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2 DEFINIZIONE Un vettore (libero) è un ente geometrico rappresentato da un segmento orientato caratterizzato da tre parametri: 1. modulo: la lunghezza del segmento 2. direzione: coincidente con la direzione individuata dalla retta che contiene il segmento 3. verso: definito dall orientamento del segmento

3 Un estremo del vettore (segmento) viene detto punto di applicazione, l altro (punta o vertice) viene indicato con una freccia che ne individua il verso. Le notazioni più usate per indicare un vettore sono v o v (grassetto). Per il suo modulo v o v Tutti i vettori (liberi) che hanno stesso modulo, direzione (rette parallele) e verso sono da considerarsi indistinguibili, rappresentano cioè lo stesso vettore indipendentemente dal punto di applicazione.

4 Somma tra vettori Segue la Regola del Parallelogramma Dato un vettore a, si definisce vettore opposto e si indica con a un vettore che ha stesso modulo e direzione del primo ma verso opposto. Vale a+ ( a) = 0 dove con 0 si indica il vettore nullo, un vettore degenere di modulo pari a zero.

5 Proprietà della somma La soma di due vettori è ancora un vettore che giace nel piano da loro individuato. Quindi la somma vettoriale è una legge di composizione interna Essa gode delle stesse proprietà della somma tra numeri comprese, come abbiamo visto, esistenza dell opposto e dell elemento neutro. Possiamo definire la differenza tra vettori come la somma del primo con l opposto del secondo. a b = a+ b ( )

6 Prodotto per uno scalare Il prodotto di un vettore per uno scalare k è ancora un vettore che ha stessa direzione del vettore di partenza, modulo pari a k a e verso concorde ad a se k > 0 discorde se k < 0. Questa operazione gode delle proprietà associativa, distributiva sia rispetto alla somma di scalari che di vettori e esistenza dell elemento neutro (k=1). a

7 Altre operazioni tra vettori sono: Prodotto Scalare (prodotto interno) Prodotto Vettoriale (prodotto esterno)

8 VETTORI IN COMPONENTI Introduciamo nel piano un sistema di coordinate cartesiano ortogonale. Dato un vettore (libero) qualsiasi consideriamo il solo vettore a ad esso equivalente il cui punto di applicazione coincide con l origine del sistema. Facciamo corrispondere al vettore il punto che coincide con il suo vertice. Così facendo abbiamo di fatto realizzato una corrispondenza biunivoca tra i vettori e i punti del piano e anche con tutte le coppie ordinate di numeri reali. Su quest ultima corrispondenza si basa la definizione del vettore come ente matematico.

9 Definizione Si dice versore â un vettore di modulo unitario. In particolare si indica con ˆx il versore con punto di applicazione l origine degli assi che giace sull asse delle ascisse e che ha verso positivo e con ŷ quello con punto di applicazione l origine degli assi che giace sull asse delle ordinate e ha verso positivo.

10 Ogni vettore che giace sull asse delle ascisse si potrà allora scrivere come a = a xˆ x Una analoga relazione vale per i vettori che giacciono sull asse delle ordinate a ˆ y = ay y Dove a e a sono due numeri reali. x y x

11 Ciò detto si può facilmente verificare che, dato un qualsiasi vettore a con punto di applicazione nell origine vale la relazione a = a cosϑ xˆ+ a sinϑ yˆ ( ) ( ) che si può scrivere anche ax = a cosϑ a = a ˆ ˆ x x+ ay y con ay = a sinϑ

12 dove ϑ è l angolo che il vettore forma col semiasse positivo delle ascisse. ax e ay prendono il nome di componenti (cartesiane) del vettore a e si ha a = a + a 2 2 x y ϑ = 2arctan 2 2 x y x Il procedimento fin qui indicato può essere facilmente esteso al caso tridimensionale. a y a + a + a

13 Il vantaggio di scomporre i vettori in componenti cartesiane risiede nel fatto che molte delle operazioni tra vettori si semplificano. Vediamole in dettaglio nel caso tridimensionale.

14 Esistono molte grandezze fisiche che sono di natura vettoriale, vale a dire che sono contraddistinte da modulo, direzione e verso. Appare ovvio metterle in relazione con i vettori come enti geometrici così come li abbiamo introdotti. Questo è possibile a patto di passare dal concetto di vettore libero a quello di vettore applicato.

15 DEFINIZIONE Un vettore applicato è un ente geometrico rappresentato da un segmento orientato caratterizzato da quattro parametri: 1. modulo: la lunghezza del segmento 2. direzione: coincidente con la direzione individuata dalla retta che contiene il segmento 3. verso: definito dall orientamento del segmento 4. Punto di applicazione: le coordinate del punto di applicazione

16 Tutte le operazioni definite per i vettori liberi continuano ad essere utilizzabili anche per i vettori applicati a patto che abbiano lo stesso punto di applicazione. Del resto non ha senso in ambito fisico parlare per esempio di somma di due vettori rappresentanti la stessa grandezza fisica se non applicati allo stesso punto materiale o a uno stesso punto di un corpo rigido (a meno che non esista un vincolo ben preciso tra i due punti).

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