( ρ, θ + π ) sono le coordinate dello stesso punto. Pertanto un punto P può essere descritto come

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1 Coordinate polari Il sistema delle coordinate cartesiane è uno dei possibili sistemi per individuare la posizione di un punto del piano, relativamente ad un punto fisso O, mediante una coppia ordinata di numeri Un altro sistema è quello delle coordinate polari Un riferimento polare è individuato da: 1un punto O detto polo o origine una semiretta orientata per O, detta asse polare 3un'unità di misura per i segmenti Ad ogni coppia (ordinata) di numeri ( ρ, θ ) corrisponde uno ed un solo punto P del piano Il, viceversa non è vero Alla coppia ( ρ, θ ) corrisponde il punto P: a la cui distanza da O, misurata con la prefissata unità di misura, è ρ : OP b che giace sulla semiretta di origine O, che forma con l'asse polare un angolo θ, orientato nel verso antiorario e misurato in radianti (vedi figura 1 e ) Viceversa un punto P può venire descritto come ( ρ θ kπ ), + dove k è un intero positivo qualsiasi, incluso lo zero In particolare le coordinate polari del polo possono essere date come (,θ ) con θ arbitrario Il numero ρ strettamente positivo è detto raggio vettore di P, mentre l'angolo θ, che è determinato a meno di multipli di π, è detto anomalia di P Il punto P ( ρ,θ ) appartiene alla semiretta opposta alla semiretta di anomalia θ ovvero ( ρ,θ ) e ( ρ, θ + π ) sono le coordinate dello stesso punto Pertanto un punto P può essere descritto come ρ θ kπ ρ, θ ± k + 1 π vedi esempio successivo (, ± ) o ( ( ) ) Osservazioni 1 Tutti i punti del piano si ottengono prendendo il valore principale dell'anomalia, cioè facendo variare ϑ da zero incluso a π escluso Però la limitazione ϑ π conduce a discontinuità per i punti dell'asse polare: se un punto P si muove su un arco di curva che attraversi l'asse polare in un punto M, la sua anomalia tenderebbe a zero ovvero a π a seconda che P si avvicini ad M da una parte o dall'altra Per questo si preferisce definire l'anomalia a meno di multipli di π Il luogo dei punti che hanno un dato raggio vettore: a, è la circonferenza di centro O e raggio a 3 Il luogo dei punti che hanno una data anomalia ( ϑ = ϑ ) è la semiretta per O che forma l'angolo ϑ con l'asse polare, mentre la semiretta opposta è il luogo dei punti la cui anomalia è ϑ + π Esempio

2 Il punto P 1, π ha le seguenti rappresentazioni: 4 P 1, π P 7 1, π 4 4 P 5 3 1, π P 1, π , π 3 1, π 4 4 Queste rappresentazioni e tutte le altre si possono riassumere nelle due formule π 5 1, ± kπ 1, ± kπ k =, 1, 4 4 Cambiamento di variabile

3 Un riferimento cartesiano ortogonale ed un riferimento polare si dicono associati se: 1 l origine dell un coincide con il polo dell altro il semiasse positivo dell asse coincide con il semiasse polare 3 l unità di misura per i segmenti è la stessa per i due riferimenti Nelle condizioni precedenti ogni punto P del piano, distinto da O, ha due coordinate polari ( ρ,) e due coordinate cartesiane (, y) Le formule di passaggio dalle coordinate polari a quelle cartesiane sono date da = ρ cosθ e y = ρ sinθ Le formule inverse,che esprimono le coordinate polari in funzione delle coordinate cartesiane, sono date da + y cosθ = + y sinθ = y + y tan θ = y queste ultime individuano univocamente l anomalia θ Esempi di curve in coordinate polari La curva, la cui equazione in coordinate polari è f ( ϑ) o F ( ρ, ϑ) = distinti ( ϑ), consiste di tutti i punti ρ, che soddisfano l equazione Sussistono i seguenti criteri di simmetria Ecco alcuni esempi di curve in coordinate polari,i cui grafici sono mostrati in figura 1 Le curve le cui equazioni in coordinate polari sono: Dove = a ( 1+ ), a ( 1 cosϑ) = a ( 1+ ), a ( 1 sinϑ) ρ cosϑ ρ sinϑ ϑ π vengono dette cardioidi, in quanto il loro grafico ha la forma di cuore f ϑ = a 1± cosϑ e g ( ϑ) = a( 1± sinϑ) sono rispettivamente simmetriche f ϑ = f ϑ g π ϑ = g ϑ Le funzioni ( ) ( ) rispetto all'asse e all'asse y Infatti risulta ( ) ( ) e ( ) ( ) Le equazioni a cos ϑ, a cos ϑ a sin ϑ, a sin ϑ rappresentano curve a forma di eliche centrate nell'origine chiamate lemniscate Si osserva che le funzioni f ( ϑ) = ±a cos ϑ sono simmetriche rispetto all'asse e all'asse y f π ϑ = f ϑ Infatti ( ) ( )

4 Le funzioni G ( ρ, ϑ) ρ ± a sin ϑ infatti è G ( ρ, ϑ) = G( ρ, ϑ) = sono simmetriche rispetto all'origine 3 Le equazioni aϑ a, aϑ a rappresentano spirali, note come spirali di Archimede, che si avvolgono intorno all'origine, ϑ rispettivamente nel verso antiorario ( ϑ ) e nel verso orario ( ) Osservazioni i L equazione f ( ϑ) f = in coordinate polari ha nel piano y lo stesso grafico della coppia di equazioni parametri = f ( ϑ) cosϑ, y = f ( ϑ) sinϑ Esempio la spirale ϑ ha equazioni parametriche ii Per tracciare il grafico di una curva f ( ϑ) = ϑ cosϑ, y = ϑ sinϑ f = data in coordinate polari è opportuno calcolare il valore di ρ per alcuni valori ϑ trovare i punti in cui ρ e f ( ϑ) sono uguali a zero studiare il segno di f ( ϑ) individuare le eventuali simmetrie Equazioni polari di vari tipi di rette e circonferenze 1 La retta parallela all asse y (ovvero perpendicolare all asse ) e passante per il punto di a, ha equazione coordinate ( )

5 = a per esprimere questa equazione in coordinate polari sostituiamo ciò da = ρ cosθ ρ cos θ = a ovvero a cosθ La retta parallela all asse (ovvero perpendicolare all asse y) e passante per il punto di,b ha equazione coordinate ( ) y = b per esprimere questa equazione in coordinate polari sostituiamo ciò da y = ρ sinθ ρ sin θ = b ovvero b sinθ 3 Per esprimere l equazione di una retta passante per l origine: y = m in coordinate polari sostituiamo ciò da = ρ cosθ e y = ρ sinθ da cui ρ sinθ = mρ cosθ ovvero tan θ = m θ arctan m m θ = ovvero θ = θ θ arctan m + π m < Dove θ è l angolo che la retta per l origine forma con l asse polare 4 Sostituendo = ρ cosθ e y = ρ sinθ nell equazione y = m + n otteniamo l equazione generale di una retta in coordinate polari: ρ sin θ = ρ m cosθ + n ovvero n sinθ m cosθ

6 5 Sostituendo = ρ cosθ e y = ρ sinθ nelle equazioni delle seguenti circonferenze: i ) + y = a a > ii ) + y = a iii ) + y = ay iv ) + y = ay si ottengono le corrispondenti equazioni in coordinate polari: i ) a cosθ a > ii ) a cosθ iii ) asinθ iv ) a sinθ Ovviamente l equazione in coordinate polari della circonferenza = + y a è a a > Osservazione L equazione ρ f ( θ ) = in coordinate polari ha nel piano y lo stesso grafico della curva di equazioni parametriche = f ( θ ) cosθ y = f ( θ ) sinθ Per esempio la spirale ha equazioni parametriche = θ cosθ y = θ sinθ