LEZIONE 23. ax 2 + bxy + cy 2 + dx + ey + f

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "LEZIONE 23. ax 2 + bxy + cy 2 + dx + ey + f"

Transcript

1 LEZIONE Riduzione delle coniche a forma canonica. Fissiamo nel piano un sistema di riferimento Oxy e consideriamo un polinomio di grado 2 in x, y a meno di costanti moltiplicative non nulle, diciamo ax 2 + bxy + cy 2 + dx + ey + f (a, b, c, d, e, f R). Nella precedente lezione ci siamo posti il problema di descrivere il luogo geometrico (eventualmente vuoto) C { P (x, y) ax 2 + bxy + cy 2 + dx + ey + f 0 }. Abbiamo visto che tale luogo può essere un ellisse, un iperbole, una parabola (coniche classiche) o qualcos altro. Per tale motivo è opportuno introdurre la seguente definizione Definizione Una conica C nel piano (rispetto ad un fissato sistema di riferimento Oxy) è il dato di un equazione della forma ax 2 + bxy + cy 2 + dx + ey + f 0 (a, b, c, d, e, f R, a, b, c non simultaneamente nulli) a meno di costanti moltiplicative non nulle. Se C è la conica ax 2 + bxy + cy 2 + dx + ey + f 0, molto spesso, nel seguito, utilizzeremo la locuzione la conica C di equazione ax 2 +bxy +cy 2 +dx+ey +f 0. Abbiamo visto come cambia l equazione di una conica (nel senso della definizione sopra) quando operiamo nel piano una rototraslazione: la nuova equazione si ottiene sostituendo alle variabili x, y la loro espressione in funzione delle nuove variabili. Come prima cosa osserviamo che l equazione di cui sopra si può sempre scrivere nella forma (23.1.2) a 1,1 x 2 + 2a 1,2 xy + a 2,2 y 2 + 2a 1,3 x + 2a 2,3 y + a 3,3 0 per opportuni a i,j R (sarà chiara fra poco la maggiore convenienza di una tale notazione rispetto alla precedente). Si tratta di trovare un sistema di riferimento O x y nel piano con coordinate x, y in modo tale che l Equazione (23.1.3) divenga più semplice e, soprattutto, riconoscibile: per esempio potremmo desiderare d avere un equazioni canonica nel senso della seguente definizione. 1 Typeset by AMS-TEX

2 RIDUZIONE DELLE CONICHE A FORMA CANONICA Definizione Nel piano sia fissato un sistema di riferimento Oxy e sia C una conica. Diciamo che C è in forma canonica (o che Oxy è un sistema di riferimento canonico per C) se l equazione di C è della forma ( ) αx 2 + βy 2 γ, βy 2 2γx per qualche α, β, γ R. Dobbiamo quindi passare dal vecchio riferimento Oxy ad un nuovo riferimento O x y rispetto a cui C sia in forma canonica. Per individuare l angolo di rotazione ϕ e l origine O del nuovo sistema di riferimento faremo uso della teoria delle forme quadratiche vista in precedenza. All Equazione (23.1.2) si possono associare facilmente le due forme quadratiche a 1,1 x 2 + 2a 1,2 xy + a 2,2 y 2, a 1,1 x 2 + 2a 1,2 xy + a 2,2 y 2 + 2a 1,3 xt + 2a 2,3 yt + a 3,3 t 2 le cui matrici (simmetriche) sono, rispettivamente, ( a1,1 a A 1,2 a 1,2 a 2,2 ), B a 1,1 a 1,2 a 1,3 a 1,2 a 2,2 a 2,3 a 1,3 a 2,3 a 3,3 e dette rispettivamente matrice dei termini di secondo grado della conica e matrice (completa) della conica. Si noti che (x, y, 1)B x y 1 a 1,1 x 2 + 2a 1,2 xy + a 2,2 y 2 + 2a 1,3 x + 2a 2,3 y + a 3,3. Esempio Nel piano con fissato sistema di riferimento Oxy si consideri la conica C di equazione 3x 2 + 2xy + 3y x 0. Allora la matrice dei termini di scondo grado di C e la matrice di C sono rispettivamente 3 1 A, B Sia ora O x y un nuovo sistema di riferimento nel piano legato ad Oxy da una certa rototraslazione x cos ϕ sin ϕ x u y sin ϕ cos ϕ y + v

3 LEZIONE 23 3 (si veda la Proposizione ) e supponiamo che C sia rappresentata rispetto a tale sistema dall equazione (x, y, 1)B x y 1 0 Qual è allora il legame tra B e B? Chiaramente la rototraslazione di cui sopra si può scrivere in forma compatta x y 1 Sostituendo otteniamo allora la seguente cos ϕ sin ϕ u sin ϕ cos ϕ v x y 1 Proposizione Nel piano siano fissati due sistemi di riferimento Oxy e O x y. Si assuma che il semiasse positivo delle x formi un angolo ϕ (misurato in senso antiorario) con il semiasse positivo delle x e che le coordinate di O rispetto al sistema di riferimento Oxy siano (u, v). Poniamo Q cos ϕ sin ϕ u sin ϕ cos ϕ v ( cos ϕ sin ϕ, P sin ϕ cos ϕ Sia poi C una conica rispettivamente avente matrici complete B e B e matrici del complesso dei termini di grado 2 A ed A nei due sistemi di riferimento. Allora esiste λ R non nullo e tale che λb t QBQ e λa t P AP. Si comprende quindi che, data una conica C di Equazione (23.1.2), per determinare una sua equazione canonica si può procedere come segue. Si determina prima una matrice ortogonale speciale che diagonalizzi la matrice A del complesso dei termini di secondo grado di C. In questo modo l equazione di C viene trasformata in una della forma â 1,1 x 2 + â 2,2 ŷ 2 + 2â 1,3 x + 2â 2,3 ŷ + â 3,3 0. Ciò equivale a una rotazione che ci fa passare dal vecchio sistema di riferimento Oxy ad un sistema di riferimento ausiliare O xŷ. A questo punto con trasformazioni del tipo ( x, ŷ) (x +a, y +b) (cioè formando i quadrati: è il metodo con cui si risolvono le equazioni di secondo grado!) si fa in modo che scompaiano il massimo numero di monomi di grado 1 e, eventualmente, il termine noto. L equazione risultante diviene αx 2 + βy 2 γ, ).

4 UN ESEMPIO se det(a) 0, oppure βy 2 2γx, se det(a) 0, dunque è in forma canonica. Ciò equivale a una traslazione che ci fa passare dal sistema di riferimento ausiliario O xŷ al nuovo sistema di riferimento Oxy Un esempio. Illustriamo quanto visto sopra con un esempio. dell Esempio di equazione Consideriamo la conica C (23.2.1) 3x 2 + 2xy + 3y x 0. Le matrici associate a C sono A 3 1, B Il polinomio caratteristico di A è p A (t) 3 t t t2 6t + 8 (t 2)(t 4), quindi gli autovalori di A sono 2 e 4. E A (2) si determina risolvendo il sistema ( ) s t 0. 0 Concludiamo che E A (2) L( t ( 1 1 )). Poiché sappiamo che l autospazio relativo all altro autovalore 4 contiene autovettori non nulli (per definizione) ortogonali agli autovettori di E A (2) (perché A è simmetrica: si veda la Proposizione ), sappiamo che E A (4) L( t ( 1 1 )). Quindi la matrice ortogonale speciale cercata è ( ) 2/2 2/2 P 2/2 2/2 e la rotazione corrispondente è ( ) x 2/2 2/2 y x 2/2 2/2 y o, equivalentemente, { x 2/2 x + 2/2ŷ y 2/2 x + 2/2ŷ.

5 LEZIONE 23 5 La conica C nel sistema di riferimento ausiliare O xŷ ha matrice del complesso dei termini di secondo grado 2 0 Â. 0 4 Per determinare i monomi di grado 1 nella sua equazione relativa a O xŷ basta sotituire nell Equazione (23.2.1) le espressioni di x ed y in funzione di x e ŷ nei monomi di grado 1. Quindi la sua equazione è Si noti che 2 x 2 + 4ŷ x + 2ŷ 0. 2 x x 2( x 2 + x) 2(( x + 1/2) 2 1/4) 2( x + 1/2) 2 1/2, 4ŷ 2 + 2ŷ 4(ŷ 2 + ŷ/2) 4((ŷ + 1/4) 2 1/16) 4(ŷ + 1/4) 2 1/4. Ponendo x x + 1/2 e y ŷ + 1/4, l equazione di C rispetto al sistema di riferimento O x y diviene 2x 2 + 4y 2 3/4 0, che è un equazione canonica. infine l equazione (23.2.2) Moltiplicando ambo i membri per 4/3 otteniamo 8 3 x y 2 1. Deduciamo che C è un ellisse di semiassi 3/8 e 3/16. Le equazioni della rototraslazione che trasforma l Equazione (23.2.1) nell Equazione (23.2.2) sono (23.2.3) x y ( ) 2/2 2/2 x 2/2 2/2 y + ( ) 3 2/8. 2/8 Il centro di C è il punto che, del nuovo sistema di riferimento, è l origine. Quindi è il punto che ha coordinate (0, 0) rispetto a O x y. Dalle Equazioni (23.2.3) deduciamo allora che il centro di C ha coordinate ( 3 2/8, 2/8) rispetto a Oxy. Gli assi di C sono le rette che, del nuovo sistema di riferimento, sono gli assi coordinati. Quindi sono le rette di equazioni x 0 e y 0 rispetto a O x y. Dalle Equazioni (23.2.3) deduciamo che x y ( ) 2/2 2/2 x + 2/2 2/2 y 1/2, 1/4

6 DETERMINAZIONE DEL TIPO DI UNA CONICA dunque gli assi di C sono le rette di equazione 2x 2y e 2 2x + 2 2y rispetto a Oxy. In maniera simile il lettore determini le coordinate dei vertici di C rispetto a Oxy. Per disegnare C, oltre alle informazioni già determinate, può essere utile calcolare le intersezioni con gli assi x ed y. Per calcolare le intersezioni di C con l asse delle ordinate risolviamo il sistema { 3x 2 + 2xy + 3y x 0 x 0 la cui unica soluzione è (0, 0). Le intersezioni con l asse delle ascisse sono invece date dalle soluzioni del sistema { 3x 2 + 2xy + 3y x 0 y 0 cioè (0, 0) e ( 2 2/3, 0). Di seguito riportiamo il disegno della conica C. y y' ŷ O' OÔ x x' xˆ Figura Determinazione del tipo di una conica. In quest ultimo paragrafo facciamo alcune osservazioni. Abbiamo visto sopra che ogni conica C ha una forma canonica ed abbiamo trattato in dettaglio un esempio. Viene allora spontaneo domandarsi se c è un metodo che, a priori, ci permetta di stabilire se C è una conica classica o no e, nel caso C sia classica se sia un ellisse, un iperbole od una parabola. A tale scopo nel seguito indicheremo con A la matrice dei termini di secondo grado di C e con B la sua matrice completa.

7 LEZIONE 23 7 Definizione Una conica C si dice degenere se la sua equazione si decompone in un prodotto di due polinomi di grado 1 (non necessariamente distinti), non degenere altrimenti. È facile rendersi conto guardando l Esempio che una conica in forma canonica è degenere se e solo se la sua matrice B ha determinante nullo. Poiché la matrice B di C è legata a quella B della sua forma canonica da una relazione del tipo λb t QBQ per un qualche λ R non nullo (si veda la Proposizione ), calcolando i determinanti di ambo i membri si deduce che Proposizione Una conica C è degenere se e solo se la sua matrice B ha determinante nullo. Supponiamo che C sia non degenere: allora o C è un ellisse immaginaria, oppure è una conica classica Supponiamo di essere in questo secondo caso. Se αx 2 + βy 2 γ è una sua equazione canonica, C è un ellisse, un iperbole od una parabola secondoché α e β siano concordi, discordi, od uno di essi sia nullo. Indicata con A α 0 0 β la matrice dei termini di secondo grado della forma canonica di C sappiamo che λa t P AP per un qualche lambda R non nullo (si veda la Proposizione ). Deduciamo allora che C è un ellisse, un iperbole od una parabola secondoché A, e dunque A, sia definita, indefinita, semidefinita. Quanto visto sopra ci permette anche di classificare una conica determinandone la sua equazione canonica senza necessariamente determinare la rototraslazione che la riduce in forma canonica. Esempio Si consideri la conica C di equazione 4x 2 + 4xy + y + y 2 0. Le matrici associate a C sono 4 2 A, B Poiché det(b) 16 0, la conica C è non degenere. Poiché det(a) 0, la conica C è una parabola. Se vogliamo determinarne l equazione canonica osserviamo che le matrici Q e P definite nella Proposizione soddisfano le relazioni t QBQ λb λ 0 0 γ 0 β 0 γ 0 0, t P AP λa 0 0 λ, 0 β

8 DETERMINAZIONE DEL TIPO DI UNA CONICA per un qualche λ R non nullo. Poiché l equazione di una conica e, di conseguenza, la sua matrice completa, è individuata a meno di una costante moltiplicativa, possiamo sempre supporre che sia λ 1. Quindi β deve essere l autovalore non nullo di A, cioè β 5. Confrontando i determinanti di B e B si ottiene βγ 2 16, cioè γ 4/ 5. Concludiamo che C è una parabola la cui equazione canonica è 5y x. Il parametro di C è dunque 8/5 5. Di seguito riportiamo il disegno di C. y' O' x' Figura Esempio Si consideri la conica C di equazione Le matrici associate a C sono A 7x 2 + 8xy + y 2 + 9x , B / /2 0 1 Poiché det(b) 45/4 0, la conica C è non degenere. Poiché det(a) 9, la conica C è un iperbole. Se vogliamo determinarne l equazione canonica osserviamo che dobbiamo determinarne le matrici Q e P definite nella Proposizione tali che t QBQ B α β γ,. t P AP A α 0. 0 β

9 LEZIONE 23 9 Quindi α e β devono essere gli autovalori di A, cioè α 9 e β 1, e confrontando i determinanti di B e B, αβγ 45/4, cioè γ 5/4. Concludiamo che C è un iperbole la cui equazione canonica è 9x 2 y 2 5/4. Moltiplicando ambo i membri per 4/5 otteniamo 36 5 x y 2 1. I semiassi di C sono dunque 5/6 (quello corrispondente all asse immaginario) e 5/2 (quello corrispondente all asse trasverso). Di seguito riportiamo il disegno di C nel sistema di riferimento Ox y. y' O' x' Figura Tale ultima equazione non è l equazione standard data nell Esempio Per ottenere l equazione in tale forma standard consideriamo la rotazione di π/2 radianti x 0 1 x y 1 0 y che trasforma l equazione di C nell equazione standard 4 5 x y 2 1. Di seguito riportiamo il disegno di C nel sistema di riferimento Ox y.

10 DETERMINAZIONE DEL TIPO DI UNA CONICA x'' y'' O' Figura

CONICHE. Esercizi Esercizio 1. Nel piano con riferimento cartesiano ortogonale Oxy sia data la conica C di equazione

CONICHE. Esercizi Esercizio 1. Nel piano con riferimento cartesiano ortogonale Oxy sia data la conica C di equazione CONICHE Esercizi Esercizio 1. Nel piano con riferimento cartesiano ortogonale Oy sia data la conica C di equazione 7 2 + 2 3y + 5y 2 + 32 3 = 0. Calcolare le equazioni di una rototraslazione che riduce

Dettagli

LEZIONE 27. C = { P = (x, y) x 2 /a 2 y 2 /b 2 = 1 }. C si dice iperbole di semiassi a e b (in forma canonica). L equazione

LEZIONE 27. C = { P = (x, y) x 2 /a 2 y 2 /b 2 = 1 }. C si dice iperbole di semiassi a e b (in forma canonica). L equazione LEZIONE 27 27.1. Ellisse, iperbole, parabola. Nelle prossime lezioni illustreremo come la teoria delle forme quadratiche e della riduzione ortogonale si applichi allo studio di alcuni oggetti geometrici

Dettagli

FORME QUADRATICHE, CONICHE, QUADRICHE

FORME QUADRATICHE, CONICHE, QUADRICHE FORME QUADRATICHE, CONICHE, QUADRICHE Esercizi Esercizio 1. Sia data la forma quadratica q( T (x, y, z))=3y 2 +8z 2 +4xy +6xz +12yz. (1) Scrivere la matrice di q: q è definita positiva?. (2) Classificare

Dettagli

CLASSIFICAZIONE DELLE CONICHE AFFINI

CLASSIFICAZIONE DELLE CONICHE AFFINI CLASSIFICAZIONE DELLE CONICHE AFFINI Pre-requisiti necessari. Elementi di geometria analitica punti e rette nel piano cartesiano, conoscenza delle coniche in forma canonica). Risoluzione di equazioni e

Dettagli

1 Cambiamenti di coordinate nel piano.

1 Cambiamenti di coordinate nel piano. Cambiamenti di coordinate nel piano.. Coordinate cartesiane Coordinate cartesiane su una retta. Sia r una retta: dare un sistema di coordinate su r significa fissare un punto O di r e un vettore u = U

Dettagli

CAPITOLO 14. Quadriche. Alcuni esercizi di questo capitolo sono ripetuti in quanto risolti in maniera differente.

CAPITOLO 14. Quadriche. Alcuni esercizi di questo capitolo sono ripetuti in quanto risolti in maniera differente. CAPITOLO 4 Quadriche Alcuni esercizi di questo capitolo sono ripetuti in quanto risolti in maniera differente. Esercizio 4.. Stabilire il tipo di quadrica corrispondente alle seguenti equazioni. Se si

Dettagli

Fissiamo nello spazio un sistema di riferimento cartesiano ortogonale O, x, y, z, u.

Fissiamo nello spazio un sistema di riferimento cartesiano ortogonale O, x, y, z, u. Fissiamo nello spazio un sistema di riferimento cartesiano ortogonale O, x, y, z, u. Definizione Una quadriche è il luogo dei punti, propri o impropri, reali o immaginari, che con le loro coordinate omogenee

Dettagli

Esercizi sulle coniche (prof.ssa C. Carrara)

Esercizi sulle coniche (prof.ssa C. Carrara) Esercizi sulle coniche prof.ssa C. Carrara Alcune parti di un esercizio possono ritrovarsi in un altro esercizio, insieme a parti diverse. È un occasione per affrontarle più volte.. Stabilire il tipo di

Dettagli

2 2 2 A = Il Det(A) = 2 quindi la conica è non degenere, di rango 3.

2 2 2 A = Il Det(A) = 2 quindi la conica è non degenere, di rango 3. Studio delle coniche Ellisse Studiare la conica di equazione 2x 2 + 4xy + y 2 4x 2y + 2 = 0. Per prima cosa dobbiamo classificarla. La matrice associata alla conica è: 2 2 2 A = 2 2 2 Il DetA = 2 quindi

Dettagli

Fasci di Coniche. Salvino Giuffrida. 2. Determinare e studiare il fascio Φ delle coniche che passano per A (1, 0) con tangente

Fasci di Coniche. Salvino Giuffrida. 2. Determinare e studiare il fascio Φ delle coniche che passano per A (1, 0) con tangente 1 Fasci di Coniche Salvino Giuffrida 1. Determinare e studiare il fascio Φ delle coniche che passano per O = (0, 0), con tangente l asse y, e per i punti (1, 0), (1, ). Determinare vertice e asse della

Dettagli

Parte 12a. Trasformazioni del piano. Forme quadratiche

Parte 12a. Trasformazioni del piano. Forme quadratiche Parte 12a Trasformazioni del piano Forme quadratiche A Savo Appunti del Corso di Geometria 2013-14 Indice delle sezioni 1 Trasformazioni del piano, 1 2 Cambiamento di coordinate, 8 3 Forme quadratiche,

Dettagli

LEZIONE 9. Figura 9.1.1

LEZIONE 9. Figura 9.1.1 LEZIONE 9 9.1. Equazioni cartesiane di piani. Abbiamo visto come rappresentare parametricamente un piano. Un altro interessante metodo di rappresentazione di un piano nello spazio è tramite la sua equazione

Dettagli

RETTE E PIANI. ove h R. Determinare i valori di h per cui (1) r h e α sono incidenti ed, in tal caso, determinare l angolo ϑ h da essi formato;

RETTE E PIANI. ove h R. Determinare i valori di h per cui (1) r h e α sono incidenti ed, in tal caso, determinare l angolo ϑ h da essi formato; RETTE E PIANI Esercizi Esercizio 1. Nello spazio con riferimento cartesiano ortogonale Oxyz si considerino la retta r h ed il piano α rispettivamente di equazioni x = 1 + t r h : y = 1 t α : x + y + z

Dettagli

LEZIONE 12. Y = f(x) = f( x j,1 f(e j ) = x j,1 A j = AX = µ A (X),

LEZIONE 12. Y = f(x) = f( x j,1 f(e j ) = x j,1 A j = AX = µ A (X), LEZIONE 1 1.1. Matrice di un applicazione lineare. Verifichiamo ora che ogni applicazione lineare f: R n R m è della forma µ A per un unica A R m,n. Definizione 1.1.1. Per ogni j 1,..., n indichiamo con

Dettagli

Coniche metriche e affini

Coniche metriche e affini Coniche metriche e affini Carlo Petronio Dicembre 2007 Queste note riguardano le coniche non degeneri, le loro equazioni metriche e la loro classificazione affine. 1 Piano euclideo, isometrie e trasformazioni

Dettagli

Esercizi per Geometria II Geometria euclidea e proiettiva

Esercizi per Geometria II Geometria euclidea e proiettiva Esercizi per Geometria II Geometria euclidea e proiettiva Filippo F. Favale 8 aprile 014 Esercizio 1 Si consideri E dotato di un riferimento cartesiano ortonormale di coordinate (x, y) e origine O. Si

Dettagli

1 Coniche. s (x, y, t ) (1) 1 (x, y, t )F r 2

1 Coniche. s (x, y, t ) (1) 1 (x, y, t )F r 2 1 Coniche Studieremo le curve nel piano euclideo, cioè nel piano con un sistema di riferimento cartesiano ortogonale fissato, oppure nel completamento proiettivo di questo piano, ottenuto con l introduzione

Dettagli

LEZIONE 10. S(C,ρ) Figura 10.1

LEZIONE 10. S(C,ρ) Figura 10.1 LEZIONE 10 10.1. Sfere nello spazio. In questa lezione studieremo alcuni oggetti geometrici non lineari, circonferenze e sfere nello spazio A 3. Poiché le proprietà delle circonferenze nel piano sono del

Dettagli

Ingegneria Civile. Compito di Geometria del 06/09/05. E assegnato l endomorfismo f : R 3 R 3 mediante le relazioni

Ingegneria Civile. Compito di Geometria del 06/09/05. E assegnato l endomorfismo f : R 3 R 3 mediante le relazioni Ingegneria Civile. Compito di Geometria del 06/09/05 E assegnato l endomorfismo f : R 3 R 3 mediante le relazioni I f(,, 0) = (h +,h+, ) f(,, ) = (h,h, h) f(0,, ) = (,h, h) con h parametro reale. ) Studiare

Dettagli

Appunti ed esercizi sulle coniche

Appunti ed esercizi sulle coniche 1 LA CIRCONFERENZA 1 Appunti ed esercizi sulle coniche Versione del 1 Marzo 011 1 La circonferenza Nel piano R, fissati un punto O = (a, b) e un numero r > 0, la circonferenza (o cerchio) C di centro O

Dettagli

Analisi Matematica 1 e Matematica 1 Geometria Analitica: Coniche

Analisi Matematica 1 e Matematica 1 Geometria Analitica: Coniche Analisi Matematica 1 e Matematica 1 Geometria Analitica: Coniche Annalisa Amadori e Benedetta Pellacci amadori@uniparthenope.it pellacci@uniparthenope.it Università di Napoli Parthenope Contenuti Coniche

Dettagli

LEZIONE 9. k, tenendo conto delle formule che permettono di calcolare il prodotto scalare ed il prodotto vettoriale, otteniamo

LEZIONE 9. k, tenendo conto delle formule che permettono di calcolare il prodotto scalare ed il prodotto vettoriale, otteniamo LEZIONE 9 9.1. Prodotto misto. Siano dati i tre vettori geometrici u, v, w V 3 (O) definiamo prodotto misto di u, v e w il numero u, v w. Fissiamo un sistema di riferimento O ı j k in S 3. Se u = u x ı

Dettagli

x 1 Fig.1 Il punto P = P =

x 1 Fig.1 Il punto P = P = Geometria di R 2 In questo paragrafo discutiamo le proprietà geometriche elementari del piano Per avere a disposizione delle coordinate nel piano, fissiamo un punto, che chiamiamo l origine Scegliamo poi

Dettagli

1 Ampliamento del piano e coordinate omogenee

1 Ampliamento del piano e coordinate omogenee 1 Ampliamento del piano e coordinate omogenee Vogliamo dare una idea, senza molte pretese, dei concetti che stanno alla base di alcuni calcoli svolti nella classificazione delle coniche. Supponiamo di

Dettagli

GEOMETRIA PIANA. 1) sia verificata l uguaglianza di segmenti AC = CB (ossia C è punto medio del segmento AB);

GEOMETRIA PIANA. 1) sia verificata l uguaglianza di segmenti AC = CB (ossia C è punto medio del segmento AB); VETTORI E GEOMETRIA ANALITICA 1 GEOMETRIA PIANA Segmenti e distanza tra punti. Rette in forma cartesiana e parametrica. Posizioni reciproche di due rette, parallelismo e perpendicolarità. Angoli e distanze.

Dettagli

Autovalori e autovettori, matrici simmetriche e forme quadratiche (cenni) (prof. M. Salvetti)

Autovalori e autovettori, matrici simmetriche e forme quadratiche (cenni) (prof. M. Salvetti) Autovalori e autovettori, matrici simmetriche e forme quadratiche (cenni) (prof. M. Salvetti) April 14, 2011 (alcune note non complete sugli argomenti trattati: eventuali completamenti saranno aggiunti)

Dettagli

Forme quadratiche e coniche. Nota Bene: Questo materiale non deve essere considerato come sostituto delle lezioni.

Forme quadratiche e coniche. Nota Bene: Questo materiale non deve essere considerato come sostituto delle lezioni. Forme quadratiche e coniche. Nota Bene: Questo materiale non deve essere considerato come sostituto delle lezioni. Argomenti: Prodotto scalare. Matrici simmetriche e forme quadratiche. Diagonalizzazione

Dettagli

misura. Adesso, ad un arbitrario punto P dello spazio associamo una terna di numeri reali x

misura. Adesso, ad un arbitrario punto P dello spazio associamo una terna di numeri reali x 4. Geometria di R 3. Questo paragrafo è molto simile al paragrafo : tratta infatti delle proprietà geometriche elementari dello spazio R 3. Per assegnare delle coordinate nello spazio, fissiamo innanzitutto

Dettagli

MATRICI ORTOGONALI. MATRICI SIMMETRICHE E FORME QUADRATICHE

MATRICI ORTOGONALI. MATRICI SIMMETRICHE E FORME QUADRATICHE DIAGONALIZZAZIONE 1 MATRICI ORTOGONALI. MATRICI SIMMETRICHE E FORME QUADRATICHE Matrici ortogonali e loro proprietà. Autovalori ed autospazi di matrici simmetriche reali. Diagonalizzazione mediante matrici

Dettagli

Esercitazioni di Geometria A: curve algebriche

Esercitazioni di Geometria A: curve algebriche Esercitazioni di Geometria A: curve algebriche 24-25 maggio 2016 Esercizio 1 Sia P 2 il piano proiettivo complesso munito delle coordinate proiettive (x 0 : x 1 : x 2 ). Sia r la retta proiettiva di equazione

Dettagli

La circonferenza. Tutti i diritti sono riservati.

La circonferenza. Tutti i diritti sono riservati. La circonferenza Copyright c 008 Pasquale Terrecuso Tutti i diritti sono riservati. L equazione della circonferenza La circonferenza come luogo geometrico....................................... Questioni

Dettagli

Esercitazione n 6. Esercizio 1: Determinare i punti di massimo e minimo relativo delle seguenti funzioni: (b)f(x, y) = 4y 4 16x 2 y + x

Esercitazione n 6. Esercizio 1: Determinare i punti di massimo e minimo relativo delle seguenti funzioni: (b)f(x, y) = 4y 4 16x 2 y + x Esercitazione n 6 1 Massimi e minimi di funzioni di più variabili Esercizio 1: Determinare i punti di massimo e minimo relativo delle seguenti funzioni: (a)f(x, y) = x 3 + y 3 + xy (b)f(x, y) = 4y 4 16x

Dettagli

1. Calcolare gli invarianti ortogonali e riconoscere le seguenti quadriche.

1. Calcolare gli invarianti ortogonali e riconoscere le seguenti quadriche. Algebra Lineare e Geometria Analitica Politecnico di Milano Ingegneria Quadriche Esercizi 1. Calcolare gli invarianti ortogonali e riconoscere le seguenti quadriche. (a) x + y + z + xy xz yz 6x 4y + z

Dettagli

Geometria BATR-BCVR Esercizi 9

Geometria BATR-BCVR Esercizi 9 Geometria BATR-BCVR 2015-16 Esercizi 9 Esercizio 1. Per ognuna delle matrici A i si trovi una matrice ortogonale M i tale che Mi ta im sia diagonale. ( ) 1 1 2 3 2 A 1 = A 2 1 2 = 1 1 0 2 0 1 Esercizio

Dettagli

Corso di Geometria Ing. Informatica e Automatica Test 1: soluzioni

Corso di Geometria Ing. Informatica e Automatica Test 1: soluzioni Corso di Geometria Ing. Informatica e Automatica Test : soluzioni k Esercizio Data la matrice A = k dipendente dal parametro k, si consideri il k sistema lineare omogeneo AX =, con X = x x. Determinare

Dettagli

Noi ci occuperemo esclusivamente dei casi n = 2 e n = 3. Se n = 2, la quadrica Q p sarà detta conica di equazione p, e indicata con C p.

Noi ci occuperemo esclusivamente dei casi n = 2 e n = 3. Se n = 2, la quadrica Q p sarà detta conica di equazione p, e indicata con C p. Durante il corso abbiamo studiato insiemi (rette e piani) che possono essere descritti come luogo di zeri di equazioni (o sistemi) di primo grado. Adesso vedremo come applicare quanto visto per studiare

Dettagli

LEZIONE 8. Figura 8.1.1

LEZIONE 8. Figura 8.1.1 LEZIONE 8 8.1. Equazioni parametriche di rette. In questo paragrafo iniziamo ad applicare quanto spiegato sui vettori geometrici per dare una descrizione delle rette nel piano e nello spazio. Sia r S 3

Dettagli

Geometria analitica del piano pag 32 Adolfo Scimone

Geometria analitica del piano pag 32 Adolfo Scimone Geometria analitica del piano pag 32 Adolfo Scimone CAMBIAMENTI DI SISTEMA DI RIFERIMENTO Consideriamo il piano cartesiano R 2 con un sistema di riferimento (O,U). Se introduciamo in R 2 un secondo sistema

Dettagli

Esercizi di Complementi di Matematica (L-Z) a.a. 2015/2016

Esercizi di Complementi di Matematica (L-Z) a.a. 2015/2016 Esercizi di Complementi di Matematica (L-Z) a.a. 2015/2016 Prodotti scalari e forme bilineari simmetriche (1) Sia F : R 2 R 2 R un applicazione definita da F (x, y) = x 1 y 1 + 3x 1 y 2 5x 2 y 1 + 2x 2

Dettagli

1 Il polinomio minimo.

1 Il polinomio minimo. Abstract Il polinomio minimo, così come il polinomio caratterisico, è un importante invariante per le matrici quadrate. La forma canonica di Jordan è un approssimazione della diagonalizzazione, e viene

Dettagli

Esercizi Riepilogativi Svolti. = 1 = Or(v, w)

Esercizi Riepilogativi Svolti. = 1 = Or(v, w) Universita degli Studi di Roma - "Tor Vergata" - Facolta Ingegneria Esercizi GEOMETRIA (Edile-Architettura e dell Edilizia FORMULE DI GEOMETRIA IN R TRASFORMAZIONI DI R CIRCONFERENZE Docente: Prof F Flamini

Dettagli

Analisi Matematica 1 e Matematica 1 Geometria Analitica: Rette

Analisi Matematica 1 e Matematica 1 Geometria Analitica: Rette Analisi Matematica 1 e Matematica 1 Geometria Analitica: Rette Annalisa Amadori e Benedetta Pellacci amadori@uniparthenope.it pellacci@uniparthenope.it Università di Napoli Parthenope Contenuti Nel Piano

Dettagli

I. Foglio di esercizi su vettori linearmente dipendenti e linearmente indipendenti. , v 2 = α v 1 + β v 2 + γ v 3. α v 1 + β v 2 + γ v 3 = 0. + γ.

I. Foglio di esercizi su vettori linearmente dipendenti e linearmente indipendenti. , v 2 = α v 1 + β v 2 + γ v 3. α v 1 + β v 2 + γ v 3 = 0. + γ. ESERCIZI SVOLTI DI ALGEBRA LINEARE (Sono svolti alcune degli esercizi proposti nei fogli di esercizi su vettori linearmente dipendenti e vettori linearmente indipendenti e su sistemi lineari ) I. Foglio

Dettagli

Lezione 24 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico

Lezione 24 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico CONICHE in A ~ (C) Punti propri (x P,y P ) hanno coordinate omogenee [(x P,y P, )], Punti impropri hanno coordinate omogenee [(l,m, )]. L equazione di una conica in coordinate non omogenee (x,y) C: a,

Dettagli

Esercizi di ripasso: geometria e algebra lineare.

Esercizi di ripasso: geometria e algebra lineare. Esercizi di ripasso: geometria e algebra lineare. Esercizio. Sia r la retta passante per i punti A(2,, 3) e B(,, 2) in R 3. a. Scrivere l equazione cartesiana del piano Π passante per A e perpendicolare

Dettagli

Università degli Studi di Bergamo Matematica II (5 e 7,5 crediti) 18 febbraio 2010 Tema A

Università degli Studi di Bergamo Matematica II (5 e 7,5 crediti) 18 febbraio 2010 Tema A Università degli Studi di Bergamo Matematica II (5 e 7,5 crediti) 18 febbraio 21 Tema A Tempo a disposizione: 2 ore. Calcolatrici, libri e appunti non sono ammessi. Ogni esercizio va iniziato all inizio

Dettagli

ax 1 + bx 2 + c = 0, r : 2x 1 3x 2 + 1 = 0.

ax 1 + bx 2 + c = 0, r : 2x 1 3x 2 + 1 = 0. . Rette in R ; circonferenze. In questo paragrafo studiamo le rette e le circonferenze in R. Ci sono due modi per descrivere una retta in R : mediante una equazione cartesiana oppure mediante una equazione

Dettagli

Dipartimento di Matematica Corso di laurea in Matematica Compiti di Geometria II assegnati da dicembre 2000 a dicembre 2003

Dipartimento di Matematica Corso di laurea in Matematica Compiti di Geometria II assegnati da dicembre 2000 a dicembre 2003 Dipartimento di Matematica Corso di laurea in Matematica Compiti di Geometria assegnati da dicembre 2000 a dicembre 2003 11/12/2000 n R 4 sono assegnati i punti A(3, 0, 1, 0), B(0, 0, 1, 0), C(2, 1, 0,

Dettagli

GEOMETRIA LINEARE E CONICHE - GIUGNO 2002. 1. Nello spazio ordinario, assegnato un riferimento ortonormale si considerino le rette: x = z 2 y = z

GEOMETRIA LINEARE E CONICHE - GIUGNO 2002. 1. Nello spazio ordinario, assegnato un riferimento ortonormale si considerino le rette: x = z 2 y = z GEOMETRIA LINEARE E CONICHE - GIUGNO 2002 1. Nello spazio ordinario, assegnato un riferimento ortonormale si considerino le rette: r : x = z y = 0 x = z 2, s : y = z. Dopo aver provato che r ed s sono

Dettagli

Corso di Geometria BIAR, BSIR Esercizi 10: soluzioni

Corso di Geometria BIAR, BSIR Esercizi 10: soluzioni Corso di Geometria 2010-11 BIAR, BSIR Esercizi 10: soluzioni 1 Geometria dello spazio Esercizio 1. Dato il punto P 0 = ( 1, 0, 1) e il piano π : x + y + z 2 = 0, determinare: a) Le equazioni parametriche

Dettagli

Esercizi Applicazioni Lineari

Esercizi Applicazioni Lineari Esercizi Applicazioni Lineari (1) Sia f : R 4 R 2 l applicazione lineare definita dalla legge f(x, y, z, t) = (x + y + z, y + z + t). (a) Determinare il nucleo di f, l immagine di f, una loro base e le

Dettagli

Prodotto scalare e ortogonalità

Prodotto scalare e ortogonalità Prodotto scalare e ortogonalità 12 Novembre 1 Il prodotto scalare 1.1 Definizione Possiamo estendere la definizione di prodotto scalare, già data per i vettori del piano, ai vettori dello spazio. Siano

Dettagli

DIAGONALIZZAZIONE. M(f) =

DIAGONALIZZAZIONE. M(f) = DIAGONALIZZAZIONE Esercizi Esercizio 1. Sia f End(R 3 ) associato alla matrice M(f) = 0 1 2 0. 2 (1) Determinare gli autovalori di f e le relative molteplicità. (2) Determinare gli autospazi di f e trovare,

Dettagli

1.1 Intersezione di un piano e una quadrica. I punti d intersezione di una quadrica con un piano hanno coordinate fornite dalle soluzioni del sistema

1.1 Intersezione di un piano e una quadrica. I punti d intersezione di una quadrica con un piano hanno coordinate fornite dalle soluzioni del sistema 1 Quadriche Studieremo le quadriche nello spazio riferito ad un sistema di riferimento cartesiano ortogonale fissato, oppure nel completamento proiettivo di questo spazio, ottenuto con l introduzione delle

Dettagli

LEZIONE 15. (15.1.2) p(x) = a 0 x n + a 1 x n a n 1 x + a n = a h x n h.

LEZIONE 15. (15.1.2) p(x) = a 0 x n + a 1 x n a n 1 x + a n = a h x n h. LEZIONE 15 15.1. Polinomi a coefficienti complessi e loro e loro radici. In questo paragrafo descriveremo alcune proprietà dei polinomi a coefficienti complessi e delle loro radici. Già nel precedente

Dettagli

FONDAMENTI DI ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA

FONDAMENTI DI ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA Cognome Nome Matricola FONDAMENTI DI ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA Ciarellotto, Esposito, Garuti Prova del 21 settembre 2013 Dire se è vero o falso (giustificare le risposte. Bisogna necessariamente rispondere

Dettagli

Test sull ellisse (vai alla soluzione) Quesiti

Test sull ellisse (vai alla soluzione) Quesiti Test sull ellisse (vai alla soluzione) Quesiti ) Considerata nel piano cartesiano l ellisse Γ : + y = 8 valutare il valore di verità delle seguenti affermazioni. I fuochi si trovano sull asse delle ordinate

Dettagli

Mutue posizioni della parabola con gli assi cartesiani

Mutue posizioni della parabola con gli assi cartesiani Mutue posizioni della parabola con gli assi cartesiani L equazione di una parabola generica è data da: Consideriamo l equazione che definisce i punti di intersezione della parabola con l asse delle ascisse

Dettagli

Geometria analitica del piano pag 12 Adolfo Scimone

Geometria analitica del piano pag 12 Adolfo Scimone Geometria analitica del piano pag 12 Adolfo Scimone Fasci di rette Siano r e r' due rette distinte di equazioni r: ax + by + c r': a' x + b' y + c' Consideriamo la retta combinazione lineare delle due

Dettagli

GEOMETRIA ANALITICA: LE CONICHE

GEOMETRIA ANALITICA: LE CONICHE DIPARTIMENTO DI INGEGNERIA CIVILE PRECORSO DI MATEMATICA ANNO ACCADEMICO 2013-2014 ESERCIZI DI GEOMETRIA ANALITICA: LE CONICHE Esercizio 1: Fissato su un piano un sistema di riferimento cartesiano ortogonale

Dettagli

(P x) (P y) = x P t (P y) = x (P t P )y = x y.

(P x) (P y) = x P t (P y) = x (P t P )y = x y. Matrici ortogonali Se P è una matrice reale n n, allora (P x) y x (P t y) per ogni x,y R n (colonne) Dim (P x) y (P x) t y (x t P t )y x t (P t y) x (P t y), CVD Ulteriori caratterizzazioni delle matrici

Dettagli

1.1 Coordinate sulla retta e nel piano; rette nel piano

1.1 Coordinate sulla retta e nel piano; rette nel piano 1 Sistemi lineari 11 Coordinate sulla retta e nel piano; rette nel piano Coordinate sulla retta Scelti su una retta un primo punto O (origine) ed un diverso secondo punto U (unita ), l identificazione

Dettagli

Endomorfismi e matrici simmetriche

Endomorfismi e matrici simmetriche CAPITOLO Endomorfismi e matrici simmetriche Esercizio.. [Esercizio 5) cap. 9 del testo Geometria e algebra lineare di Manara, Perotti, Scapellato] Calcolare una base ortonormale di R 3 formata da autovettori

Dettagli

(VX) (F) Se A e B sono due matrici simmetriche n n allora anche A B è una matrice simmetrica.

(VX) (F) Se A e B sono due matrici simmetriche n n allora anche A B è una matrice simmetrica. 5 luglio 010 - PROVA D ESAME - Geometria e Algebra T NOME: MATRICOLA: a=, b=, c= Sostituire ai parametri a, b, c rispettivamente la terzultima, penultima e ultima cifra del proprio numero di matricola

Dettagli

Capitolo 17 CONICHE Generalità

Capitolo 17 CONICHE Generalità Capitolo 17 CONICHE 17.1 Generalità La parola conica sta classicamente a significare una curva sezione di un cono (inteso come figura illimitata ottenuta facendo ruotare una retta attorno ad un asse ad

Dettagli

Note di geometria analitica nel piano

Note di geometria analitica nel piano Note di geometria analitica nel piano e-mail: maurosaita@tiscalinet.it Versione provvisoria. Novembre 2015. 1 Indice 1 Punti e vettori spiccati dall origine 3 1.1 Coordinate......................................

Dettagli

COMPLEMENTI DEL CORSO DI MATEMATICA Anno Accademico 2012/2013 Prof. Francesca Visentin

COMPLEMENTI DEL CORSO DI MATEMATICA Anno Accademico 2012/2013 Prof. Francesca Visentin COMPLEMENTI DEL CORSO DI MATEMATICA Anno Accademico 0/03 Prof. Francesca Visentin CAPITOLO V ELEMENTI DI GEOMETRIA ANALITICA Riprendiamo alcune nozioni già date nel Capitolo II.. Coordinate cartesiane

Dettagli

Appunti sulla circonferenza

Appunti sulla circonferenza 1 Liceo Falchi Montopoli in Val d Arno - Classe 3 a I - Francesco Daddi - 16 aprile 010 Appunti sulla circonferenza In queste pagine sono trattati gli argomenti riguardanti la circonferenza nel piano cartesiano

Dettagli

Anno 3 Equazione dell'ellisse

Anno 3 Equazione dell'ellisse Anno Equazione dell'ellisse 1 Introduzione In questa lezione affronteremo una serie di problemi che ci chiederanno di determinare l equazione di un ellisse sotto certe condizioni. Al termine della lezione

Dettagli

Formulario sui Prodotti Hermitiani Marcello Mamino Pisa, 24 v 2010

Formulario sui Prodotti Hermitiani Marcello Mamino Pisa, 24 v 2010 Formulario sui Prodotti Hermitiani Marcello Mamino Pisa, 24 v 2010 In quetsa dispensa: V è uno spazio vettoriale di dimensione d sul campo complesso C generato dai vettori v 1,..., v d. Le variabili m,

Dettagli

Esercizi di MATEMATICA PER RCHITETTURA prima parte: Algebra Lineare e Geometria

Esercizi di MATEMATICA PER RCHITETTURA prima parte: Algebra Lineare e Geometria Esercizi di MATEMATICA PER RCHITETTURA prima parte: Algebra Lineare e Geometria Avvertenze In quanto segue tutti i vettori hanno il medesimo punto d origine O l origine dello spazio cartesiano. Possiamo

Dettagli

Esercizi di Geometria e Algebra Lineare C.d.L. Ingegneria Meccanica

Esercizi di Geometria e Algebra Lineare C.d.L. Ingegneria Meccanica Esercizi di Geometria e Algebra Lineare C.d.L. Ingegneria Meccanica 1) Dati i vettori a = (2, 4), b = (1, 2), c = ( 1, 1), d = (3, 6), stabilire se c e d appartengono a Span(a, b}). 2) Nello spazio vettoriale

Dettagli

Circonferenze del piano

Circonferenze del piano Circonferenze del piano 1 novembre 1 Circonferenze del piano 1.1 Definizione Una circonferenza è il luogo dei punti equidistanti da un punto fisso, detto centro. La distanza di un qualunque punto della

Dettagli

Parte 11. Geometria dello spazio II

Parte 11. Geometria dello spazio II Parte 11. Geometria dello spazio II A. Savo Appunti del Corso di Geometria 2010-11 Indice delle sezioni 1 Il prodotto scalare, 1 2 Distanze, angoli, aree, 4 3 Il prodotto vettoriale, 6 4 Condizioni di

Dettagli

4.11 Massimi e minimi relativi per funzioni di più variabili

4.11 Massimi e minimi relativi per funzioni di più variabili 5. Determinare, al variare del parametro a R, la natura delle seguenti forme quadratiche: (i) Φ(x, y, z) = x 2 + 2axy + y 2 + 2axz + z 2, (ii) Φ(x, y, z, t) = 2x 2 + ay 2 z 2 t 2 + 2xz + 4yt + 2azt. 4.11

Dettagli

Massimi e minimi vincolati

Massimi e minimi vincolati Massimi e minimi vincolati Data una funzione G C 1 (D), dove D è un aperto di R 2, sappiamo bene dove andare a cercare gli eventuali punti di massimo e minimo relativi. Una condizione necessaria affinché

Dettagli

(x B x A, y B y A ) = (4, 2) ha modulo

(x B x A, y B y A ) = (4, 2) ha modulo GEOMETRIA PIANA 1. Esercizi Esercizio 1. Dati i punti A(0, 4), e B(4, ) trovarne la distanza e trovare poi i punti C allineati con A e con B che verificano: (1) AC = CB (punto medio del segmento AB); ()

Dettagli

LEZIONE 8. k e w = wx ı + w y j + w z. k di R 3 definiamo prodotto scalare di v e w il numero

LEZIONE 8. k e w = wx ı + w y j + w z. k di R 3 definiamo prodotto scalare di v e w il numero LEZINE 8 8.1. Prodotto scalare. Dati i vettori geometrici v = v x ı + v y j + v z k e w = wx ı + j + k di R 3 definiamo prodotto scalare di v e w il numero v, w = ( v x v y v z ) w x = v x + v y + v z.

Dettagli

RICETTE INDICE. Capitolo 1 Come trovare forme di Jordan. Pagina 2. Capitolo 2 Come studiare coniche e quadriche. Pagina 6

RICETTE INDICE. Capitolo 1 Come trovare forme di Jordan. Pagina 2. Capitolo 2 Come studiare coniche e quadriche. Pagina 6 RICETTE In questo file fornisco ricette per determinare forme di Jordan, polinomi minimi e per studiare coniche e quadriche, limitandomi al come si fa, senza fornire troppe spiegazioni sui perche. Per

Dettagli

Massimi e minimi relativi in R n

Massimi e minimi relativi in R n Massimi e minimi relativi in R n Si consideri una funzione f : A R, con A R n, e sia x A un punto interno ad A. Definizione: si dice che x è un punto di massimo relativo per f se B(x, r) A tale che f(y)

Dettagli

Formulario di Geometria Analitica a.a

Formulario di Geometria Analitica a.a Formulario di Geometria Analitica a.a. 2006-2007 Dott. Simone Zuccher 23 dicembre 2006 Nota. Queste pagine potrebbero contenere degli errori: chi li trova è pregato di segnalarli all autore zuccher@sci.univr.it).

Dettagli

determinare le coordinate di P ricordando la relazione che permette di calcolare le coordinate del punto medio di un segmento si

determinare le coordinate di P ricordando la relazione che permette di calcolare le coordinate del punto medio di un segmento si PROBLEMA Determinare il punto simmetrico di P( ;) rispetto alla retta x y =0 Soluzione Il simmetrico di P rispetto ad una retta r è il punto P che appartiene alla retta passante per P, perpendicolare ad

Dettagli

Studio generale di una conica

Studio generale di una conica Studio generale di una conica Manlio De Domenico 19 Giugno 2003 Definizione 1 Si definisce conica C un equazione algebrica F (x 1, x 2, x 3 ) = 0 del secondo ordine omogenea. Detta A la matrice simmetrica

Dettagli

1 Forme quadratiche 1. 2 Segno di una forma quadratica Il metodo dei minori principali Soluzioni degli esercizi 7.

1 Forme quadratiche 1. 2 Segno di una forma quadratica Il metodo dei minori principali Soluzioni degli esercizi 7. 1 FORME QUADRATICHE 1 Forme quadratiche Indice 1 Forme quadratiche 1 2 Segno di una forma quadratica 2 2.1 Il metodo dei minori principali........................................ 3 3 Soluzioni degli esercizi

Dettagli

LA CIRCONFERENZA La circonferenza è il luogo geometrico dei punti equidistanti da un punto C, detto centro.

LA CIRCONFERENZA La circonferenza è il luogo geometrico dei punti equidistanti da un punto C, detto centro. Geometria Analitica Le coniche Queste curve si chiamano coniche perché sono ottenute tramite l'intersezione di una superficie conica con un piano. Si possono definire tutte come luoghi geometrici e, di

Dettagli

IV-2 Forme quadratiche

IV-2 Forme quadratiche 1 FORME QUADRATICHE 1 IV-2 Forme quadratiche Indice 1 Forme quadratiche 1 2 Segno di una forma quadratica 2 2.1 Il metodo dei minori principali........................................ 3 3 Soluzioni degli

Dettagli

Geometria analitica piana

Geometria analitica piana Capitolo 4 Geometria analitica piana 4.1 Il riferimento cartesiano Un sistema di riferimento cartesiano del piano è costituito da una coppia di rette orientate, dette asse x o asse delle ascisse e asse

Dettagli

LEZIONE 4. { x + y + z = 1 x y + 2z = 3

LEZIONE 4. { x + y + z = 1 x y + 2z = 3 LEZIONE 4 4.. Operazioni elementari di riga. Abbiamo visto, nella precedente lezione, quanto sia semplice risolvere sistemi di equazioni lineari aventi matrice incompleta fortemente ridotta per righe.

Dettagli

7 Geometria analitica piana: retta, parabola, iperbole equilatera, circonferenza

7 Geometria analitica piana: retta, parabola, iperbole equilatera, circonferenza 7 Geometria analitica piana: retta, parabola, iperbole equilatera, circonferenza Il metodo della geometria analitica consiste nell applicare gli strumenti dell algebra allo studio della geometria. Il legame

Dettagli

Parte 10. Geometria dello spazio I

Parte 10. Geometria dello spazio I Parte 10. Geometria dello spazio I A. Savo Appunti del Corso di Geometria 2013-14 Indice delle sezioni 1 Lo spazio vettoriale V 3 O, 1 2 Dipendenza e indipendenza lineare in V 3 O, 2 3 Sistema di riferimento

Dettagli

LEZIONE 3. Typeset by AMS-TEX

LEZIONE 3. Typeset by AMS-TEX LEZIONE 3 3 Risoluzione di sistemi Supponiamo che AX = B sia un sistema di equazioni lineari Ad esso associamo la sua matrice completa (A B Per la Proposizione 236 sappiamo di poter trasformare, con operazioni

Dettagli

Si consideri il sistema a coefficienti reali di m equazioni lineari in n incognite

Si consideri il sistema a coefficienti reali di m equazioni lineari in n incognite 3 Sistemi lineari 3 Generalità Si consideri il sistema a coefficienti reali di m equazioni lineari in n incognite ovvero, in forma matriciale, a x + a 2 x 2 + + a n x n = b a 2 x + a 22 x 2 + + a 2n x

Dettagli

Compito A

Compito A Compito A 1. Data l iperbole Γ di equazione y = (2x-1)/(3x+6), individua i punti A e B di intersezione della bisettrice del secondo e quarto quadrante con Γ (risolvi il problema sia graficamente che analiticamente).

Dettagli

Calcolo Algebrico. Primo grado. ax 2 + bx + c = 0. Secondo grado. (a 0) Equazioni e disequazioni in una incognita e coefficienti reali: ax + b = 0

Calcolo Algebrico. Primo grado. ax 2 + bx + c = 0. Secondo grado. (a 0) Equazioni e disequazioni in una incognita e coefficienti reali: ax + b = 0 Calcolo Algebrico Equazioni e disequazioni in una incognita e coefficienti reali: Primo grado ax + b = 0 (a 0) x = b a Secondo grado ax 2 + bx + c = 0 (a 0) Si hanno due soluzioni che possono essere reali

Dettagli

DEFINIZIONE Un vettore (libero) è un ente geometrico rappresentato da un segmento orientato caratterizzato da tre parametri:

DEFINIZIONE Un vettore (libero) è un ente geometrico rappresentato da un segmento orientato caratterizzato da tre parametri: DEFINIZIONE Un vettore (libero) è un ente geometrico rappresentato da un segmento orientato caratterizzato da tre parametri: 1. modulo: la lunghezza del segmento 2. direzione: coincidente con la direzione

Dettagli

DERIVATE E LORO APPLICAZIONE

DERIVATE E LORO APPLICAZIONE DERIVATE E LORO APPLICAZIONE SIMONE ALGHISI 1. Applicazione del calcolo differenziale 1 Abbiamo visto a lezione che esiste un importante legame tra la continuità di una funzione y = f(x) in un punto x

Dettagli

3. Vettori, Spazi Vettoriali e Matrici

3. Vettori, Spazi Vettoriali e Matrici 3. Vettori, Spazi Vettoriali e Matrici Vettori e Spazi Vettoriali Operazioni tra vettori Basi Trasformazioni ed Operatori Operazioni tra Matrici Autovalori ed autovettori Forme quadratiche, quadriche e

Dettagli

ESERCIZI SVOLTI SU: GEOMETRIA TRIDIMENSIONALE. 2. Fissato un sistema di riferimento cartesiano dello spazio euclideo O, i, j, k,

ESERCIZI SVOLTI SU: GEOMETRIA TRIDIMENSIONALE. 2. Fissato un sistema di riferimento cartesiano dello spazio euclideo O, i, j, k, ESERCIZI SVOLTI SU: GEOMETRIA TRIDIMENSIONALE 1. Fissato un sistema di riferimento cartesiano dello spazio euclideo O, i, j, k, determinare un equazione omogenea del piano parallelo al vettore v = i+j,

Dettagli

1 Nozioni utili sul piano cartesiano

1 Nozioni utili sul piano cartesiano Nozioni utili sul piano cartesiano Nozioni utili sul piano cartesiano Il piano cartesiano è un sistema di riferimento costituito da due rette perpendicolari (una orizzontale detta asse delle ascisse x

Dettagli

Algebra lineare Geometria 1 11 luglio 2008

Algebra lineare Geometria 1 11 luglio 2008 Algebra lineare Geometria 1 11 luglio 2008 Esercizio 1. Si considerino la funzione: { R f : 3 R 3 (α, β, γ) ( 2β α γ, (k 1)β + (1 k)γ α, 3β + (k 2)γ ) dove k è un parametro reale, e il sottospazio U =

Dettagli