22 Novembre Sia T α : RP 1 RP 1 la trasformazione proiettiva determinata dalla matrice non

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1 Primo esonero di GEOMETRIA 3 - C. L. Matematica 22 Novembre Sia T α : RP 1 RP 1 la trasformazione proiettiva determinata dalla matrice non singolare ( ) α (a) Si determini, al variare del parametro reale α, il numero dei punti uniti della corrispondente trasformazione proiettiva T α. (b) Verificato che per α = 3 la trasformazione T α ha due punti uniti, se determini l invariante assoluto. 2. Sia S 2 piano geometrico proiettivo reale, ottenuto da un piano affine reale A 2 con Dati i punti A(0, 1) e X (1, 0, 0), si considerino i fasci di rette F(A) e F(X ), muniti entrambi di struttura canonica di retta geometrica proiettiva reale. Sia h : F(A) RP 1 il sistema coordinato associato alla coppia di rette (r 1, r 2 ), essendo r 1 : x = 0, r 2 : x y + 1 = 0. Sia h : F(X ) RP 1 il sistema coordinato associato alla coppia di rette (s 1, s 2 ), essendo s 1 : y = 0, s 2 : y = 2. Sia ω : F(A) F(X ) la proiettività avente equazione in h e h 2kk + 3k 1 = 0. (a) Si stabilisca se ω è una prospettività. (b) Considerata la retta r 3 : y = 1, si determini ω(t), essendo t il quarto armonico su F(A) dopo r 1, r 2, r 3.

2 16 Gennaio Sia S 2 piano geometrico proiettivo reale, ottenuto da un piano affine reale A 2 con Si considerino la retta r : x + 2y 1 = 0 munita di struttura canonica di retta geometrica proiettiva reale, e i punti A(1, 0), B( 3, 2), C( 1, 1). Sia ω : r r l involuzione avente C come punto unito e tale che ω(a) = B. (a) Si determini un equazione di ω. (b) Si determini il secondo punto unito di ω. 2. Fissato nel piano Euclideo E 2 un riferimento cartesiano R = (O, B), si consideri in E 2 i l iperbole C avente le rette r 1 : x y + 1 = 0 r 2 : x + y = 0 come asintoti e tale che i punti O e A(0, 2) siano coniugati rispetto a C. (a) Si determini un equazione di C. (b) Si determinino centro e assi di C. Q : x 2 + y 2 + kz 2 + 2kxz + x = 0, k R. (a) Si classifichi la quadrica Q al variare del parametro reale k. (b) Considerato il valore di k in corrispondenza del quale la quadrica è un paraboloide, si determini il centro di Q per tale valore.

3 30 Gennaio Sia S 2 piano geometrico proiettivo reale, ottenuto da un piano affine reale A 2 con Si considerino le rette r : x + y = 0, s : x = 0 munite entrambe di struttura canonica di retta geometrica proiettiva reale. Sia la prospettività di centro C(1, 1). ω : r s (a) Detti R e S i punti impropri di r e s rispettivamente, si determinino i punti A = ω 1 (S ) e B = ω(r ). (b) Sia h : r RP 1 il sistema coordinato associato alla coppia di punti (O, A). Sia h : s RP 1 il sistema coordinato associato alla coppia di punti (O, B). Si determini nei sistemi coordinati h e h un equazione di ω. 2. Fissato nel piano Euclideo E 2 un riferimento cartesiano R = (O, B), si consideri in E 2 i il fascio di coniche di equazione (a) Si determini il tipo di fascio. F : 4x 2 + (k 4)x + ky + 1 = 0, k R. (b) Si classifichino le coniche del fascio al variare del parametro reale k. (c) Si determinino centro e assi della generica conica non degenere del fascio. (a) Si classifichi Q. Q : x 2 + y 2 3xy + 4xz + x z = 0. (b) Si determini la retta r tangente a Q nel punto A(0, 1, 1) e parallela al piano π : x y = 0.

4 13 Febbraio Sia T : RP 1 RP 1 la trasformazione proiettiva avente il punto P = ϕ(1, 0) come unico punto unito e tale che (A B C T (C)) = 1 2 essendo A = ϕ(1, 1), B = ϕ(2, 1), C = ϕ(0, 3). (a) Si determini un equazione di T. (b) Si determini T 1 (C). 2. Si fissi nel piano Euclideo E 2 un riferimento cartesiano R = (O, B). (a) Si determini un equazione della parabola γ avente la retta a : x + y 1 = 0 come asse e tangente in A(1, 1) alla retta r : y = 1. (b) Si determini il vertice di γ. Q : y 2 + z 2 + xy y 4kz + 4 = 0. (a) Si stabilisca per quale valore parametro reale k, Q è un cono quadrico. (b) In corrispondenza di tale valore di k, si determini la generatrice di Q passante per il punto A( 4, 1, 0).

5 10 Aprile Sia S 2 un estensione complessa di un piano geometrico proiettivo reale, ottenuta da un estensione complessa di un piano Euclideo E 2 con l aggiunta della retta impropria. Si studi la cubica C di equazione C : x 3 2x 2 y 2 2xy = 0. Determinare, se possibile, una rappresentazione parametrica razionale di C. 2. Sia S 3 un estensione complessa di uno spazio geometrico proiettivo reale, ottenuta da un estensione complessa di uno spazio Euclideo E 3 con l aggiunta del piano improprio. Si fissi un sistema coordinato in S 3 dedotto da un riferimento di E 3. (a) Si classifichino le quadriche del fascio F : k(x 2 xy + y 2 ) + xy + z 2 2z = 0. (b) Detti Q 1 e Q 2 i due cilindri del fascio, si determinino equazioni della retta impropria contenente i vertici di Q 1 e Q Sia S 2 piano geometrico proiettivo reale ottenuto da un piano Euclideo E 2 con l aggiunta della retta impropria. Fissato un riferimento ortonormale R = (O, B) di E 2, si consideri la circonferenza C di centro O e raggio 1, munita di struttura di retta geometrica proiettiva reale. (a) Si determini un equazione della proiettività ω : C C avente i punti A(1, 0) e B(0, 1) come punti uniti e invariante assoluto 1. (b) Considerato il punto C(0, 1), si determinino ω(c) e ω 2 (C).

6 5 Giugno Sia S 2 piano geometrico proiettivo reale, ottenuto da un piano affine reale A 2 con Si considerino le rette r : x y = 0, s : x = 0, munite entrambe di struttura canonica di retta geometrica proiettiva reale, e i punti A(1, 1) e B(0, 3). Sia h : r RP 1 il sistema coordinato associato alla coppia di punti (O, A). Sia h : s RP 1 il sistema coordinato associato alla coppia di punti (O, B). (a) Si determini, nei sistemi coordinati h e h, un equazione della proiettività tale che ω : r s ω(a) = S, ω(r ) = B, ω(o) = O, dove R e S sono i punti impropri di r e s rispettivamente. (b) Si stabilisca se ω è una prospettività. 2. Fissato nel piano Euclideo E 2 un riferimento cartesiano R = (O, B), si consideri in E 2 i la parabola γ di centro C (1, 1, 0), tangente nel punto A(0, 1) alla retta r : 2x + y 1 = 0 e passante per B( 2, 2). (a) Si determini un equazione di γ. (b) Si determini l asse di γ. (a) Si classifichi Q. Q : x 2 + y 2 + z 2 xz 2yz = 0. (b) Considerato il punto P (1, 0, 0), si classifichi la conica intersezione di Q con il piano polare di P rispetto a Q. Si determinino inoltre i piani per P tangenti a Q.