LEZIONE 23. ax 2 + bxy + cy 2 + dx + ey + f

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1 LEZIONE Riduzione delle coniche a forma canonica. Fissiamo nel piano un sistema di riferimento Oxy e consideriamo un polinomio di grado 2 in x, y a meno di costanti moltiplicative non nulle, diciamo ax 2 + bxy + cy 2 + dx + ey + f (a, b, c, d, e, f R). Nella precedente lezione ci siamo posti il problema di descrivere il luogo geometrico (eventualmente vuoto) C { P (x, y) ax 2 + bxy + cy 2 + dx + ey + f 0 }. Abbiamo visto che tale luogo può essere un ellisse, un iperbole, una parabola (coniche classiche) o qualcos altro. Per tale motivo è opportuno introdurre la seguente definizione Definizione Una conica C nel piano (rispetto ad un fissato sistema di riferimento Oxy) è il dato di un equazione della forma ax 2 + bxy + cy 2 + dx + ey + f 0 (a, b, c, d, e, f R, a, b, c non simultaneamente nulli) a meno di costanti moltiplicative non nulle. Se C è la conica ax 2 + bxy + cy 2 + dx + ey + f 0, molto spesso, nel seguito, utilizzeremo la locuzione la conica C di equazione ax 2 +bxy +cy 2 +dx+ey +f 0. Abbiamo visto come cambia l equazione di una conica (nel senso della definizione sopra) quando operiamo nel piano una rototraslazione: la nuova equazione si ottiene sostituendo alle variabili x, y la loro espressione in funzione delle nuove variabili. Come prima cosa osserviamo che l equazione di cui sopra si può sempre scrivere nella forma (23.1.2) a 1,1 x 2 + 2a 1,2 xy + a 2,2 y 2 + 2a 1,3 x + 2a 2,3 y + a 3,3 0 per opportuni a i,j R (sarà chiara fra poco la maggiore convenienza di una tale notazione rispetto alla precedente). Si tratta di trovare un sistema di riferimento O x y nel piano con coordinate x, y in modo tale che l Equazione (23.1.3) divenga più semplice e, soprattutto, riconoscibile: per esempio potremmo desiderare d avere un equazioni canonica nel senso della seguente definizione. 1 Typeset by AMS-TEX

2 RIDUZIONE DELLE CONICHE A FORMA CANONICA Definizione Nel piano sia fissato un sistema di riferimento Oxy e sia C una conica. Diciamo che C è in forma canonica (o che Oxy è un sistema di riferimento canonico per C) se l equazione di C è della forma ( ) αx 2 + βy 2 γ, βy 2 2γx per qualche α, β, γ R. Dobbiamo quindi passare dal vecchio riferimento Oxy ad un nuovo riferimento O x y rispetto a cui C sia in forma canonica. Per individuare l angolo di rotazione ϕ e l origine O del nuovo sistema di riferimento faremo uso della teoria delle forme quadratiche vista in precedenza. All Equazione (23.1.2) si possono associare facilmente le due forme quadratiche a 1,1 x 2 + 2a 1,2 xy + a 2,2 y 2, a 1,1 x 2 + 2a 1,2 xy + a 2,2 y 2 + 2a 1,3 xt + 2a 2,3 yt + a 3,3 t 2 le cui matrici (simmetriche) sono, rispettivamente, ( a1,1 a A 1,2 a 1,2 a 2,2 ), B a 1,1 a 1,2 a 1,3 a 1,2 a 2,2 a 2,3 a 1,3 a 2,3 a 3,3 e dette rispettivamente matrice dei termini di secondo grado della conica e matrice (completa) della conica. Si noti che (x, y, 1)B x y 1 a 1,1 x 2 + 2a 1,2 xy + a 2,2 y 2 + 2a 1,3 x + 2a 2,3 y + a 3,3. Esempio Nel piano con fissato sistema di riferimento Oxy si consideri la conica C di equazione 3x 2 + 2xy + 3y x 0. Allora la matrice dei termini di scondo grado di C e la matrice di C sono rispettivamente 3 1 A, B Sia ora O x y un nuovo sistema di riferimento nel piano legato ad Oxy da una certa rototraslazione x cos ϕ sin ϕ x u y sin ϕ cos ϕ y + v

3 LEZIONE 23 3 (si veda la Proposizione ) e supponiamo che C sia rappresentata rispetto a tale sistema dall equazione (x, y, 1)B x y 1 0 Qual è allora il legame tra B e B? Chiaramente la rototraslazione di cui sopra si può scrivere in forma compatta x y 1 Sostituendo otteniamo allora la seguente cos ϕ sin ϕ u sin ϕ cos ϕ v x y 1 Proposizione Nel piano siano fissati due sistemi di riferimento Oxy e O x y. Si assuma che il semiasse positivo delle x formi un angolo ϕ (misurato in senso antiorario) con il semiasse positivo delle x e che le coordinate di O rispetto al sistema di riferimento Oxy siano (u, v). Poniamo Q cos ϕ sin ϕ u sin ϕ cos ϕ v ( cos ϕ sin ϕ, P sin ϕ cos ϕ Sia poi C una conica rispettivamente avente matrici complete B e B e matrici del complesso dei termini di grado 2 A ed A nei due sistemi di riferimento. Allora esiste λ R non nullo e tale che λb t QBQ e λa t P AP. Si comprende quindi che, data una conica C di Equazione (23.1.2), per determinare una sua equazione canonica si può procedere come segue. Si determina prima una matrice ortogonale speciale che diagonalizzi la matrice A del complesso dei termini di secondo grado di C. In questo modo l equazione di C viene trasformata in una della forma â 1,1 x 2 + â 2,2 ŷ 2 + 2â 1,3 x + 2â 2,3 ŷ + â 3,3 0. Ciò equivale a una rotazione che ci fa passare dal vecchio sistema di riferimento Oxy ad un sistema di riferimento ausiliare O xŷ. A questo punto con trasformazioni del tipo ( x, ŷ) (x +a, y +b) (cioè formando i quadrati: è il metodo con cui si risolvono le equazioni di secondo grado!) si fa in modo che scompaiano il massimo numero di monomi di grado 1 e, eventualmente, il termine noto. L equazione risultante diviene αx 2 + βy 2 γ, ).

4 UN ESEMPIO se det(a) 0, oppure βy 2 2γx, se det(a) 0, dunque è in forma canonica. Ciò equivale a una traslazione che ci fa passare dal sistema di riferimento ausiliario O xŷ al nuovo sistema di riferimento Oxy Un esempio. Illustriamo quanto visto sopra con un esempio. dell Esempio di equazione Consideriamo la conica C (23.2.1) 3x 2 + 2xy + 3y x 0. Le matrici associate a C sono A 3 1, B Il polinomio caratteristico di A è p A (t) 3 t t t2 6t + 8 (t 2)(t 4), quindi gli autovalori di A sono 2 e 4. E A (2) si determina risolvendo il sistema ( ) s t 0. 0 Concludiamo che E A (2) L( t ( 1 1 )). Poiché sappiamo che l autospazio relativo all altro autovalore 4 contiene autovettori non nulli (per definizione) ortogonali agli autovettori di E A (2) (perché A è simmetrica: si veda la Proposizione ), sappiamo che E A (4) L( t ( 1 1 )). Quindi la matrice ortogonale speciale cercata è ( ) 2/2 2/2 P 2/2 2/2 e la rotazione corrispondente è ( ) x 2/2 2/2 y x 2/2 2/2 y o, equivalentemente, { x 2/2 x + 2/2ŷ y 2/2 x + 2/2ŷ.

5 LEZIONE 23 5 La conica C nel sistema di riferimento ausiliare O xŷ ha matrice del complesso dei termini di secondo grado 2 0 Â. 0 4 Per determinare i monomi di grado 1 nella sua equazione relativa a O xŷ basta sotituire nell Equazione (23.2.1) le espressioni di x ed y in funzione di x e ŷ nei monomi di grado 1. Quindi la sua equazione è Si noti che 2 x 2 + 4ŷ x + 2ŷ 0. 2 x x 2( x 2 + x) 2(( x + 1/2) 2 1/4) 2( x + 1/2) 2 1/2, 4ŷ 2 + 2ŷ 4(ŷ 2 + ŷ/2) 4((ŷ + 1/4) 2 1/16) 4(ŷ + 1/4) 2 1/4. Ponendo x x + 1/2 e y ŷ + 1/4, l equazione di C rispetto al sistema di riferimento O x y diviene 2x 2 + 4y 2 3/4 0, che è un equazione canonica. infine l equazione (23.2.2) Moltiplicando ambo i membri per 4/3 otteniamo 8 3 x y 2 1. Deduciamo che C è un ellisse di semiassi 3/8 e 3/16. Le equazioni della rototraslazione che trasforma l Equazione (23.2.1) nell Equazione (23.2.2) sono (23.2.3) x y ( ) 2/2 2/2 x 2/2 2/2 y + ( ) 3 2/8. 2/8 Il centro di C è il punto che, del nuovo sistema di riferimento, è l origine. Quindi è il punto che ha coordinate (0, 0) rispetto a O x y. Dalle Equazioni (23.2.3) deduciamo allora che il centro di C ha coordinate ( 3 2/8, 2/8) rispetto a Oxy. Gli assi di C sono le rette che, del nuovo sistema di riferimento, sono gli assi coordinati. Quindi sono le rette di equazioni x 0 e y 0 rispetto a O x y. Dalle Equazioni (23.2.3) deduciamo che x y ( ) 2/2 2/2 x + 2/2 2/2 y 1/2, 1/4

6 DETERMINAZIONE DEL TIPO DI UNA CONICA dunque gli assi di C sono le rette di equazione 2x 2y e 2 2x + 2 2y rispetto a Oxy. In maniera simile il lettore determini le coordinate dei vertici di C rispetto a Oxy. Per disegnare C, oltre alle informazioni già determinate, può essere utile calcolare le intersezioni con gli assi x ed y. Per calcolare le intersezioni di C con l asse delle ordinate risolviamo il sistema { 3x 2 + 2xy + 3y x 0 x 0 la cui unica soluzione è (0, 0). Le intersezioni con l asse delle ascisse sono invece date dalle soluzioni del sistema { 3x 2 + 2xy + 3y x 0 y 0 cioè (0, 0) e ( 2 2/3, 0). Di seguito riportiamo il disegno della conica C. y y' ŷ O' OÔ x x' xˆ Figura Determinazione del tipo di una conica. In quest ultimo paragrafo facciamo alcune osservazioni. Abbiamo visto sopra che ogni conica C ha una forma canonica ed abbiamo trattato in dettaglio un esempio. Viene allora spontaneo domandarsi se c è un metodo che, a priori, ci permetta di stabilire se C è una conica classica o no e, nel caso C sia classica se sia un ellisse, un iperbole od una parabola. A tale scopo nel seguito indicheremo con A la matrice dei termini di secondo grado di C e con B la sua matrice completa.

7 LEZIONE 23 7 Definizione Una conica C si dice degenere se la sua equazione si decompone in un prodotto di due polinomi di grado 1 (non necessariamente distinti), non degenere altrimenti. È facile rendersi conto guardando l Esempio che una conica in forma canonica è degenere se e solo se la sua matrice B ha determinante nullo. Poiché la matrice B di C è legata a quella B della sua forma canonica da una relazione del tipo λb t QBQ per un qualche λ R non nullo (si veda la Proposizione ), calcolando i determinanti di ambo i membri si deduce che Proposizione Una conica C è degenere se e solo se la sua matrice B ha determinante nullo. Supponiamo che C sia non degenere: allora o C è un ellisse immaginaria, oppure è una conica classica Supponiamo di essere in questo secondo caso. Se αx 2 + βy 2 γ è una sua equazione canonica, C è un ellisse, un iperbole od una parabola secondoché α e β siano concordi, discordi, od uno di essi sia nullo. Indicata con A α 0 0 β la matrice dei termini di secondo grado della forma canonica di C sappiamo che λa t P AP per un qualche lambda R non nullo (si veda la Proposizione ). Deduciamo allora che C è un ellisse, un iperbole od una parabola secondoché A, e dunque A, sia definita, indefinita, semidefinita. Quanto visto sopra ci permette anche di classificare una conica determinandone la sua equazione canonica senza necessariamente determinare la rototraslazione che la riduce in forma canonica. Esempio Si consideri la conica C di equazione 4x 2 + 4xy + y + y 2 0. Le matrici associate a C sono 4 2 A, B Poiché det(b) 16 0, la conica C è non degenere. Poiché det(a) 0, la conica C è una parabola. Se vogliamo determinarne l equazione canonica osserviamo che le matrici Q e P definite nella Proposizione soddisfano le relazioni t QBQ λb λ 0 0 γ 0 β 0 γ 0 0, t P AP λa 0 0 λ, 0 β

8 DETERMINAZIONE DEL TIPO DI UNA CONICA per un qualche λ R non nullo. Poiché l equazione di una conica e, di conseguenza, la sua matrice completa, è individuata a meno di una costante moltiplicativa, possiamo sempre supporre che sia λ 1. Quindi β deve essere l autovalore non nullo di A, cioè β 5. Confrontando i determinanti di B e B si ottiene βγ 2 16, cioè γ 4/ 5. Concludiamo che C è una parabola la cui equazione canonica è 5y x. Il parametro di C è dunque 8/5 5. Di seguito riportiamo il disegno di C. y' O' x' Figura Esempio Si consideri la conica C di equazione Le matrici associate a C sono A 7x 2 + 8xy + y 2 + 9x , B / /2 0 1 Poiché det(b) 45/4 0, la conica C è non degenere. Poiché det(a) 9, la conica C è un iperbole. Se vogliamo determinarne l equazione canonica osserviamo che dobbiamo determinarne le matrici Q e P definite nella Proposizione tali che t QBQ B α β γ,. t P AP A α 0. 0 β

9 LEZIONE 23 9 Quindi α e β devono essere gli autovalori di A, cioè α 9 e β 1, e confrontando i determinanti di B e B, αβγ 45/4, cioè γ 5/4. Concludiamo che C è un iperbole la cui equazione canonica è 9x 2 y 2 5/4. Moltiplicando ambo i membri per 4/5 otteniamo 36 5 x y 2 1. I semiassi di C sono dunque 5/6 (quello corrispondente all asse immaginario) e 5/2 (quello corrispondente all asse trasverso). Di seguito riportiamo il disegno di C nel sistema di riferimento Ox y. y' O' x' Figura Tale ultima equazione non è l equazione standard data nell Esempio Per ottenere l equazione in tale forma standard consideriamo la rotazione di π/2 radianti x 0 1 x y 1 0 y che trasforma l equazione di C nell equazione standard 4 5 x y 2 1. Di seguito riportiamo il disegno di C nel sistema di riferimento Ox y.

10 DETERMINAZIONE DEL TIPO DI UNA CONICA x'' y'' O' Figura