Teoria generale delle coniche 1 / 19

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1 Teoria generale delle coniche 1 / 19

2 Caso a / 19 Prima di passare all aspetto puramente analitico conviene visualizzare la situazione geometrica esaminando la seguente figura, che rappresenta un ellisse in un sistema ruotato e traslato: y y y b O a x γ x ϑ O x

3 Caso a / 19 Si può pensare che l ellisse γ sia descritta da un equazione del tipo γ : a 11 x 2 + 2a 12 xy+a 22 y 2 + 2a 13 x+2a 23 y+a 33 = 0, (1) con a Ma, nel riferimento O x y, l equazione di γ sarà x 2 a 2 + y 2 = 1. (2) b2

4 Caso a / 19 Riassumendo, il problema è il seguente: individuare la roto-traslazione che consente di passare da (1) a (2). Per prima cosa bisogna individuare gli assi tratteggiati in figura, ovvero determinare l angolo di rotazione θ in modo da azzerare il coefficiente a 12. Analiticamente, ciò corrisponde a costruire la matrice di rotazione P che diagonalizza la matrice simmetrica A. Fatto questo, poi si conclude individuando la traslazione necessaria mediante completamento dei quadrati, come illustrato nell analisi del caso a 12 = 0.

5 Esercizio 5 / 19 Esercizio: Studiare la conica γ definita da 2x 2 + 4xy+5y 2 + 4x+13y 1 = 0. (3) 4 Soluzione: Passo 1 (Diagonalizzazione di A): ] P A P=[ t 1 0, (4) 0 6 con P= (5)

6 Esercizio 6 / 19 Passo 2 (Primo cambio di coordinate): x= 1 5 [2x + y ] y= 1 5 [ x + 2y ]. (6) Ora possiamo trasformare la (3) per esprimere γ in funzione delle coordinate x, y. Senza calcoli, possiamo subito scrivere il risultato relativo alla parte quadratica, che è il seguente: 2x 2 + 4xy+5y 2 = λ 1 x 2 + λ 2 y 2 = x 2 + 6y 2. (7) Poi, usando (6) in (3), completiamo la trasformazione dell equazione di γ ottenendo (verificarlo è utile) x 2 + 6y 2 5x + 6 5y 1 = 0. (8) 4

7 Esercizio Passo 3 (Secondo cambio di coordinate): Utilizzando ora il metodo di completamento dei quadrati in (8), possiamo determinare la traslazione conclusiva: l equazione (8) di γ equivale a [x 5 2 ] [y + ( 5 2 ]2 3 2 )2 = 1. (9) Ora si conclude introducendo le coordinate traslate x = x 5 2 (10) y = y Rispetto a queste coordinate l equazione (9) di γ si presenta nella forma canonica richiesta: x 2 a 2 + y 2 = 1, (11) b2 3 con a=3, b= 2. 7 / 19

8 Esercizio Concludiamo questo esercizio osservando che la trasformazione che lega le coordinate x, y di partenza alle coordinate finali x, y è la roto-traslazione [ x y ] [ = t x P y dove P è la matrice di rotazione (5). ] [ 5/2 5/2 ], (12) 8 / 19

9 9 / 19 Fatti generali complementari Il metodo dell esercizio precedente consente uno studio completo di qualunque conica. D altra parte, è giusto segnalare che, in molte situazioni pratiche, l esplicitazione della roto-traslazione che conduce alla forma canonica di γ può richiedere calcoli anche lunghi e complessi. Quindi, se si vuole ottenere solo un numero più limitato di informazioni su γ, conviene tenere conto di quanto segue: Supponiamo deta 0 (cioè, γ non degenere). Allora: (i) deta>0 (ii) deta<0 (iii) det A = 0 γ è un ellisse; γ è un iperbole; γ è una parabola. Si noti che queste sono semplici conseguenze del fatto che deta=λ 1 λ 2.

10 Fatti generali complementari 10 / 19 Supponiamo di essere nella situazione (i) o (ii) (cioè, ellisse o iperbole). Un analisi (tediosa) del processo di costruzione della roto-traslazione consente di affermare che, in un opportuno sistema di coordinate, l equazione di γ è λ 1 x 2 + λ 2 y 2 = deta det A. (13) Nel caso invece della parabola (iii), la (13) deve essere sostituita da (posto λ 2 = 0, λ 1 0) λ 1 x 2 4det A λ 1 y = 0. (14)

11 Fatti generali complementari 11 / 19 Infine segnaliamo che, nel caso di ellisse o iperbole, il centro della conica coincide con la soluzione del sistema lineare seguente: { a11 x+a 12 y+a 13 = 0 (15) a 12 x+a 22 y+a 23 = 0.

12 Esercizio Esercizio: Sia γ la conica definita da x 2 4xy 2y 2 + 3x 3y+5=0. (16) (i) Stabilire di che tipo di conica si tratta; (ii) Determinare una forma canonica di γ. Soluzione: (i) La matrice della conica γ è A = (17) Poiché deta = , γ è non degenere. 12 / 19

13 Esercizio 13 / 19 La matrice della parte quadratica di γ è [ ] 1 2 A= 2 2. (18) Poiché deta= 6<0, γ è un iperbole. (ii) Gli autovalori di A sono λ 1 = 2, λ 2 = 3. Usando la (13), otteniamo 2x 2 3y 2 75 = 0. (19) 24

14 Quadriche 14 / 19 Le quadriche sono superfici in R 3 definite da un equazione di secondo grado in x,y,z. Come per le coniche, è disponibile una teoria di riduzione a forma canonica basata sulla diagonalizzazione della matrice simmetrica (di ordine 3) associata alla parte quadratica dell equazione. La forma canonica delle quadriche è una delle due seguenti (α,β,γ,δ R): αx 2 + βy 2 + γz 2 = δ ; (20) αx 2 + βy 2 = 2δz. (21) Se tutti i coefficienti in (20) o (21) sono non nulli, allora la quadrica è non degenere. Questa è la situazione geometricamente più interessante e ora presentiamo una breve illustrazione dei relativi casi.

15 Quadriche non degeneri x 2 a 2 + y2 b 2 + z2 = 1 (ellissoide); (22) c2 z x y 15 / 19

16 16 / 19 Quadriche non degeneri x 2 a 2 + y2 b 2 z2 = 1 c2 (iperboloidea1falda); (23) z x

17 Quadriche non degeneri 17 / 19 x 2 a 2 y2 b 2 z2 = 1 (iperboloidea2falde). (24) c2 z [0, 0, c] O

18 Quadriche non degeneri x 2 a 2 + y2 = 2z (paraboloideellittico); (25) b2 z O x y 18 / 19

19 Quadriche non degeneri 19 / 19 x 2 a 2 y2 = 2z b2 (paraboloideiperbolico (o, a sella)). (26) z x y