ALGEBRA E GEOMETRIA Esercizi Corso di Laurea in Chimica - anno acc. 2015/2016 docente: Elena Polastri,

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1 ALGEBRA E GEOMETRIA Esercizi Corso di Laurea in Chimica - anno acc. 05/06 docente: Elena Polastri, Esercizi 3: SPAZI VETTORIALI e MATRICI Combinazioni lineari di vettori.. Scrivere il vettore v = (4, 9, 9) come combinazione lineare dei vettori u = (,, 3), u = (3, 7, 0) e u 3 = (,, 9). Soluzione. v = 4u u + 3u 3.. Scrivere il vettore v = (,, 5) come combinazione lineare dei vettori u = (,, ), u = (,, 3) e u 3 = (,, ). Soluzione. v = 6u + 3u + u Scrivere il vettore v = (0,, ) come combinazione lineare dei vettori u = (4,, ), u = (0,, ) e u 3 = (, 3, 3). Soluzione. Il vettore v si scrive come combinazione lineare dei vettori u, u e u 3 in infiniti modi, uno di questi è v = u + u + 4u Scrivere il polinomio q(x) = x + x P (x) come combinazione lineare dei polinomi p (x) = x + x, p (x) = x x + 3 e p 3 (x) = x + x. Soluzione. q(x) = p (x) + p (x) + p 3 (x). 5. Scrivere il vettore v = (7, 5, 3) come combinazione lineare dei vettori u = (3,, ), u = (, 3, ) e u 3 = (,, 3). Soluzione. v = u + u. 6. Scrivere il vettore v = (, 3, 5) come combinazione lineare dei vettori u = (,, 3), u = (,, 4) e u 3 = (, 7, 5). Soluzione. Non è possibile scrivere v come combinazione lineare dei vettori u, u e u Denotiamo con i = (, 0), j = (0, ) i versori degli assi di R. Determinare gli scalari x, y in modo tale che il vettore x(i j) + y(i + j) sia uguale a: ) j; ) 3i 5j; 3) 7i + 5j; 4) i. Soluzione. ) Dobbiamo trovare x, y tali che x(i j) + y(i + j) = j.

2 Abbiamo che xi xj+yi+yj = j, portando tutto al primo membro e successivamente (x + y)i + ( x + y )j = 0. Dunque abbiamo ottenuto una combinazione lineare di i, j uguale al vettore nullo. x + y = 0 x + y = 0. x = y x = y y = 0 y = x = y =. ) Dobbiamo trovare x, y tali che x(i j) + y(i + j) = 3i 5j. Abbiamo che xi xj + yi + yj = 3i 5j, portando tutto al primo membro e successivamente (x + y 3)i + ( x + y + 5)j = 0. Dunque abbiamo ottenuto una combinazione lineare di i, j uguale al vettore nullo. x + y 3 = 0 x + y + 5 = 0. x = y + 3 x = y + 3 y 3 + y + 5 = 0 y + = 0 x = y + 3 y = x = 4 y =. 3) Dobbiamo trovare x, y tali che x(i j) + y(i + j) = 7i + 5j. Abbiamo che xi xj + yi + yj = 7i + 5j, portando tutto al primo membro e successivamente (x + y 7)i + ( x + y 5)j = 0.

3 Dunque abbiamo ottenuto una combinazione lineare di i, j uguale al vettore nullo. x + y 7 = 0 x + y 5 = 0. x = y + 7 x = y + 7 y 7 + y 5 = 0 y = 0 3 x = y + 7 y = 6 x = y = 6. 4) Dobbiamo trovare x, y tali che x(i j) + y(i + j) = i. Abbiamo che xi xj+yi+yj = i, portando tutto al primo membro e successivamente (x + y )i + ( x + y)j = 0. Dunque abbiamo ottenuto una combinazione lineare di i, j uguale al vettore nullo. x + y = 0 x + y = 0. x = y + x = y + x = y + y = 0 y = y =. 8. Se v = (,, ), v = (,, ), v 3 = (,, 7) sono tre vettori di R 3, determinare degli scalari x, y tali che v 3 = xv + yv. Soluzione. La relazione v 3 = xv + yv si traduce passando alle componenti nella relazione: (,, 7) = x(,, ) + y(,, ). Applicando le proprietà del prodotto per scalare e successivamente della somma di vettori otteniamo: (,, 7) = (x, x, x) + (y, y, y), (,, 7) = (x + y, x + y, x y).

4 4 Applicando la proprietà di uguaglianza tra vettori, deve essere: x + y = x + y = x y = 7. Abbiamo ottenuto un sistema lineare di tre equazioni in due incognite. Risolviamo tale sistema con il metodo di sostituzione (consideriamo solo la terza e la prima equazione): (y + 7) + y = x + y = 3y = x + y = y y = x + y = x = 3 y = 4 x + y =. y = 4 x + y = Il sistema ammette soluzione se e solo se la coppia x = 3, y = 4 soddisfa l equazione x + y =. Sostituendo a x e y nell equazione x + y = i valori 3, 4 rispettivamente, otteniamo l identità =. Quindi il sistema ammette un unica soluzione x = 3 y = Dimostrare che l esercizio precedente non ha soluzione se v è sostituito con il vettore v 4 = (,, 7) e v 3 è sostituito con il vettore v 5 = (,, ). Dunque, dimostrare che non esistono degli scalari x, y tali che v 5 = xv 4 + yv. Soluzione. La relazione v 5 = xv 4 + yv si traduce passando alle componenti nella relazione: (,, ) = x(,, 7) + y(,, ). Applicando le proprietà del prodotto per scalare e successivamente della somma di vettori otteniamo: (,, ) = (x, x, 7x) + (y, y, y), (,, ) = (x + y, x + y, 7x y). Applicando la proprietà di uguaglianza tra vettori, deve essere: x + y = x + y = 7x y =.

5 Abbiamo ottenuto un sistema lineare di tre equazioni in due incognite. Risolviamo tale sistema con il metodo di sostituzione (consideriamo solo la prima e la terza equazione): x = y + 7( y + ) y = x + y = x = y + 8y = x + y = x = y = x + y = x = y + 7y + 4 y = x + y = x = y + 3 y = x + y = x = y = 3 x + y = Il sistema ammette soluzione se e solo se la coppia x =, y = 3 soddisfa l equazione x + y =. Sostituendo a x e y nell equazione x + y = i valori, 3 rispettivamente, otteniamo 7, ossia non otteniamo un identità. Quindi il sistema non ammette soluzione. 5 Sottospazi vettoriali. 0. Dire se i seguenti insiemi sono sottospazi vettoriali di R 3. ) E = (x, y, z) R 3 x + y 3z = 0} [Si] ) E = (x, y, z) R 3 x y 3z = } [No] 3) E = (x, y, z) R 3 x y = } [No] 4) E = (x, y, z) R 3 x 0} [No] 5) E = (x, y, z) R 3 x + y 3z = 0, x y + 3z = 0} [Si] 6) E = (x, y, z) R 3 y = 0} [Si] 7) E = (x, y, z) R 3 x + y + z = 0} [No] 8) E = (x, y, z) R 3 x y + z = 0} [No]. Dire se i seguenti insiemi sono sottospazi vettoriali di M (R). a b ) E = A M (R) A =, a, b R b a ( ) a } 0 ) E = A M (R) A =, a R 0 a [Si] [No]

6 6 a a + b 3) E = A M (R) A =, a, b R b 0 a ab 4) E = A M (R) A =, a, b R b 0 a 5) E = A M (R) A =, a, b R a b [Si] [No] [No] Inversa di una matrice.. Determinare, se esiste, l inversa delle seguenti matrici: ( ) 3 3 A = B = 4 C = Determinare, se esiste, l inversa delle seguenti matrici: A = B = C = Determinare, se esiste, l inversa delle seguenti matrici: A = 5 B = 0 C = Sia A = 6. Sia A = 3. Determinare, se esiste, l inversa A.. Determinare, se esiste, l inversa A Determinare per quali α R le seguenti matrici A e B sono invertibili e per tali valori trovare A e B : A = 0 B = α 6 0 α Soluzione. A è invertibile per α, B è invertibile per α 5.

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