Corso di Analisi Matematica 1 - professore Alberto Valli

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1 Università di Trento - Corso di Laurea in Ingegneria Civile e Ingegneria per l Ambiente e il Territorio - 08/9 Corso di Analisi Matematica - professore Alberto Valli 9 foglio di esercizi - novembre 08 Serie, integrali 9. Esercizio - Per ognuna delle seguenti serie di potenze determinate qual è il suo raggio di convergenza, e studiate la convergenza negli estremi. n + 4 xn (ii) Sia { } una successione reale. Ricordiamo che se esiste n. lim an = L [0,+] n + oppure ( n n ) n x n n n n + xn.. lim + n + = L [0,+] + se L = 0 allora la serie di potenze x n ha raggio di convergenza r = 0 se L = +. L se L ]0,+[ { } Consideriamo la successione n. Osserviamo che + 4 lim + n + = lim n + 4 n + (n + ) + 4 n + 4 = lim n + 4 n + n + 6n + 7 n + 4 = Pertanto la serie Se x = la serie diventa Se x = la serie diventa decrescente ( infatti converge. (ii) La serie n + 4 xn ha raggio di convergenza r =. Studiamo la convergenza della serie negli estremi. b n+ b n n + 4 che diverge poiché n + 4 per n +. n n + 4 ( )n. Ora posto b n = n + 4 soddisfa b n 0, lim n + b n = 0 e b n < per ogni n, come è facile verificare ). Quindi, per il criterio di Leibniz, la serie ( n n ) n x n è una serie di potenze. Posto = ( n n ) n si ha che n = n n 0 per n +. Quindi il raggio di convergenza della serie è r = +. = n n n +, pertanto n n an = n n n + = n ( n n n + ) n n ( + n n ) per n +

2 Pertanto r =. Studiamo la convergenza della serie negli estremi. Se x = la serie diventa n n n + n ( ) n e ha lo stesso carattere della serie n n che converge. Se x = la serie diventa n n n + n ( )n e ha lo stesso carattere, in valore assoluto, della serie che converge. Dunque converge assolutamente e pertanto converge anche semplicemente. 9. Esercizio - Per ognuna delle seguenti serie determinate l insieme dei valori del parametro x R per cui essa è convergente. n + n + ( logx)n, (ii) n ( ) x + n, x n + n 4 n + ( x + x x + ) n. n + Poniamo t = logx e x > 0. Lostra serie sarà dunque n + tn. Inoltre posto = n + si ha n + + = n + n + n + per n +. Quindi il raggio di convergenza della serie di potenze n + n + tn è r =. Notiamo che: Se t = la serie diventa n + n + 0 per n +. Se t = la serie diventa per n +. n + che non converge poiché il termine generale della serie n + n + n + ( )n che non converge poichè il termine generale non ammette limite Quindi, ricordando che t = log x, x > 0 si deve chiedere { < logx < x > 0 { > logx > x > 0 Pertanto l insieme di convergenza è dato da E =]e,e [. (ii) Poniamo t = x + x e x. Abbiamo allora la serie di potenze n tn che risulta avere raggio di convergenza r =. In particolare la serie converge anche agli estremi t = ±. Quindi lostra serie di partenza è convergente per { { x + x+ x x + 0 x 0 oppure x > x+ x 0 x < L insieme di convergenza è quindi dato da E =],0]. Poniamo t = x + x x +. La serie di potenze sarà dunque n + n 4 n + tn e il raggio di convergenza di tale serie è r = poiché n n + n 4 n + 4 = per n + Notiamo che per t = risulta n + n 4 n + n che non converge essendo lim n + n + n 4 n + n = 0.

3 n + n Se t = si ha la serie 4 n + n ( ) n che non converge poiché n + n 4 n + n ( ) n non converge. Allora la serie data converge per gli x R tali che x + x + x x + < x x + + > 0 x + x x + < 0 x x + 8 x x + > 0 x + 5x 4 x x + < 0 { x x + 8 > 0 x 5x + 4 > 0 che sono sempre verificate, dunque l insieme di convergenza è tutto quanto R. 9. Esercizio - Rielaborando opportunamente la scrittura, determinate la somma di ognuna delle seguenti serie: n n (ii) ( ) n n (n + ) ( ) n n4n (n)!. Ricordiamo innanzitutto il seguente Teorema: Teorema di derivazione Sia r > 0 (eventualmente anche r = +) il raggio di convergenza di allora f è derivabile in ] r,r[ e f (x) = n x n per ogni x ] r,r[. x n = f (x), La forma dellostra serie è simile all espansione in serie di Taylor in 0 della funzione esponenziale e x = che ha raggio di convergenza r = +. Applicando a questa il teorema appena ricordato si ha che e x = in particolare xe x = n xn x = si ha 6e = n xn n xn. Applichiamo una seconda volta il teorema di derivazione e otteniamo ex + xe x = e moltiplicando entrambi i membri per x si ottiene e x (x+x ) = n n. n xn x n per ogni x R. Pertanto per (ii) La forma della serie ci ricorda lo sviluppo in serie di Taylor con centro in 0 della funzione log( + x) infatti ( ) n log( + x) = n + xn+ per ogni x ],[. In particolare per x = si ha Pertanto log ( ) = log ( ) n n+ (n + ) = ( ) n n (n + ) ( ) = ( ) n n (n + ).,

4 Innanzitutto osserviamo che ( ) n n4n (n)! = ( ) n nn (n)! = n n n ( ) = (n)! n+ (n + ) (n+) ( ) = ((n + ))! ( ) n+ n+ (n + )! La forma del termine generale di questa serie ricorda il termine generale dello sviluppo in serie di Taylor in 0 della funzione sinx : sinx = ( ) n x n+ per ogni x R. (n + )! In conclusione ( ) n n4n (n)! = sin. [Per altra via: la serie ricorda l espansione di Taylor della funzione cosx, che ha raggio di convergenza r = +. Si ha infatti ( ) n n4n ( ) n nn e quindi, applicando il teorema appena ricordato, ( ) n nxn (n)! = x ( ) n nxn (n)! Per x = si ottiene quindi sin.] 9.4 Esercizio - = x (n)! = ( ) n (xn ) (n)! (n)! = x ( ) ( ) n xn = x (n)! (cosx) = x sinx. Sia { } n 0, una successione con 0 e tale che la serie log( + a n) è convergente. Per ognuna delle seguenti affermazioni determinate se essa è vera, qualunque sia la successione { } con le proprietà indicate. a n è convergente, (ii) è convergente, a n è convergente. Notiamo che Pertanto la serie a n log( + a n) a n per n + ha lo stesso carattere della serie log( + a n) che converge per ipotesi. Pertanto l affermazione in è vera. (ii) Questa affermazione è falsa. Un immediato controesempio si ha prendendo = n. Infatti ( + log n ) converge ma non converge. n Abbiamo detto che log(+a n) a n e siccome log(+a n) 0 anche a n 0 per n +. Pertanto esiste n tale che per ogni n > n si ha a n <. In particolare si avrà definitivamente a n < a n. Dunque, per il metodo del confronto, dalla convergenza della serie a n segue la convergenza della serie a n. 9.5 Esercizio - Per ognuna delle seguenti affermazioni determinate se essa è vera: Se 0 e + (ii) Se 0 e + < per ogni n 0 allora la serie > per ogni n 0 allora la serie a n Se lim = +, allora la serie n + è convergente. è convergente. è divergente. 4

5 Per ognuna delle seguenti affermazioni determinate se essa è vera: Se 0 e + (ii) Se 0 e + < per ogni n 0 allora la serie > per ogni n 0 allora la serie a n Se lim = +, allora la serie n + è convergente. è convergente. è divergente. 9.6 Esercizio - Sia f : R R una funzione continua. Posto 4 P : Q : R : 5 f (x)dx = 5 p : esiste un numero x 0 R tale che < f (x 0 ) <, f (x)dx = 5 q : esiste un numero x 0 R tale che < f (x 0) <, f (x)dx = 5 r : esiste un numero x 0 R tale che < f (x 0 ) <, abbinate lettere maiuscole con lettere minuscole in modo che sussista: se maiuscola", allora minuscola". Ricordiamo innanzitutto il seguente Teorema della media integrale Sia f : [a,b] R una funzione continua. Allora esiste x 0 [a,b] tale che b f (x)dx = f (x 0 ). b a a P q : infatti, per il teorema della media integrale, sappiamo che esiste x 0 [,4] tale che f (x 0 ) = 5 e < 5 <. Q p : infatti, per il teorema della media integrale, sappiamo che esiste x 0 [,] tale che f (x 0 ) = 5 e < 5 <. R r : infatti, per il teorema della media integrale, sappiamo che esiste x 0 [,5] tale che f (x 0 ) = 5 4 e < 5 4 <. 9.7 Esercizio - Sia f : R R una funzione derivabile con derivata continua. Posto π a = π/ π b = π/ π f (cosx)cosx dx A = f (0) + f (cosx)sinx dx π c = f (sinx)cosx dx π/ π/ π B = f ( ) π/ f (cosx)sin x dx, f (cosx)sinxcosx dx, π C = f () f (sinx)sinxcosx dx, π/ abbinate lettere minuscole con lettere maiuscole in modo che si abbiano tre uguaglianze. 5

6 Ricordiamo la seguente Formula di integrazione per parti Siano f,g due funzioni derivabili con derivata continua. Allora b a f (x)g(x)dx = f (x)g(x) b b a f (x)g (x)dx. a a = A. Infatti b = B. Infatti c = C. Infatti π π/ π π/ π π/ f (cosx)cosx dx = f (cosx)sinx π π/ + π π/ f (cosx)sinx dx = f (cosx)cosx π π/ π f (sinx)cosx dx = f (sinx)sinx π π/ π π/ π/ f (cosx)sin x dx. f (cosx)sinxcosx dx. f (sinx)sinxcosx dx. 9.8 Esercizio - Per ognuna delle seguenti funzioni determinate la sua primitiva: x + (ii) 4x + x sinx x + cosx. x + dx = (x + ) dx = (x + ) 4 + c 4 = (x + ) c. (ii) 4x + x dx = + x dx 4 x + x dx = arctanx log( + x ) + c. sinx dx = log x + cosx + c. x + cosx 6