Applicazioni del teorema di Gauss

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Beata Perrone
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1 Prof. A.Guarrera Liceo Scientifico Galilei - Catania Applicazioni del teorema di Gauss Campo elettrostatico di una distribuzione di carica uniforme e filiforme (filo carico) di densità lineare di carica. Osserviamo che in un punto esterno al filo infinito (distante ha direzione perpendicolare alla distribuzione. da questi) il vettore campo elettrico filo carico Infatti, per questioni di simmetria, per ogni elemento infinitesimo di carica se ne trova uno uguale e opposto,, rispetto al piede della perpendicolare sulla retta rispetto a in modo tale che i componenti del campo elettrico paralleli alla distribuzione si elidano vicendevolmente. Tale situazione si verifica per qualsiasi punto esterno al filo. Scegliamo, dunque, come superficie gaussiana, la superficie definita di un cilindro retto di altezza con asse coincidente alla distribuzione; la superficie totale può essere scomposta in due parti: la superficie laterale del cilindro; le due superfici di base con raggi pari alla distanza tra il punto e il filo.

2 Sulla superficie laterale si può osservare il parallelismo tra il vettore campo elettrico e il vettore superficie (esterno), cioè tali vettori formano un angolo di ampiezza ; per definizione di prodotto scalare Sulle superfici di base si può osservare la perpendicolarità tra il vettore campo elettrico e il vettore superficie (esterno), cioè tali vettori formano un angolo di ampiezza ; per definizione di prodotto scalare In altri termini, riguardando tutta la superficie cilindrica, si ha Ricordando che il cilindro ha raggio (pari alla distanza tra il filo e il punto) e altezza, la superficie laterale misura ; se la densità di carica lineare è costante ed è, è la carica situata sul tratto del filo, si può ottenere, tramite la formula inversa ( ), il valore della carica presente all interno della superficie gaussiana scelta:. esplicitando il campo elettrico (intensità) si giunge a

3 Applicazioni del teorema di Gauss Campo elettrostatico di una distribuzione di carica uniforme e superficiale (piano carico) di densità superficiale di carica. Osserviamo che in un punto esterno al piano (distante direzione perpendicolare alla distribuzione. da questi) il vettore campo elettrico ha Infatti, per questioni di simmetria, per ogni elemento infinitesimo di carica se ne trova uno uguale e opposto,, rispetto al piede della perpendicolare sulla retta rispetto a in modo tale che i componenti del campo elettrico paralleli alla distribuzione si elidono vicendevolmente. Tale situazione si verifica per qualsiasi punto esterno al piano. piano carico Scegliamo, dunque, come superficie gaussiana, la superficie di un cilindro retto di altezza asse perpendicolare al piano; la superficie totale può essere scomposta in due parti: la superficie laterale del cilindro; le due superfici di base di raggio, una contenente e l altra simmetrica rispetto al piano. con

4 Sulle superfici di ciascuna base si può osservare il parallelismo tra il vettore campo elettrico e il vettore superficie (esterno), cioè tali vettori formano un angolo di ampiezza ; per definizione di prodotto scalare Sulla superficie laterale si può osservare la perpendicolarità tra il vettore campo elettrico e il vettore superficie (esterno), cioè tali vettori formano un angolo di ampiezza ; per definizione di prodotto scalare In altri termini, riguardando tutta la superficie cilindrica e, in particolare, le superfici delle due basi, si ha Ricordando che il cilindro ha raggio, la superficie di ciascuna base misura ; se la densità di carica superficiale è costante ed è, è la carica situata nella regione del piano, si può ottenere, attraverso la formula inversa ( all interno della superficie gaussiana scelta:. ), il valore della carica presente esplicitando il campo elettrico (intensità) si giunge a: ; si osserva l indipendenza del modulo del vettore campo elettrico dalla distanza del punto dal piano.

5 Applicazioni del teorema di Gauss Campo elettrostatico di una distribuzione di carica uniforme e sferica di carica complessiva raggio. e CASO 1: il punto è interno alla sfera. Osserviamo che in un punto interno alla sfera il vettore campo elettrico ha direzione radiale. Infatti, per questioni di sfera carica simmetria, per ogni elemento infinitesimo di carica se ne trova uno uguale,, tale che la distanza tra e sia la medesima presente tra e ; in tal modo i componenti del campo elettrico perpendicolari alla distanza tra il centro della sfera e il punto si elidono vicendevolmente. Tale situazione si verifica per qualsiasi punto interno alla sfera. Scegliamo, dunque, come superficie gaussiana, la superficie di una sfera con centro in (pari alla distanza tra il centro della sfera e il punto ). e raggio Sulle superficie gaussiana si può osservare il parallelismo tra il vettore campo elettrico e il vettore superficie (esterno), cioè tali vettori formano un angolo di ampiezza ; per definizione di prodotto scalare Ricordiamo che la superficie gaussiana è data da carica,. ; tale superficie gaussiana racchiude la esplicitando il campo elettrico (intensità) si giunge a: ; si osserva che il modulo del vettore campo elettrico aumenta proporzionalmente con la, con.

6 CASO 2: il punto è sulla superficie della sfera. Osserviamo che in un punto sulla superficie della sfera il vettore campo elettrico ha direzione radiale. Infatti, per sfera carica questioni di simmetria, per ogni elemento infinitesimo di carica se ne trova uno uguale,, tale che la distanza tra e sia la medesima presente tra e ; in tal modo i componenti del campo elettrico perpendicolari alla distanza tra il centro della sfera e il punto si elidono vicendevolmente. Tale situazione si verifica per qualsiasi punto sulla superficie della sfera. Scegliamo, dunque, come superficie gaussiana, la superficie di una sfera con centro in (pari al quello dell intera sfera carica). e raggio Sulle superficie gaussiana si può osservare il parallelismo tra il vettore campo elettrico e il vettore superficie (esterno), cioè tali vettori formano un angolo di ampiezza ; per definizione di prodotto scalare Ricordiamo che la superficie gaussiana è data da. esplicitando il campo elettrico (intensità) si giunge a: ; si osserva che il modulo del vettore campo elettrico è uguale a quello di una carica puntiforme: è come se tutta la carica della sfera fosse concentrata nel suo centro.

7 CASO 3: il punto è esterno alla sfera Osserviamo che in un punto esterno alla sfera il vettore campo elettrico ha direzione radiale. Infatti, per questioni di simmetria, per ogni sfera carica elemento elementare di carica se ne trova uno uguale tale che la distanza tra e sia la medesima presente tra e ; in tal modo le componenti del campo elettrico perpendicolari alla distanza tra il centro della sfera e il punto si elidono vicendevolmente. Tale situazione si verifica per qualsiasi punto esterno alla sfera. Scegliamo, dunque, come superficie gaussiana, la superficie di una sfera con centro in (pari alla distanza tra il centro della sfera e il punto ). e raggio Sulle superficie sferica si può osservare il parallelismo tra il vettore campo elettrico e il vettore superficie (esterno), cioè tali vettori formano un angolo di ampiezza ; per definizione di prodotto scalare Ricordiamo che la superficie sferica ha raggio, cioè l intera carica della sfera. ; la superficie gaussiano racchiude esplicitando il campo elettrico (intensità) si giunge a: ; si osserva che il modulo del vettore campo elettrico è uguale a quello di una carica puntiforme: è come se tutta la carica della sfera fosse concentrata nel suo centro.

8 Riassumendo i tre casi: per un punto interno alla sfera per un punto sulla superficie della sfera per un punto esterno alla sfera Analizziamo il campo nel caso limite in cui da il punto interno sia il centro della sfera: Analizziamo il campo nel caso limite in cui da un punto interno si passa a un punto sulla superficie: Analizziamo il campo nel caso limite in cui da un punto esterno si passa a un punto sulla superficie: Rappresentazione del modulo del campo elettrico ( ) in funzione della distanza ( )

9 N.B. Analizziamo la situazione in cui vi siano due lastre di carica opposta, l una di fronte all altra come in figura. (Si suppone che le due lastre abbiano la stessa densità di carica) Dato che vale il principio di sovrapposizione, è facile notare come nell area compresa tra le due lastre i vettori campo si sommino, mentre all esterno si annullino. (Ricordiamo che i vettori rappresentanti un campo si disegnano entranti se le cariche sono negative, uscenti se sono positive). Il campo totale è dato dalla somma algebrica dei due campi. E tot = σ σ σ + = 2 ε ε ε

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