Potenziale Elettrico. r A. Superfici Equipotenziali. independenza dal cammino. 4pe 0 r. Fisica II CdL Chimica

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1 Potenziale Elettrico Q V 4pe 0 R Q 4pe 0 r C R R R r r B q B r A A independenza dal cammino Superfici Equipotenziali

2 Due modi per analizzare i problemi Con le forze o i campi (vettori) per determinare posizione e velocità di un corpo in moto. Con l energia (scalare) per determinare l evoluzione di un sistema da uno stato iniziale ad uno finale. Energia Potenziale Elettrica L energia potenziale elettrica di un sistema di particelle puntiformi fisse è uguale al lavoro che un agente esterno deve fornire per aggregare il sistema stesso.

3 Forze Conservative e Conservazione Energia l energia totale è costante ed è la somma di energia cinetica e energia potenziale Conservazione energia meccanica di una particella Energia Cinetica non-relativistica Energia Potenziale determinata dalla legge di forza per Forze Conservative l energia totale è costante: energia totale = K+U = cost esempi di forze conservative gravità; energia potenziale gravitazionale U(x)=mgx elastica; molla (legge di Hooke): U(x)=kx 2 elettrica; energia potenziale elettrica U(x)=kq 1 q 2 /x esempi di forze non-conservative (dissipative) attrito moto viscoso (velocità limite)

4 Le forze elettriche sono conservative Consideriamo una particella carica che si sposta attraverso una regione in presenza di un campo elettrico statico: una carica negativa è attratta verso la carica positiva fissa - + la carica negativa possiede più energia potenziale e meno energia cinetica lontano dalla carica fissa positiva, e più energia cinetica e meno energia potenziale vicino la carica positiva fissa. Tuttavia, l energia totale si conserva Introduciamo ora l energia potenziale elettrica ed il potenziale elettrostatico.

5 Potenziale Elettrico e Energia Potenziale Immaginiamo una carica di prova, Q o, in un campo elettrico esterno, E (x,y,z) (Ciascuna componente E x E y E z è una funzione di x,y,z) Qual è l energia potenziale, U (x,y,z) della carica in questo campo? Definiamo arbitrariamente dove U(x,y,z) è nulla: a distanza infinita (per distribuzioni di carica che sono finite) U (x,y,z) è eguale al lavoro necessario per portare Q o dal punto dove U è nulla al punto (x,y,z) Definiamo V (x,y,z) mediante U (x,y,z) = Q o V(x,y,z) U dipende da Q o, ma V è independente da Q o (che può essere + oppure -) V (x,y,z) è il potenziale elettrico associato con E (x,y,z) V(x,y,z) è un campo scalare

6 Potenziale Elettrico... Supponiamo che la carica q 0 si muova da A E a B attraverso una regione di spazio in cui q 0 è presente il campo elettrico E. A B Poichè sulla carica agirà una forza dovuta ad E, una certa quantità di lavoro W AB dovrà essere fatto per ottenere questo risultato. Definiamo la differenza di potenziale elettrico come: W AB è la differenza di energia potenziale per andare da A a B È una buona definizione? È V B - V A indipendente da q 0? È V B - V A indipendente dal cammino? DV ha una intensità ed un segno: +/- Se - (V B più basso), il lavoro svolto dal campo è negativo, mentre è positivo quello svolto dalla forza esterna F e Unità di misura: Volt=Joule/Coulomb

7 Indipendente dalla carica di prova? Per muovere una carica in un campo E, dobbiamo applicare una forza eguale ed opposta a quella cui è soggetta la carica a causa della presenza del campo E. lavoro = forza spostamento F elet F applicata = -F elet q 0 A E B Indipendente dalla carica. una carica positiva cadrà da un potenziale più alto ad uno più basso guadagnando Energia Cinetica, ovvero un lavoro negativo esterno viene svolto. per far andare una carica positiva di prova dal punto a potenziale più basso a quello più alto è necessario spendere energia svolgere un lavoro esterno (ovvero la particella potrebbe perdere energia cinetica)

8 Esempio 1 una carica singola ( Q = -1mC) è fissa all origine. Definire un punto A a x=+5m e un punto B a x = +2m. Qual è il segno della differenza di potenziale tra A e B? (V AB V B - V A ) -1mC B A x (a) V AB < 0 (b) V AB = 0 (c) V AB > 0 La maniera più semplice per ricavare il segno della differenza di potenziale è di immaginare di porre una carica positiva nel punto A e determinare se un lavoro positivo o negativo debba essere svolto nel muovere la carica al punto B. Una carica positiva in A sarebbe attratta verso la carica da -1mC; pertanto un lavoro esterno NEGATIVO dovrebbe essere svolto per muovere la carica da A a B. (si noti, il campo E esegue un lavoro positivo su questa carica positiva) Si può anche determinare il segno direttamente dalla definizione: Poichè, V AB <0!!

9 Indipendente dal Cammino? -F elet F elet q 0 A E B Definizione della differenza di potenziale : DV AB =V B V A. L integrale è la somma delle componenti tangenziali (al cammino) del campo elettrico lungo il percorso da A a B. La questione è: Dipende questo integrale dallo specifico percorso scelto per andare da A a B?

10 Vediamo se è veramente indipendente Consideriamo il caso di un campo costante: via diretta: A - B B h q r C E A dl via più lunga: A - C B Abbiamo almeno un esempio di un caso in cui l integrale è lo stesso per ENTRAMBI i cammini.

11 Lavoro e differenza (D) di Energia Potenziale W = F d cos(q) Gravità Elettrico mattone spostato y i y f F G = mg (giù) W G = -mgh DU G = +mgh carica spostata r f F E = kq 1 q 2 /r 2 W E = -kq 1 q 2 /r f DU E = +kq 1 q 2 /r f (sinistra) y f F g =mg F g =mg h F g =mg F g =mg F g =mg F g =mg y i F g =mg F g =mg r f

12 W 1 = 0 1. Lavoro da eseguire per avvicinare 3 cariche (da +1, +2 e +3 μc rispettivamente) W 2 = k q 1 q 2 /r =(9 109 )( )( )/5 =3.6 mj W 3 = k q 1 q 3 /r + k q 2 q 3 /r ( )( )( )/5 + ( )( )( )/5 =16.2 mj W totale = mj W E = mj DE en.pot.elettrica = mj (occhio ai segni!) 5 m m 5 m 2

13 2. Lavoro da eseguire per avvicinare 3 cariche negative (da -1, -2 e -3 μc rispettivamente) Quanto lavoro ci costerà avvicinare 3 cariche negative? cariche simili si respingono, quindi dovremo ancora eseguire un lavoro positivo! a) W = mj b) W = 0 mj c) W = mj 5 m m 5 m 2

14 3. Lavoro necessario per avvicinare 3 cariche (uguali in valore assoluto) 2 5 m m 5 m - 3 Il lavoro totale da eseguire (da parte vostra, cioè dello sperimentatore) per mettere insieme queste cariche è: a) positivo b) nullo c) negativo portare (1): lavoro nullo portare (2): lavoro positivo portare (3): lavoro negativo x 2

15 Potenziale Elettrico Unità Joules/Coulomb Volts Batterie Prese elettriche Celle fotovoltaiche Dinamo In realtà sono differenze di potenziale Linee Equipotenziali (equilivello) Le linee del campo puntano verso il basso (cioè verso linee equilivello di valore decrescente) a distanza r dalla carica q, avendo scelto in particolare V( ) = 0

16 Potenziale Elettrico: carica puntiforme Abbiamo considerato finora differenze di potenziale. Definiamo il potenziale elettrico di un punto nello spazio come la differenza di potenziale tra quel punto e un punto di riferimento. un buon punto di riferimento è l infinito... tipicamente si pone V =0 quindi il potenziale elettrico è definito come: per una carica puntiforme all origine, integriamo dall infinito lungo un certo asse, p.es. l asse x r è la distanza dall origine integrale di linea

17 Energia Potenziale Elettrica vs. Potenziale Elettrico Energia Potenziale Elettrica (U) l energia di una carica in un punto. Potenziale Elettrico (V) - proprietà di un punto nello spazio ci dice quale EPE avrebbe una carica q se fosse posta in quel punto (generalmente ci riferiamo a differenze di potenziale tra due punti): U = Vq Ciascuna delle due quantità è funzione solo del posto (scalare). Il segno è importante!

18 Potenziale Elettrico Dati tre punti A, B, C in un campo E uniforme C E uniforme A B Come è il potenziale elettrico nel punto A rispetto al punto B? 1) maggiore 2) eguale 3) minore Il campo elettrico va da A a B Il campo è uniforme così il potenziale elettrico è eguale in tutti i punti Il potenziale elettrico in A è minore del potenziale in B perchè il punto C interferisce con il massimo del potenziale in A.

19 Potenziale Elettrico Dati tre punti, A e B all interno di un conduttore e C all esterno, immersi in un campo E uniforme C A E uniforme conduttore B Il potenziale elettrico nel punto A è??? che nel punto B 1) maggiore 2) eguale 3) minore perchè il campo elettrico è nullo in ogni punto all interno di un materiale conduttore

20 Potenziale Elettrico + E C A B Il potenziale elettrico (generato dall unica carica positiva) nel punto A è??? che nel punto B 1) maggiore 2) eguale 3) minore Le linee del campo elettrico puntano verso il basso La linea AC è equipotenziale (perpendicolare ad E) La linea CB è verso il basso, così B è ad un potenziale più basso di A

21 Potenziale Elettrico generato da un Protone Qual è il potenziale elettrico ad una distanza r= m da un protone? (Sia V( )=0) V =U/q= k q/ r =( C 2 N -1 m -2 )( C) / m= 27.2 volts r f = m +

22 Potenziale dovuto ad un insieme di N cariche puntiformi Il potenziale da un insieme di N cariche è proprio la somma algebrica del potenziale dovuto a ciascuna carica separatamente. q 1 r 1 x DI NUOVO IL PRINCIPIO DI SOVRAPPOSIZIONE. q 2 r 2 r 3 q 3 In generale per un sistema di N cariche puntiformi, il potenziale in un punto a distanza r n da ciascuna carica vale:

23 Due Cariche Calcolare il potenziale elettrico nel punto A dovuto alle cariche presenti Calcolare V dalla carica +7mC Calcolare V dalla carica 3.5mC Sommarli V = kq/r V 7 =( C 2 N -1 m -2 )( C)/5m = V V 3 =( C 2 N -1 m -2 )( C)/5m = V A 4 m V tot = V 7 +V 3 = V Quanto lavoro bisogna spendere per portare una carica da 2 mc dall infinito al punto A? Q=+7.0mC 6 m Q=-3.5 mc W=DU=DVq =( V)(2mC) =+12.6 mj

24 Due Cariche Nella regione II (tra le due cariche) il potenziale elettrico è : 1) sempre positivo 2) positivo in alcuni punti, negativo in altri. 3) sempre negativo I II III Q=+7.0mC Q=-3.5 mc Molto vicino alla carica positiva il potenziale è positivo Molto vicino alla carica negativa il potenziale è negativo

25 Quale delle seguenti distribuzioni di carica produce V(x)= 0 per tutti i punti sull asse delle x? (si definisca V(x) 0 per x = ) +2mC +1mC +2mC +1mC +2mC -2mC x x x -2mC (a) -1mC -1mC (b) -2mC -1mC La soluzione consiste nel rendersi conto che per calcolare il potenziale totale in un punto, dobbiamo solo eseguire una somma ALGEBRICA dei contributi individuali Pertanto, per avere V(x)=0 per tutte le x, dobbiamo avere che i contributi +Q e -Q si annullino a vicenda, il che significa che qualunque punto sull asse x deve essere equidistante da +2mC e -2mC ed anche da +1mC e -1mC. Questa condizione è rispettata solo nel caso (a)! (c) +1mC

26 Potenziale dovuto a un dipolo elettrico Se P è abbastanza distante sarà r>>d e quindi Il potenziale presenta una simmetria cilindrica lungo l asse z e varia come 1/r 2 (diversamente da quello di una carica puntiforme che va come 1/r). Si noti che per q=90 si ha V=0 (nello spostare una carica nel piano xy il dipolo non compie lavoro). Si osservi anche che sul piano xy V=0, ma ciò non implica che E=0!

27 Potenziale Elettrico Curve Equipotenziali ed Energia

28 Superfici Equipotenziali Definizione: Il luogo dei punti con lo stesso potenziale. Esempio: per una carica puntiforme, le superfici equipotenziali sono sfere centrate sulla carica. PROPRIETA GENERALE : Il campo elettrico è sempre perpendicolare ad una superficie equipotenziale. Perchè? Sulla superficie, NON vi è variazione di V (perchè è equipotenziale!) Pertanto, Si può concludere allora, che è nullo. Se il prodotto scalare tra il campo vettoriale ed il vettore spostamento è nullo, quindi i due vettori sono perpendicolari, ovvero il campo elettrico è sempre perpendicolare alla superficie equipotenziale.

29 Superfici Equipotenziali di una sfera carica E r Superfici Equipotenziali Il campo elettrico della sfera carica ha una simmetria sferica. Il potenziale dipende solo dalla distanza dal centro della sfera, come ci si aspetta dalla simmetria sferica. Pertanto, il potenziale è costante su una sfera concentrica alla carica puntiforme. Queste superfici sono dette equipotenziali. Notare che il campo elettrico è perpendicolare alla superficie equipotenziale in tutti i punti.

30 Potenziale di una sfera uniformemente carica Esercizio Una sfera isolante di raggio R ha una densità di carica positiva ed uniforme con una carica totale Q. Determinare il potenziale elettrico: (a) all esterno e (b) all interno della sfera.

31 Potenziale di una sfera uniformemente carica Per il teorema di Gauss, al di fuori di una sfera uniformemente carica diretto radialmente verso l esterno essendo Q positiva. Per ottenere il potenziale nel punto B Per il teorema di Gauss, all interno di una sfera uniformemente carica

32 Potenziale di una sfera uniformemente carica

33 Potenziale di una sfera uniformemente carica

34 Potenziale di un guscio sferico conduttore carico Campo E (Legge di Gauss) r < a: V Q 4pe 0 a Q 4pe 0 r r >a: a a r Potenziale a r > a: r < a: E=0, quindi nessun ulteriore cambiamento in V fino a V(a)

35 Cosa significa questo risultato? Grafico della componente radiale del campo elettrico di un guscio sferico carico: E r Notare che dentro il guscio, il campo elettrico è nullo. Fuori dal guscio, il campo elettrico diminuisce come 1/r 2. a R r V Il potenziale per r >a è dato dall integrale di E r. Questo integrale è semplicemente l area sotto la curva E r. Q 4pe 0 a a R Q 4pe 0 r r a a

36 In definitiva... Se conosciamo il campo elettrico E, questa relazione permette di calcolare il potenziale V ovunque (noto per definizione V A, p.es. V A = 0 ) Potenziale dovuto ad N cariche: Le superfici equipotenziali sono superfici su cui il potenziale è costante.

37 Conduttori Tesi La superficie di un conduttore è sempre una superficie equipotenziale (infatti, l intero conduttore è equipotenziale) Perchè? Se la superficie non fosse equipotenziale, ci sarebbe una componente del campo elettrico parallela alla superficie e le cariche si muoverebbero di conseguenza!! Analogamente a quanto avviene all interno del conduttore. Il campo elettrico è perpendicolare alla superficie equipotenziale in tutti i punti lungo la superficie stessa, altrimenti, le cariche all interno si muoverebbero. Pertanto, spostandoci lungo la superficie, il potenziale non cambia

38 Carica sui Conduttori Come è distribuita la carica sulla superficie di un conduttore? Deve produrre E=0 dentro il conduttore e E normale alla superficie. esempio Sferico (con piccola carica fuori-centro): q E=0 dentro il guscio conduttore. la densità di carica indotta sulla superficie interna è non-uniforme. la densità di carica indotta sulla superficie esterna è uniforme E esterno ha una simmetria sferica rispetto al centro del guscio sferico conduttore.

39 Carica sui Conduttori Come è distribuita la carica su un conduttore non-sferico? Evidenza: la densità di carica è maggiore nelle zone con il più piccolo raggio di curvatura. piccola σ grande σ 2 sfere, connesse da un filo e distanti Entrambe allo stesso potenziale r S r L Inoltre La sfera più piccola ha la densità di carica superficiale maggiore! Sulla superficie di un conduttore aguzzo il campo elettrico può essere abbastanza intenso da ionizzare le molecole dell aria (scarica per effetto corona).

40 Superficie Equipotenziale (Esempio) Le linee del del campo sono più fitte in prossimità delle zone con grande curvatura. Le linee del campo sono ^ alla superficie in prossimità della stessa (poichè la superficie è equipotenziale). piccola σ piccolo E grande σ grande E Le linee equipotenziali hanno forma simile a quella della superficie (in prossimità della stessa). Le linee equipotenziali sono simili ad un cerchio (sfera in 3-D) per grandi r.

41 Sfera conduttrice Il massimo potenziale su un conduttore è limitato dal fatto che l aria circostante diventa conduttrice se essendo V=ER R=1 m R=1 cm R=0.1mm

42 Calcolo di E da V Possiamo ottenere il campo elettrico E dal potenziale V invertendo la precedente relazione tra E e V: V V+dV Espresso come un vettore,e è il gradiente negativo di V

43 Calcolo di E da V Che cosa significa che E è il gradiente negativo di V? coordinate cartesiane : coordinate sferiche : a parole: la direzione della più rapida diminuzione di V, (massima pendenza), è la direzione del campo E in quel punto, e l intensità (modulo) di E è esattamente la pendenza. Analogia con la gravità: Consideriamo il caso di un paesaggio (valli e monti)-- una palla accelera verso il basso, e la componente della forza gravitazionale che agisce sulla palla è il gradiente lungo il terreno scosceso. La palla inizia a muoversi lungo la direzione della maggiore pendenza. Lasciando la palla, il gradiente 3-D del potenziale gravitazionale punta verso il centro della Terra, ed è la forza dovuta alla gravità.

44 Calcolo di E da V: linee equipotenziali Le linee tratteggiate rappresentano i luoghi (geometrici) equipotenziali (V=cost.)

45 Calcolo di E da V: dipolo elettrico Si calcoli il campo elettrico in P. Essendo Da un problema precedente: e sostituendo Dalla relazione si ha

46 Calcolo di E da V: dipolo elettrico Sull asse del dipolo (x=0) in accordo con precedenti risultati, mentre lungo l asse z E x =0 per simmetria. Sul piano mediano del dipolo (z=0) per punti lontani: Anche questo in accordo con quanto già ricavato, con maggiore difficoltà, dalla legge di forza. Svolgere delle derivate è certamente più semplice che combinare i contributi della varie cariche al campo elettrico!

47 Calcolo di E da V: Esempio Consideriamo il seguente potenziale elettrico: Quale campo elettrico descrive?... esprimendolo come un vettore: si ha:

48 In definitiva... Se conosciamo il campo E ovunque, possiamo calcolare la funzione potenziale V ovunque (si rammenti, che spesso definiamo V A = 0 in qualche punto ( )) Se conosciamo la funzione potenziale V ovunque, possiamo calcolare il campo elettrico E ovunque Unità di misura del Potenziale V = J/C Unità di misura del Campo Elettrico V/m