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1 SOLUZIONI ESERCIZI CAPITOLO 2 Esercizio n.1 v = 4 m/s Esercizio n.2 v m = 5,3 m/s = 7 minuti e 4 secondi Esercizio n.3 Usiamo la seguente costruzione grafica: fiume 1 km/h barca 7 km/h La velocità della barca rispetto alla riva è quindi la somma vettoriale delle due velocità rappresentate. Usando il teorema di Pitagora si ottiene: 2 2 v = km/h = 149 km/h = 12, 2 km/h v = 12,2 km/h Esercizio n.4 h = 44,1m = 3 s Esercizio n.5 Combinando le due leggi orarie del moto uniformemente accelerato v = v + a Δx = v + ½ a () 2 dove la velocità iniziale è v = e la velocità finale è v = 1 km/h = 27,8 m/s si ha = v/a

2 e pertanto Δx = ½ v 2 /a =,5 (27,8 m/s) 2 /(2 m/s 2 ) = 386 m Δx = 386 m Esercizio n.6 f = 1 Hz -2 T = 1 s = 1 ms v = 126 m/s Esercizio n.7 Il moto della estremità delle lancette dell orologio è circolare uniforme con velocità angolare ω = 2π/T dove T rappresenta il periodo (12 h e 1 h rispettivamente per la lancetta delle ore e per quella dei minuti). Detta R la lunghezza delle lancette, la velocità sarà v = ω R Si ottiene per la lancetta delle ore ω = 2π/T = 2π/(12h) = 2π/(43,2 1 3 s) =, rad/s e per la lancetta dei minuti v = ω R = (, rad/s) (5 cm) = 7, cm/s ω = 2π/T = 2π/(1h) = 2π/(3,6 1 3 s) = 1, rad/s v = ω R = (1, rad/s) (8 cm) =,14 cm/s v v ore min -3 = 7,27 1 cm/s =,14 cm/s Esercizio n.8 m = 28 mg

3 Esercizio n.9 La forza peso che agisce sulla massa sospesa è F g = m g = (3 1-3 kg) (9,81m/s 2 ) =,294 N. Affinchè la massa sia in equilibrio, la forza R dovuta alla tensione delle due corde che sostengono la massa deve essere uguale ed opposta ad F g (vedi figura). Tale forza R è la somma vettoriale delle tensioni F T delle due corde. Applicando il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo isoscele AOC si ottiene per i moduli delle forze da cui 2F T 2 = R 2 F T = R / 2 =,28 N F =,28 N A F T C R O F g FT Esercizio n.1 R = 9,9 cm Esercizio n.11 F = 392 N Esercizio n.12 Nella leva in questione, la forza peso esercitata dal masso rappresenta la resistenza della leva F R = m g = (45 kg) (9,81 m/s 2 ) = 4414,5 N Utilizzando la condizione di equilibrio della leva, la forza motrice può essere calcolata come segue: F m = F r b r /b m = 49,5 N dove b r =,2m e b m = 1,8m. Il corrispondente momento meccanico risulta pari a M = F m b m = 882,9 N m Il guadagno meccanico della leva è quindi: G = F r /F m = 9 F = m 49,5 N M = 882,9 N m

4 Esercizio n.13 Il fulcro è a 2/3 della lunghezza della leva: b m =,8 m e b r =,4 m Esercizio n.14 Perché la persona possa stare in equilibrio in punta di piedi, bisogna che i momenti delle forze si equilibrino. Supponiamo che l angolo fra la direzione del piede ed il suolo sia piccolo; con questa approssimazione, il piede può essere assimilato ad una leva di II genere con fulcro in corrispondenza del punto di contatto del piede con il suolo, forza motrice F A data dal tendine di Achille e forza resistente data dalla forza peso F g. La condizione di equilibrio sarà da cui si ha F A d r = F g (d r d s ) Fg ( dr ds ) FA = dr Si osservi che la leva è sempre vantaggiosa, essendo F A sempre minore di F g. Il guadagno meccanico è F G = F g A = dr d d ) ( r s ed è tanto maggiore quanto maggiore è la distanza d s (d r è anatomicamente fissato), ovvero tanto più si avvicina la proiezione verticale del baricentro alla punta dei piedi. Questo fatto può essere facilmente sperimentato provando a sollevare i talloni spostando avanti ed indietro il baricentro del corpo. Infine facciamo un esempio numerico: se d r = 19 cm; d s = 6 cm, e prendendo F g =8 N, si avrà: 13 F A = 8 N = 547N G = = 146, 13 F A = 547 N Esercizio n.15 L = 784 N

5 Esercizio n.16 Sia che l oggetto venga lanciato verso il basso, sia che esso venga lanciato verso l alto, il modulo della velocità con cui esso raggiunge il suolo è la medesima. Infatti, per il principio di conservazione dell energia meccanica applicato al nostro esempio, si ha mgh + mv = mv f 2 2 v f = 46,2 m/s Come si può osservare, il modulo di v f non dipende dall orientazione di v. La velocità v f può essere quindi ricavata come segue: Esercizio n.17 2 v f = 2g h + v = 46,2 m/s v f = 46,2 m/s h = 2,4 m 2 Esercizio n.18 Il lavoro mecanico che l atleta deve compiere per salire lungo la scala è dato dal prodotto della forza che egli compie per sollevare il proprio corpo (contraria alla forza peso, F=m g) moltiplicata per lo spostamento complessivo (ovvero l altezza h della pertica): L= m g h = (7kg) (9,8m/s 2 ) (3m) = 2, J La potenza meccanica sviluppata è data dal rapporto tra il lavoro meccanico ed il tempo necessario per compierlo: W = L/ = (258J)/(6s) = 343 W L = 2,58 1 W = 343 W 4 J Esercizio n.19 h = 3 m v = 7,7 m/s

6 Esercizio n.2 Possiamo assimilare la corsa sul tapis roulant ad una corsa lungo una strada in salita con pendenza di 1 o. Il lavoro meccanico L che compie l atleta è dato dalla somma del lavoro necessario a sollevare il baricentro del proprio corpo durante la salita, a muovere le gambe, a spostare ciclicamente il baricentro del corpo da una gamba all altra nonché a compiere piccoli salti durante la corsa. Gli ultimi tre termini sono difficilmente quantificabili. Valutiamo invece il primo contributo. La potenza meccanica W è per definizione W = L r r r F Δs r Δs r r = = F = F v dove F r è la forza che l atleta esercita con le gambe durante l ascesa (che è di intensità pari al proprio peso) e v r la velocità con cui compie la salita. Si ha F = m g = (8 kg) (9,8 m/s 2 ) = 784 N L angolo tra F r e v r è di 9 o -1 o ; e si ha pertanto r r W = F v = (784 N) (8 km/h) cos 8 o = (784 N) (2,22 m/s),174 = 33W W = 33 W 6

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