ANALISI 1 1 SEDICESIMA - DICIASETTESIMA LEZIONE Serie

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1 ANALISI 1 1 SEDICESIMA - DICIASETTESIMA LEZIONE Serie 1 prof. Claudio Saccon, Dipartimento di Matematica Applicata, Via F. Buonarroti 1/C saccon@mail.dm.unipi.it web: d6081/index.html Ricevimento: ogni lunedì, dalle 8.30 alle () March 14, / 34

2 Teorema (criterio della radice) Sia {a n } una successione di termini non negativi. Supponiamo che esista il limite: L = lim n n an ( 0) Se L < 1 allora la serie degli a n converge; Se L > 1 allora la serie degli a n diverge Teorema (criterio del rapporto) Sia {a n } una successione di termini (strettamente) positivi. Supponiamo che esista il limite: a n+1 L = lim ( 0) n a n Se L < 1 allora la serie degli a n converge; Se L > 1 allora la serie degli a n diverge () March 14, / 34

3 Se L = in uno dei due criteri precedenti, NON SI PUÒ DIR NULLA riguardo alla convergenza ESEMPIO Il criterio della radice si basa sul confronto con la serie geometrica DIM ne segue che se vale tale criterio la successione a n è MOLTO infinitesima (e la serie converge MOLTO rapidamente). Nella pratica questo non succede spessissimo (ma succede in alcuni casi importanti). Il criterio del rapporto implica il criterio della radice a causa del teorema di Cesaro DIM. Dunque valgono le stesse considerazione del caso precedente. () March 14, / 34

4 Altre serie notevoli La somma delle seguenti serie si trova utilizzando gli sviluppi di Taylor. x n n! = ex per ogni x reale; x2n ( 1) n (2n)! = cos(x) per ogni x reale; ( 1) n x 2n+1 = sin(x) per ogni x reale; (2n + 1)! ( ) α x n = (1 + x) α se 1 < x < 1; n n=1 n+1 xn ( 1) n = ln(1 + x) se 1 < x < 1; ALCUNE VERIFICHE Notiamo che per le x buone vale il criterio della radice ottima convergenza!! () March 14, / 34

5 Le serie della pagina precedente suggeriscono il seguente problema: Problema Data una funzione f infinitamente derivabile e un punto x 0 è possibile trovare il polinomio di Taylor di ordine n per n qualunque: P n (x) = n k=0 Ci si può chiedere se, fissato x x 0 si abbia f (k) (x 0 ) (x x 0 ) k. k! lim P n(x) = f (x). n Questo problema È COMPLETAMENTE DIVERSO da quello che abbiamo affrontato in precedenza, in cui fissato n ci si chiedeva cosa accade per x x 0. Per quanto visto prima la risposta dipende da f e da x: se f (x) = e x, x 0 = 0 tutte le x reali vanno bene; se f (x) = (1 + x) α, x 0 = 0 solo le x in ] 1,1[ vanno bene; si può fare l esempio di una f per cui solo x = x 0 va bene!!! () March 14, / 34

6 Serie a segno variabile Sia {a n } una successione e supponiamo di non avere nessuna informazione sul segno dei suoi termini. Per studiare la serie degli a n abbiamo a disposizione due strumenti: Teorema (Criterio della convergenza assoluta) Se a n < +, allora la serie a n converge. Teorema (Criterio di Leibniz per le serie a segni alterni) Supponiamo che a n = ( 1) n a n dove a n 0 (serie a segni alterni). Se {a n } è decrescente e infinitesima, cioè se a n+1 a n n, lim n a n = 0 Allora la serie a n = ( 1) n a n è convergente. () March 14, / 34

7 Convergenza assoluta Il primo dei criteri precedenti suggerisce la seguente definizione. Definizione Data una successione {a n } diciamo che la serie degli a n è assolutamente convergente se la serie dei moduli di a n converge: a n converge assolutamente con questa terminologia il criterio diventa: a n converge assolutamente a n converge a n converge DIM. Il viceversa NON è vero. La convergenza assoluta è una proprietà PIÙ FORTE della convergenza (lo vediamo dopo). () March 14, / 34

8 Criterio di Leibniz Teorema Se {a n } è decrescente e infinitesima, allora ( 1) n a n converge. DIM. Osservazione la proprietà che {a n } sia decrescente non si può togliere; la proprietà che la serie sia a segni alterni non si può togliere; ESEMPI le ipotesi del criterio di Leibniz implicano la convergenza della serie ma non ne implicano la convergenza assoluta. Per esempio la serie armonica a segni alterni: ( 1) n 1 n=1 n converge per Leibniz, ma non converge assolutamente dato che ( 1) n 1 n = +. Questo esempio mostra anche che la convergenza non implica la convergenza assoluta. () March 14, / 34 n=1

9 Proprietà commutativa Sia σ : N N una applicazione bigettiva tra i numeri interi (una permutazione degli interi ). Diremo che {σ n } è un riarrangiamento degli indici. Definizione Se {a n } è una successione. chiamiamo riordinamento di {a n } mediante σ la successione { a σ(n) } Teorema (proprietà commutativa delle serie) 1 Se a n 0 per ogni n, allora (ammettendo anche valore +) a σ(n) = 2 La stessa proprietà è vera (ora solo tra valori finiti) se la serie degli a n è assolutamente convergente (che equivale a dire che la serie degli a σ(n) è assolutamente convergente). a n. () March 14, / 34

10 La proprietà commutativa è FALSA se la serie non è assolutamente convergente. Proprietà Se la serie degli a n non converge assolutamente, cioè se: a + n = +, a n = +, allora per qualunque numero reale esteso s esiste un riordinamento di {a n }, chiamiamolo { a σ(n) }, tale che a σ(n) = s IDEA DI DIM. Dunque la proprietà della convergenza assoluta è necessaria per una proprietà che è naturale nel caso delle somme finite. () March 14, / 34

11 Definizione Sia {a n } una successione di numeri reali e sia {σ n } una successione strettamente crescente di interi tale che σ 0 = 0. Poniamo b n := σ n+1 1 a k k=σ n Diremo che {b n } è ottenuta da {a n } associando i termini mediante {σ n }. a a σ1 1 +a σ1 + + a σ2 1 +a σ2 + + a σ3 1 + }{{}}{{}}{{} b 0 b 1 b 2 Osservazione Associando i termini una serie che non converge può diventare convergente. Per es. se a n = ( 1) n e σ n = 2n, allora b n = a 2n + a 2n+1 = 1 1 = 0. Quindi a n non esiste, b n = 0 () March 14, / 34

12 Proprietà associativa Di nuovo le cose vanno nel modo giusto se gli a n sono positivi o se la serie è assolutamente convergente. Teorema (Proprietà associativa delle serie) Sia {a n } una successione e supponiamo che {b n } sia ottenuta da {a n } associando i termini. Se a n 0 per ogni n allora: a n = b n (eventualmente con valori infiniti). L eguaglianza è vera anche se la serie degli a n è assolutamente convergente (e in questo caso i valori sono finiti). () March 14, / 34

13 Serie prodotto Definizione (Prodotto di Cauchy tra due serie) Siano {a n } e {b n } due successioni. definiamo per ogni n c n := n k=0 a k b n k La serie dei c n è detta prodotto di Cauchy tra la serie degli a n e quella dei b n. a 0 b 4 a 1 b 4 a 2 b 4 a 3 b 4 a 4 b 4 a 0 b 3 a 1 b 3 a 2 b 3 a 3 b 3 a 4 b 3 a 0 b 2 a 1 b 2 a 2 b 2 a 3 b 2 a 4 b 2 a 0 b 1 a 1 b 1 a 2 b 1 a 3 b 1 a 4 b 1 a 0 b 0 a 1 b 0 a 2 b 0 a 3 b 0 a 4 b 0 c 0 c 1 c 2 c 3 c 4 () March 14, / 34

14 Teorema (sul prodotto alla Cauchy tra due serie) Siano {a n } e {b n } due successioni e sia {c n } il loro prodotto di Cauchy. Allora se a n 0 e b n 0 si ha c n = ( )( ) a n n n (eventulamente con valori infiniti). La stessa eguaglianza vale se la serie degli a n e quella dei b n sono assolutamente convererenti (e in questo caso i termini dell eguaglianza sono valori finiti). DIM () March 14, / 34

15 Esempio Avremmo potuto DEFINIRE la funzione esponenziale e x mediante la serie e x := Per questo basta far vedere che tale serie converge assolutamente per qualunque valore del parametro x cosa che segue subito dal criterio del rapporto: x n+1 (n + 1)! x n = x n n! Se seguissimo questa strada (che per molti versi è piuttosto comoda) dovremmo ricavare tutte le proprietà di x e x dalla definizione sopra. Per esempio la proprietà e x e y = e x+y si deduce dal teorema sul prodotto di Cauchy VERIFICA. x n n! () March 14, / 34

16 Serie di potenze Definizione Chiamiamo serie di potenze, o serie di Taylor, una serie del tipo a n (x x 0 ) n dove sono assegnate (a k ) una succesione di numeri reali e un numero reale x 0 R, mentre x varierà in (opportuni sottoinsiemi di) R. Per semplicità consideriamo sempre x 0 = 0, dato che il caso con x 0 0 è perfettamente analogo. Studieremo dunque per quali x ha senso considerare f (x) = a n x n cio per quali x la serie scritta destra converge, definendo così una funzione f (x), e che proprietà ha la f cos costruita. () March 14, / 34

17 Teorema (Intervallo di convergenza) Supponiamo che esista (in generale l [0, +]). Poniamo allora: n l := lim an. n + se l = 0, 1 R := se l ]0,[, l 0 se l = +. per ogni x con x < R la serie a n x n converge assolutamente ( e quindi converge); per ogni x con x > R la serie non converge. DIM Si noti che non si dice nulla (e la situazione è diversa caso per caso) di cosa succeda nei punti x = ± R. () March 14, / 34

18 Definizione (Raggio convergenza) Data la successione (a n ) in R chiamiamo raggio di convergenza della serie a n x n il numero R (in [0,+]) ottenuto nel teorema precedente. Risulta quindi definita la funzione f (x) = a n x n per ogni x in ] R, R[. Tale intervallo aperto viene detto intervallo di convergenza per la serie (se R = 0 tale intervallo vuoto, se R = + l intervallo di convergenza coincide con R). Osservazione Il raggio di convergenza stato definito solo se esiste il limite di n an in realtà si potrebbe vedere che c sempre un numero R con le propriet dette sopra (usando il massimo limite invece del limite) e quindi il raggio di convergenza si può definire sempre. () March 14, / 34

19 Teorema (Regolatità delle serie di potenze) Sia {a n } una successione e supponiamo che il raggio di convergenza R della serie di potenze associata agli a n sia positivo: R > 0. Indichiamo f (x) := a n x n R < x < R. Allora la funzione f è continua ed è infinitamente derivabile in ] R, R[; inoltre si può derivare sotto il segno di serie: f (k) (x) = n=k a n n(n 1) (n k + 1)x n k R < x < R. La formula scritta sopra ha senso in quanto la serie delle derivate è anch essa una serie di potenze e ha lo stesso raggio di convergenza della serie di partenza. () March 14, / 34

20 Esempio f (x) = Si vede subito che il raggio è uno. Inoltre: f (x) = ( 1) n x 2n ( x 2 ) n = x 2 1 < x < 1 (serie geometrica!!!). La cosa può sembrare strana, visto che f (x) non ha nessuna singolarità né in 1 né in 1. In reltà la prospettiva giusta da cui affrontare le serie di potenze sarebbe nei numeri complessi. Si potrebbe dimostrare che la regione di convergenza è un disco di raggio R (quello di prima). In questo caso R = 1 e la funzione ha due singolarità in z = ±i. f (z) = z 2 z < 1 () March 14, / 34