Esponenziale complesso

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1 Esponenziale complesso Paola Rubbioni Analisi Matematica II - CdL in Ingegneria Informatica ed Elettronica a.a. 2016/ Serie nel campo complesso Per fornire il concetto di serie nel campo complesso abbiamo bisogno di introdurre la definizione di limite per successioni di numeri complessi. Ricordiamo intanto che, per c = a + ib C, a, b R, si ha c C = a 2 + b 2. Definizione 1.1 Una successione di numeri complessi (c n ) n N converge al numero complesso l se e si scrive lim n c n = l oppure c n l. lim c n l C = 0 n Poiché il modulo di un numero complesso è un numero reale, la nozione di limite nel campo complesso è ricondotta a quella di limite nel campo reale. Da ora in poi, per semplicità, indicheremo semplicemente con il modulo nel campo complesso. Siamo ora in grado di dare la definizione di serie complessa. Definizione 1.2 Data una successione di numeri complessi (c n ) n N, si dice serie nel campo complesso la successione delle somme parziali (s n ) n, ove s n = n k=0 c k, e si indica con il simbolo c n. Diremo dunque che la serie c n converge se esiste in C il limite di (s n ) n N. Si può dimostrare che vale un criterio di convergenza assoluta: 1

2 Teorema 1.1 Sia c n una serie a termini complessi. Se la serie a termini reali non negativi c n converge (in R), allora la serie data converge (in C). Esempio 1.1 (Serie geometrica in campo complesso) Consideriamo la serie geometrica, z C. In virtù del precedente criterio, tale serie converge per z < 1. Inoltre si può provare che = 1 1 z, per ogni z C con z < Serie di funzioni e serie di potenze in campo complesso Data una successione (f n ) n, con f n : Ω C C per ogni n N, resta definita la serie di funzioni di variabile complessa f n (z), z Ω. Particolari serie di funzioni sono le serie di potenze: a n (z z 0 ) n, z C ove a n C, n N, sono i coefficienti della serie e z 0 C è il centro della serie. Ogni serie di potenze ha un suo raggio di convergenza ed il corrispondente insieme di convergenza è il disco di tale raggio centrato in z 0 (la frontiera del disco va studiata caso per caso). Esempio 1.2 Studiamo la serie La serie di potenze in campo reale n 2, z C. z n n 2 ha raggio di convergenza R = 1 e quindi converge per z < 1 mentre non converge per z > 1; ne segue che la serie complessa converge all interno del disco di centro l origine del piano di Gauss e raggio R, mentre non converge fuori. Se poi z = 1, allora la serie reale si riduce alla serie numerica reale convergente 1 ; pertanto la serie data converge anche sulla frontiera del disco cosicché, n 2 2

3 riassumendo, l insieme di convergenza risulta essere D = {z C : z 1}. Esempio 1.3 Studiamo la serie n, z C. Anche in questo caso il raggio di convergenza è 1, ma sul bordo del disco, ovvero per z = 1 si ha la serie armonica reale, la quale diverge, e dunque il disco di convergenza è aperto. Si noti che per quanto riguarda la convergenza puntuale sul bordo del disco si hanno situazioni diverse; ad esempio: per z = 1 la serie si riduce alla serie armonica, che diverge; per z = 1 si riduce alla serie armonica a segni alterni, che converge. 1.2 Esponenziale complesso Consideriamo ora la serie complessa n!, z C ; essa converge assolutamente per il Teorema 1.1 in quanto la serie reale converge. Si osservi che tale serie altri non è che la serie esponenziale, la cui somma è e z. Allora definiamo l esponenziale complesso come la somma della serie esponenziale complessa, ovvero e z := Anche per l esponenziale complesso si ha z n n! n!, z C. e z 1+z 2 = e z 1 e z 2. (1) 2 Formule di Eulero Posto z = x + iy, dalla (1) si ha e z = e x e iy. 3

4 Ora, essendo iy un numero complesso, dalla definizione di esponenziale complesso si ha e iy = = = 1 + iy y2 n! 2 iy3 3! + y4 4! + iy5 5! y6 6! iy7 7! +... = ( 1) n y2n (2n)! + i ( 1) n y 2n+1 = cos y + i sin y. (2n + 1)! Analogamente si può provare che e iy = cos y i sin y. dunque le funzioni trigonometriche reali sono legate, nel campo complesso, all esponenziale secondo quelle che sono chiamate formule di Eulero: e ix = cos x + i sin x e ix = cos x i sin x cos x = eix + e ix 2 sin x = eix e ix 2i per ogni x R. 3 Forma esponenziale dei numeri complessi La prima formula di Eulero consente di formulare in termini esponenziali la forma trigonometrica dei numeri complessi, ovvero z = ρ(cos θ + i sin θ) = ρe iθ con ρ 1 modulo e θ R argomento del numero complesso z. Tale forma esponenziale agevola il calcolo, come nel caso delle potenze ove si può scrivere = ρ n e inθ invece di = ρ n (cos nθ + i sin nθ). 3.1 Radici nel campo complesso Assegnato un numero z C, cerchiamo w C tale che w = n z w n = z ; 4

5 se w = w e iϕ e z = z e iθ, allora l equivalenza soprastante si riscrive w = n z w n e inϕ = z e iθ w = n z ϕ = θ + 2kπ n, k = 0,..., n 1 (perché e iθ è periodico di periodo 2π, come si deduce dalle formule di Eulero); dunque n z = {w k = n } z e i θ+2kπ n : k = 0,..., n 1, che nella forma trigonometrica si rilegge n z = {w k = n ( z cos θ + 2kπ + i sin θ + 2kπ ) n n } : k = 0,..., n 1 Quindi la radice n-esima di un numero complesso è un insieme di n numeri complessi disposti sui vertici del poligono regolare di n lati inscritto alla circonferenza di raggio n z. Esempio 3.1 Calcoliamo 3 1. Essendo 1 = cosπ + i sin π = e iπ, risulta 3 1 = { w 0 = cos π 3 + i sin π 3 ; w 1 = cos π + i sin π ; w 2 = cos 5π 3 + i sin 5π 3 = { w 0 = 1 2 (1 + i 3) ; w 1 = 1 ; w 2 = 1 } 2 (1 i 3).. } = Esempio 3.2 Calcoliamo i. Chiaramente 1 + i = 2e i π 4, quindi { i = w k = 10 ( π 4 2 cos + 2kπ π + i sin + 2kπ ) Logaritmi nel campo complesso Assegnato un numero z C, cerchiamo w C tale che } : k = 0, 1, 2, 3, 4. w = log z e w = z ; se w = x + iy e z = z e iθ, allora l equivalenza soprastante si riscrive w = log z e x+iy = z e iθ e x e iy = z e iθ x = log z y = θ + 2kπ 5

6 (ancora per la periodicità di e iθ conseguenza delle formule di Eulero); dunque log z = log z + i(θ + 2kπ), k Z. Quindi in C il logaritmo non è univocamente determinato; addirittura ogni numero complesso (non nullo) ha infiniti logaritmi. Si dice valore principale del logaritmo quello che si ottiene per k = 0 e θ [0, 2π[. Esempio 3.3 Calcoliamo log (1 + i). Abbiamo già visto che 1 + i = 2e i π 4. Allora log (1 + i) = log ( π ) 2 + i 4 + 2kπ, k Z ed il suo valore principale è log 2 + i π 4. 6