Corso di Laurea in Management e Marketing Esercizi di Algebra Lineare (1)

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1 Corso di Laurea in Management e Marketing Esercizi di Algebra Lineare (1) 1) Si stabilisca se ciascuno dei seguenti sottoinsiemi di R 2 è costituito da vettori linearmente indipendenti. Si determini la dimensione del sottospazio vettoriale generato da ciascun insieme ed una sua equazione cartesiana. A = {( 1, 3), (5, 15)} B = {(2, 5), (3, 6), (4, 10)} C = {( 2, 0)} D = {( 3, 5), (0, 0), (12, 20)} 2) Si mostri che i vettori di R 4 v 1 = (1, 0, 2, 0), v 2 = (0, 1, 1, 0) e v 3 = (0, 0, 0, 3) sono linearmente indipendenti. Si provi inoltre che il vettore v 4 = (2, 3, 1, 6) appartiene a Span(v 1, v 2, v 3 ). 3) Si stabilisca se ciascuno dei seguenti insiemi A i di vettori di R n (n si deduce dal numero di componenti del vettore) costituisce una base per lo spazio da essi generato Span(A i ). In caso contrario, si estragga da essi una base B i per Span(A i ). Si completi inoltre tale base B i in modo da ottenere una base B i del corrispondente spazio Rn. A 1 = {(1, 2, 0), (3, 0, 1), (5, 2, 2)} A 2 = {(2, 2, 5), ( 1, 1, 5 2 ), (0, 0, 0), (4, 4, 10)} A 3 = {(0, 1, 1), (1, 1, 1)} A 4 = {(2, 3, 0, 0), (3, 2, 0, 0), (0, 1, 2, 3), ( 1, 0, 2, 3)} A 5 = {( 2, 2), (1, 1)} A 6 = {(1, 0, 0, 1, 0), (5, 0, 0, 2, 6), (1, 0, 0, 0, 2), (2, 0, 0, 1, 2)} 4) Si stabilisca se ciascuno dei seguenti sottoinsiemi di R 3 è costituito da vettori linearmente indipendenti. Si determini la dimensione del sottospazio vettoriale generato da ciascun insieme ed una sua equazione cartesiana. A = {(0, 1, 0), (0, 2, 3)} B = {( 1, 2, 1), (0, 0, 1), (2, 4, 2), (4, 8, 3)} C = {(5, 1, 0), (0, 3, 1), (1, 1, 1)} D = {(3, 2, 2), (12, 8, 8), (1, 2 3, 2 3 )} E = {( 2 5, 1 5, 1 5 ), (2, 1, 1), (7, 2, 2)} F = {( 3 2, 1, 2 3 ), (9, 6, 4), ( 3, 2, 4 3 )} 5) Per quali valori di k R i vettori u = (1, 2, k), v = (2, 4, k) e w = (k, 2, k 1) costituiscono una base per R 3? 6) Per ciascuno dei seguenti sottospazi di R 2, di cui viene fornita l equazione cartesiana, si determini un equazione parametrica. S 1 ) y = 4x + 5 S 2 ) 3x 4y + 1 = 0 S 3 ) 2x + 2y = 2 y = 3 S 5 ) 2x + 5 S 6 ) 2 5 x = 3 10 y 1

2 7) Per ciascuno dei seguenti sottospazi di R 3, di cui viene fornita l equazione cartesiana, si determini un equazione parametrica e la relativa dimensione. S 1 ) x + 2y + 3 S 2 ) 2x 2y + 3z = 1 4x 4y + 6z = 2 2x + y + S 7 ) x + 3y 4 3x + 3y 2 x x + 2y S 5 ) 5x y 2z + 2 = 0 S 6 ) S 8 ) x 2y + 3z = 1 2x 3y + z = 2 3x 5y + 4 S 3 ) y = 3 S 9 ) 3x + z = 3 2x + 4y + 2z = 1 x = 5 2 y + 2z 1 = z 3y 8) In R 3, si determinino le equazioni cartesiane e parametriche degli assi x, y e z e dei piani xy, xz e yz. 9) Utilizzando il metodo di Gauss, si determinino le eventuali soluzioni in R 3 dei seguenti sistemi lineari. 2x 2y 3z = 1 x 2y + 5z = 2 2x + 2y + z = 7 b) 2y 6z = 3 4x 3y + 2z = 7 2x 2y + 4z = 7 4x + 3y 2x 2y + 3z = 1 c) 2x + 2z = 1 d) 3x + 2y + z = 5 3y 5z = 1 4x 3y + 6z = 2 10) Si determini per quali valori del parametro k R i seguenti sistemi ammettono soluzioni in R 2. Per 2x + ky = k x + 2y = 6 x + y = 2 b) 2x y = 2 + k c) kx + (k 2 3)y = k 2 3k x k 2 y = k + 2 4x + ky + y = k 11) Si determini per quali valori del parametro k R i seguenti sistemi ammettono soluzioni in R 3. Per 3x + 2ky 2z = 1 2y + kz = k b) 2ky + 9 = 3k 2k 2 2x + (k + 1)y + k 2 z = 1 y 4z = k 2 4x + (2k + 1)y + 4z = 4 k 2x + ky = 1 c) (2 k)x y + 4z = 2 x + y + 3z = 1 x 2y + (1 k)z = 1 3y + 2z = k

3 12) Si determini per quali valori del parametro k R i seguenti sistemi ammettono soluzioni in R 4. Per x + 2y + kt = 3 (1 k)x + y + z + t = 2 y + kt = 2 b) x + kt = 2 x + 3y + kz + (k 2 + 2k)t = k x y + 3z + t = 4 kx + ky + (k 2 4k)t = k 2 + 4k 13) In R 3 sono dati il piano { π passante per l origine e per i punti A(1, 2, 0) e B(1, 4, 3) e la retta r x + y kz = 1 di equazione cartesiana. Si determini l equazione cartesiana di π e si x + (k 1)y + 4z = k discuta la posizione reciproca di π ed r al variare del parametro k R. 14) { In R 3 sono dati il piano π di equazione 2x + 2y + 2z = 1 e l insieme di punti α di equazione x ky + 2z = 1, con k R. x + 2y k a. Per quali valori di k l insieme α è una retta? b. Si determini una rappresentazione parametrica di π. c. Si discuta la posizione reciproca di π ed α al variare di k R. { x + 2y 3z = 1 15) In R 3 sono dati la retta r di equazione e il piano π di equazione ax+y 3z = 4a, x + y + con a R. Si discuta la reciproca posizione di r e π al variare di a R. 16) Si determini l equazione { cartesiana della retta di R 3 passante per il punto P (3, 3, 1) e parallela x z + 1 = 0 alla retta di equazione 2x + y 2 = 0 17) Sia r la retta di R 3 avente equazione parametrica x = 2h + 2 y = 2h 1 z = 3h Si determini l equazione cartesiana del piano π contenente r e passante per il punto P (1, 0, 3). 18) Si verifichi che le due rette di R 3 r) 4x y 1 = 0 3x 2z 1 = 0 e s) x = h y = 2h + 1 z = 3h 1 sono incidenti e si determini l equazione cartesiana del piano π che contiene entrambe.

4 Soluzioni 1) I vettori di A sono linearmente dipendenti; dim(span(a)) = 1 (rett; y = 3x. I vettori di B sono linearmente dipendenti; dim(span(b)) = 2; lo spazio generato è quindi tutto R 2. L unico vettore di C è ovviamente linearmente indipendente; dim(span(c)) = 1 (rett;. I vettori di D sono linearmente dipendenti; dim(span(d)) = 1 (rett; y = 5 3 x. 2) I vettori sono linearmente indipendenti in quanto l unica combinazione lineare di essi che fornisce il vettore nullo (0, 0, 0, 0) si ha per scalari tutti nulli. Il vettore v 4 appartiene allo spazio da essi generato in quanto è ottenuto tramite una loro combinazione lineare: v 4 = 2v 1 3v 2 2v 3. 3) A 1 ) No. Una possibile base di Span(A 1 ) è B 1 = {(1, 2, 0), (3, 0, 1)}, che può essere completata, per esempio, nella base di R 3 B 1 = {(1, 2, 0), (3, 0, 1), (0, 0, 1)}. A 2 ) No. Una possibile base di Span(A 2 ) è B 2 = {(2, 2, 5)}, che può essere completata nella base di R 3 aggiungendo due qualunque vettori della base canonica: per esempio, B 2 = {(2, 2, 5), (1, 0, 0), (0, 1, 0)}. A 3 ) Sì. Dunque, B 3 = A 3. Tale base può essere completata in modo da ottenere una base di R 3 aggiungendo qualunque vettore linearmente indipendente dai due vettori di A 3 : per esempio, il vettore (1, 1, 0). Dunque, B 3 = {(0, 1, 1), (1, 1, 1), (1, 1, 0)}. A 4 ) No. Una possibile base di Span(A 4 ) è B 4 = {(2, 3, 0, 0), (3, 2, 0, 0), (0, 1, 2, 3)}, che può essere completata, per esempio, nella base di R 4 B 4 = {(2, 3, 0, 0), (3, 2, 0, 0), (0, 1, 2, 3), (0, 0, 1, 0)}, oppure in B 4 = {(2, 3, 0, 0), (3, 2, 0, 0), (0, 1, 2, 3), (0, 0, 0, 1)}. A 5 ) Sì. Poiché Span(A 5 ) = R 2, l insieme A 5 è già una base di R 2. A 6 ) No. Una possibile base di Span(A 6 ) è B 6 = {(1, 0, 0, 1, 0), (1, 0, 0, 0, 2)}. 4) I vettori di A sono linearmente indipendenti; dim(span(a)) = 2 (piano);. I vettori di B sono linearmente dipendenti; dim(span(b)) = 2 (piano); 2x +. I vettori di C sono linearmente indipendenti; dim(span(c)) = 3; lo spazio { generato è quindi tutto R 3. 2x 3 I vettori di D sono linearmente dipendenti; dim(span(d)) = 1 (rett; y + I vettori di E sono linearmente dipendenti; dim(span(e)) = 2 (piano); { y + 4x 9 I vettori di F sono linearmente dipendenti; dim(span(f )) = 1 (rett; 2y + 3 5) I tre vettori costituiscono una base per R 3 per k 0 k 1. 6) S 1 ) x = h y = 4h + 5 x = h y = 3 S 2 ) S 5 ) x = 4h y = 3h x = 5h y = 2h S 3 ) S 6 ) x = h y = h + 1 x = 3h 5 2 y = 4h 7) S 1 ) S 7 ) x = 2h 3k z = k x = h 3k z = 2k x = h S 2 ) S 3 ) z = 3h x = h S 5 ) y = 5h 2k + 2 S 6 ) z = k S 8 ) S 9 ) x = h y = 3 z = k x = h y = 2h 5 4 z = 3h + 3 x = 7h 2 y = 2h z = 6h 1 dim(s 1 ) = 2, dim(s 2 ) = 1, dim(s 3 ) = 2, dim( = 2, dim(s 5 ) = 2, dim(s 6 ) = 1 dim(s 7 ) = 0, dim(s 9 ) = 1. 8) Gli assi x, y e z hanno, rispettivamente, equazioni parametriche cartesiane,,. x = h,, z = h ed equazioni

5 9) Una soluzione: (1, 3, 1). b) Infinite souzioni dipendenti da un parametro: (z + 5, 3z + 3 2, z). c) Nessuna soluzione (sistema impossibile). d) Una soluzione: ( 2, 0, 1). 10) Per k 1 k 3 il sistema ammette una soluzione (dim(s) = 0). Per k = 1 il sistema è impossibile, mentre per k = 3 il sistema ammette infinite soluzioni dipendenti da un parametro, ovvero dim(s) = 1. b) Per k 2 il sistema è impossibile. Per k = 2 il sistema ammette una soluzione (dim(s) = 0). c) Per ogni valore k R il sistema ammette una soluzione (dim(s) = 0). 11) Per k 3 k 3 il sistema ammette una soluzione (dim(s) = 0). Per k = 3 il sistema ammette infinite soluzioni dipendenti da un parametro, e dunque dim(s) = 1. Per k = 3 il sistema è impossibile. b) Per k 2 k 2 il sistema ammette una soluzione (dim(s) = 0). Per k = 2 il sistema ammette infinite soluzioni dipendenti da un parametro, e dunque dim(s) = 1. Per k = 2 il sistema è impossibile. c) Per k 0 k 13 il sistema è impossibile. Per k = 13 il sistema ammette una sola soluzione (dim(s) = 0), mentre per k = 0 il sistema ammette infinite soluzioni dipendenti da un parametro (dim(s) = 1). 12) Per k 0 k 4 il sistema ammette una soluzione (dim(s) = 0). Per k = 0 il sistema ammette infinite soluzioni dipendenti da due parametri (dim(s) = 2), mentre per k = 4 il sistema è impossibile. b) Per ogni valore k R il sistema ammette infinite soluzioni dipendenti da un parametro (dim(s) = 1). 13) Il piano π ha equazione 2x + y + 2. Per k 0 k 1, la retta e il piano sono incidenti (si intersecano in un 2 punto). Per k = 0 k = 1, la retta è parallela al piano. 2 14) a. k 2. b. Una possibile rappresentazione parametrica di π è x = h y = k z = h k c. Per k 2 k 0, π ed α sono incidenti (si intersecano in un punto). Per k = 0, α è una retta che giace sul piano π (infatti, il sistema fra le equazioni di α e π ammette infinite soluzioni dipendenti da un parametro). Per k = 2, α coincide con l insieme vuoto (si veda quanto trovato al punto e pertanto π ed α non hanno punti in comune. 15) Per a = 1 5, la retta giace sul piano. Per a 1, la retta e il piano sono incidenti (si incontrano in un punto). 5 2x + y 9 = 0 16) La retta richiesta ha equazione cartesiana x z 4 = 0 17) Il piano π ha equazione x + y 1 = 0. 18) Il piano π ha equazione 18x + 3y 4z 7 = 0.