L esigenza di introdurre i numeri complessi è dovuta al fatto che diverse operazioni sui numeri reali R non sempre sono possibili.

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1 1 I Numeri Complessi L esigenza di introdurre i numeri complessi è dovuta al fatto che diverse operazioni sui numeri reali R non sempre sono possibili. x = 0? log( 10)? log 2 3? 1? Allo scopo di ovviare a questa carenza si introducono i numeri complessi. I numeri complessi C sono coppie ordinate di numeri reali C = {(a, b), a, b R} In particolare i numeri del tipo (a, 0) vengono considerati identici al numero reale a. Il numero complesso (0, 1) si denota con i e si chiama unità immaginaria dei numeri complessi, Il numero i è tale che i 2 = 1. Con l introduzione dell unità immaginaria i numeri complessi si possono allora rappresentare anche nella forma a + ib, dove a rappresenta la parte reale del numero complesso: a = R(z) e b la sua parte immaginaria, b = I(z). Due numeri complessi a + ib, c + id coincidono se e solo se a = c, b = d. Potenze di i: i 0 = 1 i 1 = i i 2 = 1 i 3 = i i 4 = 1 i 5 = i i 6 = 1 i 7 = i... i 4n = 1 i 4n+1 = i i 4n+2 = 1 i 4n+3 = i 1.1 Operazioni fondamentali con i numeri complessi addizione: (a + ib) + (c + id) = (a + c) + i(b + d), sottrazione: (a + ib) (c + id) = (a c) + i(b d), moltiplicazione: (a + ib) (c + id) = (ac bd) + i(ad + bc), 1

2 reciproco: se w = c + id 0 allora 1 w = c c 2 + d i d 2 c 2 + d, 2 divisione: a + ib c + id ac + bd ad = + ibc c 2 + d2 c 2 + d con 2 c2 + d 2 > 0, valore assoluto: a + ib = a 2 + b 2, complesso coniugato: se z = a + ib allora z = a ib, opposto: se z = a + ib allora z = a ib. Se z = a + ib allora risulta z + z = 2a R, z z = 0, z + ( z) = 2ib C \ R. É possibile eseguire le operazioni sui numeri complessi con le regole del calcolo dei numeri reali trattando i come un numero reale, con l accortezza di sostituire i 2 con -1. Ad esempio z w = (a+ib) (c +id) = ac +iad+ibc +i 2 bd = (ac bd)+i(bc +ad). 1.2 Rappresentazione geometrica dei numeri complessi L addizione dei numeri complessi corrisponde alla regola del parallelogramma per la somma di vettori: 2

3 1.3 La forma trigonometrica dei numeri complessi Introducendo nel piano complesso le coordinate polari al posto delle coordinate cartesiane si ottiene una nuova rappresentazione dei numeri complessi: x = r cos t, y = r sin t il numero complesso z = x + iy = r(cos t + i sin t) dove r = x 2 + y 2 ( r è il modulo di z) e t (detto argomento o anomalia) è l angolo formato tra la direzione positiva dell asse delle x e la semiretta che congiunge l origine con il punto z. L argomento è definito a meno di multipli dell angolo giro. Dato un numero complesso a + ib, il suo modulo è dato da r = x 2 + y 2 e, se esso è diverso da zero, il suo argomento t è determinato da sin t = b x2 + y 2 cos t = a x2 + y 2 Utilizzando questa rappresentazione il prodotto di due numeri complessi diventa particolarmente semplice: z = r(cos t + i sin t), w = s(cos u + i sin u), zw = rs(cos(t + u) + i sin(t + u)) dunque, per moltiplicare due numeri complessi si moltiplicano i moduli e si sommano gli argomenti. La formula (cos t + i sin t)(cos u + i sin u) = cos(t + u) + i sin(t + u) 3

4 è detta formula di De Moivre e permette di calcolare la potenza n-esima di un numero complesso z: z n = [r(cos t + i sin t)] n = r n (cos nt + i sin nt), n N. Chiamiamo radice n-esima di z ogni numero complesso w tale che w n = z. Tale equazione ammette esattamente n soluzioni; se z = r(cos t + i sin t) allora w = r 1/n (cos(t + 2kp)/n + i sin(t + 2kp)/n), k = 0, 1,..., n 1. I valori di w 1,..., w n sono regolarmente distribuiti lungo la circonferenza avente centro nell origine raggio pari a r 1/n. Le radici sono dunque rappresentate dai vertici di un poligono regolare. Determiniamo ad esempio le radici del numero complesso z = ( 1+i) 1/3. Risulta 1 + i = 2 1/2 [cos(3π/4 + 2kp) + i sin(3π/4 + 2kp)] ( 1 + i) 1/3 = 2 1/6 [cos(3π/4 + 2kp)/3 + i sin(3π/4 + 2kp)/3]. Dunque per k = 0, z 1 = 2 1/6 [cos π/4 + i sin π/4] per k = 1, z 2 = 2 1/6 [cos 11π/12 + i sin 11π/12] per k = 2, z 3 = 2 1/6 [cos 19π/12 + i sin 19π/12]. 4

5 1.4 Definizione di e x nel campo complesso 1 Vogliamo ora estendere la definizione di e x in modo che abbia significato anche nel campo complesso e che conservi la legge degli esponenti: e a e b = e a+b. Se poniamo z = x + iy, per la legge degli esponenti deve risultare: e z = e x+iy = e x e iy. Dobbiamo quindi capire che valore assegnare al numero complesso e iy. Supponiamo che, al variare di y, e iy = a(y) + ib(y), con a, b funzioni derivabili almeno due volte. Se deriviamo due volte otteniamo: e iy = a(y) + ib(y) ie iy = a (y) + ib (y) e iy = a (y) + ib (y) Inoltre, poiché e 0 = 1, risulta a(0) = 1, a (0) = 0, b(0) = 0, b (0) = 1. Dalla prima e dalla terza equazione, si ottiene a (y) = a(y), b (y) = b(y) e da queste due equazioni, unitamente ai valori di a e b prima trovati si ottiene a(y) = cos(y), b(y) = sin(y) e dunque e iz = e x (cos(y) + i sin(y)). Da tale formula possiamo ottenere: e it = cos t + i sin t e it = cos t i sin t e dunque sommando o sottraendo membro a membro otteniamo: e, per t nt, sin t = eit e it 2i sin nt = eint e int 2i, cos t = eit + e it, 2, cos nt = eint + e int. 2 1 la soluzione delle equazioni che compaiono in questa nota verranno studiate nel corso di Analisi Matematica II. 5

6 Infine, se z = a + ib, e z = e a e b = e a cos 2 b + sin 2 b = e a. 1.5 La funzione logaritmo Se z 0 il ln z indica un qualunque numero w C per cui risulta e w = z. (1) Scrivendo z nella forma esponenziale: z = re it = e ln r+it ne segue che una soluzione di (1) è ln r + it. Ricordando poi che la funzione esponenziale nel campo complesso è periodica di periodo 2πi, si ha che tutte le soluzioni di (1) sono date da: w = ln r + i(t + 2kπ), k Z. Il logaritmo di un numero complesso z 0 nella base complessa w 0 è dato da: log w z = ln z ln w. 6

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