Attenzione: i programmi sono cambiati negli anni. Non tutti gli esercizi nella presente raccolta riguardano argomenti trattati ora.

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1 Si raccolgono qui temi d esame, esercizi e domande di teoria dati negli anni 3-5 nei corsi di Analisi Matematica I presso il DTG di Vicenza. Il materiale è stato reso disponibile dai docenti che hanno tenuto i corsi. Si inseriscono prima esercizi di autovalutazione. I temi d esame sono poi ordinati dai più recenti ai meno recenti. Ci sono alcune tracce di soluzione. Attenzione: i programmi sono cambiati negli anni. Non tutti gli esercizi nella presente raccolta riguardano argomenti trattati ora. Contenuto : Test autovalutazione 8 Pag. Test autovalutazione 7 Pag. 5 Test autovalutazione 6 Pag. 8 Esercizi d autovalutazione Pag. Temi d esame 5-6 Pag. 9 Temi d esame 4-5 Pag. 57 Temi d esame 3-4 Pag. 88 Temi d esame -3 Pag. Temi d esame - Pag. 36 Temi d esame - Pag. 58 Temi d esame 9- Pag. 76 Temi d esame 8-9 Pag. 99 Temi d esame 7-8 Pag. Temi d esame 6-7 Pag. 6 Temi d esame 5-6 Pag. 4 Temi d esame 4-5 Pag. 33 Temi d esame 3-4 Pag. 36

2 Università degli Studi di Padova Facoltà di Ingegneria Prof. F. Albertini, P. Mannucci, C. Marchi, M. Motta Prova di autovalutazione di Analisi Matematica, parte A Vicenza, 4 dicembre 8 ATTENZIONE: l Es. 4 è facoltativo (la valutazione complessiva dei primi 3 esercizi è 8/3) Tempo assegnato: ore e / per svolgere gli esercizi,,3; 3 ore per svolgere gli esercizi,, 3 e 4. Esercizio Si consideri la funzione f(x) = arccos e x (a) Determinare il dominio e il segno di f. (b) Determinare i iti agli estremi del dominio ed eventuali asintoti di f. (c) Studiare la continuità e la derivabilità di f; determinare gli intervalli di monotonia e gli eventuali punti di estremo (massimo e minimo) relativo e assoluto di f. (d) Calcolare i iti di f, se significativi. (e) Studiare convessità e flessi di f. (e) Disegnare un grafico qualitativo di f in tutto il dominio. Esercizio Si consideri la successione a n = n arctan ( n ) 4n arctan n + n log( + n) n cos n 3n

3 (a) Calcolare n + a n (b) Determinare, se esiste, l ordine di infinitesimo (o infinito) di a n. Esercizio 3 Calcolare per ogni valore reale del parametro α il ite x x x x + (log )x + x 3 sin ( ) x. sin(αx ) + (cos x ) + e 3/x Esercizio 4 (Facoltativo) Determinare il valore dei parametri a, b reali affinchè la funzione seguente: f(x) = (a) sia continua in IR; (b) sia di classe C in IR. { sin x+cos x e x / x x >, ae x 3bx x

4 Università degli Studi di Padova Facoltà di Ingegneria Prof. F. Albertini. P. Mannucci, C. Marchi e e M. Motta Prova di autovalutazione di Analisi Matematica, orale TEMA Vicenza, 4 dicembre 8. [] Dare le definizioni precise di massimo, minimo, estremo superiore ed estremo inferiore ed enunciarne le proprietà principali. [] Enunciare e dimostrare il Teorema di esistenza degli zeri. [3] Definizione di massimo e minimo relativo. Teorema di Fermat (enunciato e dimostrazione). TEMA [] Definizione di x f(x) = [] Dare la definizione di funzione derivabile in un punto. Enunciare e dimostrare il Teorema di derivazione della funzione composta. [3] Definizione di polinomio di Taylor ed enunciato e dimostrazione della Formula di Taylor con il resto di Peano.

5 Università degli Studi di Padova Facoltà di Ingegneria Prof. F. Albertini e M. Motta Prova di autovalutazione di Matematica A, parte A Esercizio Si consideri la funzione Vicenza, 5 novembre 7. f(x) = log ( e x 5e x + 6 ) x (a) Determinare il dominio di f, eventuali simmetrie e periodicità (non è richiesto lo studio del segno). (b) Determinare i iti agli estremi del dominio ed eventuali asintoti di f. (c) Studiare la continuità e la derivabilità di f; determinare gli intervalli di monotonia e gli eventuali punti di estremo (massimo e minimo) relativo e assoluto di f. (d) Calcolare i iti di f, se significativi. (e) Disegnare un grafico qualitativo di f in tutto il dominio. richiesto lo studio di f ) (Non è Esercizio Si consideri il seguente polinomio P (z) = z 3 + (4 + 3i)z + (i + 3)z + 9i (a) Verificare che z = è radice di P (z) (b) Determinarne le altre radici. (c) Determinare e disegnare nel piano di Gauss l insieme A C di tutti i numeri complessi che soddisfano la seguente disequazione: P (z) z + Im(z) + 3i. (z + )(z + 3)

6 Esercizio 3 (a) Calcolare il ite x + 8 log(+x) x 6 x 7 sin (x) x 8 log 6 ( + x ). (b) Calcolare per ogni valore reale del parametro α il ite e 3x 6 tan(x) + αx x 6 arcsin(x + x 3 ) 6x 6x. 3 (c) Determinare il valore del parametro reale α per cui la funzione e 3x 6 tan(x)+αx per x < 6 arcsin(x+x f(x) = 3 ) 6x 6x 3 8 x 6 log(+x) x 7 per x > sin (x) x 8 log 6 (+ x) risulta prolungabile per continuità in x =.

7 Università degli Studi di Padova Facoltà di Ingegneria Prof. F. Albertini e M. Motta Prova di autovalutazione di Matematica A, parte B Vicenza, 5 novembre 7. TEMA [] Dare la definizione di funzione iniettiva, suriettiva, biiettiva e di insieme immagine e insieme antimmagine di un dato insieme tramite f. Fornire qualche esempio. [] Dare la definizione di primitiva di una funzione f e di funzione integrale di f. Enunciare con precisione e dimostrare il fatto che tutte le primitive differiscono al più per una costante. [3] Enunciare e dimostrare il Teorema (o Criterio) di monotonia per le funzioni derivabili. TEMA [] Definizione di ite di successione (finito e infinito) e di successione indeterminata. Enunciare e dimostrare il Teorema sul ite di una successione infinitesima per una itata. [] Dare la definizione di ite finito di una funzione per x tendente ad x reale tramite le successioni e con gli intorni (ε, δ). Enunciare il Teorema di equivalenza tra le due definizioni (senza dimostrazione). [3] Enunciare e dimostrare il Teorema fondamentale del calcolo integrale.

8 Esercizi di autovalutazione di Matematica A, 5 novembre 6.. i) Risolvere la seguente equazione in C: ( z i)(z z + 6i 7)(z + ) =. ii) Determinare, al variare di α R, l insieme di definizione della seguente funzione di variabile complessa. Considerando f(z) = z α ( z i)(z z + 6i 7)(z + ). { ax + b se x f(x) = sin(x 4 x) x se x <, determinare i parametri reali a e b in modo che la funzione sia continua e derivabile nel proprio dominio. 3. Data la funzione f(x) = log x + arctg x, determinarne il dominio e l immagine; si assuma f definita su tali insiemi. i) Provare che la funzione f è invertibile. ii) Denotata con f la relativa funzione inversa, calcolare Df (π/4). 4. Trovare dominio, segno, asintoti, intervalli di monotonia della funzione f(x) = 4x + 3x x. 5. Calcolare il ite seguente, al variare di a R: e ax ax + x log(cos x) x + x 5 sin ( ) x + x x sin x.

9 Cognome Nome Matricola Prova di autovalutazione per l orale di Matematica A TEMA Vicenza, novembre 6. [] Massimo, minimo, estremo superiore ed estremo inferiore: definizioni e proprietà. Teorema di esistenza dell estremo superiore (con dim.) [] Definizione di massimo e minimo relativo. Teorema di Fermat (con dim.). [3] Enunciato e dimostrazione del Teorema sul ite di funzioni composte. TEMA [] Successioni monotone e loro proprietà (con dim.) [] Enunciare e dimostrare il Teorema di esistenza degli zeri. [3] Enunciare e dimostrare il Teorema di Rolle.

10 Alcuni esercizi sui primi argomenti di Matematica A.. Siano date due funzioni g : A B e f : B C. Dimostrare che se f g è iniettiva, allora g è iniettiva. Dimostrare anche che se f g è iniettiva e g è suriettiva, allora f è iniettiva.. Si consideri la funzione f(x) = x + x. Dimostrare che f(x) è dispari, strettamente crescente e f(r) = (, ). Dimostrare che f : R (, ) è biiettiva. Trovare la funzione inversa di f. 3. Trovare, se esistono, massimo, minimo, estremo superiore ed inferiore degli insiemi seguenti: { } n n + n N, { p p Z }, { arcsin { n + ( )n n N ( ) } n n N, + }, { } n n + n N, { n 4n+ n N }. 4. Trovare la funzione inversa di h(x) = sin(x + π) (x [ π, π ] ). 5. Trovare il dominio di g(x) = arccos x 3 /. Esercizi sui numeri complessi. Esprimere in forma algebrica il numero complesso α = ( i) 3.. Esprimere in forma algebrica il numero complesso α = ( + i)( i). 3. Esprimere in forma trigonometrica il numero complesso α = i. 4. Esprimere in forma trigonometrica il numero complesso α = + i Esprimere in forma algebrica il numero complesso α = ( i) Esprimere in forma algebrica il numero complesso α = ( + i 3). 7. Esprimere in forma algebrica il numero complesso α = + 4 i + i. 8. Esprimere in forma algebrica il numero complesso α = i( i) 5i. 9. Esprimere in forma trigonometrica il numero complesso α = ( i) 5 ( +i 3).. Esprimere in forma trigonometrica il numero complesso α = ( i) 5 /( + i 3).. Esprimere in forma algebrica il numero complesso { ( ( cos 3 π) + i sin ( 3 π))} 3 α = 3 ( cos ( π 6 ) + i sin ( π 6 )).. Esprimere in forma algebrica il numero complesso { ( ( ) ( ))} 3 ( ( π ) ( π )) α = cos 3 π + i sin 3 π 3 cos + i sin. 6 6

11 3. Esprimere in forma algebrica il numero complesso (/i) 4. ( 3. +i 4. Esprimere in forma algebrica il numero complesso i) 5. Risolvere l equazione complessa z 3 = Risolvere l equazione complessa iz 3 + =. 7. Risolvere l equazione complessa z = i Esprimere in forma algebrica le soluzioni dell equazione complessa z = 3 i. 9. Esprimere in forma algebrica le soluzioni dell equazione complessa iz z + 3i =.. Esprimere in forma algebrica le soluzioni dell equazione complessa z ( + 4i)z + 4i =.. Esprimere in forma algebrica le soluzioni dell equazione complessa iz + z =.. Esprimere in forma algebrica le soluzioni dell equazione complessa z z + 6( i) =. 3. Determinare un numero complesso z tale che e z = i Esprimere in forma algebrica il numero complesso z = e log +i 3 4 π. 5. Esprimere in forma algebrica le soluzioni dell equazione complessa z 3 = ( + 3i) Esprimere in forma algebrica le soluzioni dell equazione complessa z 4 = (3 + 4i) 4. Gli esercizi sui numeri complessi sono tratti da (e, in parte, svolti in): C. Zanella, Geometria Teoria ed Esercizi, Esculapio, Bologna,.

12 MATEMATICA A, Esercizi di autovalutazione, (giustificare le risposte) Funzioni e numeri complessi Vicenza, ottobre 7.. Determinare dominio e segno della funzione f(x) = arccos( x + 6) π/3.. Determinare ( dominio, ) segno, eventuali simmetrie e periodicità della funzione f(x) = arcsin. cosh(sin x) 3. Determinare dominio e segno della funzione f(x) = arctan ( 4e x 9e x + e x). 4. Determinare dominio, segno, eventuali simmetrie e periodicità della funzione f(x) = log ( 4 sinh x 5 sinh x + ). 5. Determinare dominio, segno, eventuali simmetrie e periodicità della funzione f(x) = log(sin x) sin x. 6. Data la funzione f(x) = x x: a) determinare f(r), f([/, + [), f ([, + [), b) dire se f è iniettiva; c) dire se f è suriettiva; d) dire se f ha una restrizione biunivoca sull immagine e determinarla in caso affermativo. 7. Risolvere le equazioni: nell insieme dei numeri complessi. iz z i = iz z i = 8. Determinare e rappresentare nel piano di Gauss l insieme E = { z C : (Re(z) + 3) 3 ( z + ( + i) 5) = }. 9. Determinare e rappresentare nel piano di Gauss l insieme { z i } 5 E = z C : z + i >.. (a) Determinare al variare di a IR le soluzioni complesse di z + z z + i(z z) + z = i a. (b) Determinare e disegnare nel piano di Gauss l insieme A = { z C : z (z) } + zz 8. (c) Determinare i valori di a IR per i quali risulta non vuota l intersezione tra l insieme delle soluzioni trovate nel punto (a) e l insieme A del punto (b).

13 . Determinare l insieme A dei numeri complessi z che soddisfano la seguente disequazione: z z + irez. Disegnare A nel piano complesso.

14 MATEMATICA A, Esercizi di autovalutazione, 3 (giustificare le risposte) Complessi e iti di successione. Determinare l insieme degli z complessi tali che z i z + + i z + + i z i Re (iz i z ) 4. Vicenza, ottobre 7.. Determinare l insieme degli z complessi tali che { log (log( z + 3 z z)) > z+ z = z i. z+i 3. Determinare l insieme degli z complessi tali che z 3 = z 3 i log( z ). 4. Calcolare i iti seguenti: ( ) n cos n + (a )n 3 n sin n + n sin(/n). ;. n n n log 4 n + n + (a ); 3. n n n n n! ( usare: a n n+ 4 n + a n a n = se il secondo); 4. (a > ); n n a n n n n + 5n n log ( ) + n + e n sin n + 3 n log n ( ) n 5. ; 6. n n 5 n 5 sin n + n n3/ n ( ) n.

15 MATEMATICA A, Esercizi di autovalutazione, 4 (giustificare le risposte) Limiti di successione e di funzione Vicenza, ottobre 7.. Calcolare: n n n e n.. Calcolare: per a = e per a = 3. n n a cos n 3n n sin(n 3 ) + sin( n) 3. Calcolare: n n n + ( n) n. n+ n 4. Calcolare: n ( + n ) (n/3 sin n+( )n ). 5. Calcolare: 6. Calcolare: 7. Calcolare: x π + sin x sin x. cos x ( 3x x 3x + x + ). x x sin x x sin(x). x

16 . Calcolare il ite seguente: Limiti di successione e di funzione (da appelli) n + 5n! 5n ( ) +n3 n 3 log + n n log( + n) n n3.. Per ogni valore di α IR, determinare il seguente ite: x sin(αx) + x 3 sin x x + cos( x) log(x + ). 3. Calcolare il ite della successione a n = + ( ) tan3 n e sin 3 ( n) ) e sin ( n) e n n 3+α ( per n + al variare del parametro α IR. 4. Calcolare il ite seguente al variare di a IR: ( ) /x x e /x + cos ( x ( x + + sinh ( ) x ) + a log ( ) x x ) ). /3 + sin ( x

17 MATEMATICA A, Cenni sulle soluzioni degli esercizi di autovalutazione bis, 4 (ATTENZIONE: in un compito non basta scrivere come nel seguito, vanno giustificati tutti i passaggi!) Limiti di successione e di funzione Vicenza, novembre 7.. n n n n log n n = e =. e n n. n n a cos n 3n n sin(n 3 ) + sin( n) = n n a n (3 sin(n 3 )) = n n a (3 sin(n 3 )). Poichè 3 sin(n 3 ) 4, e dunque /4 /(3 sin(n 3 )) /3, per a = il ite è e per a = 3 è (Svolto a lezione) n n n + ( n) n n+ n = ( + ) (n/3 sin n+( )n ) = e (n/3 sin n+( ) n ) log + n, n n n dove per le asintoticità n ( n /3 sin n + ( ) n) log ( + ) ( = n /3 sin n + ( ) n) n = n n Quindi, risulta e =. ( ) sin n ( )n + =. n n/ /3 n / 5. (Svolto a lezione) x π + sin x sin x cos x = (Svolto a lezione) ( 3x x 3x + x + ) = x sin x x sin(x) x + x x sin(x) = =. x + x

18 Limiti di successione e di funzione (da appelli). Usando le scale (e giustificando gli o-piccolo usati..) n + 5n! 5n ( ) +n3 n 3 log + n n log( + n) n n3 = n + 5n +n3 n n3 n 3 log ( ) = + n n + 5n =. n 3 n. (Svolto a lezione: si una Mac-Laurin) x sin(αx) + x 3 sin x x + cos( x) log(x + ). Risulta: + se α < log ; se α > log ; 5 log se α = log. 3. (Usando Mac-Laurin) + tan ( ) 3 n e sin 3 ( n) ) = n e sin ( n) e n n n 3+α ( 3 n 5 ( 3 ) = n nα, n 3+α n perchè ( ) ( tan 3 = n n + ( )) 3 3 n + o = 3 n 3 n + ( ) 3 n + o, 5 n 5 ( ) ( sin 3 = n n ( )) 3 6 n + o = 3 n 3 n ( ) 3 n + o, 5 n 5 ( ) ( ( )) sin = n n + o = 4 ( ) n n + o, n e n = + n + ( ) n + o, 4 n 4 ( ) e sin3 ( n) = + sin 3 + ( ) ( ( )) n sin6 + o sin 6 = + n n n ( ) 3 n + o. 5 n 5 ( ) ( ( )) e sin ( n) = + sin + o sin = + 4n ( ) n n n + o. Risulta: + se α > ; se α = ; se α <. 3. modificato Se si considera al posto dell es. 3 l esercizio seguente + tan ( ) 3 n e sin 3 ( n) 3 ) = ( n 5 ) = 9 n e sin ( n) e n n n n n+α, 3+α 3 n 4 n 3+α ( usando Mac-Laurin si ha quanto sopra, perchè ( ) ( tan 3 = n n + ( )) 3 3 n + o = 3 n 3 n + ( 3 n + o 5 ( ) ( sin 3 = n n ( )) 3 6 n + o = 3 n 3 n 3 n + o 5 n 5 ( n 5 ), ),

19 ( ) ( sin = n n ( )) 6 n + o = 3 n 3 e n = + n + ( n + o 4 ( ) e sin3 ( n) = + sin 3 + ( ) n sin6 + o n ( ) e sin ( n) = + sin + ( ) n sin4 n Risulta: se α > ; 9 ( sin 6 ( n ( ( )) + o sin 4 n se α = ; se α <. 4. (Si usa Mac-Laurin, dopo la sost. y = /x) L = x + ( ) /x x e /x + cos ( x ( + sinh ( ) x ) + a log ( ) x x + sin ( x ) ) /3 = y + n 3 n + o 4 ), n 4 ( ), n 4 )) = + n ( 3 n + o 5 n 5 = + n 3 n + 4 n + o 4 ). ( n 4 ). y y e y + cos (y) + ay log (y) ( ) /3 + sinh (y) + sin (y) dove y y = e y log y = + y log y + y log y + o(y log y) ( perchè y log y..), + sinh (y) = + sinh y 8 sinh y+ 6 sinh3 y+o(sinh 3 y) = + (y + 6 ) y3 8 y + 6 y3 +o(y 3 ) + sin (y) = + sin y 8 sin y+ 6 sin3 y+o(sin 3 y) = + (y 6 ) y3 8 y + 6 y3 +o(y 3 ). Quindi ( + a)y log y y + o(y) L = ( y + y3 + y3 + o(y 3 ) ) = ( + a)y log y y /3 y y e risulta se a > ; + se a < ; 3 6 se a =.

20 MATEMATICA A, Esercizi di autovalutazione, 5 (giustificare le risposte) Studi di funzione Vicenza, novembre 7.. Studiare la funzione f(x) = xe x (Dominio, segno, eventuali simmetrie, iti alla frontiera, eventuali asintoti, continuità e derivabilità, crescenza e decrescenza, eventuali minimi e massimi relativi ed assoluti, eventuali attacchi di f, abbozzo del grafico. Non è richiesto lo studio di f.). Studiare la funzione f(x) = x 4 e x x+ (Dominio, segno, eventuali simmetrie, iti alla frontiera, eventuali asintoti, continuità e derivabilità, crescenza e decrescenza, eventuali minimi e massimi relativi ed assoluti, eventuali attacchi di f, abbozzo del grafico. Non è richiesto lo studio di f.) 3. Si consideri la funzione f(x) = log ( x + + e x+ ) (a) Determinare il dominio di f, il segno di f ed eventuali simmetrie. (b) Determinare i iti agli estremi del dominio ed eventuali asintoti di f. (c) Studiare la continuità e la derivabilità di f; determinare gli intervalli di monotonia e gli eventuali punti di estremo (massimo e minimo) relativo e assoluto di f. (d) Calcolare i iti di f, se significativi e disegnare un grafico qualitativo di f. (e) (facoltativo) Studiare concavità e convessità della funzione f. 4. Si consideri la funzione f(x) = (cos x)3 cos x (a) Determinare il dominio, il segno, eventuali simmetrie e periodicità di f. (b) Determinare i iti agli estremi del dominio ed eventuali asintoti. (c) Studiare la continuità e la derivabilità di f; determinare gli intervalli di monotonia e gli eventuali punti di estremo (massimo e minimo) relativo e assoluto di f. (d) Calcolare i iti di f se significativi. (e) Disegnare un grafico qualitativo di f (in tutto IR). (Non è richiesto lo studio di f ) 5. Si consideri la funzione ( π ) f(x) = sin x e tan x (a) Determinare il dominio di f, il segno di f, eventuali simmetrie e periodicità.

21 (b) Determinare i iti agli estremi del dominio ed eventuali asintoti di f. (c) Studiare la continuità e la derivabilità di f; determinare gli intervalli di monotonia e gli eventuali punti di estremo (massimo e minimo) relativo e assoluto di f. (d) Calcolare i iti di f, se significativi. (e) Disegnare un grafico qualitativo di f in tutto il dominio. (Non è richiesto lo studio di f ) 6. Si consideri la funzione ( ) x + f(x) = arctan x + log(x ). (a) Determinare il dominio di f, il segno di f ed eventuali simmetrie. (b) Determinare i iti agli estremi del dominio ed eventuali asintoti di f. (c) Studiare la continuità e la derivabilità di f; determinare gli intervalli di monotonia e gli eventuali punti di estremo (massimo e minimo) relativo e assoluto di f. (d) Calcolare i iti di f, se significativi. (e) Disegnare un grafico qualitativo di f. (Non è richiesto lo studio di f ) 7. Completare lo studio delle funzioni da. a 5. assegnate nel foglio di autovalutazione (dove erano richiesti solo lo studio del dominio e del segno).

22 MATEMATICA A, Esercizi di autovalutazione, 6 (giustificare le risposte) Esercizi sugli integrali e sugli integrali impropri. Per x > si consideri la funzione integrale F (x) = x + sin t t /3 dt. Vicenza, novembre 7. i) Dire se F si prolunga per continuità in x =. ii) Calcolare il x + F (x). iii) Calcolare F (). iii) Dire se F è invertibile in ], + [ e in caso affermativo calcolare D[F ]().. Data la funzione integrale g(x) = x sinh(t 3 ) 5 + t 4 dt i) determinare l ordine di infinitesimo di g per x + (significa: determinare α IR tale che g(x) x + = L, con L numero reale non nullo.) x α ii) Calcolare il x + g(x) e il x g(x). iii) Scrivere due termini non nulli dello sviluppo di Mac-Laurin di g. 3. Determinare i valori del parametro reale α per i quali converge il seguente integrale: x α e x dx. 4. Determinare i valori del parametro reale α per i quali converge il seguente integrale: + log α (x + ) x dx. Raccolta di esercizi da appelli (a) Dire per quali α IR esiste finito l integrale seguente: e giustificare la risposta. π/ x α sin(x ) + log(x α ) ( cos(x )) 7 8 α dx (b) Calcolare l integrale per α =. Determinare la primitiva F : IR IR della funzione f(x) = cos x x (+sin x) x+ x >, x +5x+

23 tale che F () =. 3 Determinare tutti gli α IR e β > per i quali è convergente l integrale generalizzato + sinh x α sin x x β x dx. 4 Data la funzione integrale F (x) = x [ log( + t ) arctan(t a ) ] dt, (a) calcolare al variare del parametro a > il ite seguente (b) Calcolare il valore F () per a =. F (x). x + x 3

24 MATEMATICA A, Esercizi di autovalutazione, 7 (giustificare le risposte) Esercizi sulle serie Vicenza, novembre 7.. Determinare il carattere della serie n= ( 3 n ) n 5/. n 3/. Dire per quali α converge la seguente serie n= n n + 5 n α n + 3 n. 3. Data la serie n= ( ) n n arctan 3, α n dire per quali α IR converge assolutamente; discutere la convergenza per α = /. 4. Dire se la serie converge assolutamente e se converge. + n= e /n (cosh n 3 ) sin n 4/3 n 4/3 5. Studiare la convergenza della serie n= ( ) 5n. n 6. Discutere la convergenza della serie [ ( 9n 3 n n)] sin n. n=

25 MATEMATICA A, Esercizi di autovalutazione, 8 (giustificare le risposte). Si consideri l equazione differenziale Esercizi sulle equazioni differenziali αy (t) + y (t) + α y(t) =. Vicenza, novembre 7. i) Determinare l integrale generale per ogni valore del parametro α. Dire per quali valori dei parametri le soluzioni sono tutte: i) periodiche; ii) itate in [, + [. iii) Determinare, se esistono, i valori di α per cui esiste almeno una soluzione dell equazione differenziale tale che e t 3 y(t) risulta ilitata in [, + [.. Determinare l integrale generale dell equazione differenziale y (t) + y(t) sin(t) = sin t + cos t. 3. Determinare l integrale generale dell equazione differenziale y (t) + ty(t) = te t. 4. Determinare l integrale generale dell equazione differenziale y (t) + y (t) = t + sin t. 5. Determinare i valori del parametro reale α per i quali l equazione differenziale y (t) αy (t) = sin t ammette almeno una soluzione y tale che t y(t) =. Determinare l insieme di tali soluzioni. 6. Per quali valori del parametro λ > la soluzione y(t) di { y (t) = λy(t) y() =, y () = λ verifica la condizione y(π) =? Fra queste soluzioni ne esiste una strettamente positiva in ], π[? 7. Si consideri il problema di Cauchy y (t) + y (t) + y(t) = sin t y() = α, y () = β i) Trovare una soluzione nel caso α = β =. ii) Dire se esistono α, β reali tali da rendere la soluzione periodica.

26 8. Risolvere il problema di Cauchy y (t) = y() = +y(t) +t 9. Determinare i valori del parametro reale α per i quali l equazione differenziale y (t) + y (t) + α y(t) = te t ammette almeno una soluzione y(t) tale che t + y(t) = +. Determinare l insieme di tali soluzioni. Raccolta di esercizi da appelli Si consideri l equazione differenziale y (x) y (x) αy(x) = cos x e x/ sin x. (a) Determinare l integrale generale dell equazione differenziale α IR (Non si richiede di calcolare esplicitamente le costanti delle soluzioni particolari). (b) Determinare i valori di α IR per cui esiste una soluzione y(x) dell equazione differenziale tale che la funzione e x/ y(x) sia ilitata in [, + [. Determinare l integrale generale dell equazione differenziale y (x) + x + x y (x) = x. 3 (a) Risolvere al variare del parametro a IR l equazione differenziale y (x) ay (x) + 4y(x) = e x. (b) Dire per quali valori di a IR si ha per ogni soluzione y(x) dell equazione data. y(x) = x 4 Per ogni α IR si consideri la seguente equazione differenziale: αy 3y = xe x. (a) Determinare la soluzione per ogni valore di α. (b) Dire per quali valori del parametro α esistono soluzioni y(x) tali che y(x) x + xe x IR.

27 ) Calcolare la soluzione del problema di Cauchy y = y 9 t sin(4t) 6 y() = ) Trovare la soluzione del seguente problema di Cauchy y = y() =. 6 x 4 x 4 + x y, 3)Data l equazione differenziale y = (y + )(y + ) tan x, a) se ne trovino tutte le soluzioni costanti, b) se ne trovi (esplicitamente) la soluzione che soddisfa la condizione iniziale y(π) =. 4) Trovare la soluzione del problema di Cauchy y = y 3y 4 3x + y() = 5 5)Calcolare l integrale generale della seguente equazione differenziale y + 4y + 4y = 4t. 6) Date l equazione differenziale () y + y + y = e x e la funzione ϕ(x) = ax e x (a IR), a) si determini a in modo che ϕ sia soluzione di (); b) si determini la soluzione che soddisfa le condizioni y() = e y () =. 7) Trovare l integrale generale di y y + 4y = sin( 3t).

28 8)Trovare la soluzione del seguente problema di Cauchy: y + x y = x sin x( + tan x) 3 sin x + 4 cos x y( π/4) = 9) Determinare α IR tale che la funzione ϕ(x) = α tan x sia soluzione dell equazione differenziale y + y y = tan 3 x + tan x + ; () Determinare poi la soluzione di () che soddisfa le condizioni y() =, y () =.

29 ANALISI MATEMATICA Commissione F. Albertini, L. Caravenna e V. Casarino Ingegneria Gestionale, Meccanica, Meccatronica, Vicenza Vicenza, settembre 6 TEMA Esercizio [9 punti] Si consideri la funzione f(x) = sinh x sinh x 3x. a) Determinare dominio ed eventuali simmetrie (non è richiesto lo studio del segno). b) Determinare i iti agli estremi del dominio ed eventuali asintoti. c) Discutere la continuità e la derivabilità di f in ogni punto del dominio. Determinare quindi gli intervalli di monotonia della funzione ed eventuali massimi e minimi locali e globali. d) Studiare concavità/convessità di f. e) Disegnare un grafico qualitativo della funzione. Esercizio [9 punti] Per ogni a >, si consideri la serie: + ( ) ( a ( ) n n + 3 n ) arctan n 4 n n= a) Dire per quali a converge assolutamente; b) Dire per quali a converge semplicemente. Esercizio 3 [9 punti] Si consideri la funzione ( ) g(x) = e x sinh (x) e x sin cosh (x). x x a) Calcolare il ite della funzione g(x) per x +. [Sugg.: Può essere utile sostituire le definizioni sinh (x) =... ; cosh (x) =... ] b) Determinare la convergenza dell integrale impoprio x g(t)dt per x +. c) [Facoltativo] Determinare il campo di esistenza della funzione integrale G(x) = Esercizio 4 [5 punti] Si consideri la funzione: { ( ( xy cos ) ) h(x, y) = x x, x =. a) Dire se f è continua nei punti Pȳ = (, ȳ). b) Dire se esistono le derivate parziali di f nei punti Pȳ = (, ȳ). x g(t)dt. Tempo: due ore. Viene corretto solo ciò che è scritto sul foglio intestato. È vietato tenere libri, appunti, telefoni e calcolatrici di qualsiasi tipo. N.B. Il punteggio degli esercizi si intende esclusi i facoltativi. Le parti facoltative vanno fatte dopo aver svolto tutte le altri parti e non servono per ottenere la sufficienza.

30 ANALISI MATEMATICA Commissione F. Albertini, L. Caravenna e V. Casarino Ingegneria Gestionale, Meccanica, Meccatronica, Vicenza Vicenza, settembre 6 TEMA Esercizio [9 punti] Si consideri la funzione f(x) = sinh 3x sinh 3x x. a) Determinare dominio ed eventuali simmetrie (non è richiesto lo studio del segno). b) Determinare i iti agli estremi del dominio ed eventuali asintoti. c) Discutere la continuità e la derivabilità di f in ogni punto del dominio. Determinare quindi gli intervalli di monotonia della funzione ed eventuali massimi e minimi locali e globali. d) Studiare concavità/convessità di f. e) Disegnare un grafico qualitativo della funzione. Esercizio [9 punti] (a) (b) Per ogni b >, si consideri la serie: + ( ) ( b ( ) n n + 6 n ) sin n 7 n n= Dire per quali b converge assolutamente; Dire per quali b converge semplicemente. Esercizio 3 [9 punti] Si consideri la funzione ( e x arctan x g(x) = e x sinh (x) x ) cosh (x). a) Calcolare il ite della funzione g(x) per x +. [Sugg.: Può essere utile sostituire le definizioni sinh (x) =... ; cosh (x) =... ] b) Determinare la convergenza dell integrale impoprio x g(t)dt per x +. c) [Facoltativo] Determinare il campo di esistenza della funzione integrale G(x) = Esercizio 4 [5 punti] Si consideri la funzione: { ) xy (sin( f(x, y) = y ) y, y =. a) Dire se f è continua nei punti P x = ( x, ). b) Dire se esistono le derivate parziali di f nei punti P x = ( x, ). x g(t)dt. Tempo: due ore. Viene corretto solo ciò che è scritto sul foglio intestato. È vietato tenere libri, appunti, telefoni e calcolatrici di qualsiasi tipo. N.B. Il punteggio degli esercizi si intende esclusi i facoltativi. Le parti facoltative vanno fatte dopo aver svolto tutte le altri parti e non servono per ottenere la sufficienza.

31 ANALISI MATEMATICA - Traccia di soluzioni Commissione F. Albertini, L. Caravenna e V. Casarino Ingegneria Gestionale, Meccanica, Meccatronica, Vicenza Esercizio, Tema [9 punti] Vicenza, settembre 6 Si consideri la funzione f(x) = a) Determinare dominio ed eventuali simmetrie; sinh x sinh x 3x. b) determinare i iti agli estremi del dominio ed eventuali asintoti; c) discutere la continuità e la derivabilità di f; determinare la monotonia della funzione; d) determinare gli intervalli di convessità e di concavità della funzione f; e) disegnare un grafico qualitativo della funzione. Traccia di svolgimento. Osserviamo preinarmente che f(x) = + sinh x 3x. a) Determiniamo il campo di esistenza imponendo che il denominatore non si annulli: sinh x ex e x e 4x e x e x ± ( ) e otteniamo quindi x ln +. Non si notano simmetrie evidenti. ( ) +, ( ), b) Gli estremi del dominio sono ln + ln + + e. Calcoliamo i iti: ( ) f(x) = + x ± x ± sinh x 3x = x ln ( + ) f(x) = ± ( + ) ( + ± sinh x 3x x ln ) = ± Dall espressione f(x) = 3x+ sinh x notiamo inoltre che la retta y = 3x è un asintoto obliquo sia a + sia a. Dagli ultimi due iti notiamo che x = + è un asintoto verticale. c) Applicando le regole di continuità e derivabilità di somma e quoziente di funzioni elementari continue e derivabili, nel dominio R \ { ln + } la funzione f è continua e derivabile: ( ) ( ) f cosh x (x) = (sinh x ) 3 per x ln + Siccome la derivata( è somma di due funzioni negative e quindi è sempre negativa, f è strettamente ( )) ( ( ) ) decrescente sia in, ln + sia in ln +, +. La funzione non ammette né massimi locali né minimi locali. d) Studiamo il segno di f per determinare gli intervalli di convessità e di concavità della funzione f: f (x) = 4 (sinh x ) sinh x cosh (x)(sinh x ) (sinh x ) 4 4 sinh x + sinh x + (sinh x ) 3 ( ) ( ( ) ) per x ln +. Troviamo che f è convessa in ln +, +, dove f è positivo, e ( ( )) concava in, ln +, dove f è negativo.

32 e) Si traccia sotto un grafico qualitativo di f. y = 3x y y = sinh x sinh x 3x x x = ln( +)

33 Esercizio, Tema [9 punti] Per ogni a >, si consideri la serie: + n= ( ) ( a ( ) n n + 3 n ) arctan n 4 n a) Dire per quali a > converge assolutamente; b) Dire per quali a > converge semplicemente. Traccia di svolgimento. Osserviamo preinarmente che la funzione arctan ( n) è positiva e itata. Siccome studiamo solo a > la serie è a termini di segno alterno. a) Applichiamo il criterio del rapporto. Studiamo il quoziente di due termini consecutivi, in modulo: arctan ( ) ( a ) n +3 n n 4 arctan ( ) { ( ) ( n ) n a = 4 ( ) n + 3 n 4 n arctan a n+ +3 n+ n+ arctan a n+ + 3 n+ a a > n+ n+ 3 < a 3 Concludiamo che la serie converge assolutamente per < a < 4 perché il ite del quoziente è maggiore di. La serie non converge nè assolutamente nè semplicemente per a > 4 siccome il ite del quoziente è minore di e quindi termine generale non tende a zero. Non abbiamo risposta per a = 4, lo studiamo separatamente. Siccome + (3/4) n per n +, sostituendo a = 4 troviamo che il valore assoluto del termine generale della serie proposta ( ) ( 4 n + 3 n ) arctan n 4 n = arctan ( n ) ( + ( 3 4 ) n ) arctan ( ) n è asintotico a n, il termine generale della serie armonica. Siccome serie armonica n n diverge, concludiamo applicando il teorema del confronto asintotico che la serie proposta non converge assolutamente. b) Abbiamo osservato nel precedente punto che per a > 4 il termine generale non tende a zero: la serie non converge neanche semplicemente. Inoltre per < a < 4 la serie converge assolutamente e quindi anche semplicemente. Se a = 4 il termine generale in valore assoluto decresce a zero: ( ) ( 4 n+ + 3 n+ ) ( ) ( ( ) ) 3 n+ arctan n + 4 n+ = arctan + n + 4 ( ) ( ( ) ) 3 n+ ( ) ( ( ) 3 n ) < arctan + < arctan + n 4 n 4 e n + arctan ( n) ( + ( 3 4) n ) =. Siccome la serie ha termini di segno alterno, concludiamo che converge applicando il criterio di Leibniz. n 3

34 Esercizio 3, Tema [9 punti] Si consideri la funzione ( ) g(x) = e x sinh (x) e x arctan cosh (x). x x a) Calcolare il ite della funzione g(x) per x +. [Sugg.: Può essere utile sostituire le definizioni sinh (x) =... ; cosh (x) =... ] b) Determinare la convergenza dell integrale impoprio x g(t)dt per x +. c) [Facoltativo] Determinare il campo di esistenza della funzione integrale G(x) = Traccia di svolgimento. a) Ricordiamo che y(x) = e x x x g(t)dt. per x +. Osserviamo quindi preinarmente dallo sviluppo arctan y = y + o(y ) per y e dalla definizione di sinh(x) = ex e x, cosh(x) = ex + e x che per x +, la funzione g(x) ammette il seguente sviluppo: ( ) g(x) = e x sinh(x) e x arctan cosh (x) x x [ ( )] = e x sinh(x) e x e x x x + o x cosh (x) = e x [sinh(x) cosh(x)] x ( ) ( e x + o x cosh (x) e x e x x + o x ) cosh (x) Sfruttando la definizione di o-piccolo e di cosh(x), osserviamo che si ha ( ) e x o o cosh(x) = x ( e x x ) e x x dove per definizione x + o() =. Siccome ( ) e x cosh(x) e x x o() x e 3x x per x +. e x x + x = e x x + x = e x x + x = e 3x x + x = possiamo concludere che ( ) g(x) = e x e x x + o () x e 3x x g(x) =. x + b) Osserviamo che la funzione g è continua in [, + ), quindi integrabile in [, M] per ogni M >. Mostriamo ora che g(x) = o(e x ) per x + : grazie al conto nel punto precedente ( ) ( ) g(x) e x = e x e x + o () xe x x e x e 3x x e x = e x x + o () x e x x + x Concludiamo dal criterio del confronto asintotico che g è integrabile a +, siccome e x lo è. 4

35 c) [Facoltativo] La funzione g(x) è continua se x, quindi in particolare è integrabile in [ε, M] e in [ M, ε] comunque si scelgano < ε < M. Osserviamo i seguenti iti in x = della funzione g: ( ) sinh x g(x) = x ± x x arctan x ± xe x = π Allora g è una funzione continua a tratti e itata, la discontinuità nell origine è di salto. Siccome g è integrabile in ogni intervallo itato della retta reale, il dominio della funzione G è tutto R. Esercizio 4, Tema [5 punti] Si consideri la funzione: h(x, y) = a) Dire se h è continua nei punti Pȳ = (, ȳ). { xy ( cos( x ) ) x, x =. b) Dire se esistono le derivate parziali di h nei punti Pȳ = (, ȳ). Traccia di svolgimento. a) La funzione h(x, y) è della forma h(x, y) = r(x)s(y) dove s(y) = y è continua su R e anche r(x) = (cos(/x) )x può essere definita in modo continuo su R, siccome x x cos(/x) = per il teorema del confronto. Concludiamo che h si può definire con continuità su R, e in particolare nei punti (, ȳ). In alternativa, si poteva verificare la continuità di h in Pȳ = (, ȳ) con la definizione: ( ( ) ) h(x, y) = xy cos = = h(, ȳ), x,y ȳ x,y ȳ x poiché il polinomio xy è infinitesimo per x e la parte ( cos( x ) ) è una funzione itata. b) Siccome h è un prodotto di funzioni delle singole variabili, dove queste sono derivabili le derivate parziali di h si calcolano facilmente come h y (x, y) = r(x)s (y) = (cos(/x) )x se s derivabile in y, cioè vale (x, y) R h y (x, y) = r (x)s(y) se r derivabile nella variabile x, da vedere r è derivabile in x per le regole di derivazione di prodotto, composizione e quoziente. In x = non possiamo applicare invece la formula sopra perché la derivata r () non esiste: r(x) x x = cos(/x) x Nei punti (, ȳ) applichiamo allora la definizione di derivata parziale rispetto ad x: h(x, ȳ) h(, ȳ) x x x xȳ ( cos ( ) = x) ) x x x = x x ( ȳ cos ( ) ) = x Concludiamo che la derivata parziale rispetto ad x esiste solo nell insieme R \ {(, ȳ) : ȳ }, { se ȳ = se ȳ 5

36 ed in particolare la derivata parziale rispetto ad x non esiste nei punti (, ȳ) quando ȳ. In alternativa, poiché le derivate venivano chieste solo nei punti Pȳ = (, ȳ), per calcolarle si poteva applicare direttamente la definizione, e scrivere semplicemente: h h(x, ȳ) h(, ȳ) xȳ ( cos ( ) ( ( ) ) { (, ȳ) = = x) ) se ȳ = = ȳ cos = x x x x x x x se ȳ x x x h h(, ȳ + h) h(, ȳ) (, ȳ) = =, y h y h poiché nel secondo ite il numeratore è identicamente nullo, infatti h(, ȳ + h) = h(, ȳ) =. 6

37 ANALISI MATEMATICA Commissione F. Albertini, L. Caravenna e V. Casarino Ingegneria Gestionale, Meccanica, Meccatronica, Vicenza Esercizio [9 punti] Si consideri la funzione Vicenza, 5 luglio 6 TEMA f(x) = sin(x) e cos(x). a) Determinare il dominio, eventuali simmetrie, segno e periodicità di f. b) Determinare i iti agli estremi del dominio ed eventuali asintoti di f. c) Dimostrare che la funzione si può estendere per continuità a una funzione continua su R. Discutere poi la derivabilità della funzione f estesa a tutto R. d) Discutere, anche solo graficamente, la disequazione cos x tan x > nell intervallo x (, π ). Dedurre che f ha esattamente uno zero nell intervallo (, π ). Determinare poi gli intervalli di monotonìa di f ed eventuali massimi e minimi locali o globali. e) Disegnare un grafico qualitativo di f. Esercizio [9 punti] Si consideri l integrale + x α arctan(x α ) ( ) x + x x dx x a) Dimostrare che l integrale converge per α = e calcolarlo in questo caso. b) Determinare per quali α > l integrale converge. c) Facoltativo: determinare per quali α < l integrale converge. Esercizio 3 [9 punti] Calcolare al variare di α R e x+x x αx + x 4 ( sin ) x x + cos(3x) + x 5. log(x) Esercizio 4 [5 punti] Si determini il dominio delle funzioni F (x, y) = x3 y 3 x + y e G(x, y) = F (x, y) x + y. Dimostrare che F si può estendere a una funzione continua su tutto R, mentre G non si può estendere a una funzione continua su tutto R. Mostrare poi che non esistono F (x, y) e G(x, y). (x,y) (x,y) Tempo: due ore. Viene corretto solo ciò che è scritto sul foglio intestato. È vietato tenere libri, appunti, telefoni e calcolatrici di qualsiasi tipo. N.B. Il punteggio degli esercizi si intende esclusi i facoltativi. Le parti facoltative vanno fatte dopo aver svolto tutte le altri parti e non servono per ottenere la sufficienza.

38 ANALISI MATEMATICA Commissione F. Albertini, L. Caravenna e V. Casarino Ingegneria Gestionale, Meccanica, Meccatronica, Vicenza Esercizio [9 punti] Si consideri la funzione Vicenza, 5 luglio 6 TEMA f(x) = cos(x) e sin(x). a) Determinare il dominio, eventuali simmetrie, segno e periodicità di f. b) Determinare i iti agli estremi del dominio ed eventuali asintoti di f. c) Dimostrare che la funzione si può estendere per continuità a una funzione continua su R. Discutere poi la derivabilità della funzione f estesa a tutto R. d) Discutere, anche solo graficamente, la disequazione cos x sin 3 x > nell intervallo x (, π ). Dedurre che f ha esattamente uno zero nell intervallo (, π ). Determinare poi gli intervalli di monotonìa di f ed eventuali massimi e minimi locali o globali. e) Disegnare un grafico qualitativo di f. Esercizio [9 punti] Si consideri l integrale + x α tanh(x α ) ( ) x + x x dx x a) Dimostrare che l integrale converge per α = e calcolarlo in questo caso. b) Determinare per quali α > l integrale converge. c) Facoltativo: determinare per quali α < l integrale converge. Esercizio 3 [9 punti] Calcolare al variare di α R e x x + x αx + x 4 log(x) x + cosh(x) + x 4 sin ( ). x Esercizio 4 [5 punti] Si determini il dominio delle funzioni F (x, y) = x3 + y 3 x + y e G(x, y) = F (x, y) x + y. Dimostrare che F si può estendere a una funzione continua su tutto R, mentre G non si può estendere a una funzione continua su tutto R. Mostrare poi che non esistono F (x, y) e G(x, y). (x,y) (x,y) Tempo: due ore. Viene corretto solo ciò che è scritto sul foglio intestato. È vietato tenere libri, appunti, telefoni e calcolatrici di qualsiasi tipo. N.B. Il punteggio degli esercizi si intende esclusi i facoltativi. Le parti facoltative vanno fatte dopo aver svolto tutte le altri parti e non servono per ottenere la sufficienza.

39 ANALISI MATEMATICA - Traccia di soluzioni del tema Commissione F. Albertini, L. Caravenna e V. Casarino Ingegneria Gestionale, Meccanica, Meccatronica, Vicenza Esercizio [9 punti] Si consideri la funzione Vicenza, 5 luglio 6 f(x) = sin x e cos x. a) Determinare il dominio, eventuali simmetrie, segno e periodicità di f. b) Determinare i iti agli estremi del dominio ed eventuali asintoti di f. c) Dimostrare che la funzione si può estendere per continuità a una funzione continua su R. Discutere poi la derivabilità della funzione f estesa a tutto R. d) Discutere, anche solo graficamente, la disequazione cos x tan x > nellintervallo x (, π ). Dedurre che f ha esattamente uno zero nell intervallo (, π ). Determinare poi gli intervalli di monotonìa di f ed eventuali massimi e minimi locali o globali. e) Disegnare un grafico qualitativo di f. Traccia di svolgimento a) Dominio: {x π + kπ, k Z}. Simmetrie: la funzione f(x) è pari. Segno: la funzione f(x) è nonnegativa, e si annulla nei punti x = kπ per k Z. La funzione è periodica di periodo π, siccome f(x + π) = sin(x + π) e cos(x+π) = sin x e cos x = sin x e cos x = f(x) È anche corretto indicare che è periodica di periodo π, ma π non è il periodo minimo. b) Siccome ( la funzione è periodica di periodo π, è sufficiente studiare f(x) in un periodo fondamentale π, π ) [ ). Siccome f(x) è pari, possiamo studiare il solo intervallo, π e sfruttare la simmetria: x ( π f(x) = +kπ) x ( π f(x) = +kπ)+ x ( e cos x =, k Z. π ) Troviamo che non ci sono asintoti e che possiamo estendere f su tutto R per continuità definendo ( π ) f + kπ = k Z. c) Per le regole della derivazione di funzioni prodotto, quoziente e di funzione composte, la funzione f(x) è continua e derivabile per x k π, k Z: per x (, π ) la derivata prima è ( ) f (x) = e cos x cos x sin x cos e ( cos x cos x tan x ) x Sfruttando parità e simmetria, o rifacendo i conti nei vari intervalli, concludiamo che per k Z ( se x kπ, kπ + π ) f (x) = e ( cos x cos x tan x ) se x (kπ π ), kπ f (x) = e ( cos x cos x tan x )

40 Osserviamo allora che, a causa del modulo, f(x) non è derivabile nei punti x = kπ in cui il seno cambia segno, per k Z, perché le derivate destra ( ) ( e e sinistra e) in tali punti non coincidono. Per studiare la derivabilità nei punti π +kπ, k Z, in cui abbiamo esteso f per continuità, si osservi f (x) = f e [ cos x (x) = x ( π +kπ) x ( π ) x ( π ) cos x = y = ] y = cos x y + e y = f (x) = f (x) = x ( π +kπ)+ x ( π )+ cos x e x ( π )+ cos x = [ y = ] y = cos x y + e y = + Concludiamo dal teorema della derivata come ite di derivate che f ( π + kπ) = per k Z. d) Nell intervallo (, π ) la funzione continua cos x tan x decresce con stretta monotonia da a : siccome cambia segno in [ π 6, π ] 4, applicando il teorema degli zeri sappiamo che si deve annullare in questo intervallo; ha solo uno zero z in questo intervallo a causa della stretta monotonia. Dal calcolo della derivata svolto al punto c), siccome l esponenziale è una funzione sempre positiva, abbiamo che in (, π ) il segno di f è esattamente il segno della funzione cos x tan x: deduciamo allora che f è crescente in (, z) e decrescente in ( z, π ), mentre in (, π ) ha massimo locale nel punto z dove f si annulla. Possiamo determinare il comportamento di f nell intervallo ( π, ) sfruttando la parità: f è decrescente in ( z, ) e crescente in ( π, z), mentre avrà in z un massimo locale con f( z) = f( z). Possiamo infine ottenere il comportamento di f su tutto R\{k π }, k Z, sfruttando la periodicità di periodo π: in particolare i punti z + kπ e z + kπ sono non solo massimi locali, ma massimi globali. Sappiamo già dallo studio del segno che i punti rimanenti x = k π in cui f si annulla, k Z, sono punti di minimo assoluto.... π f z... max. max. min. min. min.... z π f f f... f In alternativa allo sfruttare parità e periodicità si può studiare il segno di f nei vari intervalli, risolvendo le opportune disequazioni ottenute risolvendo i moduli. Si disegna sotto uno studio grafico delle funzioni in oggetto alternativo al ragionamento appena descritto sopra. y z y = tan x y = cos x π x y = tan x y = cos x π z y x y = cos x π π z π y = tan x x e) Si riporta un grafico qualitativo di f. y y = f(x) ( z + π) π ( z π) π/ z z π/ ( z + π) π z + π x

41 Esercizio [9 punti] Si consideri l integrale + x α arctan(x α ) ( ) x + x x dx x a) Dimostrare che l integrale converge per α = e calcolarlo in questo caso. b) Determinare per quali α > l integrale converge. c) Facoltativo: determinare per quali α < l integrale converge. Traccia di svolgimento Risolvendo il modulo, otteniamo che l integrale si scrive come x α ( ) x + ( x + ) + arctan(x α ) x x α ( ) x + (x ) dx + x arctan(x α ) x dx x x α ( ) + x = arctan(x α ) x x α ( ) dx + x arctan(x α ) x dx x a) Se α = abbiamo x α = per x > : dalle precedenti osservazioni l integrale si può scrivere come ( + ) dx + arctan x x x dx = 8 ( + ) dx + π x x x dx Abbiamo sostituito sopra arctan = π 4. Integrando esplicitamente possiamo allora calcolare ( 6 + ) π x dx + x x dx = 6 [ ] x= x π x= + 6 [ ] x=+ = 3 π x π b) Per α >, studiamo separatamente l integrabilità in e a +. Per x + abbiamo che x α + e arctan(x α ) x α : dalle le proprietà degli asintotici x α ( ) x arctan(x α x α ( ) x ) x α = x Concludiamo dal criterio del confronto asintotico che per ogni α > l integrando è integrabile in. Per x + abbiamo che x α + e che arctan x α π, quindi x α ( ) arctan(x α ) x ( ) x α x π x = 4 x π xα 3 Per il criterio del confronto asintotico otteniamo che l integrando è integrabile a + se α <. Concludiamo quindi che se α > l integrale converge solo per < α <. c) Per α <, studiamo separatamente l integrabilità in e a +. Per x + abbiamo che x α + e che arctan x α π, quindi ( ) x x α arctan(x α ) π ( x α x ) = 4 π xα Concludiamo dal criterio del confronto asintotico che l integrando è integrabile in per < α. Per x + abbiamo che x α, quindi per le proprietà degli asintotici x α ( ) arctan(x α ) x x α ( ) x x α x = x x x Concludiamo dal criterio del confronto asintotico che per α < l integrando è integrabile in +. Concludiamo infine che se α < l integrale converge solo per < α <. 3 x=

42 Esercizio 3 [9 punti] Calcolare al variare di α R e x+x x αx + x 4 ( sin ) x x + cos(3x) + x 5. log(x) Traccia di svolgimento Studiamo i vari termini che compaiono nella frazione per x +. Per McLaurin e x +x = + (x + x) + (x + x) + (x + x) o(x 3 ) = + x + 3 x x3 + o(x 3 ) cos(3x) = 9 x + o(x ) Per il teorema del confronto, siccome sin ( ) x è itato per x +, abbiamo poi che x 4 ( sin ) ( ) ( ) x x + x 3 = x sin x + x = = x 4 sin x = o(x 3 ) Inoltre x 5 log x x + x = x x3 log x = = x 5 log x = o(x ) + Sviluppando il numeratore fino all ordine 3 e il denominatore fino all ordine, otteniamo allora che il ite richiesto è uguale a + x + 3 x x3 + o(x 3 ) x αx + o(x 3 ) x + 9 x = + o(x ) Esercizio 4 [5 punti] Si determini il dominio delle funzioni F (x, y) = x3 y 3 x + y e G(x, y) = { se α = 3 ( ) 9 α 3 se α 3 F (x, y) x + y. Dimostrare che F si può estendere a una funzione continua su tutto R, mentre G non si può estendere a una funzione continua su tutto R. Mostrare poi che non esistono F (x, y) e G(x, y). (x,y) (x,y) Traccia di svolgimento F è ben definita fuori dall origine perché quoziente di polinomi con denominatore non nullo. Anche G è ben definita in R \ {} siccome è uguale a F divisa per la distanza dall origine. Passando alle coordinate polari x = ρ cos θ, y = ρ sin θ, ρ >, θ [, π) si ha (cos 3 θ sin 3 θ)ρ 3 F (ρ cos θ, ρ sin θ) = (cos θ + sin θ) ρ = (cos 3 θ sin 3 θ)ρ ρ per ρ. Concludiamo quindi dal teorema del confronto che (x,y) (,) F (ρ cos θ, ρ sin θ) =. Possiamo perciò prolungare F per continuità nell origine definendo F (, ) :=. Osservando poi che G(, y) y, G(x, ) x otteniamo che G dovrebbe ammettere due valori ite, e, nell origine: per l unicità del ite, G(x, y) non ammette ite per (x, y) (, ). Non è quindi possibile estendere G per continuità nell origine. Calcolando F (x, ) = + = F (, y), x + y + G(x, ) = = G(, y) x + y + concludiamo ancora per l unicità del ite che (x,y) F (x, y) e che (x,y) G(x, y). 4

43 ANALISI MATEMATICA Commissione F. Albertini, L. Caravenna e V. Casarino Ingegneria Gestionale, Meccanica, Meccatronica, Vicenza Vicenza, 5 febbraio 6 TEMA Esercizio [9 punti] Si consideri la funzione f(x) = x(log x x e ).. Determinare dominio ed eventuali simmetrie.. Determinare i iti agli estremi del dominio ed eventuali asintoti; stabilire poi se f si può prolungare per continuità a una funzione continua su R. 3. Discutere la continuità e la derivabilità di f e determinare la monotonia della funzione; calcolare poi i iti di f, se significativi. 4. Studiare la convessità di f. 5. disegnare un grafico qualitativo della funzione. Esercizio [9 punti] Si consideri, per ogni α > la funzione { sin(xy α ) (x, y) (, ), f(x, y) = x +y (x, y) = (, ). a) Determinare per quali α la funzione risulta continua. b) Determinare per quali α le derivate parziali in (, ) esistono e calcolarle. c) Fissato α = dire se f è differenziabile in (, ). d) (fac.) Dire per quali α la funzione f è differenziabile in (, ). Esercizio 3 [9 punti] Si consideri la successione sinh( ) n a n = 3 n n cos. n. Scrivere lo sviluppo di Taylor di a n per n + fino al primo termine non nullo.. Studiare il carattere delle due serie + log ( + (a n ) ) n= Esercizio 4 [5 punti] Si consideri la funzione e f(x) = x α (sin(x) x). + n= tan a n. Determinare per quali α R la funzione f è integrabile in senso improprio sia in sia a +. Tempo: due ore. Viene corretto solo ciò che è scritto sul foglio intestato. È vietato tenere libri, appunti, telefoni e calcolatrici di qualsiasi tipo. N.B. Il punteggio degli esercizi si intende esclusi i facoltativi. Le parti facoltative vanno fatte dopo aver svolto tutte le altri parti e non servono per ottenere la sufficienza.

44 ANALISI MATEMATICA Commissione F. Albertini, L. Caravenna e V. Casarino Ingegneria Gestionale, Meccanica, Meccatronica, Vicenza Vicenza, 5 febbraio 6 TEMA Esercizio [9 punti] Si consideri la funzione f(x) = x(log x x e ). a) Determinare il dominio, il segno ed eventuali simmetrie della funzione. b) Determinare i iti agli estremi del dominio ed eventuali asintoti; stabilire poi se f si può prolungare per continuità a una funzione continua su R. c) Discutere la continuità e la derivabilità di f e determinare la monotonia della funzione; calcolare poi i iti di f, se significativi. d) Studiare la convessità di f. e) Disegnare un grafico qualitativo della funzione. Traccia di svolgimento. (a) Dominio: R \ {} dovuto all argomento del logaritmo. Nessuna simmetria o periodicità. Segno: studiamo prima graficamente (grafico sotto) il segno del fattore log x x e. Il grafico di y = log x è convesso nell intervallo (, + ) e la retta y = x/e è tangente a questo grafico in x = e, quindi log x x e per x > e l uguale vale in x = e. Applicando il teorema degli zeri troviamo che la retta y = x/e interseca poi trasversalmente il grafico di y = log x anche in un punto x (, /e) siccome log() ( /e) = /e > e log(/e) ( /e ) = + /e <. x è l unico punto di contatto in (, ) perché log( x) x e è strettamente decrescente. Consideriamo ora il segno del fattore x: si conclude che f(x) = se x = x o x = e e poi f(x) > solo se x < x <. y y = log x x e e x X e y = x X e X log( x ) x e x f(x) (b) Gli estremi del dominio sono ± e ±, dove si trova (log x x x ) ( log(x) = x + e x + x ) = (log x e x x x ) = x + e (log x x x ) ( log( x) = x e x + x ) = (log x e x x x ) = + x e (log x x ) = (nessuno asintoto a ±, superlineare) (log x + e x x ) = + x e Concludiamo che f si può prolungare per continuità a una funzione continua su R definendo f() =. (c) f è continua e derivabile in R \ {} per i teoremi sulla continuità e sulla deribabilità della composizione e del prodotto di funzioni continue e derivabili. Si ottiene dalle regole di calcolo che x f (x) = ( log x + x e Il prolungamento continuo di f non è derivabile in x =, ma ha in x = un flesso a tangente verticale: ( ) f(x) f() x log x x ( e = = log x x ) = log x =. x x x x x e x ).