INSIEMI DI NUMERI COMPLESSI E LORO RAPPRESENTAZIONE SUL PIANO COMPLESSO. di Francesco Camia

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1 INSIEMI DI NUMERI COMPLESSI E LORO RAPPRESENTAZIONE SUL PIANO COMPLESSO di Francesco Camia 1)Rappresentare nel piano complesso gli insiemi: A = { 2, 3 }, B = { : =+1+2, }. Siccome nel piano complesso e costituiscono rispettivamente l ascissa e l ordinata dell immagine del numero complesso z, l insieme A è rappresentato dall angolo retto contenente i punti d ascissa maggiore o uguale a 2 e ordinata minore o uguale a 3 (parte tratteggiata nella figura seguente): Per ottenere gli elementi di B occorre addizionare alle ascisse e alle ordinate degli elementi di A rispettivamente i numeri 1 e 2; occorre cioè traslare secondo il vettore (1;2) ogni punto dell insieme sopra disegnato. Risulta quindi B = { 3, 5 }, in pratica il traslato di A secondo il vettore (1;2), parte tratteggiata nella figura seguente: 5 3

2 2) Rappresentare nel piano complesso gli insiemi: A = { 3, 0 }, B = { =, }. indica il modulo del numero complesso z, che fornisce la misura della distanza del punto con affissa z dall origine; la prima condizione dell insieme A individua quindi il cerchio con centro lo origine e raggio 3. indica l argomento principale di z, cioè l angolo θ ( con 0 θ < 2π ) di cui si deve ruotare l asse reale per sovrapporlo, in direzione e verso, al raggio vettore che rappresenta z; la seconda condizione dell insieme A individua quindi l angolo di vertice l origine e con lati il semiasse reale non negativo e la semiretta uscente dall origine e formante con l asse reale un angolo d ampiezza π/3. L insieme A è quindi rappresentato dal settore circolare evidenziato in figura. L opposto di un numero complesso z viene rappresentato da un punto che è il simmetrico rispetto l origine del punto rappresentante z; ne segue che l insieme B è il simmetrico rispetto l origine dell insieme A. Risulta ={ 3, } che è rappresentato in figura.

3 3) Rappresentare nel piano complesso i seguenti insiemi: ={ : 3 = + }, ={ :=, } Scrivendo z in forma algebrica z=x+iy, risulta: 3 = + 3, + = ++1.La condizione per individuare i punti di A è + 3 = ++1 da cui si ottiene y = 1 che è l equazione della retta rappresentata in rosso in figura. Altrimenti si poteva osservare che 3 e + rappresentano le distanze del punto d affissa z rispettivamente dai punti d affissa 3i e -i, e che quindi i punti dell insieme A sono tutti e soli quelli equidistanti dai punti d affissa 3i e -i, cioè A è l asse del segmento congiungente i due suddetti punti; tale asse è appunto la retta d equazione y=1. Siccome due numeri complessi coniugati si rappresentano nel piano complesso mediante due punti simmetrici rispetto all asse reale, l insieme B sarà il simmetrico dell insieme A rispetto all asse reale, cioè la retta d equazione y = -1 (rappresentata in blu in figura). A B

4 4)Rappresentare nel piano complesso gli insiemi: ={ : >1,5, = }, ={ :=2, }. La prima condizione dell insieme A individua l insieme dei punti esterni alla circonferenza con centro nell origine e raggio di misura 1,5, la seconda condizione individua i punti della bisettrice del II e IV quadrante; l insieme A è quindi rappresentato in rosso nella figura che segue: I punti dell insieme che rappresenta B hanno ascissa e ordinata doppie rispettivamente di quelle dei punti che rappresentano l insieme A; B è quindi il trasformato di A mediante un omotetia (diretta) con centro l origine e rapporto 2; = { : >3, = } evidenziato in blu nella figura che segue:

5 5)Rappresentare nel piano complesso gli insiemi: = : 2 3,, = { : =, }. Ricordando i significati geometrici di e di (illustrati nel precedente esercizio 3), si deduce che A è rappresentato dal settore di corona circolare riportato nella figura seguente: A Siccome sugli elementi di A si hanno informazioni a livello di modulo e argomento principale, conviene scrivere z, i, w in forma esponenziale: =, = /. Risulta = /, da cui, ricordando le proprietà delle operazioni in C, si ha = ; gli elementi di B sono quindi ottenuti da quelli di A mediante una rotazione di π/2 con centro nell origine. = : 2 3,, rappresentato nella figura seguente. B

6 6) Rappresentare nel piano complesso gli insiemi: = { : 1, 0 }, = : =1+ 3,. A è rappresentato dal semicerchio d ordinata non negativa con centro l origine e raggio unitario. Scrivendo z e 1+ 3 in forma esponenziale, si ha : =, 1+ 3=2 /, da cui, in base alle proprietà delle operazioni in C, si ha: =2 / =2. I punti di B si ottengono pertanto da quelli di A mediante una roto-omotetia composta da: una rotazione di π/3 con centro l origine, un omotetia (diretta) con centro l origine e rapporto 2. Risulta = : 2,, rappresentato nella figura che segue: Luglio 2010