ANALISI MATEMATICA 1 Area dell Ingegneria dell Informazione. Appello del

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1 ANALISI MATEMATICA Area dell Ingegneria dell Informazione Appello del 3..7 TEMA Esercizio Calcolare l integrale log(3) 4 dx Svolgimento. Si ha log(3) 4 dx = (ponendo ex = t, per cui dx = dt/t) e = 4 3 t + t dt = 4 = [ ] log e4 4 e 4 = (settanh + e 3 t ln t + e 3 3 settanh e t 4 dt ). Esercizio Risolvere la disequazione z z < 3 e disegnare le soluzioni sul piano di Gauss. Svolgimento. Si ha z z = 4( z z)( z + z) = (ponendo z = x + iy) 8ixy, da cui z z = 8 xy. La soluzione è quindi {z = x + iy C : xy < 3 8 }, rappresentata in figura. Esercizio 3 Studiare la convergenza della serie al variare del parametro α >. + n= n ( cos(/n) + sin(/n α ) ) Svolgimento. Dagli sviluppi di MacLaurin di cos x e di sin x risulta, per n +, cos(/n) + sin(/n) = n + ( 4! n 4 + o n 4 ) + n α 3!8n 3α +!3n α + o ( ) n α,

2 Figura : Le soluzioni dell esercizio (Tema ). per cui il termine generale della serie, per n +, è asintotico a n (se α < ) n α (se α = ) /4n (se α > ) / e quindi ha segno definitivamente costante per n +. Se α il termine generale della serie non è infinitesimo e quindi la serie diverge (a ). Per α = la serie converge. Esercizio 4 Si consideri la funzione f(x) := arcsin x 4 + x. i) Determinare il dominio D di f, le sue eventuali simmetrie e studiarne il segno; determinare i limiti di f agli estremi di D; ii) studiare la derivabilità, calcolare la derivata e studiare la monotonia di f; determinarne gli eventuali punti di estremo relativo ed assoluto e calcolare i limiti significativi di f ; iii) disegnare un grafico qualitativo di f. Svolgimento. (i) La funzione è pari. D = {x R : x 4 }. La disequazione x 4 equivale a +x +x x 6 x, che è sempre verificata, mentre x 4 equivale a x + x, che è verificata per +x x. Pertanto D = [, + [ ( ], ]). D ora in poi assumeremo sempr. La funzione è continua in D, f() = arcsin( ) = π/ e lim x + f(x) = arcsin =, asintoto orizzontale. Il segno di f è dato dal segno dell argomento dell arcoseno, per cui f(x) se e solo s 4 e quindi x 4. (ii) In D si possono applicare le regole di derivazione se l argomento dell arcoseno è diverso da ±, cioè per x >. Per tali x si ha f (x) = x + x(x 4) ( + x ) ( ) = x 4 +x x + 8x + ( + x ) x + x 3, da cui si ricava che f (x) se e solo se x + 8x +, per x >, cioè per < x < 4 + 3, che pertanto è il punto di massimo assoluto, mentr = è il punto di minimo assoluto. Si ha lim f (x) = +, x +

3 Figura : Il grafico di f (Tema ). per cui il grafico di f, rappresentato nella figura, ha tangente verticale in (, π/). Esercizio Studiare la convergenza dell integrale generalizzato al variare di α, β R. + arctan(x ) arctan x x α (sinh x) β dx Svolgimento. L integranda f(x) è continua in ], [ ], + [, per cui bisogna studiare la convergenza dell integrale separatamente per x +, per x e per x +. Per x, f(x) x arctan x β/ = arctan, x β e quindi l integrale converge in se e solo se β < 4. Per x, f(x) arctan x x α x + α (sinh ) = arctan β α (sinh ) β x α, e quindi l integrale converge in se e solo se α <. Per x +, se β > π f(x) 4 (sinh x) β π ( β) e. (β x) Quest ultima espressione è o(/x ) per x + e quindi converge. Se β =, f(x) π /4x α, quindi converge se α > /. Se β <, f(x) π e β/ / β > /x per x + e quindi l integrale diverge. In sintesi, l integrale converge se α < e < β < 4 o se β = e / < α <. 3

4 Esercizio facoltativo. Sia I un intervallo chiuso e limitato e sia f : I R una funzione continua e tale che f(x) I per ogni x I. Dimostrare che esiste almeno un x I tale che f(x) = x. Svolgimento. Consideriamo la funzione g(x) = f(x) x, che vogliamo dimostrare che si annulla in almeno un punto di I := [a, b]. Se g(a), g(b) allora necessariamente g(a) > e g(b) <, per cui per il teorema degli zeri esiste x ]a, b[ tale che g( x) =. TEMA Esercizio Calcolare l integrale dx Svolgimento. Si ha dx = (ponendo t ex = t, per cui dx = dt/t) t(t + 4t + ) dt e = (t + ) + dt = arctan(t + ) e = arctan(e + ) arctan 3. e Esercizio Risolvere la disequazione 4 z 4z < e disegnare le soluzioni sul piano di Gauss. Svolgimento. Si ha 4 z 4z = 4( z z)( z + z) = (ponendo z = x + iy) 6ixy, da cui La soluzione è quindi 4 z 4z = 6 xy. {z = x + iy C : xy < 6 }, rappresentata in figura 3. Esercizio 3 Studiare la convergenza della serie al variare del parametro α >. + n= n ( e /nα cos(/n) ) Svolgimento. Dagli sviluppi di MacLaurin di e di cos x risulta, per n +, e /nα + cos n = + ( n α + 4n α + o n α ) + n + 4n 4 + o ( ) n 4, 4

5 Figura 3: Le soluzioni dell esercizio (Tema ). per cui il termine generale della serie, per n +, è asintotico a n (se α < ) n α n (se α = ) 6n 4 n (se α > ) n e quindi ha segno definitivamente costante per n +. Se α, il termine generale della serie non è infinitesimo e quindi la serie diverge (a ). Se α = la serie converge assolutamente e quindi converge. Esercizio 4 Si consideri la funzione f(x) := arcsin 4 x + x. i) Determinare il dominio D di f, le sue eventuali simmetrie e studiarne il segno; determinare i limiti di f agli estremi di D; ii) studiare la derivabilità, calcolare la derivata e studiare la monotonia di f; determinarne gli eventuali punti di estremo relativo ed assoluto e calcolare i limiti significativi di f ; iii) disegnare un grafico qualitativo di f. Svolgimento. (i) La funzione è pari, per cui la studiamo per x. Per tali x, D = {x > : 4 x +x }. La disequazione 4 x + x per x 4 equivale a x x +, che è sempre verificata, mentre per x < 4 equivale a x + x 3, che è verificata per x. Pertanto D = [, + [ ( ], ]). La funzione è continua in D, f() = arcsin() = π/ e lim x + f(x) = arcsin =, asintoto orizzontale. Il segno di f è dato dal segno dell argomento dell arcoseno, per cui f(x) se e solo s 4. (ii) In D si possono applicare le regole di derivazione se l argomento dell arcoseno è diverso da ±, cioè per x >. Per tali x si ha f (x) = ( + x ) (4 x)4x ( + x ) ( ) = 4 x +x x 6x ( + x ) x + x 3, da cui si ricava che f (x) se e solo s 6x, per x >, cioè per < x < /, che pertanto è il punto di minimo assoluto, mentr = è il punto di massimo assoluto. Si ha lim f (x) =, x +

6 Figura 4: Il grafico di f (Tema ). per cui il grafico di f, rappresentato in figura 4, ha tangente verticale in (, π/). Esercizio Studiare la convergenza dell integrale generalizzato al variare di α, β R. + arctan(x ) arctan x x 4 α (sinh 3 x) β dx Svolgimento. L integranda f(x) è continua in ], [ ], + [, per cui bisogna studiare la convergenza dell integrale separatamente per x +, per x e per x +. Per x, f(x) x arctan 4 α x β/3 = arctan 4 α, x β 3 e quindi l integrale converge in se e solo se β < 6. Per x, f(x) arctan x x α x + α (sinh 3 ) = arctan β 4 α (sinh 3 ) β x α, e quindi l integrale converge in se e solo se α <. Per x +, se β > π f(x) 4 (sinh 3 x) β π ( β) e (β 3. x) Quest ultima espressione è o(/x ) per x +, per cui l integrale converge. Se β =, f(x) π /4x α, quindi converge se α > /. Se β <, f è illimitata per x + e quindi l integrale diverge. In sintesi, l integrale converge se α < e < β < 6 o se β = e / < α <. TEMA 3 6

7 Esercizio [6 punti] Calcolare l integrale 3 log 4 9 dx Svolgimento. Si ha 3 log 4 9 dx = (ponendo ex = t, per cui dx = dt/t) 4 t 9 dt e 3 ( = 6 t 3 ), dt = t log t 3 e 3 t + 3 = ( ) 6 log 7 e3 3 e e 3 4 Esercizio Risolvere la disequazione 3z 3 z < e disegnare le soluzioni sul piano di Gauss. Svolgimento. Si ha 3z 3 z = 3(z z)(z + z) = (ponendo z = x + iy) ixy, da cui 3 z z = xy. La soluzione è quindi {z = x + iy C : xy < 6 }, rappresentata in figura. z Figura : Le soluzioni dell esercizio (Tema 3). Esercizio 3 Studiare la convergenza della serie al variare del parametro α >. + n= n ( cosh(/n α ) + cos(/n) ) 7

8 Svolgimento. Dagli sviluppi di MacLaurin di cosh x e di cos x risulta, per n +, cosh /n α + cos n = + n α + ( ) 4n 4α + o n 4α + n + ( ) 4n 4 + o n 4, per cui il termine generale della serie, per n +, è asintotico a n (se α < ) n α n (se α = ) n 4 n (se α > ) n e quindi ha segno definitivamente costante per n +. Se α, il termine generale della serie non è infinitesimo e quindi la serie diverge (a ± rispettivamente). Se α = la serie converge assolutamente e quindi converge (essendo asintotica alla serie n ). Esercizio 4 Si consideri la funzione f(x) := arcsin x 4 x + 3. i) Determinare il dominio D di f, le sue eventuali simmetrie e studiarne il segno; determinare i limiti di f agli estremi di D; ii) studiare la derivabilità, calcolare la derivata e studiare la monotonia di f; determinarne gli eventuali punti di estremo relativo ed assoluto e calcolare i limiti significativi di f ; iii) disegnare un grafico qualitativo di f. Svolgimento. (i) La funzione è pari, per cui la studiamo per x. Per tali x, D = {x > : x 4 x +3}. La disequazione x 4 x + 3 equivale al sistema { x 4 x + 3 x 4 x 3 la prima equazione è sempre verificata, mentre la seconda ammette come soluzione (in R + o ) x. Pertanto D = ( (, ] [, + ) ). La funzione è continua in D, f(/) = arcsin( ) = π/ e lim x + f(x) = arcsin =, e quindi y = é un asintoto orizzontale = / punto di minimo assoluto. Il segno di f è dato dal segno dell argomento dell arcoseno, per cui f(x) se e solo s 4. (ii) In D si possono applicare le regole di derivazione se l argomento dell arcoseno è diverso da ±, cioè per x >. Per tali x si ha f (x) = (x + 3) (x 4)4x (x + 3) ( ) = x 4 x +3 x + 6x + 3 (x + 3) (x + 3) (x 4), da cui si ricava che f (x) se e solo s 6x 3, per x > /, cioè per / < x < (8 + 7)/, che pertanto è il punto di massimo assoluto, mentr = / è il punto di minimo assoluto. Si ha lim f (x) =, x + per cui il grafico di f, rappresentato in figura 6, ha tangente verticale in (/, π/). Esercizio Studiare la convergenza dell integrale generalizzato + arctan(3 x) arctan x 9 x α (cosh x ) β dx 8

9 ... Figura 6: Il grafico di f (Tema 3). al variare di α, β R. Svolgimento. L integranda f(x) è continua in (, 3) (3, + ), per cui bisogna studiare la convergenza dell integrale separatamente per x +, per x 3 e per x +. Per x +, f(x) x arctan 3 9 ( ) α x β = β arctan 3 9 α x β, e quindi l integrale converge in se e solo se β <. Per x 3, 3 x arctan 3 f(x) 3 x α 6 α (cosh 3 ) = arctan 3 β 6 α (cosh 3 ) β 3 x α, e quindi l integrale converge in 3 se e solo se α <. Per x +, se β >, ( ) f(x) β π x α e. β x Quest ultima espressione è o(/x ) per x +, per cui l integrale converge per x + (per ogni valore di α). Se β =, f(x) π /4x α, quindi converge se α > /. Se β <, f è illimitata per x + e quindi l integrale diverge. In sintesi, l integrale converge se α < e < β < 4 o se β = e / < α <. TEMA 4 Esercizio. Calcolare l integrale 4 + dx Svolgimento. Operando la sostituzione t =, si ottiene 4 + dx = e t 4t + dt = 9 e (t ) + dt.

10 Sostituendo t = s, si ottiene e 4 + dx = s ds = [arctan s]e + = arctan(e ) + π 4. Esercizio. Risolvere la disequazione 9 z 9z < e disegnare le soluzioni sul piano di Gauss. Svolgimento. Si deve risolvere Per z = x + iy, si ottiene z z z + z < 9. xy < 8, rappresentato in figura Figura 7: Le soluzioni dell esercizio (Tema 4). Esercizio 3. Studiare la convergenza della serie + n= al variare del parametro α >. Svolgimento. Usando gli sviluppi di Mc Laurin n ( e /n tan /n α ) otteniamo e y = + y + y + o(y ) per y tan y = y + y3 3 + o(y4 ) per y, e /n tan n α = n + n 4 + o( n 4 ) n α + o( 3 n3α n 4α ).

11 Osserviamo che per ogni valore di α la serie è a termini di segno definitivamente costante. Inoltre si ha n ( e /nα tan /n ) n α se α (, ) se α = n se α (, + ). Per il teorema del confronto asintotico, concludiamo che la serie è convergente per α = e divergente per tutti gli altri valori di α >. Esercizio 4. Si consideri la funzione f(x) := arcsin 4 4 x x + 3. i) Determinare il dominio D di f, le sue eventuali simmetrie e studiarne il segno; determinare i limiti di f agli estremi di D; ii) studiare la derivabilità, calcolare la derivata e studiare la monotonia di f; determinarne gli eventuali punti di estremo relativo ed assoluto e calcolare i limiti significativi di f ; iii) disegnare un grafico qualitativo di f. Svolgimento. Osserviamo innanzitutto che f è una funzione continua sul suo dominio naturale (per i teoremi sulla continuità della funzione composta, del modulo e delle funzioni elementari) ed è pari; infatti si ha f( x) = arcsin 4 4 x 4 4 x ( x) = arcsin + 3 x + 3 = f(x). Possiamo pertanto studiare la funzione su [, + ) e poi ottenere il suo comportamento su (, ) per simmetria. Dominio. Per x [, + ), il suo dominio è dato da cioè (visto che x + 3 > sempre) cioè 4 4x x + 3 x 3 4 4x x + 3 x 4x + 7 e x + 4x. La prima disuguaglianza è sempre verificata mentre la seconda è vera per x (, ] [/, + ). Quindi sull intervallo [, + ), il dominio è [/, ). (Per simmetria: dom(f) = (, /] [/, ).) Segno. Per x [, + ), f quando 4 4x x + 3 cioè 4 4x, cioè x. Quindi f su [, /] [/, ] e f su (, ] [ + ). Limiti agli estremi del dominio. Con un cambio di variabile, abbiamo lim f(x) = lim arcsin y = x + y Inoltre, in x = /, per continuità di f, si ha lim x / + f(x) = f(/) = π/. Quindi, f ha y = come asintoto orizzontale sia per x + che per x. Derivabilità. Per i teoremi sulla derivabilità della funzione composta e poiché g(y) = arcsin y è derivabile su (, ), abbiamo che f C ((, /) (/, + )). Rimane da studiare la derivabilità di f nei punti / e /.

12 Calcolo f. Su [/, + ) abbiamo f (x) = (x + 3) [ x 4x ] (x + 3) (4 4x) Segno di f, monotonia e punti di estremo relativo ed assoluto. Per x [, + ), f quando x 4x che è vera solo per x + 4. Possiamo quindi dedurre che f è decrescente su (, + 4 ] e su [, + 4 ], f è crescente su [ + 4, ] e su [ + 4, + ), f presenta punti di minimo assoluto in x = ± + 4 (sono ovviamente punti di minimo relativo, hanno uguale valore per simmetria di f, e sono di minimo assoluto per il teorema di Lagrange), f presenta punti di massimo assoluto in x = ± (perché l immagine di arcsin è inclusa in [ π/, π/]). limiti di f e derivabilita in x = ±/. Osserviamo che si ha lim f (x) = ; x / + quindi la funzione non è derivabile nei punti x = / = /. grafico di f in figura Figura 8: Il grafico di f (Tema 4). Esercizio. Studiare la convergenza dell integrale generalizzato al variare di α, β R. + arctan x arctan( x) 4x α (cosh x ) β dx

13 Svolgimento. Innanzitutto osserviamo che la funzione integranda f può essere scritta come f(x) = arctan x arctan( x) x α + x α (cosh x ) β dx da cui si vede facilmente che f appartiene a C ((, /) (/, + )). I punti di integrazione impropria sono tre: x =, x = / e +. L integrale va risolto come + f(x) dx = lim a + /4 a f(x) dx + lim b / b /4 f(x) dx + lim c / + Studiamo separatamente il comportamento asintotico della f nei vari punti. Per x +. Abbiamo f(x) π x ( 4 (x /) β = π β ) x β ; c f(x) dx + lim d + per il teorema del confronto, abbiamo che il primo integrale è convergente se e solo se β <. Per x. Abbiamo arctan( x) ( x) e quindi otteniamo f(x) arctan(/) +α (cosh(/) ) β x α ; d f(x) dx. per il teorema del confronto, abbiamo che il secondo ed il terzo integrale sono convergenti se e solo se α <. Per x +. Abbiamo f(x) π 4 x α cosh β x π 4 x α e βx ; per il teorema del confronto, abbiamo che il quarto integrale diverge se β < e α o se β = ed α / mentre converge per β = ed α > / e per β > e α. In conclusione, l integrale iniziale converge se e solo se β (, ) e α < o β = e / < α <. 3