CURVE E SUPERFICI / RICHIAMI

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1 M.GUIDA, S.ROLANDO, CURVE E SUPERFICI / RICHIAMI Di seguito ricordiamo brevemente come curve e superfici in R 2 o R 3 vengano rappresentate classicamente come insiemi di livello di campi scalari (forma cartesiana) o come immagini di funzioni vettoriali (forma parametrica). Una stessa curva o superficie può ammettere rappresentazioni sia cartesiana che parametrica, oppure di uno solo dei due tipi: si chiama curva o superficie un qualsiasi sottoinsieme di R 2 o R 3 che ammetta almeno una di tali rappresentazioni. Curve nel piano R 2 1) Curve in forma cartesiana: F (x, y) =c con c R costante ed F :domf R funzione continua su una regione dom F R 2 C è l insieme di livello c della funzione F,cioèC = F 1 (c) ={P dom F : F (P )=c}. Ovviamente un equazione del tipo F 1 (x, y) =F 2 (x, y) equivale a F 1 (x, y) F 2 (x, y) =0e quindi si riporta alla forma F (x, y) =c con F (x, y) =F 1 (x, y) F 2 (x, y) e c =0. Esempi. Rette. Sono le curve del piano rappresentate cartesianamente da equazioni del tipo ax + by + c =0 con a, b, c costanti reali e a, b non entrambi nulli, cioè F (x, y) =0con F (x, y) =ax + by + c (generico polinomio di 1 grado in x, y). Coniche. Sono le curve del piano rappresentate cartesianamente da equazioni del tipo a 11 x 2 +2a 12 xy + a 22 y 2 +2a 13 x +2a 23 y + a 23 =0 con a ij costanti reali e a 11,a 12,a 22 non tutti nulli, cioè F (x, y) =0con F (x, y) generico polinomio di 2 grado in x, y. Tra queste, ricordiamo gli esempi notevoli rappresentati nelle figure seguenti: (xx 0 ) 2 a 2 + (yy 0) 2 b 2 =1 ellisse di centro (x 0,y 0 ) esemiassia, b > 0 (xx 0 ) 2 a 2 (yy 0) 2 b 2 =1 iperbole di centro (x 0,y 0 ) e semiassi a, b > 0 Altriesempibennotisono: y = ax 2 + bx + c con a = 0 parabola con asse verticale x = ay 2 + by + c con a = 0 parabola con asse orizzontale xy = c con c = 0 iperbole avente gli assi di riferimento come asintoti x 2 + y 2 + ax + by + c =0 circonferenza di centro C = a 2, 2 b e raggio con a2 4 + b2 4 c>0 R = a b2 4 c. Grafici. Il grafico y = f (x) di una funzione continua f : I R R ammette rappresentazione cartesiana standard F (x, y) =0con F (x, y) =f (x) y.

2 2 M.GUIDA, S.ROLANDO, 2016 L equazione x 2 + y 2 2 = x 2 y 2 è una rappresentazione cartesiana della curva in figura (lemniscata di Bernoulli). 2) Curve in forma parametrica: x = x (t) y = y (t),ti con x, y : I R funzioni continue su un intervallo I R C è l immagine della funzione vettoriale continua : I R R 2 di funzioni componenti x (t),y(t) (parametrizzazione di C), cioè C =im = P R 2 : P = (t),ti. Una parametrizzazione èdetta: regolare se C 1 (I) erisulta (t) = 0 per ogni t I ; semplice se (t 1 )=(t 2 ) implica che t 1 = t 2 oppure t 1,t 2 sono entrambi estremi di I. Esempi. Rette. La funzione (t) =(x 0 + tu 1,y 0 + tu 2 ), t R, parametrizza la retta passante per (x 0,y 0 ) e parallela ad u = u 1 i + u 2 j. Coniche. L ellisse (xx 0) 2 + (yy 0) 2 =1ammette rappresentazione parametrica (regolare e a 2 b 2 semplice) x = x0 + a cos t,t[0, 2]. y = y 0 + b sin t Per a = b, si ottiene ovviamente la circonferenza di centro (x 0,y 0 ) e raggio R = a = b. I due rami dell iperbole (xx 0) 2 a (yy 0) 2 2 b =1hanno rappresentazioni parametriche (regolari 2 esemplici) x = x0 ± a cosh t (il segno + dà il ramo destro,,tr y = y 0 + b sinh t il segno quello sinistro ). Grafici. Il grafico y = f (x) di una funzione continua f : I R R ammette rappresentazione parametrica standard: x = t,ti. y = f (t) Tale parametrizzazione (t) =(t, f (t)) è ovviamente iniettiva (e quindi semplice) ed è regolare se f C 1 (I) (infatti risulta (t) =(1,f (t)) = (0, 0) per ogni t). La rappresentazione parametrica (regolare e semplice) x = t cos t y = t sin t, t [0, +) descrive la curva in figura (spirale di Archimede).

3 M.GUIDA, S.ROLANDO, Superfici nello spazio R 3 1) Superfici in forma cartesiana: S : F (x, y, z) =c con c R costante ed F :domf R funzione continua su una regione dom F R 3 S è l insieme di livello c della funzione F,cioèS = F 1 (c) ={P dom F : F (P )=c}. Ovviamente un equazione del tipo F 1 (x, y, z) =F 2 (x, y, z) si riporta alla forma F (x, y, z) =0 con F (x, y, z) =F 1 (x, y, z) F 2 (x, y, z). Esempi. Piani. Sono le superifici rappresentate cartesianamente da equazioni del tipo ax + by + cz + d =0 con a, b, c, d costanti reali e a, b, c non tutti nulli, cioè F (x, y, z) =0con F (x, y, z) generico polinomio di 1 grado in x, y, z. La sfera di centro (x 0,y 0,z 0 ) e raggio R ammette rappresentazione cartesiana (x x 0 ) 2 +(y y 0 ) 2 +(z z 0 ) 2 = R 2. Quadriche. Sono le superfici rappresentate cartesianamente da equazioni del tipo F (x, y, z) =0 con F (x, y, z) generico polinomio di 2 grado in x, y, z. Tra queste, ricordiamo il caso molto particolare delle sfere: x 2 + y 2 + z 2 + ax + by + cz + d =0 con a2 4 + b2 4 + c2 d>0. 4 Altre quadriche particolari sono gli ellissoidi, i paraboloidi e gli iperboloidi (v. Sezione 5). Grafici. Il grafico z = f (x, y) di una funzione continua f : D R 2 R ammette rappresentazione cartesiana standard F (x, y, z) =0con F (x, y, z) =f (x, y) z. L equazione x 2 + y 2 + z =16 x 2 + y 2 è una rappresentazione cartesiana della superficie in figura (toro). 2) Superfici in forma parametrica: x = x (u, v) con x, y, z : D R funzioni S : y = y (u, v), (u, v) D continue su una regione D R z = z (u, v) 2 S è l immagine della funzione vettoriale continua : D R 2 R 3 di funzioni componenti x (u, v),y(u, v),z(u, v) (parametrizzazione di S), cioè S =im = P R 3 : P = (u, v), (u, v) D. Una parametrizzazione èdetta: regolare se C 1 (D) erisulta u (u, v) v (u, v) = 0 per ogni (u, v) D ; semplice se (u 1,v 1 )=(u 2,v 2 ) implica (u 1,v 1 )=(u 2,v 2 ) oppure (u 1,v 1 ), (u 2,v 2 ) D.

4 4 M.GUIDA, S.ROLANDO, 2016 Esempi. Piani. La funzione (t, s) =(x 0 + tu 1 + sv 1,y 0 + tu 2 + sv 2,z 0 + tu 3 + sv 3 ), (t, s) R 2, parametrizza il piano passante per (x 0,y 0,z 0 ) e parallelo ad u = u 1 i + u 2 j + u 3 k e v = v 1 i + v 2 j + v 3 k. La sfera di centro (x 0,y 0,z 0 ) e raggio R ammette rappresentazione parametrica (regolare e semplice) x = x 0 + R sin cos y = y 0 + R sin sin, (, ) [0, 2] [0, ]. z = z 0 + R cos Grafici. Il grafico z = f (x, y) di una funzione continua f : D R 2 R ha rappresentazione parametrica standard: x = u y = v, (u, v) D. z = f (u, v) La parametrizzazione (u, v) =(u, v, f (u, v)) è ovviamente iniettiva (e quindi semplice) ed èregolaresef C 1 (D), perché u (u, v) v (u, v) =(f (u, v), 1) = 0 per ogni (u, v). La rappresentazione parametrica (regolare e semplice) x =3+cost y =2sint, (t, h) [0, 2] [0, 2] z = h descrive il tronco di cilindro parallelo all asse z compreso tra i piani z =0e z =2ed avente per base l ellisse x =3+cost, y =2sint, z =0 (ellisse di centro (3, 0, 0) e semiassi paralleli agli assi x, y di lunghezze a =1,b=2). La parametrizzazione (né regolare né semplice) x = u y = uv, (u, v) [1, 1] [1, 1] z = v 2 descrive la superficie in figura. Curve nello spazio R 3 1) Curve in forma parametrica: x = x (t) con x, y, z : I R funzioni y = y (t),ti continue su un intervallo I R z = z (t) C è l immagine della funzione vettoriale continua : I R R 3 di funzioni componenti x (t),y(t),z(t) (parametrizzazione di C), cioè C =im = P R 3 : P = (t),ti. Una parametrizzazione èdetta: regolare se C 1 (I) erisulta (t) = 0 per ogni t I ; semplice se (t 1 )=(t 2 ) implica che t 1 = t 2 oppure t 1,t 2 sono entrambi estremi di I.

5 Esempi M.GUIDA, S.ROLANDO, Rette. La funzione (t) = (x 0 + tu 1,y 0 + tu 2,z 0 + tu 3 ), t R, parametrizza la retta passante per (x 0,y 0,z 0 ) e parallela ad u = u 1 i + u 2 j + u 3 k. Eliche. Le rappresentazioni parametriche (regolari e semplici) x = R cos t x = t cos t y = R sin t, t [0, +) e y = t sin t, t [0, +) z = t z = t descrivono rispettivamente le curve in figura, dette elica cilindrica (di raggio R>0) ed elica conica. La circonferenza del piano z =1con centro (0, 0, 1) e raggio R ammette rappresentazione parametrica (regolare semplice) x = R cos t y = R sin t,t[0, 2]. z =1 2) Curve in forma cartesiana: F1 (x, y, z) =c 1 con S i : F i (x, y, z) =c i F 2 (x, y, z) =c 2 superfici cartesiane C = S 1 S 2 è l intersezione delle superfici S 1 e S 2. Esempi La circonferenza del piano z =1con centro (0, 0, 1) e raggio 2 ammette rappresentazione cartesiana x 2 + y 2 =4 (intersezione del cilindro x 2 + y 2 =4 z =1 con il piano z =1). La stessa circonferenza dell esempio precedente ammette rappresentazione cartesiana x 2 + y 2 + z 2 =5 (intersezione della sfera x 2 + y 2 + z 2 =5 z =1 con il piano z =1). 1. ELEMENTI (RETTE O PIANI) TANGENTI Senza ulteriori condizioni sulle funzioni coinvolte (cioè,,f, ecc.), le rappresentazioni precedenti possono individuare insiemi di punti che rispecchiano poco l idea intuitiva che si ha di curva o superficie. Ad esempio: l insieme di livello x 2 + y 2 =0(che, per definizione, è una curva nel piano) è costituito dal solo punto (x, y) =(0, 0) ; l insieme di livello sin x +siny =2(che, per definizione, è una curva nel piano) è costituito dai punti isolati (x, y) = 2 +2k, 2 +2h, h, k Z, inquantosin x +siny =2equivale a sin x =siny =1;

6 6 M.GUIDA, S.ROLANDO, 2016 (curve di Peano) esistono funzioni continue :[0, 1] R 2 la cui immagine (che, per definizione, è una curva nel piano) ricopre tutto il quadrato [0, 1] [0, 1]. Le condizioni di regolarità locale che permettono di definire l elemento tangente in un punto (v. sotto) assicurano invece che la curva o superficie si presenta, in un certo qual modo, liscia nell intorno di quel punto. Retta tangente ad una curva parametrica di R 2 o R 3. Sia P = (t) una curva parametrica in R 2 o R 3 esiap 0 = (t 0 ) un punto di C. Supponiamo che sia di classe C 1 in un intorno di t 0. Se (t 0 ) = 0, allora diciamo che P 0 èunpunto regolare di C echec ammette retta tangente nel punto P 0, data dalla retta passante per P 0 e parallela al vettore (t 0 ). Piano tangente ad una superficie parametrica. Sia S : P = (u, v) una superficie parametrica e sia P 0 = (u 0,v 0 ) un punto di S. Supponiamo che sia di classe C 1 in un intorno di (u 0,v 0 ) e ricordiamo che si definisce N (u 0,v 0 ):= u (u 0,v 0 ) v (u 0,v 0 ). Se N (u 0,v 0 ) = (0, 0, 0), allora diciamo che P 0 èunpunto regolare di S eches ammette piano tangente nel punto P 0, dato dal piano passante per P 0 ed ortogonale al vettore N (u 0,v 0 ). Retta tangente ad una curva cartesiana di R 2. Sia F (x, y) =c una curva cartesiana in R 2 esiap 0 C. Supponiamo che F sia di classe C 1 in un intorno di P 0. Se F (P 0 ) = (0, 0), allora diciamo che P 0 èunpunto regolare di C echec ammette retta tangente nel punto P 0, data dalla retta passante per P 0 ed ortogonale al vettore F (P 0 ). Piano tangente ad una superficie cartesiana. Sia S : F (x, y, z) =c una superficie cartesiana e sia P 0 S. Supponiamo che F sia di classe C 1 in un intorno di P 0. Se F (P 0 ) = (0, 0, 0), allora diciamo che P 0 èunpunto regolare di S eches ammette piano tangente nel punto P 0, dato dal piano passante per P 0 ed ortogonale al vettore F (P 0 ). Retta tangente ad una curva cartesiana di R 3. Sia F 1 (x, y, z) =c 1,F 2 (x, y, z) =c 2 una curva cartesiana in R 3 esiap 0 C. Supponiamo che F 1,F 2 siano di classe C 1 nell intorno di P 0. Se F 1 (P 0 ) F 2 (P 0 ) = (0, 0, 0), allora diciamo che P 0 èunpunto regolare di C echec ammette retta tangente nel punto P 0, data dalla retta passante per P 0 e parallela al vettore F 1 (P 0 ) F 2 (P 0 ) (cioè dall intersezione dei piani tangenti in P 0 alle superfici S 1 : F 1 (x, y, z) = c 1 e S 2 : F 2 (x, y, z) =c 2, i quali esistono e sono incidenti perché F 1 (P 0 ) F 2 (P 0 ) = 0). NOTA BENE. L elemento normale all elemento tangente ad una curva o superficie in un punto si dice anche elemento normale alla curva o superficie in quel punto. Osservazione. Se una stessa curva o superficie ammette rappresentazione sia parametrica che cartesiana ed un suo punto è regolare in entrambe le rappresentazioni, allora gli elementi tangenti ottenuti usando l una o l altra rappresentazione coincidono. Inoltre, usando indierentemente le rappresentazioni parametrica o cartesiana standard di un grafico z = f (x, y), siritrovainogni caso il piano tangente z = f (x 0,y 0 )+ f x (x 0,y 0 )(x x 0 )+ f y (x 0,y 0 )(y y 0 ), già definito tramite la formula di Taylor. Analogamente, usando indierentemente le rappresentazioni parametrica o cartesiana di un grafico y = f (x), si ritrova la ben nota retta tangente y = f (x 0 )+f (x 0 )(x x 0 ).

7 M.GUIDA, S.ROLANDO, CILINDRI Si chiama cilindro ogni superficie che sia unione di rette tutte parallele tra loro, le quali sono dette generatrici del cilindro. Se u è un vettore direttore delle sue generatrici, si dice che il cilindro è parallelo ad u. Ogni curva che incontri tutte le generatrici di un cilindro è detta direttrice del cilindro. Il cilindro con generatrici parallele ad u e di direttrice C è anche detto cilindro proiettante C secondo (la direzione di) u. Riconoscimento di cilindri Sia S : F (x, y, z) =c una superficie cartesiana non vuota 1. Se F (x, y, z) non dipende da x oday odaz, alloras è un cilindro con generatrici parallele all asse coordinato della variabile assente. Esempio. L equazione 3y 2 2z 2 =2 rappresenta il cilindro parallelo all asse x che interseca il piano yz secondo l iperbole 3y 2 2z 2 =2 x =0 (direttrice del cilindro). Altri richiami Eliminando, se possibile, il parametro dalle equazioni parametriche di una curva C in R 3,si ottiene una rappresentazione cartesiana di C come intersezione di cilindri paralleli a due assi coordinati. Esempio. La curva parametrica x = t y = t 2 z = t 2 t è anche rappresentata dalla equazioni y = x 2 z = x 2 x (intersezione di due cilindri). Eliminando, se possibile, un incognita da una rappresentazione cartesiana di una curva C in R 3, si ottiene un altra rappresentazione cartesiana di C come intersezione di una delle superfici di partenza con un cilindro parallelo all asse coordinato della variabile eliminata. Esempio. La circonferenza x + y + z =3 x 2 + y 2 + z 2 2x 2y +1=0 (intersezione piano-sfera) è anche individuata da z =3xy x 2 + y 2 4x 4y + xy +5=0 (intersezione piano-cilindro). 1 Ad esempio, l equazione x 2 + y 2 = 1 rappresenta l insieme vuoto.

8 8 M.GUIDA, S.ROLANDO, CONI Si chiama cono ogni superficie che sia unione di rette (generatrici del cono) tutte passanti per uno stesso punto (vertice del cono). Ogni curva che incontri tutte le generatrici di un cono in punti diversi dal vertice è detta direttrice del cono. Il cono di vertice V e direttrice C è anche detto cono proiettante C da V. Riconoscimento di coni Sia S : F (x, y, z) =0(nota: c =0) una superficie cartesiana non ridotta ad un solo punto 2. Se F (x, y, z) è una somma di monomi dello stesso grado, allora S èuncono con vertice nell origine. Esempio. L equazione 4x 2 + y 2 z 2 =0 rappresenta il cono con vertice nell origine che interseca il piano z =1secondo l ellisse 4x 2 + y 2 =1 z =1 (direttrice del cono). 4. SUPERFICIDIROTAZIONE Si chiama superficie di rotazione ogni superficie S che sia unione di circonferenze tutte giacenti su piani ortogonali ad una retta a ed aventi centro su a. Tali circonferenze sono dette paralleli di S elarettaa èdettaasse di rotazione di S. Le curve ottenute intersecando S conipianipassantipera sono dette meridiani di S. Ogni curva che incontri tutti i paralleli di una superficiedirotazioneèdettageneratrice della superficie e la superficie può essere vista come ottenuta dalla rotazione di una sua generatrice qualsiasi attorno all asse di rotazione. Osserviamo che ogni meridiano è una generatrice, ma non viceversa. Riconoscimento di superfici di rotazione Sia S : F (x, y, z) =c una superficie cartesiana non ridotta ad un solo punto 2. Se F (x, y, z) dipende da due delle sue variabili solo attraverso la somma dei loro quadrati, allora S è una superficie di rotazione attorno all asse coordinato della terza variabile; una generatrice si ottiene intersecando S con un qualsiasi piano contenente l asse di rotazione. Esempio. Lasuperficie S : e x2 y 2 z =0è la rotazione attorno all asse z della curva e x2 y 2 z =0 x =0, ossia del grafico z = e y2 x =0. 2 Ad esempio, l equazione x 2 + y 2 + z 2 =0rappresenta un solo punto (l origine).

9 M.GUIDA, S.ROLANDO, QUADRICHE NON DEGENERI IN FORMA CANONICA Si chiama quadrica ogni superficie cartesiana del tipo Q : a 11 x 2 + a 22 y 2 + a 33 z 2 +2a 12 xy +2a 13 xz +2a 23 yz +2a 14 x +2a 24 y +2a 34 z + a 44 =0 con a ij costanti reali e a 11,a 12,a 13,a 22,a 23,a 33 non tutti nulli, cioè Q : F (x, y, z) =0con F (x, y, z) generico polinomio di 2 grado in x, y, z. In questa sezione ci occupiamo solo della visualizzazione grafica di alcune quadriche particolari 3 : le cosiddette quadriche non degeneri (ossia ellissoidi, iperboloidi e paraboloidi) in forma canonica (ossia disposte in modo speciale rispetto agli assi del riferimento e per questo rappresentate da equazioni particolarmente semplici). ELLISSOIDI in forma canonica Sono le quadriche Q rappresentate da un equazione del tipo: x 2 + y 2 + z 2 = con > 0 ecoecienti,, concordi tra loro. Se,, sono tutti negativi, allora Q è l insieme vuoto e si parla di ellissoide immaginario. Se invece,, sono tutti positivi, allora Q èdettoellissoide reale, o semplicemente ellissoide; in tal caso, riscrivendo l equazione di Q nella forma Q : x 2 a 2 + y2 b 2 + z2 c 2 =1 (a 2 = /, ecc.),icoecienti a, b, c si dicono semiassi di Q ed hanno significato geometrico analogo a quello dei semiassi dell ellisse (cf. figura). Un ellissoide è di rotazione se e solo se ha almeno due semiassi uguali tra loro (in tal caso viene anche detto sferoide) ed è una sfera se e solo se a = b = c. IPERBOLOIDI IPERBOLICI (o AD UNA FALDA) in forma canonica Sono le quadriche Q rappresentate da un equazione del tipo x 2 + y 2 + z 2 = con > 0 econuncoeciente,, negativo e due positivi. A seconda delle possibili combinazioni dei segni dei coecienti,,, l iperboloide Q può avere tre configurazioni diverse (riportate in figura), che ritraggono sostanzialmente la stessa superficie disposta in tre posizioni diverse rispetto agli assi. Ai fini di una rappresentazione grafica di Q, basta allora tener presente la forma comune alle tre configurazioni e riconoscere la configurazione specifica intersecando Q con i piani coordinati. > 0, > 0, < 0 interseca z =0in un ellisse (x =0e y =0in iperboli) > 0, < 0, > 0 interseca y =0in un ellisse (x =0e z =0in iperboli) < 0, > 0, > 0 interseca x =0in un ellisse (y =0e z =0in iperboli) 3 Lo studio generale delle quadriche richiede strumenti dell algebra lineare e sarà ripreso a fine corso.

10 10 M.GUIDA, S.ROLANDO, 2016 L iperboloide ad una falda è una superficie rigata (cioè unione di rette) ed è di rotazione se e solo se i due coecienti positivi della sua equazione sono uguali tra loro. IPERBOLOIDI ELLITTICI (o A DUE FALDE) in forma canonica Sono le quadriche Q rappresentate da un equazione del tipo x 2 + y 2 + z 2 = con > 0 e con due coecienti,, negativi e uno positivo. Per una rappresentazione grafica di Q, valgono le considerazioni già fatte per l iperboloide a una falda. < 0, < 0, > 0 non interseca z =0 (x =0e y =0in iperboli) < 0, > 0, < 0 non interseca y =0 (x =0e z =0in iperboli) > 0, < 0, < 0 non interseca x =0 (y =0e z =0in iperboli) L iperboloideaduefaldeèdirotazioneseesoloseiduecoecienti negativi della sua equazione sono uguali tra loro. PARABOLOIDI ELLITTICI in forma canonica Sono le quadriche Q rappresentate da un equazione di uno dei seguenti tipi: x 2 + y 2 =2z, x 2 + z 2 =2y, y 2 + z 2 =2x con > 0 e, concordi. A seconda del tipo di equazione e del segno di, (entrambi positivi o entrambi negativi), il paraboloide Q può avere sei configurazioni diverse (riportate in figura), che ritraggono sostanzialmente la stessa superficie disposta in modo diverso rispetto agli assi. Per disegnare Q, basta allora tener presente la forma comune alle sei configurazioni e riconoscere quella specifica intersecando Q con piani ortogonali all asse della variabile che appare al primo grado nell equazione. x 2 + y 2 =2z,, > 0 interseca z = k>0 in ellissi (x =0e y =0in parabole) x 2 + z 2 =2y,, > 0 interseca y = k>0 in ellissi (x =0e z =0in parabole) y 2 + z 2 =2x,, > 0 interseca x = k>0 in ellissi (y =0e z =0in parabole)

11 M.GUIDA, S.ROLANDO, x 2 + y 2 =2z,, < 0 interseca z = k<0 in ellissi (x =0e y =0in parabole) x 2 + z 2 =2y,, < 0 interseca y = k<0 in ellissi (x =0e z =0in parabole) y 2 + z 2 =2x,, < 0 interseca x = k<0 in ellissi (y =0e z =0in parabole) Il paraboloide ellittico è sempre un grafico ed è di rotazione se e solo se =. PARABOLOIDI IPERBOLICI (o A SELLA) in forma canonica Sono le quadriche Q rappresentate da un equazione di uno dei seguenti tipi: x 2 + y 2 =2z, x 2 + z 2 =2y, y 2 + z 2 =2x con > 0 e, discordi. A seconda del tipo di equazione e dei segni di e, il paraboloide Q può avere sei configurazioni diverse, riportate in figura. Per rappresentare graficamente Q, bastatenerpresentelaforma comune alle sei configurazioni e riconoscere quella specifica intersecando Q con i due piani coordinati contenenti l asse della variabile che appare al primo grado nell equazione. x 2 + y 2 =2z > 0, < 0 interseca x =0e y =0 in parabole (z = k in iperboli) x 2 + z 2 =2y > 0, < 0 interseca x =0e z =0 in parabole (y = k in iperboli) y 2 + z 2 =2x > 0, < 0 interseca y =0e z =0 in parabole (x = k in iperboli) x 2 + y 2 =2z < 0, > 0 interseca x =0e y =0 in parabole (z = k in iperboli) x 2 + z 2 =2y < 0, > 0 interseca x =0e z =0 in parabole (y = k in iperboli) y 2 + z 2 =2x < 0, > 0 interseca y =0e z =0 in parabole (x = k in iperboli) Il paraboloide iperbolico è una superficie rigata, è sempre un grafico e non è mai di rotazione.