le cui componenti sono scritte rispetto alla base B, determinare le matrici di cambiamento di base P = mat(id R ; C, B ), P = mat(id R ; B, C), le componenti di v rispetto alla base B e le componenti di w rispetto alla base canonica. P = v B = (,, ), w C = (9,, 0) 0 0 P =

7 . Siano C = {(, 0, 0), (0,, 0), (0, 0, )}, B = {(,, ), (,, ), (,, )} e B = {(, 0, ), (,, 0), (,, )} rispettivamente la base canonica e due basi di R. - Determinare le matrici P = mat(id R ; C, B), P = mat(id R ; B, C); - dato il vettore v = (0,, ) le cui componenti sono scritte rispetto alla base canonica, determinare le componenti di v rispetto alla base B; - determinare le matrici Q = mat(id R ; B, B), Q = mat(id R ; B, B ). v B = ( 7,, ) P = Q = P = 0 Cambiamento di base e applicazioni lineari. 6 6 Q = Sia f : R R : (x, y, z) (x, y + z) un applicazione lineare. i) Scrivere la matrice A = mat(f; C, C ) associata ad f rispetto alle basi canoniche di R e R. ii) Trovare una base e la dimensione di Ker(f) e di Im(f). iii) Sia B = {(,, 0), (0,, 0), (, 0, )} una base di R. Determinare la matrice P = mat(id R ; C, B) di cambiamento di base dalla base canonica alla base B. iv) Determinare la matrice P e determinare le componenti del vettore w = (,, ) rispetto alla base B. v) Determinare la matrice B = mat(f; B, C ) associata ad f rispetto alla base B di R e alla base canonica di R. ii) {(, 0); (0, )} base di Im(f), con dim Im(f) = e {(0,, )} base di Ker(f), con dim Ker(f) =. iii) Abbiamo che: iv) Abbiamo che: P = P =

8 8 w B = P W = (0,, ). v) Abbiamo che: B = A P = ( 4 0. Sia f : R R : (x, y, z) (x + y, x y z, y + z) un applicazione lineare e B = {(,, 4), (0,, ), (, 0, 7)} una base di R. i) Stabilire se f è iniettiva e/o suriettiva. ii) Determinare la matrice B = mat(f; B, B) associata ad f rispetto alla base B. i) L applicazione f è iniettiva e suriettiva, in quanto dim Im(f) = e dim Ker(f) = 0. iii) Abbiamo che: 7 9 B = Sia f : R R : (x, y, z) (x y, x + y + z, x y z) un applicazione lineare e B = {(,, 0), (,, 0), (0,, )} una base di R. i) Trovare una base e la dimensione di Ker(f) e di Im(f). ii) Determinare la matrice B = mat(f; B, B) associata ad f rispetto alla base B. i) {(,, ); (,, )} base di Im(f), con dim Im(f) = e {(,, )} base di Ker(f), con dim Ker(f) =. ii) Abbiamo che: 8 B = Sia f : R R : (x, y) (x, x y, y) un applicazione lineare e siano B = {(, 0), (, )} e B = {(,, 0), (0,, ), (0, 0, )} due basi di R e R rispettivamente. Determinare la matrice A = mat(f; B, B ) associata ad f rispetto alle basi B e B. ) A =

9 8. Sia f : R R un applicazione lineare associata alla matrice A = mat(f; B, B) = rispetto alla base B = {(,, ), (0,, ), (0, 0, )} di R. i) Scrivere la matrice M = mat(f; C, C) associata ad f rispetto alle basi canoniche. ii) Utilizzando M, trovare una base e la dimensione di Ker(f) e di Im(f) e dire se f è iniettiva e/o suriettiva. i) Abbiamo che: M = 0 0 ii) {(0,, ); (0,, )} base di Im(f), con dim Im(f) = e {(, 0, 0)} base di Ker(f), con dim Ker(f) =. L applicazione f non è né iniettiva né suriettiva. 9. Sia f : R R un applicazione lineare associata alla matrice A = mat(f; C, C) = 0 rispetto alla base canonica e sia B = {(,, 0), (,, ), (, 0, )} di R i) Scrivere la matrice M = mat(f; B, C) associata ad f rispetto alla base B nel dominio e alla base canonica nel codominio. ii) Scrivere la matrice M = mat(f; B, B) associata ad f rispetto alla base B sia nel dominio che nel codominio. i) Abbiamo che: ii) Abbiamo che: M = M =