Corso di Laurea in Ingegneria Informatica Prova di Analisi Matematica 1

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1 Corso di Laurea in Ingegneria Informatica Prova di Analisi Matematica 9 dicembre 4 Scrivere subito nome e cognome e matricola sul foglio risposte e preparare il libretto sul banco per il controllo. Tempo 3 minuti. Durante la prova non si può uscire dall aula. Non si possono consultare libri, appunti, manuali. Non si possono usare calcolatrici, computer di ogni genere o telefoni cellulari. Consegnare solo il foglio risposte. Le risposte valide sono SOLO quelle segnate sul foglio che si consegna. Ogni domanda ha una e una sola risposta giusta. N.A. significa nessuna delle altre, mentre N.E. significa non esiste Non usare matite e/o penne rosse sul foglio risposte. Indicare la risposta nell apposita maschera con una X. Per effettuare correzioni, barrare tutta la linea e scrivere CHIARAMENTE e INEQUIVOCABILMENTE la risposta corretta a destra della linea stessa.

2 (Cognome) (Nome) (Numero di matricola) CODICE = 7884 A B C D E

3 PARTE A. L insieme degli α, β > tali che e costituito da + n= n α + n β < + A: α + β > B: α + β > C: α e β maggiori di uno D: N.A. E: α o β maggiori di uno. Il polinomio di Taylor di grado 4 in x = π della funzione cos(x) vale A: x /! + x 4 /4! B: x + x / x 3 /3 + x 4 /4 C: + (x π/) / D: N.A. E: + (x π) 4 (x π)4 3. L integrale vale A: N.A. B: /4 C: /3 D: E: 8 4. Il limite vale lim x + A: N.E. B: C: / D: N.A. E: + x 3 dx x log x log log x 5. Data f(x) = arcsin( x + ), allora f ( /) vale A: B: C: N.A. D: / E: 6. Sia y la soluzione di y (x) + y(x) = con y() = π/, y () = allora y () vale A: N.A. B: + π C: D: sin() E: π/ 7. L integrale vale /3 x x + dx A: B: C: + π 4 arctan() D: N.A. E: 3 π 4 + arctan( 3 ) 8. Sia z = i allora la parte reale di (z 3 z) vale A: B: N.A. C: D: - E:

4 (Cognome) (Nome) (Numero di matricola) CODICE = 7884 A B C D E

5 Corso di Laurea in Ingegneria Informatica Prova di Analisi Matematica 9 dicembre 4. Studiare il grafico della funzione f(x) = log(λ log(x)) λ [, ] Soluzione. Per poter definire la funzione è intanto necessario restringersi a x > per poter definire log(x). Inoltre è necessario anche che λ log(x) >, pertanto dobbiamo studiare i seguenti casi x > log(x) > con λ ], ] < x < log(x) < con λ [, [. Nel primo caso abbiamo per ogni λ ], ] come limiti agli estremi lim log(λ log(x)) = x + lim log(λ log(x)) = +. x + Poi risulta f (x) = x log(x) > e f (x) = +log(x) x (log(x)) <. Il grafico qualitativo è quindi Figura : Il caso < λ

6 e l intersesione con l asse delle x si ha per x = e /λ. Nel secondo caso abbiamo per ogni λ [, [ come limiti agli estremi lim log(λ log(x)) = + lim x + log(λ log(x)) =. x Poi risulta f (x) = x log(x) < e f (x) = +log(x) x (log(x)), quindi f > per < x < /e Il grafico qualitativo è quindi e l intersesione con l asse delle x si ha ancora per x = e /λ. Figura : Il caso λ <. Studiare la convergenza e calcolare eventualmente l integrale al variare del parametro R. + x dx Soluzione. La funzione f (x) = +x è continua e limitata per ogni. Nel caso di = vale zero dappertutto. L integrale si può scrivere come + x dx = + + x dx + + x dx e il primo integrale +x dx è finito perchè integrale su un intervallo chiuso e limitato di una funzione continua. Il secondo integrale si può stimare, per ogni nel seguente modo + + x dx + + dx dx <, + x x quindi l integrale è convergente. Possiamo anche calcolarlo esplicitamente Pertanto + x dx = b lim b + + x dx = + x dx = ( x ) b lim arctan = lim b + arctan b + se = π se ( ) b = π.

7 3. Risolvere il problema di Cauchy y (x) + 3x y(x) = e x3 x log(x) y() = Soluzione. Si tratta di una equazione lineare a coefficienti non costanti e il fattore integrante è e 3x dx = e x3. Moltiplicando entrambi i termini per il fattore integrante si ottiene ( y (x) + 3x y(x) ) e x3 = d ( y(x)e x 3) = x log(x) dx e integrando per parti si ottiene facilmente che x log(x) = x log(x) x 4. Quindi si ha da cui y(x)e x3 = x log(x) x 4 + c, ( ) y(x) = e x3 x log(x) x 4 + c. Imponendo the y() = si ottiene ( ) = y() = lim y(x) = lim e x3 x x x log(x) x 4 + c = c, da cui c = e la soluzione risulta ( ) y(x) = e x3 x log(x) x Calcolare il raggio di convergenza della serie di potenze 3 n (x ) n. n= Soluzione. La serie può essere scritta come una progressione geometrica [ 3(x ) ] n n= e pertanto converge se 3(x ) <, cioè se x < / 3. Pertanto il raggio di convergenza è R = / 3 e la serie converge per x ] / 3, + / 3[.