ALGEBRA E GEOMETRIA Esercizi Corso di Laurea in Chimica - anno acc. 2015/2016 docente: Elena Polastri,

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "ALGEBRA E GEOMETRIA Esercizi Corso di Laurea in Chimica - anno acc. 2015/2016 docente: Elena Polastri,"

Transcript

1 ALGEBRA E GEOMETRIA Esercizi Corso di Laurea in Chimica - anno acc. 05/06 docente: Elena Polastri, Esercizi 3: SPAZI VETTORIALI e MATRICI Combinazioni lineari di vettori.. Scrivere il vettore v = (4, 9, 9) come combinazione lineare dei vettori u = (,, 3), u = (3, 7, 0) e u 3 = (,, 9). Soluzione. v = 4u u + 3u 3.. Scrivere il vettore v = (,, 5) come combinazione lineare dei vettori u = (,, ), u = (,, 3) e u 3 = (,, ). Soluzione. v = 6u + 3u + u Scrivere il vettore v = (0,, ) come combinazione lineare dei vettori u = (4,, ), u = (0,, ) e u 3 = (, 3, 3). Soluzione. Il vettore v si scrive come combinazione lineare dei vettori u, u e u 3 in infiniti modi, uno di questi è v = u + u + 4u Scrivere il polinomio q(x) = x + x P (x) come combinazione lineare dei polinomi p (x) = x + x, p (x) = x x + 3 e p 3 (x) = x + x. Soluzione. q(x) = p (x) + p (x) + p 3 (x). 5. Scrivere il vettore v = (7, 5, 3) come combinazione lineare dei vettori u = (3,, ), u = (, 3, ) e u 3 = (,, 3). Soluzione. v = u + u. 6. Scrivere il vettore v = (, 3, 5) come combinazione lineare dei vettori u = (,, 3), u = (,, 4) e u 3 = (, 7, 5). Soluzione. Non è possibile scrivere v come combinazione lineare dei vettori u, u e u Denotiamo con i = (, 0), j = (0, ) i versori degli assi di R. Determinare gli scalari x, y in modo tale che il vettore x(i j) + y(i + j) sia uguale a: ) j; ) 3i 5j; 3) 7i + 5j; 4) i. Soluzione. ) Dobbiamo trovare x, y tali che x(i j) + y(i + j) = j.

2 Abbiamo che xi xj+yi+yj = j, portando tutto al primo membro e successivamente (x + y)i + ( x + y )j = 0. Dunque abbiamo ottenuto una combinazione lineare di i, j uguale al vettore nullo. x + y = 0 x + y = 0. x = y x = y y = 0 y = x = y =. ) Dobbiamo trovare x, y tali che x(i j) + y(i + j) = 3i 5j. Abbiamo che xi xj + yi + yj = 3i 5j, portando tutto al primo membro e successivamente (x + y 3)i + ( x + y + 5)j = 0. Dunque abbiamo ottenuto una combinazione lineare di i, j uguale al vettore nullo. x + y 3 = 0 x + y + 5 = 0. x = y + 3 x = y + 3 y 3 + y + 5 = 0 y + = 0 x = y + 3 y = x = 4 y =. 3) Dobbiamo trovare x, y tali che x(i j) + y(i + j) = 7i + 5j. Abbiamo che xi xj + yi + yj = 7i + 5j, portando tutto al primo membro e successivamente (x + y 7)i + ( x + y 5)j = 0.

3 Dunque abbiamo ottenuto una combinazione lineare di i, j uguale al vettore nullo. x + y 7 = 0 x + y 5 = 0. x = y + 7 x = y + 7 y 7 + y 5 = 0 y = 0 3 x = y + 7 y = 6 x = y = 6. 4) Dobbiamo trovare x, y tali che x(i j) + y(i + j) = i. Abbiamo che xi xj+yi+yj = i, portando tutto al primo membro e successivamente (x + y )i + ( x + y)j = 0. Dunque abbiamo ottenuto una combinazione lineare di i, j uguale al vettore nullo. x + y = 0 x + y = 0. x = y + x = y + x = y + y = 0 y = y =. 8. Se v = (,, ), v = (,, ), v 3 = (,, 7) sono tre vettori di R 3, determinare degli scalari x, y tali che v 3 = xv + yv. Soluzione. La relazione v 3 = xv + yv si traduce passando alle componenti nella relazione: (,, 7) = x(,, ) + y(,, ). Applicando le proprietà del prodotto per scalare e successivamente della somma di vettori otteniamo: (,, 7) = (x, x, x) + (y, y, y), (,, 7) = (x + y, x + y, x y).

4 4 Applicando la proprietà di uguaglianza tra vettori, deve essere: x + y = x + y = x y = 7. Abbiamo ottenuto un sistema lineare di tre equazioni in due incognite. Risolviamo tale sistema con il metodo di sostituzione (consideriamo solo la terza e la prima equazione): (y + 7) + y = x + y = 3y = x + y = y y = x + y = x = 3 y = 4 x + y =. y = 4 x + y = Il sistema ammette soluzione se e solo se la coppia x = 3, y = 4 soddisfa l equazione x + y =. Sostituendo a x e y nell equazione x + y = i valori 3, 4 rispettivamente, otteniamo l identità =. Quindi il sistema ammette un unica soluzione x = 3 y = Dimostrare che l esercizio precedente non ha soluzione se v è sostituito con il vettore v 4 = (,, 7) e v 3 è sostituito con il vettore v 5 = (,, ). Dunque, dimostrare che non esistono degli scalari x, y tali che v 5 = xv 4 + yv. Soluzione. La relazione v 5 = xv 4 + yv si traduce passando alle componenti nella relazione: (,, ) = x(,, 7) + y(,, ). Applicando le proprietà del prodotto per scalare e successivamente della somma di vettori otteniamo: (,, ) = (x, x, 7x) + (y, y, y), (,, ) = (x + y, x + y, 7x y). Applicando la proprietà di uguaglianza tra vettori, deve essere: x + y = x + y = 7x y =.

5 Abbiamo ottenuto un sistema lineare di tre equazioni in due incognite. Risolviamo tale sistema con il metodo di sostituzione (consideriamo solo la prima e la terza equazione): x = y + 7( y + ) y = x + y = x = y + 8y = x + y = x = y = x + y = x = y + 7y + 4 y = x + y = x = y + 3 y = x + y = x = y = 3 x + y = Il sistema ammette soluzione se e solo se la coppia x =, y = 3 soddisfa l equazione x + y =. Sostituendo a x e y nell equazione x + y = i valori, 3 rispettivamente, otteniamo 7, ossia non otteniamo un identità. Quindi il sistema non ammette soluzione. 5 Sottospazi vettoriali. 0. Dire se i seguenti insiemi sono sottospazi vettoriali di R 3. ) E = (x, y, z) R 3 x + y 3z = 0} [Si] ) E = (x, y, z) R 3 x y 3z = } [No] 3) E = (x, y, z) R 3 x y = } [No] 4) E = (x, y, z) R 3 x 0} [No] 5) E = (x, y, z) R 3 x + y 3z = 0, x y + 3z = 0} [Si] 6) E = (x, y, z) R 3 y = 0} [Si] 7) E = (x, y, z) R 3 x + y + z = 0} [No] 8) E = (x, y, z) R 3 x y + z = 0} [No]. Dire se i seguenti insiemi sono sottospazi vettoriali di M (R). a b ) E = A M (R) A =, a, b R b a ( ) a } 0 ) E = A M (R) A =, a R 0 a [Si] [No]

6 6 a a + b 3) E = A M (R) A =, a, b R b 0 a ab 4) E = A M (R) A =, a, b R b 0 a 5) E = A M (R) A =, a, b R a b [Si] [No] [No] Inversa di una matrice.. Determinare, se esiste, l inversa delle seguenti matrici: ( ) 3 3 A = B = 4 C = Determinare, se esiste, l inversa delle seguenti matrici: A = B = C = Determinare, se esiste, l inversa delle seguenti matrici: A = 5 B = 0 C = Sia A = 6. Sia A = 3. Determinare, se esiste, l inversa A.. Determinare, se esiste, l inversa A Determinare per quali α R le seguenti matrici A e B sono invertibili e per tali valori trovare A e B : A = 0 B = α 6 0 α Soluzione. A è invertibile per α, B è invertibile per α 5.

Geometria BIAR Esercizi 2

Geometria BIAR Esercizi 2 Geometria BIAR 0- Esercizi Esercizio. a Si consideri il generico vettore v b R c (a) Si trovi un vettore riga x (x, y, z) tale che x v a (b) Si trovi un vettore riga x (x, y, z) tale che x v kb (c) Si

Dettagli

Esercitazione: 16 novembre 2009 SOLUZIONI

Esercitazione: 16 novembre 2009 SOLUZIONI Esercitazione: 16 novembre 009 SOLUZIONI Esercizio 1 Scrivere [ ] equazione vettoriale, parametrica [ ] e cartesiana della retta passante 1 per il punto P = e avente direzione d =. 1 x 1 Soluzione: Equazione

Dettagli

Per le risposte utilizza gli spazi predisposti. Quando richiesto, il procedimento va esposto brevemente, ma in maniera comprensibile.

Per le risposte utilizza gli spazi predisposti. Quando richiesto, il procedimento va esposto brevemente, ma in maniera comprensibile. COGNOME............................... NOME..................................... Punti ottenuti Esame di geometria Scrivi cognome e nome negli spazi predisposti in ciascuno dei tre fogli. Per ogni domanda

Dettagli

Metodo dei minimi quadrati e matrice pseudoinversa

Metodo dei minimi quadrati e matrice pseudoinversa Scuola universitaria professionale della Svizzera italiana Dipartimento Tecnologie Innovative Metodo dei minimi quadrati e matrice pseudoinversa Algebra Lineare Semestre Estivo 2006 Metodo dei minimi quadrati

Dettagli

Dipendenza e indipendenza lineare (senza il concetto di rango)

Dipendenza e indipendenza lineare (senza il concetto di rango) CAPITOLO 5 Dipendenza e indipendenza lineare (senza il concetto di rango) Esercizio 5.1. Scrivere un vettore w R 3 linearmente dipendente dal vettore v ( 1, 9, 0). Esercizio 5.2. Stabilire se i vettori

Dettagli

Matematica per Analisi dei Dati,

Matematica per Analisi dei Dati, Matematica per Analisi dei Dati, 230209 1 Spazio vettoriale R n Sia n un intero positivo fissato Lo spazio vettoriale R n e l insieme delle n ple ordinate di numeri reali, che rappresenteremo sempre come

Dettagli

LEZIONE 12. v = α 1 v α n v n =

LEZIONE 12. v = α 1 v α n v n = LEZIONE 12 12.1. Combinazioni lineari. Definizione 12.1.1. Sia V uno spazio vettoriale su k = R, C e v 1,..., v n V vettori fissati. Un vettore v V si dice combinazione lineare di v 1,..., v n se esistono

Dettagli

Esercitazione 6 - Soluzione

Esercitazione 6 - Soluzione Anno Accademico 28-29 Corso di Algebra Lineare e Calcolo Numerico per Ingegneria Meccanica Esercitazione 6 - Soluzione Immagine, nucleo. Teorema di Rouché-Capelli. Esercizio Sia L : R 3 R 3 l applicazione

Dettagli

Esercizio 1 Trovare, se esistono, le soluzioni del sistema lineare. y + 3z = 3 x y + z = 0. { x + y = 1

Esercizio 1 Trovare, se esistono, le soluzioni del sistema lineare. y + 3z = 3 x y + z = 0. { x + y = 1 Esercizio 1 Trovare, se esistono, le soluzioni del lineare y + 3z = 3 x y + z = 0 x + y = 1 0 1 3 3 1 1 1 0 1 1 1 0 = 0 1 3 3 = 1 1 0 1 1 1 0 1 = 1 1 1 0 0 1 3 3 0 1 1 = Il di partenza è quindi equivalente

Dettagli

ESERCIZI DI ALGEBRA LINEARE E COMPLEMENTI DI GEOMETRIA

ESERCIZI DI ALGEBRA LINEARE E COMPLEMENTI DI GEOMETRIA ESERCIZI DI ALGEBRA LINEARE E COMPLEMENTI DI GEOMETRIA Foglio 4 Esempio. Sia V = P 5 (R) lo spazio dei polinomi di grado strettamente minore di 5. Si considerino i seguenti sottoinsiemi di V (i) Dimostrare

Dettagli

FONDAMENTI DI ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA

FONDAMENTI DI ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA Cognome Nome Matricola FONDAMENTI DI ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA Ciarellotto, Esposito, Garuti Prova del 21 settembre 2013 Dire se è vero o falso (giustificare le risposte. Bisogna necessariamente rispondere

Dettagli

Corso di Geometria Lezione II: Spazi vettoriali

Corso di Geometria Lezione II: Spazi vettoriali .. Corso di Geometria Lezione II: Spazi vettoriali F. Baldassarri 8 ottobre 2013 Definizione di spazio vettoriale Uno spazio vettoriale su un campo C (ad es. Q,R,C,{0, 1}) è un insieme V dotato di due

Dettagli

Registro Lezioni di Algebra lineare del 15 e 16 novembre 2016.

Registro Lezioni di Algebra lineare del 15 e 16 novembre 2016. Registro Lezioni di Algebra lineare del 15 e 16 novembre 2016 Di seguito si riporta il riassunto degli argomenti svolti; i riferimenti sono a parti del Cap8 Elementi di geometria e algebra lineare Par5

Dettagli

Foglio di esercizi numero 2 Corso di Fondamenti di Algebra Lineare e Geometria Ingegneria Aerospaziale e Meccanica

Foglio di esercizi numero 2 Corso di Fondamenti di Algebra Lineare e Geometria Ingegneria Aerospaziale e Meccanica Foglio di esercizi numero 2 Corso di Fondamenti di Algebra Lineare e Geometria Ingegneria Aerospaziale e Meccanica Esercizio 1. Sia f l endomorfismo di R 4 definito nel modo seguente: f(x, y, z, w) = (w,

Dettagli

ESERCIZI sui VETTORI

ESERCIZI sui VETTORI ESERCIZI sui VETTORI 1. Calcolare la somma di v 1 (2, 3) e v 2 (1, 4). 2. Calcolare la somma di v 1 (1, 5, 4) e v 2 (6, 8, 2). 3. Calcolare il prodotto di α = 2 e v 1 (1, 4). 4. Calcolare il prodotto di

Dettagli

Sistemi lineari - Parte Seconda - Esercizi

Sistemi lineari - Parte Seconda - Esercizi Sistemi lineari - Parte Seconda - Esercizi Terminologia Operazioni elementari sulle righe. Equivalenza per righe. Riduzione a scala per righe. Rango di una matrice. Forma canonica per righe. Eliminazione

Dettagli

Esercizi di Matematica di Base Scienze biologiche e Scienze e Tecnologie dell Ambiente

Esercizi di Matematica di Base Scienze biologiche e Scienze e Tecnologie dell Ambiente Esercizi di Matematica di Base Scienze biologiche e Scienze e Tecnologie dell Ambiente Dati i vettori di R (i) Calcolare il prodotto scalare v w, (ii) Stabilire se v e w sono ortogonali, (ii) Stabilire

Dettagli

Intersezione e somma di sottospazi vettoriali

Intersezione e somma di sottospazi vettoriali Capitolo 6 Intersezione e somma di sottospazi vettoriali 6.1 Introduzione Ricordiamo le definizioni di intersezione e somma di due sottospazi vettoriali. Anche in questo caso rimandiamo al testo di geometria

Dettagli

a + 2b + c 3d = 0, a + c d = 0 c d

a + 2b + c 3d = 0, a + c d = 0 c d SPAZI VETTORIALI 1. Esercizi Esercizio 1. Stabilire quali dei seguenti sottoinsiemi sono sottospazi: V 1 = {(x, y, z) R 3 /x = y = z} V = {(x, y, z) R 3 /x = 4} V 3 = {(x, y, z) R 3 /z = x } V 4 = {(x,

Dettagli

Corso di Geometria BIAR, BSIR Esercizi 2: soluzioni

Corso di Geometria BIAR, BSIR Esercizi 2: soluzioni Corso di Geometria 2- BIAR, BSIR Esercizi 2: soluzioni Esercizio Calcolare il determinante della matrice 2 3 : 3 2 a) con lo sviluppo lungo la prima riga, b) con lo sviluppo lungo la terza colonna, c)

Dettagli

Esercizi su algebra lineare, fattorizzazione LU e risoluzione di sistemi lineari

Esercizi su algebra lineare, fattorizzazione LU e risoluzione di sistemi lineari Esercizi su algebra lineare, fattorizzazione LU e risoluzione di sistemi lineari 4 maggio Nota: gli esercizi più impegnativi sono contrassegnati dal simbolo ( ) Esercizio Siano 3 6 8 6 4 3 3 ) determinare

Dettagli

Esercizi svolti. delle matrici

Esercizi svolti. delle matrici Esercizi svolti. astratti. Si dica se l insieme delle coppie reali (x, y) soddisfacenti alla relazione x + y è un sottospazio vettoriale di R La risposta è sì, perchè l unica coppia reale che soddisfa

Dettagli

dipendenti. Cosa possiamo dire sulla dimensione di V?

dipendenti. Cosa possiamo dire sulla dimensione di V? Esercizi Esercizi. In uno spazio vettoriale V ci sono tre vettori v, v 2, v linearmente indipendenti. Cosa possiamo dire sulla dimensione di V? 2. In uno spazio vettoriale V ci sono tre vettori v, v 2,

Dettagli

Operazioni tra matrici e n-uple

Operazioni tra matrici e n-uple CAPITOLO Operazioni tra matrici e n-uple Esercizio.. Date le matrici 0 4 e dati λ = 5, µ =, si calcoli AB, BA, A+B, B A, λa+µb. Esercizio.. Per ognuna delle seguenti coppie di matrici A, B e scalari λ,

Dettagli

La riduzione a gradini e i sistemi lineari (senza il concetto di rango)

La riduzione a gradini e i sistemi lineari (senza il concetto di rango) CAPITOLO 4 La riduzione a gradini e i sistemi lineari (senza il concetto di rango) Esercizio 4.1. Risolvere il seguente sistema non omogeneo: 2x+4y +4z = 4 x z = 1 x+3y +4z = 3 Esercizio 4.2. Risolvere

Dettagli

NOTE DI ALGEBRA LINEARE v = a 1 v a n v n, w = b 1 v b n v n

NOTE DI ALGEBRA LINEARE v = a 1 v a n v n, w = b 1 v b n v n NOTE DI ALGEBRA LINEARE 2- MM 9 NOVEMBRE 2 Combinazioni lineari e generatori Sia K un campo e V uno spazio vettoriale su K Siano v,, v n vettori in V Definizione Un vettore v V si dice combinazione lineare

Dettagli

SPAZI VETTORIALI. Esercizi Esercizio 1. Sia V := R 3. Stabilire quale dei seguenti sottoinsiemi di V sono suoi sottospazi:

SPAZI VETTORIALI. Esercizi Esercizio 1. Sia V := R 3. Stabilire quale dei seguenti sottoinsiemi di V sono suoi sottospazi: SPAZI VETTORIALI Esercizi Esercizio. Sia V := R 3. Stabilire quale dei seguenti sottoinsiemi di V sono suoi sottospazi: V := { (a, a, a) V a R }, V 2 := { (a, b, a) V a, b R }, V 3 := { (a, 2a, a + b)

Dettagli

15 luglio Soluzione esame di geometria - Ing. gestionale - a.a COGNOME... NOME... N. MATRICOLA... ISTRUZIONI

15 luglio Soluzione esame di geometria - Ing. gestionale - a.a COGNOME... NOME... N. MATRICOLA... ISTRUZIONI 15 luglio 01 - Soluzione esame di geometria - Ing. gestionale - a.a. 01-01 COGNOME.......................... NOME.......................... N. MATRICOLA............. La prova dura ore. ISTRUZIONI Ti sono

Dettagli

Geometria analitica del piano pag 12 Adolfo Scimone

Geometria analitica del piano pag 12 Adolfo Scimone Geometria analitica del piano pag 12 Adolfo Scimone Fasci di rette Siano r e r' due rette distinte di equazioni r: ax + by + c r': a' x + b' y + c' Consideriamo la retta combinazione lineare delle due

Dettagli

Esercizi per Geometria II Geometria euclidea e proiettiva

Esercizi per Geometria II Geometria euclidea e proiettiva Esercizi per Geometria II Geometria euclidea e proiettiva Filippo F. Favale 8 aprile 014 Esercizio 1 Si consideri E dotato di un riferimento cartesiano ortonormale di coordinate (x, y) e origine O. Si

Dettagli

SISTEMI LINEARI. x 2y 2z = 0. Svolgimento. Procediamo con operazioni elementari di riga sulla matrice del primo sistema: 1 1 1 3 1 2 R 2 R 2 3R 0 4 5.

SISTEMI LINEARI. x 2y 2z = 0. Svolgimento. Procediamo con operazioni elementari di riga sulla matrice del primo sistema: 1 1 1 3 1 2 R 2 R 2 3R 0 4 5. SISTEMI LINEARI Esercizi Esercizio. Risolvere, se possibile, i seguenti sistemi: x y z = 0 x + y + z = 3x + y + z = 0 x y = 4x + z = 0, x y z = 0. Svolgimento. Procediamo con operazioni elementari di riga

Dettagli

Elementi di Algebra Lineare Spazi Vettoriali

Elementi di Algebra Lineare Spazi Vettoriali Elementi di Algebra Lineare Spazi Vettoriali Antonio Lanteri e Cristina Turrini UNIMI - 2015/2016 Antonio Lanteri e Cristina Turrini (UNIMI - 2015/2016) Elementi di Algebra Lineare 1 / 37 index Spazi vettoriali

Dettagli

Appunti di ALGEBRA LINEARE

Appunti di ALGEBRA LINEARE Appunti di ALGEBRA LINEARE Corso di Laurea in Chimica A. A. 2009/200 Capitolo SPAZI VETTORIALI In matematica si incontrano spesso insiemi di elementi su cui sono definite delle operazioni che godono di

Dettagli

Elementi di Algebra Lineare. Spazio Vettoriale (lineare)

Elementi di Algebra Lineare. Spazio Vettoriale (lineare) Elementi di Algebra Lineare Spazio Vettoriale (lineare) Uno spazio vettoriale su un corpo F è una quadrupla (X, F, +, ) costituita da: un insieme di elementi X, detti vettori, un corpo F, i cui elementi

Dettagli

Rette e piani in R 3

Rette e piani in R 3 Rette e piani in R 3 In questa dispensa vogliamo introdurre in modo elementare rette e piani nello spazio R 3 (si faccia riferimento anche al testo Algebra Lineare di S. Lang). 1 Rette in R 3 Vogliamo

Dettagli

ESERCIZI DI ALGEBRA LINEARE E COMPLEMENTI DI GEOMETRIA

ESERCIZI DI ALGEBRA LINEARE E COMPLEMENTI DI GEOMETRIA ESERCIZI DI ALGEBRA LINEARE E COMPLEMENTI DI GEOMETRIA Foglio Esempio. Determinare le soluzioni del sistema lineare Ax = B, in cui 4 A = 6 6, B = Sol. Consideriamo la matrice aumentata C = 4 6 6 6 5 e

Dettagli

2 Sistemi lineari. Metodo di riduzione a scala.

2 Sistemi lineari. Metodo di riduzione a scala. Sistemi lineari. Metodo di riduzione a scala. Esercizio.1 Utilizzando il metodo di eliminazione di Gauss, risolvere i seguenti sistemi lineari: 1. 3. x 1 x + 3x 3 = 1 x 1 x x 3 = x 1 + x + 3x 3 = 5 x 1

Dettagli

Geometria analitica del piano pag 25 Adolfo Scimone. Equazione della retta perpendicolare ad una retta data passante per un punto

Geometria analitica del piano pag 25 Adolfo Scimone. Equazione della retta perpendicolare ad una retta data passante per un punto Geometria analitica del piano pag 5 Adolfo Scimone Equazione della retta perpendicolare ad una retta data passante per un punto Consideriamo una retta r di equazione r: ax by sia P ( x y), un punto del

Dettagli

AUTOVALORI, AUTOVETTORI, AUTOSPAZI

AUTOVALORI, AUTOVETTORI, AUTOSPAZI AUTOVALORI, AUTOVETTORI, AUTOSPAZI. Esercizi Esercizio. Sia f : R 3 R 3 l endomorfismo definito da f(x, y, z) = (x+y, y +z, x+z). Calcolare gli autovalori ed una base per ogni autospazio di f. Dire se

Dettagli

(VX) (F) Se A e B sono due matrici simmetriche n n allora anche A B è una matrice simmetrica.

(VX) (F) Se A e B sono due matrici simmetriche n n allora anche A B è una matrice simmetrica. 5 luglio 010 - PROVA D ESAME - Geometria e Algebra T NOME: MATRICOLA: a=, b=, c= Sostituire ai parametri a, b, c rispettivamente la terzultima, penultima e ultima cifra del proprio numero di matricola

Dettagli

Corso di Matematica Generale M-Z Dipartimento di Economia Universitá degli Studi di Foggia ALGEBRA LINEARE. Giovanni Villani

Corso di Matematica Generale M-Z Dipartimento di Economia Universitá degli Studi di Foggia ALGEBRA LINEARE. Giovanni Villani Corso di Matematica Generale M-Z Dipartimento di Economia Universitá degli Studi di Foggia ALGEBRA LINEARE Giovanni Villani Matrici Definizione 1 Si definisce matrice di tipo m n una funzione che associa

Dettagli

SISTEMI LINEARI. x y + 2t = 0 2x + y + z t = 0 x z t = 0 ; S 3 : ; S 5x 2y z = 1 4x 7y = 3

SISTEMI LINEARI. x y + 2t = 0 2x + y + z t = 0 x z t = 0 ; S 3 : ; S 5x 2y z = 1 4x 7y = 3 SISTEMI LINEARI. Esercizi Esercizio. Verificare se (,, ) è soluzione del sistema x y + z = x + y z = 3. Trovare poi tutte le soluzioni del sistema. Esercizio. Scrivere un sistema lineare di 3 equazioni

Dettagli

Esame di Geometria - 9 CFU (Appello del 14 gennaio A)

Esame di Geometria - 9 CFU (Appello del 14 gennaio A) Esame di Geometria - 9 CFU (Appello del 4 gennaio 24 - A) Cognome: Nome: Nr.matricola: Corso di laurea: Esercizio. Si considerino le rette s : { x x 2 2x 3 = 2 3x x 2 =, { x + x s 2 : 2 x 3 = x 2 =.. Stabilire

Dettagli

Esercizi geometria analitica nello spazio. Corso di Laurea in Informatica. Docente: Andrea Loi. Correzione

Esercizi geometria analitica nello spazio. Corso di Laurea in Informatica. Docente: Andrea Loi. Correzione Esercizi geometria analitica nello spazio Corso di Laurea in Informatica Docente: Andrea Loi Correzione 1. Denotiamo con P 1, P 13, P 3, P 1, P, P 3, P i simmetrici di un punto P rispetto ai piani coordinati

Dettagli

I VERIFICA DI GEOMETRIA 1 CORSO DI LAUREA IN MATEMATICA - 4 DICEMBRE 2007

I VERIFICA DI GEOMETRIA 1 CORSO DI LAUREA IN MATEMATICA - 4 DICEMBRE 2007 A I VERIFICA DI GEOMETRIA 1 CORSO DI LAUREA IN MATEMATICA - 4 DICEMBRE 2007 ESERCIZIO 1. Si consideri il seguente sistema di equazioni lineari x + y + 2z = 1 2x + ky + 4z = h 2x 2y + kz = 0 (a) Determinare,

Dettagli

Note sui sistemi lineari

Note sui sistemi lineari Note sui sistemi lineari Sia K un campo e siano m e n due numeri interi positivi. Sia A M(m n, K) e sia b K m. Consideriamo il sistema lineare Ax = b nell incognita x K n (o, se preferite, nelle incognite

Dettagli

1 Rette e piani in R 3

1 Rette e piani in R 3 POLITECNICO DI MILANO. FACOLTÀ DI INGEGNERIA INDUSTRIALE. Analisi e Geometria 1. Sez. D - G. Docenti: Federico G. Lastaria, Mauro Saita, Nadir Zanchetta,. 1 1 Rette e piani in R 3 Una retta parametrizzata

Dettagli

APPLICAZIONI LINEARI

APPLICAZIONI LINEARI APPLICAZIONI LINEARI Esercizi Esercizio Date le seguenti applicazioni lineari f : R 2 R 3 definita da fx y = x 2y x + y x + y; 2 g : R 3 R 2 definita da gx y z = x + y x y; 3 h : Rx] 2 R 2 definita da

Dettagli

Soluzione. (a) L insieme F 1 e linearmente indipendente; gli insiemi F 2 ed F 3 sono linearmente

Soluzione. (a) L insieme F 1 e linearmente indipendente; gli insiemi F 2 ed F 3 sono linearmente 1. Insiemi di generatori, lineare indipendenza, basi, dimensione. Consideriamo nello spazio vettoriale R 3 i seguenti vettori: v 1 = (0, 1, ), v = (1, 1, 1), v 3 = (, 1, 0), v 4 = (3, 3, ). Siano poi F

Dettagli

Riassumiamo le proprietà dei numeri reali da noi utilizzate nel corso di Geometria.

Riassumiamo le proprietà dei numeri reali da noi utilizzate nel corso di Geometria. Capitolo 2 Campi 2.1 Introduzione Studiamo ora i campi. Essi sono una generalizzazione dell insieme R dei numeri reali con le operazioni di addizione e di moltiplicazione. Nel secondo paragrafo ricordiamo

Dettagli

MATEMATICA. a.a. 2014/ Sistemi di equazioni lineari

MATEMATICA. a.a. 2014/ Sistemi di equazioni lineari MATEMATICA a.a. 2014/15 8. Sistemi di equazioni lineari SISTEMI LINEARI Si definisce sistema lineare un sistema di p equazioni di primo grado in q incognite. a11x1 + a12 x2 +... + a1 qxq = k1 a21x1 + a22x2

Dettagli

Rette e piani nello spazio Federico Lastaria, Analisi e Geometria 1. Politecnico di Milano Corso di Analisi e Geometria 1

Rette e piani nello spazio Federico Lastaria, Analisi e Geometria 1. Politecnico di Milano Corso di Analisi e Geometria 1 ette e piani nello spazio Federico Lastaria, Analisi e Geometria 1 Politecnico di Milano Corso di Analisi e Geometria 1 Federico Lastaria federico.lastaria@polimi.it ette e piani nello spazio. 9 Gennaio

Dettagli

Rette e piani nello spazio

Rette e piani nello spazio Rette e piani nello spazio Equazioni parametriche di una retta in R 3 : x(t) = x 0 + at r(t) : y(t) = y 0 + bt t R, parametro z(t) = z 0 + ct ovvero r(t) : X(t) = P 0 + vt, t R}, dove: P 0 = (x 0, y 0,

Dettagli

(2) Dato il vettore w = (1, 1, 1), calcolare T (w). (3) Determinare la matrice A associata a T rispetto alla base canonica.

(2) Dato il vettore w = (1, 1, 1), calcolare T (w). (3) Determinare la matrice A associata a T rispetto alla base canonica. 1. Applicazioni lineari Esercizio 1.1. Sia T : R 2 R 3 l applicazione lineare definita sulla base canonica di R 2 nel seguente modo: T (e 1 ) = (1, 2, 1), T (e 2 ) = (1, 0, 1). a) Esplicitare T (x, y).

Dettagli

x1 + 2x 2 + 3x 3 = 0 nelle tre incognite x 1, x 2, x 3. Possiamo risolvere l equazione ricavando l incognita x 1 x 1 = 2x 2 3x 3 2r 1 3r 2 x 2 x 3

x1 + 2x 2 + 3x 3 = 0 nelle tre incognite x 1, x 2, x 3. Possiamo risolvere l equazione ricavando l incognita x 1 x 1 = 2x 2 3x 3 2r 1 3r 2 x 2 x 3 Matematica II -..9 Spazio delle soluzioni di un sistema lineare omogeneo.. Consideriamo l equazione lineare omogenea nelle tre incognite x, x, x 3. x + x + 3x 3 = Possiamo risolvere l equazione ricavando

Dettagli

VETTORI NELLO SPAZIO ORDINARIO ,

VETTORI NELLO SPAZIO ORDINARIO , VETTORI E GEOMETRIA ANALITICA 1 VETTORI NELLO SPAZIO ORDINARIO Vettori ordinari ed operazioni. Dipendenza ed indipendenza lineare, basi. Prodotto scalare, proiezioni, angoli. Prodotto vettoriale e prodotto

Dettagli

ossia può anche essere localizzato univocamente sul piano complesso con la sua forma polare.

ossia può anche essere localizzato univocamente sul piano complesso con la sua forma polare. ALGEBRA COMPLESSA Nel corso dei secoli gli insiemi dei numeri sono andati man mano allargandosi per rispondere all esigenza di dare soluzione a equazioni e problemi sempre nuovi I numeri complessi sono

Dettagli

Esercitazione di Analisi Matematica II

Esercitazione di Analisi Matematica II Esercitazione di Analisi Matematica II Barbara Balossi 06/04/2017 Esercizi di ripasso Esercizio 1 Sia data l applicazione lineare f : R 3 R 3 definita come f(x, y, z) = ( 2x + y z, x 2y + z, x y). a) Calcolare

Dettagli

Analisi matematica Esercizi di Algebra Lineare: Parte I.

Analisi matematica Esercizi di Algebra Lineare: Parte I. Analisi matematica Esercizi di Algebra Lineare Parte I. March,. Calcolo vettoriale in R. Dati u v calcolare 8 z SOLUZIONI u + v u + v v u z u+ v+ z (u z) uv zu zuv juj ju vj jv zj vers (u) vers ( v) vers

Dettagli

Esercizi di MATEMATICA PER RCHITETTURA prima parte: Algebra Lineare e Geometria

Esercizi di MATEMATICA PER RCHITETTURA prima parte: Algebra Lineare e Geometria Esercizi di MATEMATICA PER RCHITETTURA prima parte: Algebra Lineare e Geometria Avvertenze In quanto segue tutti i vettori hanno il medesimo punto d origine O l origine dello spazio cartesiano. Possiamo

Dettagli

SPAZI VETTORIALI CON PRODOTTO SCALARE A =

SPAZI VETTORIALI CON PRODOTTO SCALARE A = SPAZI VETTORIALI CON PRODOTTO SCALARE Esercizi Esercizio. Nello spazio euclideo standard (R 2,, ) sia data la matrice 2 3 A = 3 2 () Determinare una base rispetto alla quale A sia la matrice di un endomorfismo

Dettagli

ESERCIZI MATEMATICA GENERALE - Canale III

ESERCIZI MATEMATICA GENERALE - Canale III ESERCIZI MATEMATICA GENERALE - Canale III Vettori Prof. A. Fabretti 1 A.A. 009/010 1 Dati in R i vettori v = (1,,, u = (,, 1 e w = (,, calcolare: a la combinazione lineare u + v + 4 w b il prodotto scalare

Dettagli

CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA EDILE/ARCHITETTURA

CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA EDILE/ARCHITETTURA CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA EDILE/ARCHITETTURA II PROVA DI ACCERTAMENTO, FILA B GEOMETRIA 19/06/008 Esercizio 0.1. Si consideri il seguente endomorfismo di R 4 T (x, y, z, w) = (x + y z + w, y z, x +

Dettagli

Algebra/Algebra Lineare,

Algebra/Algebra Lineare, Algebra/Algebra Lineare, 00308 Distanza di un punto da una retta, nel piano Svolgiamo ora un semplice esercizio di geometria analitica nel piano: determinare la distanza di un punto da una retta Il modo

Dettagli

x n i sima pos. x, y = x T y = x i y i R. i=1

x n i sima pos. x, y = x T y = x i y i R. i=1 1 Elementi di Algebra Lineare In questo capitolo introduttivo al corso di Calcolo Numerico per la laurea triennale in Informatica, saranno presentate una serie di definizioni e proprietà di matrici e dei

Dettagli

Spazi vettoriali euclidei.

Spazi vettoriali euclidei. Spazi vettoriali euclidei Prodotto scalare, lunghezza e ortogonalità in R n Consideriamo lo spazio vettoriale R n = { =,,, n R}, n con la somma fra vettori e il prodotto di un vettore per uno scalare definiti

Dettagli

20 gennaio Soluzione esame di geometria - 12 crediti Ingegneria gestionale - a.a COGNOME... NOME... N. MATRICOLA...

20 gennaio Soluzione esame di geometria - 12 crediti Ingegneria gestionale - a.a COGNOME... NOME... N. MATRICOLA... 0 gennaio 010 - Soluzione esame di geometria - 1 crediti Ingegneria gestionale - a.a. 009-010 COGNOME.......................... NOME.......................... N. MATRICOLA............. La prova dura ore.

Dettagli

SPAZI EUCLIDEI, APPLICAZIONI SIMMETRICHE, FORME QUADRATICHE

SPAZI EUCLIDEI, APPLICAZIONI SIMMETRICHE, FORME QUADRATICHE SPAZI EUCLIDEI, APPLICAZIONI SIMMETRICHE, FORME QUADRATICHE. Esercizi Esercizio. In R calcolare il modulo dei vettori,, ),,, ) ed il loro angolo. Esercizio. Calcolare una base ortonormale del sottospazio

Dettagli

CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA EDILE/ARCHITETTURA

CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA EDILE/ARCHITETTURA CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA EDILE/ARCHITETTURA II PROVA DI ACCERTAMENTO, FILA A GEOMETRIA 19/06/008 Esercizio 0.1. Si consideri il seguente endomorfismo di R 4 T (x, y, z, w) = ( x + y + z + w, y + z,

Dettagli

Sistemi lineari e spazi vettoriali 1 / 14

Sistemi lineari e spazi vettoriali 1 / 14 Sistemi lineari e spazi vettoriali 1 / 14 Sistemi lineari 2 / 14 Studieremo sistemi lineari costituiti da m equazioni in n incognite (m,n N, m,n 1): cioè a 11 x 1 + +a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + +a 2n x n

Dettagli

ESERCIZI DI MATEMATICA DISCRETA ANNO 2006/2007

ESERCIZI DI MATEMATICA DISCRETA ANNO 2006/2007 ESERCIZI DI MATEMATICA DISCRETA ANNO 6/7 //7 () Ridurre la seguente matrice ad una a scala ridotta utilizzando il metodo di Gauss-Jordan. Soluzione. () Determinare quante e quali sono le matrici a scala

Dettagli

Analisi Matematica 1 e Matematica 1 Geometria Analitica: Rette

Analisi Matematica 1 e Matematica 1 Geometria Analitica: Rette Analisi Matematica 1 e Matematica 1 Geometria Analitica: Rette Annalisa Amadori e Benedetta Pellacci amadori@uniparthenope.it pellacci@uniparthenope.it Università di Napoli Parthenope Contenuti Nel Piano

Dettagli

ESERCIZI DI ALGEBRA LINEARE (D) A = A = A = R 2,2. D5 Dire come bisogna scegliere i parametri h e k affinché la

ESERCIZI DI ALGEBRA LINEARE (D) A = A = A = R 2,2. D5 Dire come bisogna scegliere i parametri h e k affinché la ESERCIZI DI ALGEBRA LINEARE (D) D1 Nello spazio vettoriale R 2,2 si consideri l insieme { V = X R 2,2 XA = AX, A = ( 1 1 1 2 )} delle matrici che commutano con A. Verifiare che V = L(I 2, A). Verificare

Dettagli

0.1 Spazi Euclidei in generale

0.1 Spazi Euclidei in generale 0.1. SPAZI EUCLIDEI IN GENERALE 1 0.1 Spazi Euclidei in generale Sia V uno spazio vettoriale definito su R. Diremo, estendendo una definizione data in precedenza, che V è uno spazio vettoriale euclideo

Dettagli

Corso di Geometria Ing. Informatica e Automatica Test 1: soluzioni

Corso di Geometria Ing. Informatica e Automatica Test 1: soluzioni Corso di Geometria Ing. Informatica e Automatica Test : soluzioni k Esercizio Data la matrice A = k dipendente dal parametro k, si consideri il k sistema lineare omogeneo AX =, con X = x x. Determinare

Dettagli

1.[25 punti] Risolvere il seguente sistema di equazioni lineari al variare del parametro reale λ: X +Y +Z = 2. X 2Y +λz = 2

1.[25 punti] Risolvere il seguente sistema di equazioni lineari al variare del parametro reale λ: X +Y +Z = 2. X 2Y +λz = 2 Università di Modena e Reggio Emilia Facoltà di Scienze MM.FF.NN. PROVA SCRITTA DI GEOMETRIA A del 27 giugno 2011 ISTRUZIONI PER LO SVOLGIMENTO. Scrivere cognome, nome, numero di matricola in alto a destra

Dettagli

Compiti di geometria & algebra lineare. Anno: 2004

Compiti di geometria & algebra lineare. Anno: 2004 Compiti di geometria & algebra lineare Anno: 24 Anno: 24 2 Primo compitino di Geometria e Algebra 7 novembre 23 totale tempo a disposizione : 3 minuti Esercizio. [8pt.] Si risolva nel campo complesso l

Dettagli

ESERCIZI DI ALGEBRA LINEARE. Vincenzo Di Gennaro

ESERCIZI DI ALGEBRA LINEARE. Vincenzo Di Gennaro ESERCIZI DI ALGEBRA LINEARE Vincenzo Di Gennaro Sono raccolti, in ordine cronologico, gli esercizi di Algebra Lineare proposti nelle prove scritte per i vari corsi di Geometria che ho tenuto presso la

Dettagli

Capitolo 1 Vettori applicati e geometria dello spazio

Capitolo 1 Vettori applicati e geometria dello spazio Capitolo 1 Vettori applicati e geometria dello spazio Marco Robutti Facoltà di ingegneria Università degli studi di Pavia Tutorato di geometria e algebra lineare Anno accademico 2014-2015 Definizione (Vettore

Dettagli

RETTE E PIANI NELLO SPAZIO

RETTE E PIANI NELLO SPAZIO VETTORI E GEOMETRIA ANALITICA 1 RETTE E PIANI NELLO SPAZIO Rette e piani in forma cartesiana e parametrica. Parallelismo e perpendicolarità, posizioni reciproche tra rette e piani, distanze. Esercizio

Dettagli

3x 2 = 6. 3x 2 x 3 = 6

3x 2 = 6. 3x 2 x 3 = 6 Facoltà di Scienze Statistiche, Algebra Lineare 1 A, GParmeggiani LEZIONE 7 Sistemi lineari Scrittura matriciale di un sistema lineare Def 1 Un sistema di m equazioni ed n incognite x 1, x 2, x n, si dice

Dettagli

Applicazioni lineari e diagonalizzazione pagina 1 di 5

Applicazioni lineari e diagonalizzazione pagina 1 di 5 pplicazioni lineari e diagonalizzazione pagina 1 di 5 PPLIZIONI LINERI 01. Dire quali delle seguenti applicazioni tra IR-spazi vettoriali sono lineari a. f :IR 2 IR 3 f(x y =(x y πy b. f :IR 3 IR 3 f(x

Dettagli

i) la somma e il prodotto godano delle proprietà associativa, commutativa e distributiva;

i) la somma e il prodotto godano delle proprietà associativa, commutativa e distributiva; 1 Spazi vettoriali 11 Definizioni ed assiomi Definizione 11 Un campo è un insieme K dotato di una operazione somma K K K, (x, y) x + y e di una operazione prodotto K K K, (x, y) xy tali che i) la somma

Dettagli

ESERCIZI SULLE MATRICI

ESERCIZI SULLE MATRICI ESERCIZI SULLE MATRICI Consideriamo il sistema lineare a, x + a, x + + a,n x n = b a, x + a, x + + a,n x n = b a m, x + a m, x + + a m,n x n = b m di m equazioni in n incognite che ha a, a,n A = a m, a

Dettagli

DIARIO DEL CORSO DI GEOMETRIA E ALGEBRA LINEARE

DIARIO DEL CORSO DI GEOMETRIA E ALGEBRA LINEARE DIARIO DEL CORSO DI GEOMETRIA E ALGEBRA LINEARE DOCENTI: S. MATTAREI (TITOLARE), G. VIGNA SURIA, D. FRAPPORTI Prima settimana. Lezione di martedí 23 febbraio 2010 Introduzione al corso: applicazioni dell

Dettagli

Corso di Laurea in Management e Marketing Esercizi di Algebra Lineare (1)

Corso di Laurea in Management e Marketing Esercizi di Algebra Lineare (1) Corso di Laurea in Management e Marketing Esercizi di Algebra Lineare (1) 1) Si stabilisca se ciascuno dei seguenti sottoinsiemi di R 2 è costituito da vettori linearmente indipendenti. Si determini la

Dettagli

Geometria analitica del piano pag 32 Adolfo Scimone

Geometria analitica del piano pag 32 Adolfo Scimone Geometria analitica del piano pag 32 Adolfo Scimone CAMBIAMENTI DI SISTEMA DI RIFERIMENTO Consideriamo il piano cartesiano R 2 con un sistema di riferimento (O,U). Se introduciamo in R 2 un secondo sistema

Dettagli

A m n B n p = P m p. 0 1 a b c d. a b. 0 a 0 c Il risultato e lo stesso solo nel caso in cui c = 0 e a = d.

A m n B n p = P m p. 0 1 a b c d. a b. 0 a 0 c Il risultato e lo stesso solo nel caso in cui c = 0 e a = d. Matematica II, 220404 Il prodotto di matrici e un operazione parziale che prende in entrata una matrice A ed una matrice B, tali che il numero delle colonne di A sia uguale al numero delle righe di B,

Dettagli

II Esonero di Matematica Discreta - a.a. 06/07. Versione B

II Esonero di Matematica Discreta - a.a. 06/07. Versione B II Esonero di Matematica Discreta - a.a. 06/07 1. Nell anello dei numeri interi Z: Versione B a. Determinare la scrittura posizionale in base 9 del numero che in base 10 si scrive) 5293 e la scrittura

Dettagli

LAUREA IN INGEGNERIA MECCANICA Corso di Matematica 2 I a prova parziale Padova Docenti: Cantarini Fiorot TEMA n.1

LAUREA IN INGEGNERIA MECCANICA Corso di Matematica 2 I a prova parziale Padova Docenti: Cantarini Fiorot TEMA n.1 LAUREA IN INGEGNERIA MECCANICA Corso di Matematica 2 I a prova parziale Padova 15-02-08 Docenti: Cantarini Fiorot TEMA n.1 PARTE 1. Quesiti preliminari Stabilire se le seguenti affermazioni sono vere o

Dettagli

(a) 8x 9y = 2, (b) 28x + 6y = 33.

(a) 8x 9y = 2, (b) 28x + 6y = 33. Dipartimento di Matematica e Informatica Anno Accademico 2016-2017 Corso di Laurea in Informatica (L-31) Prova scritta di Matematica Discreta (12 CFU) 28 Giugno 2017 Parte A A1 1 [10 punti] Dimostrare

Dettagli

ALGEBRA I: SOLUZIONI QUINTA ESERCITAZIONE 9 maggio 2011

ALGEBRA I: SOLUZIONI QUINTA ESERCITAZIONE 9 maggio 2011 ALGEBRA I: SOLUZIONI QUINTA ESERCITAZIONE 9 maggio 2011 Esercizio 1. Usando l algoritmo euclideo delle divisioni successive, calcolare massimo comune divisore e identità di Bézout per le seguenti coppie

Dettagli

Lezioni di Algebra Lineare. II. Aritmetica delle matrici e eliminazione di Gauss. versione ottobre 2008

Lezioni di Algebra Lineare. II. Aritmetica delle matrici e eliminazione di Gauss. versione ottobre 2008 versione ottobre 2008 Lezioni di Algebra Lineare II. Aritmetica delle matrici e eliminazione di Gauss Contenuto. 1. Somma di matrici e prodotto di una matrice per uno scalare 2. Prodotto di matrici righe

Dettagli

Appunti di Geometria - 3

Appunti di Geometria - 3 Appunti di Geometria - 3 Samuele Mongodi - smongodi@snsit Cambi di base nel duale Richiami Sia V uno spazio vettoriale di dimensione n sul campo K e sia V il suo duale Supponiamo di avere fissate due basi

Dettagli

ESAME DI MATEMATICA I parte Vicenza, 05/06/2017. x log 2 x?

ESAME DI MATEMATICA I parte Vicenza, 05/06/2017. x log 2 x? A. Peretti Svolgimento dei temi d esame di Matematica A.A. 6/7 ESAME DI MATEMATICA I parte Vicenza, 5/6/7 log? Domanda. Per quali valori di è definita l espressione L espressione è definita se l argomento

Dettagli

Dipendenza e indipendenza lineare

Dipendenza e indipendenza lineare Dipendenza e indipendenza lineare Luciano Battaia Questi appunti () ad uso degli studenti del corso di Matematica (A-La) del corso di laurea in Commercio Estero dell Università Ca Foscari di Venezia campus

Dettagli

Lezioni di Algebra Lineare con applicazioni alla Geometria Analitica Errata Corrige. Fulvio Bisi, Francesco Bonsante, Sonia Brivio

Lezioni di Algebra Lineare con applicazioni alla Geometria Analitica Errata Corrige. Fulvio Bisi, Francesco Bonsante, Sonia Brivio Lezioni di Algebra Lineare con applicazioni alla Geometria Analitica Errata Corrige Fulvio Bisi, Francesco Bonsante, Sonia Brivio DA GENNAIO 2015 1 Da gennaio 2015 Riportiamo di seguito gli errata corrige

Dettagli

Definizione 1 Una applicazione f : V W, con V, W spazi vettoriali sul campo K si dice lineare se conserva le combinazioni lineari:

Definizione 1 Una applicazione f : V W, con V, W spazi vettoriali sul campo K si dice lineare se conserva le combinazioni lineari: Applicazioni lineari Definizione Una applicazione f : V W, con V, W spazi vettoriali sul campo K si dice lineare se conserva le combinazioni lineari: f(αv + βv 2 ) = αf(v ) + βf(v 2 ) v, v 2 V, α, β K.

Dettagli

I teoremi della funzione inversa e della funzione implicita

I teoremi della funzione inversa e della funzione implicita I teoremi della funzione inversa e della funzione implicita Appunti per il corso di Analisi Matematica 4 G. Mauceri Indice 1 Il teorema della funzione inversa 1 Il teorema della funzione implicita 3 1

Dettagli

Corso di Matematica e Statistica 3 Algebra delle matrici. Una tabella rettangolare: la matrice. Una tabella rettangolare: la matrice

Corso di Matematica e Statistica 3 Algebra delle matrici. Una tabella rettangolare: la matrice. Una tabella rettangolare: la matrice Pordenone Corso di Matematica e Statistica 3 Algebra delle UNIVERSITAS STUDIORUM UTINENSIS Giorgio T. Bagni Facoltà di Scienze della Formazione Dipartimento di Matematica e Informatica Università di Udine

Dettagli