ESERCIZI DI ANALISI MATEMATICA. x2 4 1 x

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1 ESERCIZI DI ANALISI MATEMATICA Disequazioni e proprietà degli insiemi - ese - Risolvere le seguenti disequazioni: ( + )( 2) < ( + 5)( 5) > > < ( + )( ) > 2 ( 2)( + ) < 2 ( ) + 7 ( 7) 2 < ( 5) 4 ( + ) (4 + 7) (2 + 8) < > < t + t() t 2t > t 2 t t, t R > < + 5 < < + 2 > ( )( ) < ( )( 2 2 3) < ( 2) > < < < > ( + ) < > 2 (a 2 + a + 3) 2 + 2a +, a R 2- ese 2- Determinare a R tale che risulti: R : a + < } R : > } 3- ese 3-

2 Descrivere i seguenti sottoinsiemi di R: A = R : < 2} B = R : 3 < } C = R : < 2} D = R : < } Quali di essi risultano vuoti? 4- ese 4- Siano Per quali t R si ha A t B? A t = R : 2 + t < } e B = y R : y(y 2 + ) < }, t R 5- ese 5- Dati A, B, D sottoinsiemi di R verificare che Se D A vale l eguaglianza? A\(B\D) (A\B) D 6- ese 6- Quali dei seguenti insiemi risultano vuoti? A = R : }; B = R : 2 < 2 }; C = R : }; D = R : }; E = R : sen }; F = R : < 2 } 7- ese 7- È vero che a R, b R, b a a > b =? e che a 2 + b 2 < n n N\} a = b =? 8- ese 8- In che relazione stanno gli insiemi: al variare di k R? R : k 2 2k } R : k > } 9- ese 9-2

3 Siano A = y R, y = , }, A 2 = y R, y a, a A }, A 3 = z R, z a, a A } a) A? b)a 2 e A 3 sono diversi dal? c)a 2 e A 3 sono intervalli? sono itati? - ese - Stesso problema di prima per B = + ; R}, C = +, } - ese - Risolvere le seguenti disequazioni: > 2sin 2 cos > sin cos 2 > a 2 log ( 3 ) cos2 sin (2) > sin 2 > + 3 < cos 2 sin < ( )( ) a > a (a > ) ; lg (2 ) lg 2 (sin )(cos ) + tg arcsin 2 + arccos 2 + tg (cos ) > 5 arcsin (2 ) π 4 cos 2sin 3 2 lg 2 ( 2 ) + 2- ese 3- Siano A = R : + < 2} B k = R : ln( ) < k} R : < } C = k R : B k A} è vero che: C?, C?, C è un intervallo? 3

4 3- ese 4- Siano A k = R : e k}, k R, B = [ π 4, π ], tg } 4 Si chiede se k < 5 o k per è condizione necessaria, sufficiente o necessaria e sufficiente affinché B A k 4- ese 5- Risolvere i seguenti sistemi: ln ( ) 2 cos 2 2 ( 2 )cos lg (2) > < > 5- ese 6- Siano a, b, c R Sono vere o false le seguenti affermazioni, e perché? a a 2 > ; a > a > ; a < b a 2 < b 2 ; a + c > b + c c > ; n N p N tale che n R : 2 + > p 2 }; R n N tale che = 2m 2m 6- ese 2-4

5 Sia a R, I R, I, a = inf I è vero che a + è un maggiorante di I? 7- ese 22- È vero che inf R : , } = sup R : lg ( ) < }? 4 8- ese 23- Siano A = R : + 2 +, }, B = y R : y a, a A}, C = z R : z a, a A} Calcolare, se esistono, sup A, inf A, ma A, min A, sup B, inf B, ma B, min B, inf C, sup C, min C, ma C 9- ese 45- Si considerino le proposizioni a) ɛ > δ > tale che sen < ɛ tale che < δ b) ɛ > δ > tale che sen < δ È vero che b) è la negazione di a)? In caso negativo scrivere le negazioni di a) e b) 2- ese6 2- Risolvere le seguenti disequazioni + e π a 2- ese6 3- Si consideri l insieme A = = 3n n! (2n)! : n N } Determinare, se esistono, sup A = inf A = ma A = min A = 22- ese6 7- Si considerino le funzioni Risolvere le seguenti disequazioni g() = + f() g() 5

6 f() g() f() g() f() g() 23- ese7 29- Disegnare l insieme A = (, y) R 2 : y( + ) + } Disegnare l insieme B = (, y) R 2 : y( + ) +, y } Disegnare l insieme C a,b = (, y) R 2 : [a, b], y [a, b], y} Determinare tutti gli a, b R tali che C a,b B Si consideri Disegnare l insieme A = (, y) R 2 : y, f() f(y)} Trovare per quali a, b R, y [a, b], y = f() f(y) 24- ese7 3- Trovare per quali a, b R, y [a, b], y = f() f(y) Disegnare il grafico di f Determinare sup f, inf f, ma f, min f Disegnare il grafico di g() = f( ) Determinare D = R : g() } e disegnare i grafici di e g() sullo stesso piano cartesiano precisandone le mutue posizioni an = g(a Provare che la successione definita da n ) a = ite L A a n è inferiormente itata infatti: L B a n è decrescente infatti: L C a n = infatti: è decrescente, inferiormente itata e trovarne il 6

7 Proprietà elementari delle funzioni 2- ese 2- Provare che 2 > per ogni R 22- ese 7- Sia g : R R, g() = 2 + ; h : R\} R, h() = Calcolare g(2), g( 2 ), g(2), g(h(2)), h(g(2)), g( + + h(2)) h(g(h(2))) 23- ese 8- Scrivere le seguenti funzioni come composte delle funzioni elementari (,, 2, +a) ese 24- Stabilire l insieme immagine e studiare l iniettività delle seguenti funzioni: f () = 2, [ 5, 5], f () = 2 + 3, [ 5, 5], f () =, ( 3, 3), f () = 3, [ 2, 2], f () = 2 3, f () =, [5, 7] f () = 3 2 < [, ) f () = [, 2] 25- ese 44- Si considerino le proposizioni a) : ɛ > tale che δ > con < δ tale che sen > ɛ b) : ɛ > δ > tale che sin ɛ con < δ È vero che a) è condizione sufficiente affinchè non si verifichi b) 26- ese 73- Dare tre esempi di funzioni crescenti e tre esempi di funzioni decrescenti 27- ese 87-7

8 Risolvere i seguenti problemi individuandone con precisione i dati caratteristici: a) Un rettangolo ha area di m 2 Esprimere il perimetro del rettangolo come funzione della lunghezza di un suo lato b) Una scatola rettangolare ha un volume di m 3 e lunghezza doppia della larghezza Esprimere la sua area superficiale come funzione della sua altezza c) Un rettangolo è inscritto in un semicerchio di raggio ed ha la base sul diametro Esprimere l area del rettangolo come funzione della lunghezza della base d) Un cilindro circolare retto è inscritto in una sfera di raggio 2 m Esprimere il volume e l area superficiale del cilindro come funzione del raggio di base 28- ese4 5- Si consideri la funzione ln 2 2 f è definita in I = f è continua in J = f è derivabile in K = f è crescente in L = f è invertibile in [, 2]? NO SI e la sua inversa è f è invertibile in [, ]? NO SI e la sua inversa è f è invertibile in [3, + ]? NO SI e la sua inversa è f è invertibile in [, ]? NO SI e la sua inversa è 29- ese4 9- Sia L insieme di definizione di y è y() = log 2 (cos 2 ) I = Il rango di y è R y = infatti y è periodica di periodo π 2 π 2π 4π non è periodica il grafico di y è simmetrico rispetto all asse delle all asse delle y all origine y è monotona nell insieme è ivi crescente è ivi decrescente infatti Dopo aver verificato se y è invertibile in [ 5 6 π, π] determinare il dominio dell inversa il rango dell inversa se l inversa è monotona 8

9 una espressione dell inversa in termini di funzioni elementari y () = Determinare l insieme delle soluzioni in ( π 2, π 2 ) della disequazione y() log 2 (tan ) Dimostrare che 2 } sup = + Verificare usando la definizione di ite che = 4 2- ese5 32- Eprimere in funzione del lato L area A() dell esagono regolare L area A() dell poligono regolare di n lati 2- ese5 33- Si consideri il parallelepipedo in cui l altezza h, la larghezza w e la lunghezza l soddisfano le seguenti relazioni w = 2h l = 3w Esprimere mediante una funzione il volume del parallelepipedo 22- ese6 2- Tra tutti i cilindri aventi superficie totale uguale ad, determinare quello di volume massimo 23- ese6 3- Siano dati la funzione f e l insieme di valori V come segue 2 3+ V =, 2/3, 2, } V = 7, 4/5, } V = 5,, 3/7} V =, 2/5, 3/7} V =, 7/3, 5/7, } 4+3 V = /4, 2/3, } 9

10 7 +2 V = 7, 7/2, 2} V = 5/4, 5/2, 3} V = 3, 2, 3/4} Per ogni coppia di dati trovare l insieme di definizione Idi f Individuare f(i) V f è strettamente crescente o decrescente in I? f è iniettiva in I? La restrizione di f a [, + ) è strettamente crescente? La restrizione di f a [, + ) è strettamente decrescente? 24- ese6 3- Siano date le funzioni f e g e l insieme T essendo ) g() = 5 h(), h() = log 5 ( + 2 log 5 2 T = [, ] g() = 3 h(), ) h() = log 3 ( + 4 log 3 4 T = [, ] g() = 2 h() 2, ) h() = log 2 ( + 6 log 2 6 T = [, ] g() = 4 h() +, ) h() = log 4 ( + 4 log 4 4 T = [, ] g() = 7 h() 3, ) h() = log 7 ( + 4 log 7 4 T = [, ] g() = 8 h() + 3, ) h() = log 8 ( + 2 log 8 6 T = [, ] g() = 6 h() + 2, ) h() = log 6 ( + 2 log 6 2 T = [, ] ( g() = 3 h() + /3, h() = log 3 /6 + ) log 3 2 T = [, ] ( g() = 2 h(), h() = log ) log 2 2 T = [, ] Determinare l insieme di definizione J di g g è crescente inj? g e decrescente in J? Determinare un intervallo (se esiste) in cui g è strettamente crescente Determinare un intervallo (se esiste) in cui g è strettamente decrescente Posto A = T J, risulta supg() : A} = Esiste mag() : A}? Esiste ming() : A}? infg() : A} =

11 25- ese6 32- Data la funzione p e l R risulta essendo p() = l a p() = l = 3 a = p() = l = a = p() = 2 + l = a = p() = l = 4 a = p() = l = a = 2 p() = l = 3 a = 3 p() = l = 3 a = 2 p() = 2 + l = 7 a = 3 p() = l = 9 a = 4 Per ogni ɛ > determinare un opportuno δ = δ ɛ per il quale sia purché (a δ, a) (a, a + δ) p() l < ɛ 26- ese6 35- Data la funzione determinare l insieme di definizione I di f Per quali α R la f è invertibile in I? Per tali valori scrivere una espressione dell inversa α/4 log( + e ) log( + e ) α/2 log( + e ) α/4 α/2 log( + e ) 27- ese6 7- Si consideri la funzione Determinare il campo di definizione D f di f Determinare dove f è crescente Disegnare il grafico di f e di f Verificare, usando la definizione di ite, che + Determinare sup Df f() inf Df f()

12 Limiti 3- ese 46- Calcolare i seguenti iti, se esistono: tg sin n (n Z) + cos π π ( 2 ) sin2 k π 2 E[cos ], k Z, k cos π 2 +, R 7 E[] + ( E[]) 2} sin tan [ ] ( R) 2 + cos k ( sin 2 ) k, k Z ( ) k, R cos + k sin k, k Z m + n + sin 2 (m, n N) E[], R b a b a 2 a 2, (a > b) ( ) sin + sin + + ( ) sin sin 2 2 sin sin 2 } 2

13 π 2 + cotg 2 π sin 5 sin 2 a sin + + a2, (a R) ( ) [ ( )] 2 sin 32- ese 47- Sia f : R R, + f () = + = f () Siano A = R : f () > 2}, A, B, C sono itati? B = R : f () > 2} C = R : f () < 2} 33- ese 48- Sia f : (, ) R con + f () = + È vero che: a) n N tale che A n = (, ) : f () > n} sia vuoto? b) n N A n contiene un intorno destro di? 34- ese 49- Sia f : [a, b] R tale che f () =, a + È vero che f () = per qualche (a, b)? f () = + b 35- ese 5- Supponiamo che esistano finiti, che e che È vero che f () g () f () g () f () f () > 2 se < g ()? 36- ese 5- Siano f, g : (, 2) R tali che Sia h () = f () g (), per < < 2 È vero che f () = l = g () h () = l? 3

14 37- ese 52- Costruire, se possibile, f : (, ) R tale che f () = + = f () ; + f () = (, ) 38- ese Sia f () =, a) Dove è definita f? b) f è superiormente itata? c) f è inferiormente itata? d) la restrizione di f a [3, + ) è itata? e) f è monotona? f) 2 f ()? g) + f ()?, f ()? 39- ese 54- Sia f[, ] R con È vero che f n + ( ) = (n N) n f () =? + 3- ese 55- Sia f : (, + ) R crescente tale che n + f (n) = l (n N) È vero che f () = l? + 3- ese 56- Sia V intorno di e siano f, g : V R tali che f () =, g () = È vero che: a) V : f ( ) < g ( ); b) f () < g () in qualche intorno di ; c) f () < g ()? 32- ese 57-4

15 Calcolare, se esistono, ; cos /k sin (k), k R ese 59- Sia f : (, 2) R con È vero che l f t ( ) = l? t 34- ese 62- Siano f : U V, g : V W, U, V, W intervalli di R, U, y V, Sia inoltre verificato che y g(y) = z, y y δ > : : y } ( δ, + δ) } Provare che g(f()) = z 35- ese 63- Calcolare, se esistono, i seguenti iti: tan 2 sin sin 3 2 sin sin 2 2 sin + sin 2 3 sin cos + cos 2 2 cos 3 cos + cos 3 cos 3 + sin ( sin 2 ) sin ( 3 + ) + sin (π 2) 2 + cos sin 2 (π ) sin 2 3 sin + 2 sin tan sin 2 ( ) sin ( ) ( ) cot sin π 2 π π 2 π 4 + sin + 2 cot 2 tan sin 5

16 3 sin 4 sin + ( ) sin (3) sin (2) sin(5) sin 3 cos sin + cos sin 2 sin ese 66- Trovare gli estremi superiore e inferiore, ed i iti per ± di: ( + ) E (sin π ) 2 + [] > sin 2 < 2 + cos 3 ( ) ( 2π) 37- ese 67- Trovare delle funzioni (se possibile continue su R) tali che: a) 3 3 e f(2) = ; b) 2 e f(2) = ; c) + ; 2 d) ; 2 e) + ; f() = 38- ese 68- Trovare delle funzioni (se possibile continue su R) tali che: ; ; sup 2 = inf f(); a) + b) ; ; = f(); c) 5; f() = ese 74- Trovare una funzione f : R R tale che sup f = 2 = inf f R R e f() ese 79-6

17 Calcolare, se esistono, i seguenti iti: + π 2 + sin 2 cos 2 ( 3 sin 2 sin cos ) 32- ese 86- Sia Calcolare, se esistono, f(), π 4 sin ( + ) + tan f(), f(), + f() π 4 Determinare il campo di definizione di f 322- ese 23- Calcolare ( ) ( ln ( + arcsin ) 2 sin tan sin ) 323- ese 25- Calcolare ( ln ( + arcsin ) 2 ) ( ) sin tan sin 324- ese 65- Calcolare, se esistono: ( + tan 3 ) / 3 sin 3 (ln 5) +2} (ln ) }

18 ( 2 ) sin sin / e e ese 66- Calcolare, se esistono: sin(ln ) ln ln sin tan +( cos sin ) 2 ln 2 e /2 cot2 ln( + ) ( ) sin ( 2 ) 2 } ln ( + 2 ) / tan ( + tan )cot ( ln 2 ) ln ( 2 + )} + π/4 + sin (2) 2 sin 2 ln cot ln(e e a ) a + ln( a) + 2 sin 2 + e ln )tan +(sin ln(3) / + + / 8

19 326- ese 72- Calcolare, se esistono, ( e sin 4 sin 3 ( e (arcsin )2 / cos tan ln( + tan ) sin 2 ln + 3 (tan ) 5 4 e ) ( + sin ) 3/2 ) cos sin + /2 6 arcsin 2 /2, ln ese 74- Calcolare, se esistono, e + e + + e + ln a e a sin(aπ/2) ln ln a 328- ese 89- Calcolare se esistono, e sin ( + ) 3 sin 4 6 ln( + 2 ) 6 arctan sin 329- ese6 54- Verificare mediante la definizione di ite che Giustificare brevemente le affermazioni + = 2 Continuità 4- ese 65- Sia f è definita per >? Perchè?

20 f è definita per > 2? Perchè? 42- ese 7- Trovare una funzione f definita su [, ] tale che ( ) f =, f() per n n (n ) 43- ese 72- Trovare delle funzioni f e g tali che: a), g() = +, f()g() = + ; b), g() = +, f()g() = ; c), g() = +, f()g() = π 44- ese 75- Trovare una funzione f : [, ] R continua in } [, ]\ n, n N\} 45- ese 76- Trovare una funzione che ha una discontinuità nel punto 2 rispettivamente: a) einabile, b) di a specie, c) di 2 a specie e che sia continua negli altri punti di R 46- ese 77- Trovare f non continua in e tale che f sia continua in 47- ese 78- Trovare una f non continua in, ma continua a sinistra di 48- ese 8- Siano: f è continua in ogni punto? g è continua in ogni punto? se Z se Z g() = f() [f()] 49- ese 8- Determinare, se esistono, i valori di α, β, γ, δ, ɛ R che rendano continue su tutto il dominio le seguenti funzioni: arctan se α se = 2

21 2 se ± δ se = ± se 2 β se = 2 + se < ɛ se = sin(3) 2 sin (2 ) se < < π 2 γ se = 4- ese 82- Determinare una radice reale di 3 con un errore inferiore a 4- ese 83- Esistono zeri della funzione R 4 sin R? 42- ese 84- Sia: a + sin se 2, a R + 2 se > 2 3 se = 2 Per quali valori di a, f è continua in 2? Per quali valori di a, f è continua su R? 43- ese 85- Sia Provare che in (, ) esiste uno ed un solo zero di f, calcolarlo a meno di ese 26- Dire se le radici reali del polinomio appartengono all intervallo (, ] oppure [, + ) 45- ese 35- Si provi che: + a + b, ha al più due zeri reali; ( 4 + 7) 7 = 25 ha al più due radici reali; a ha al più uno zero reale in [, ] 46- ese 62- Provare che e che ln < se > e + se 2

22 47- ese 64- Sia e k + a) Se k < f si annulla almeno una volta? b) Se k e f si annulla almeno una volta? c) Che cosa si può dire se k > e? Successioni 5- ese 9- Scrivere estremo inferiore e due minoranti distinti di ( ) n+ n 3 + n n } 52- ese 2- Calcolare inf sup R sup < inf R ese 25- Sia b n una successione non monotona, definitivamente non crescente e sia È vero che b n M? Perchè? M = infb n, n N} R 54- ese 26- Provare che se (a n ) n N converge e ammette solo i valori e 2, allora è definitivamente costante 55- ese 27- Se n a n, cosa si può dire dell eventuale ite di a n? 56- ese 28- Se n a n = l, < l <, b n è decrescente e converge a è vero che a n b n è necessariamente monotona e converge a l? 57- ese 29-22

23 Per ciascuna delle seguenti proposizioni dire se è o non è condizione sufficiente affinché n b n = k : a) b n è monotona decrescente e k è un suo minorante; b) b n è itata superiormente e inferiormente ed ammette k come minimo maggiorante; c) b n è monotona decrescente e k è il minimo maggiorante; d) b n è monotona decrescente e k è il massimo minorante 58- ese 3- ( + n) +n è crescente, decrescente, converge a l, non è monotona? 59- ese 3- Sia a n l È vero che: l sup a n, l sup a n, sup a n = l; la successione è itata? 5- ese 32- Sia a n a, b n b, c n = a n b n È vero che: c n a, c n b, c n può non essere convergente, c n può converegere ad l a, b, c n converge solo se a n, b n? 5- ese 33- Calcolare il ite delle seguenti successioni: ( ) n 2 2n 2 + ln n n n, sen n ln n n n, e n ( ) n n ln n n, n k n n 4 (n + ) n, k= ( ) n 2 e n n3 + e n +, n 2n n3 n, ( ) n n sen /n ( ) n n n + n 2 n, ( ) n 2 n 2 n+2 ( ) n n 2 ( + sin /n), ( + + n + ) n! ( ) n+ 2 e n n! + e n2 ( ) n+ n + 2 ( + n ) n 2 n + 2, ( + ) ln n n ln n n 2 + n, ( ) n 3 n + n + n 2n 2 n, n2 + n n 2 + (n α) (n β) n n 2 sin a n sin b n( n ln + ) n ( cos + ) + n 2 n2 n ( n) 2 +,, cos 2a n sin n n ( ), cos ( n n ln + sen ), n 5 2n + ( + /n + 2) n+2, sen n + 4n 23

24 n 3 cos n sen n + n ese 34- Esiste una successione convergente che non ha maggioranti? 53- ese 35- Sia a n, a n >, a n + a n < 2 È vero che a n? 54- ese 36- Sia a n, a n <, a n + a n > 2 È vero che a n? 55- ese 37- a Trovare tre coppie di successioni tali che valga una delle seguenti condizioni n n bn = 2; a n b n ; a n b n k R; a n b n 56- ese 38- Siano a n, b n itate, è vero che a n b n è itata? 57- ese 39- Sia a n itata è vero che a n è itata? 58- ese 4- Siano a n, b n tali che a n + b n k R, a n h È vero che esiste finito n b n? 59- ese 4- Siano a n, b n tali che n è vero che a n b n? a n =, b n > n n 52- ese 42- Sia a n non crescente e M = infa n, n N} R Dimostrare che a n M 52- ese 43- Sia a n tale che sup a n = = inf a n È vero che esiste sottosuccessione di a n che converge a? 522- ese 58- a) Provare che n! > ( ) n n e n N \ } b) Sia a n+ = sin a n Calcolare a n 523- ese 6-24

25 Sia a n una successione tale che a 2n = = a 2n+ Esiste a n ed in caso affermativo, quanto vale? 524- ese 6- Calcolare: ( + ) n (, n + n + n n) 525- ese 64- Sia f : [, ] R continua e crescente Dimostrare che, se e se a n non converge, allora f(a n ) non converge a n [, ] n 526- ese 69- Trovare una funzione f e due successioni ( n ) n N, (y n ) n N tali che e n = y n = n + n + f( n) = n f(y n) = n ese 7- È possibile trovare una funzione f tale che f ( n) =, e? 528- ese3 22- Determinare i due valori di λ R tali che, posto a n = λ n sia soddisfatta la relazione a n+2 = a n+ + a n n N Detti λ e λ 2 tali valori, provare che esistono α e β in modo che, posto a n = αλ n + βλ n 2 risulti soddisfatta la precedente relazione ed inoltre si abbia a =, a 2 = 3 Calcolare infine Giustificare ogni affermazione log 2 a n n 529- ese

26 Si consideri la successione definita da a n+ = + a n, a = /2 - Provare che < a n < n N - Trovare una formula di ricorrenza per le successioni b n = a 2n e c n = a 2n+, n - Provare che b n è crescente e che c n è decrescente - Trovare i iti di b n, di c n e di a n, se esistono - Detta a n = p n /q n, con p n, q n N, trovare una formula di ricorrenza che definisca p n e q n e calcolare i iti di p n e q n, se esistono Giustificare ogni affermazione 53- ese4 - Si consideri la successione a n = n (n E())d Stabilire se a n è infinita ed in caso affermativo determinarne l ordine di infinito a n è infinita ed il suo ordine è a n non è infinita 53- ese4 22- Si considerino le successioni definite da a = k a n+ = δa n ove δ b = β b n+ = δb n + ε Trovare per quali valori di λ, µ R λ si ha a n = µλ n λ = µ = Trovare per quali valori β R si ha b n = β per ogni n β = 532- ese4 23- Sia c = c n+ = δc n + ε Trovare per quali valori di β, k R si ha c n = b n a n β = k = Trovare una espressione esplicita della successione c n c n = Calcolare c n = 533- ese6 5- Si consideri la successione definita da a = 2, a n+ = a n a n e an a = 4, a n+ = a n a n e an 26

27 a = 4, a n+ = a n a n e an a = 5, a n+ = a n a n e an a n è monotona? SI NO a n è itata? SI NO Determinare, se esistono: supa n } = infa n } = maa n } = mina n } = a n = 534- ese6 25- Si consideri la successione a n = ( + n) n e - Ricordando che = e ln() provare che a n è una successione infinitesima di ordine 2 - Dedurre il comportamento della serie + n= (( + n) n ) e ricordando che vale il terorema di confronto asintotico per le serie* 3 - Studiare la convergenza della serie di potenze + n= (( + n) n ) e n con particolare riferimento al comportamento agli estremi dell intervallo di convergenza Si consideri la successione b n = a n + e (( 2n = + ) n e + e ) n 2n 4 - Determinare l ordine di infinitesimo di b n 5 - Studiare la convergenza della serie di potenze + n= * Teorema di confronto asintotico Siano a n >, b n > due successioni tali che (( + ) n e + e ) n n 2n a n b n = l allora an < + bn < + 27

28 con particolare riferimento al comportamento agli estremi dell intervallo di convergenza 6 - Dimostrare il teorema di confronto asintotico per le serie 535- ese6 34- Sia oppure Data la successione a n } n N definita da sin arctan a = π/2, a n+ = f(a n ) n N, stabilire il segno di a n La funzione f() è crescente in R? La funzione f() è decrescente in R? La successione è itata? La successione è crescente? La successione è decrescente? Si ha n a n = l R Perché? 536- ese6 4- Si considerino tutte le successioni tali che a n+ = 3a n 2a n Determinare tutti i valori di λ R tali che a n = λ n giustificando brevemente le affermazioni Verificare che a n = α2 n + β giustificando brevemente le affermazioni Determinare α, β in modo che a = e a = giustificando brevemente le affermazioni Determinare una regola di ricorrenza per la successione r n = a n+ a n Calcolare il ite di r n 537- ese6 47- Si consideri la successione definita da a n+ = a2 n + a n a = 2 Stabilire se a n è crescente o decrescente e giustificare brevemente l affermazione Stabilire se a n ammette ite, in caso affermativo determinarlo ed in caso negativo provare che il ite non esiste Determinare estremo superiore, estremo inferiore, massimo e minimo di a n, sup a n =, inf a n =, ma a n =, min a n = 28

29 Determinare una formula di ricorrenza per la successione b n = a 2n 538- ese6 5- Si consideri la successione definita da an+ = (a n ) 2 a = k Discutere al variare di k R la crescenza e la decrescenza di a n Determinarne ite, estremo superiore ed estremo inferiore Studiare successivamente la successione bn+ = ( ) n (b n ) 2 a = k provando che b n = ( ) n+ a n Giustificare brevemente le affermazioni 539- ese6 75- Si consideri la successione an+ = ln( + a n ) a = k R k > Dimostrare che a n > e che a n è definita per ogni n N Dimostrare che a n è decrescente Calcolare a n Studiare la successsione per k = Mostrare che se < k < esiste n N tale che + a n < per cui a n+ non è definito 54- ese7 4- Verificare che g( ) = f( ) Stabilire se g è invertibile in (, ) (, ) ed, in caso affermativo trovarne l inversa precisandone il dominio Sia a n la successione definita da an+ = a n + k a = Determinare k R in modo che a n n per ogni n N Determinare al variare di k R il ite di a n Determinare per quali k R a n è monotona Derivabilità 29

30 6- ese 88- Calcolare, usando la definizione di ite, la derivata di: sin,, sin, sin, sin, ese 89- Calcolare,dove esistono, le derivate di ogni ordine di , n,, sin sin 2, sin, arcsin in = 63- ese 9- Trovare condizioni di esistenza e una formula per la derivata seconda di f(g(h( ))) 64- ese 9- Calcolare la derivata di lg v() u(), sin (sin(sin )), ( ), (), ( + ( + 2 ) 2 ) 2, 7 sin 9 E ( cos (sin 2 ) + ) 65- ese 92- Discutere la derivabilità di 2 2 < f : R ln( 2) < 2 + E() ese 93- Siano 2 c a + b > c ; > c a + b c sin a + b c > c Trovare i valori di a e b (in funzione di c) per cui esiste f (c) 67- ese 94- Calcolare gli zeri della derivata prima di sin, sin, sin(n) sin(n) per n N 68- ese 95-3

31 Supponiamo che esista f (a) Dire quali delle seguenti uguaglianze sono vere: f f(h) f(a) (a) = h h a f f(a) f(a h) (a) = h h f f(a + 2t) f(a) (a) = t [ t ( f (a) = n f a + ) ]} f (a) n + n f f(a + 2t) f(a + t) (a) = t 2t Se non è noto che f (a) esiste, quali delle precedenti uguaglianze sono buone definizioni di f (a)? 69- ese 96- Studiare il comportamento della derivata in un intorno di per /3, 3/2, 2/3, 3/2, 2/3, ln( + ), sin / =, 2 sin / = 6- ese 97- È vero che se A, f() > ed esiste f () per > allora f () per +? + 6- ese 98- Studiare ove α sin β (α, β R) f(), + f () ese 99- Siano f, g dotate di derivate seconde in e tali che f() = 2 g(), f () = 2g () = 4g(), g () = 5f () = 6f() = 3 a) Posto h() = f() g(), calcolare h() g b) Calcolare () f () c) Posto k() = f()g() sin, calcolare k () 63- ese - Sia: h() = Fissate f e g, in quali condizioni h è derivabile in [, 2] f() g() < 2 3

32 64- ese 3- Calcolare la derivata di arctan ( ) +, arcsin(cos ), arctan, arcsin(2 2 ) 65- ese 4- Sia , Osservare che f è invertibile e che f() = 9 Scrivere l equazione della retta tangente al grafico dell inversa nel punto di ascissa ese 5- Sia 3 2, per 6 Calcolare, se esiste, la derivata dell inversa in 7 a) usando il teorema di derivazione della funzione inversa; b) trovando una formula per l inversa (se possibile) 67- ese 6- Sia 3 2, per 6 Calcolare, se esiste, la derivata dell inversa in 5 a) usando il teorema di derivazione della funzione inversa; b) trovando una formula per l inversa (se possibile) 68- ese 7- Sia 2 + 6Calcolare, se esiste, la derivata dell inversa a) usando il teorema di derivazione della funzione inversa; b) trovando una formula per l inversa (se possibile) 69- ese 8- Stabilire se la funzione arctan è invertibile in R\}? Detta g l inversa di f ristretta a (, + ) calcolare, se esiste, g ( ) π ese 9- Sia g l inversa di + ln + e in (, + ) Calcolare g ( + e) 62- ese - Sia g l inversa di ln( + k 2 ) (k R) Calcolare g () 622- ese - Sia g derivabile in R Stabilire per quali valori di t, R g(t a + sin ) è derivabile? 32

33 Calcolare per tali valori d d [g(t a + sin )] 623- ese 2- Sia f derivabile in R\}, g derivabile in, g( ) = g ( ) =, È vero che f(g( )) è derivabile in? 624- ese 3- Sia f : R R Supponiamo che (f(a n )) n N converga (a n ) n N, a n R, n N Calcolare f () R 625- ese 4- Calcolare f () R, sapendo che f : R R e che f( ) f( ) k α, k R +, α >,, R 626- ese 5- Sia f 3 è derivabile in È vero che f è continua in? 627- ese 6- Sia f : (, 2) R tale che È vero che f è derivabile in? f è continua in? f ( ) f() = 628- ese 7- Sia ln ( + ) sin k sin n se, sin n se = Determinare n e k N tali che f sia derivabile in 629- ese 2- Sia e /2 = Calcolare, se esiste, f (n) () 63- ese 22- Calcolare la derivata di e sin F () = ln

34 63- ese 27- Sia f : R R derivabile; dimostrare che f non può avere discontinuità di a specie 632- ese 28- Sia f derivabile con continuità in (a, + ), e sia + a + Studiare il f () a ese 29- Sia f continua e derivabile in (a, + ); Se esiste quanto vale? l + f () ese 3- Stabilire se la seguente proposizione è vera, è falsa o è indeterminata Sia f una funzione derivabile tale che f() R; allora f () è itata? 635- ese 3- Sia f derivabile e f () è itata? f () può tendere a zero per +? + +, 636- ese 32- Sia f definita e derivabile in [, 2] [3, 4] e f () = [, 2] [3, 4] È vero che f è costante? 637- ese 33- Stabilire se la seguente proposizione è vera, è falsa o è indeterminata Se f è derivabile in [a, + ) e + (f() f ()) = l R allora l, + f () =? ese 34-34

35 Sia a < b < c, trovare per ogni f tutti i b per cui è soddisfatta la formula del valor medio: f(c) f(a) = f (b)(c a), I) 2, a =, c = 2; II) e, a =, c = ; III) arctan, a =, c = ; IV) ln, a =, c = e; V) sin, a =, c = 8π; VI) 3 3, a = 2, c = z 639- ese 36- Possono esistere delle funzioni derivabili tali che: a) f () R, f() =, f() =, b) f () R, f() =, f() =? 64- ese 37- La funzione 2/3 è tale che f() = f( ) ma f non si annulla in [, ]; perchè questo non contraddice il teorema di Rolle? 64- ese 38- La funzione è tale che f() =, f(2) = 2 e non cè nessun [, 2] ove f () = Perché questo non contraddice il teorema di Lagrange? 642- ese 59- Come si comportano i seguenti rapporti quando +? lg 5 lg 7, 5 7, ( + 5) 9 ( + 7) 9, ese 6- Quali delle seguenti funzioni ha l ordine di infinito superiore per + : ( ) oppure ( ) 2 oppure 2? 644- ese 76- Sia f : R R tale che f () = e, f() = Provare che f non si annulla in (, + ) 645- ese 8- Trovare il dominio delle derivate di 2 sin / sin 4 + cos 2, + 35

36 f() ese 82- Sia Calcolare f () sin + cos + ( π) sin π, π, = π 647- ese [ 83- ] Sia f :, sin a) Dire se esiste l inversa g di f ( Calcolare il dominio 2 ) b) Calcolare, se, g ( 2 ), g (), g ese 86- Sia f derivabile in R, A R\}, f() A R e sia g() = punti di massimo e di minimo di f? È vero che ha gli stessi flessi? f() f() A È vero che g ha gli stessi 649- ese6 6- Si consideri la funzione } ma, + Determinare il campo di definizione di f Determinare l insieme in cui f è continua Determinare l insieme in cui f è derivabile Calcolare 3 f()d 3 Disegnare il grafico di f Determinare, dove esistono, tutte le primitive di f Formula di Taylor 7- ese - Trovare un polinomio P () a) di o grado e tale che P () = a, P () = b; 36

37 b) di 2 o grado e tale che P () = a, P () = c; c) di 3 o grado e tale che P () = c e P () = d 72- ese 2- Studiare la relazione che intercorre tra i coefficienti di un polinomio di grado n e le sue derivate in Cosa si può dire se si sostituisce a 73- ese 8- Determinare gli ordini di infinitesimo o di infinito (per + ), rispetto all infinitesimo o all infinito campione di 3, ( + 2), 2 arctan,, ese 9- Determinare gli ordini di infinitesimo o di infinito (per ), rispetto all infinitesimo o all infinito campione di sin, e, tan, + 2 e / 75- ese 2- Confrontare fra loro per + le funzioni: ln, ln(ln ) ln (ln ) 2, e 3, 2 + ln, (ln(ln )) 3 ln, ln ln (ln(ln )) 2, ln ( ln ) 76- ese 43- Calcolare sin, 2 a meno di 5 ed e,3 a meno di ese 44- Trovare i primi (n 5) polinomi di Mac Laurin per le funzioni 2, tan, arctan, arcsin 78- ese 45- Trovare il polinomio di Mac Laurin di ordine n per le funzioni + ln( + ) + ( )

38 79- ese 46- Trovare il polinomio di Mac Laurin ed una maggiorazione dell errore che si commette sostituendo il polinomio alla funzione nei seguenti casi: a) e, 2 n = 2; b) e, 3 n = ; c) cos,, n = 3; d), +, 2 n = 2; e) sin 2 + cos, <, n = 2 7- ese 47- Valutare l errore che si commette approssimando: a) e con per 2 2 b) e con per 6 2 c) tan con per, 2, 2 7- ese 48- Calcolare i seguenti iti (se esistono) precisando in quali casi si può applicare il teorema di De l Hôpital ( cos 2 ) ( ) 2 + sin 2 2 sin 2 sin + cos e cos ln( + ) sin sin + cos + (a + ) + sin ( cos ) sin + cos 2 sin / sin (ln ) ( + cos ) } 72- ese 49- Usando la formula di Taylor calcolare il seguente ite e sin ( + ) ese 5-38

39 L equazione ln = e ha una soluzione, ha un numero finito di soluzioni, ha infinite soluzioni, oppure non ha soluzioni? 74- ese 5- Se f() è infinitesimo d ordine superiore a g() e g() è infinitesimo d ordine superiore ad h(), sono confrontabili f() e g() h()? 75- ese 52- Il resto della formula di Taylor di grado n è nullo per tutti i polinomi, per i polinomi di grado n, in un intorno di =, in altri casi? 76- ese 53- Se allora è infinitesimo di ordine, 2, 3 o 4? f( ) = g( ) f ( ) = g ( ) f ( ) g ( ) f ( ) = g ( ) f() g() 77- ese 54- Calcolare i seguenti iti (se esistono): tan ( 3 ln( + ) + arctan ) ( ( ) 2 ) ln } e /2 + e /4 ln ln( + cos ) + / + e /2 e /4 4 (ln sin )(arctan sin ln ) + E () + cos ln E ( + )} ( 4 3 sin ) /( 2 sin ) π/ e 2 cos sin 2 2 sin 2 + ln ( ) 4 ( π π ) } /2 + arctan 4 (sin ) tan + ln / (sin ) sin ( ) sin / 3/2 e ln / + 2 sin ( sin 2 sin ( + ln 2 } 2 + cos 2 sin } 2 tan ) ln ( 2 ) e 2 39 ) }

40 78- ese 55- Stabilire se la seguente proposizione è vera, è falsa o è indeterminata Siano f, g : [, ] R, < f() < g() [, ] e allora per? g() = g() f() ese 67- Siano sin, g() = + sin Verificare che f() + g() =, f () + g () f (), + g () = Come si spiega ciò in relazione al teorema di de l Hôpital 72- ese 78- Calcolare, se esistono, / / + tan ln( + ) sin + 2 /2 e (arcsin )2 / sin 2 ( /2 ) tan 72- ese 87- Scrivere la formula di Taylor (polinomio di ordine n,punto iniziale ) con resto di Lagrange di a) e 2, =, n = 8; b) sin(2), =, n = 5; c) + 4 2, =, n = 4; d) ( ) 4, =, n = 4; e) ln( + 2 ), =, n = 3; f) 3 +, =, n = ese4 4- Sia e (e3 ) L ordine di infinitesimo di f per è Il polinomio di Mc Laurin di f di grado è 4

41 723- ese4 2- Si consideri la funzione g() = ln( + 2 ) + sin( 3 ) Scrivere il polinomio di Taylor nel punto = di g di grado 4 p() = Calcolare l ordine di infinitesimo per + di g rispetto ad α,α R + di g() 2 L ordine è Scrivere il resto di Peano relativo al polinomio trovato al punto G R() = Massimi e minimi 8- ese 24- Sia F = f : R R : f( + π) = f() R ed continua f } a) f F non itata in R? b) Ogni f F ha massimo e minimo assoluti su R? c) f ( + π) = f () R, f F? d) Provare che se f F è tale che + l R, allora f () = R 82- ese 79- Siano 3 + k e, g() = 2 + k e, k R a) Discutere l esistenza di massimi e minimi relativi di f e g b) I minimi e massimi relativi sono anche assoluti? 83- ese 227- Trovare il punto P di γ ove il triangolo AP B abbia area massima essendo A(2, ), B(, ) e γ di equazione 2 + 4y 2 = ese3 3- Tra tutti i triangoli inscritti in una circonferenza di raggio /2, aventi un angolo ottuso α con sin α = 4/5, trovare quello di area massima Giustificare ogni affermazioni Grafico 4

42 9- ese 39- Sia f derivabile in [a, + ) e f() l R per + È vero che f () ha ite per +? 92- ese 4- Tracciare i grafici (studiando prima il dominio) di: 3 arcsin +/ 2 3, arcsin +/ 2 3 arcsin +, ese 4- Provare che = + ha soluzioni non nulle 94- ese 42- Studiare le seguenti funzioni definendo, se esistono, prolungamenti continui e derivabili su R; sin( + ln 2 ) arcsin + arcsin 2 sin ln ln arcsin + sin ln ln( 2 + ) 2 + sin 4 + cos 4 2/3 e ln sin cos sin ese 56- Sia f : ln( 2 + ) Tracciare il grafico di f a) f è itata inferiormente? b) è itata superiormente? c) f è itata? d) Dire se f è invertibile in [, 2] e) Trovare l inversa, se esiste f) Dire se f è invertibile in [2, + ) g) Trovare l inversa, se esiste 96- ese 57-42

43 Studiare la funzione arcsin ln indicandone l insieme di definizione e disegnandone il grafico a) La funzione f è continua in [ e, + e ]? In caso contrario, esiste un prolungamento continuo di f nello stesso intervallo? E derivabile? b) In quali intervalli f è invertibile? Detta g l inversa della restrizione di f a [4, + ), calcolare g ( ) π ese 58- Calcolare insieme di derivabilità, derivata e studiare le seguenti funzioni: e 2+3 arcsin e 2 3 ln(ln ) lg e ln(sin ) 3 ln (sin ) cos arcsin (3 2 7) sin arcsin arctan e e 2 sin (arcsin ) 2 e 2 e (2 ) e 2 / 2 (2 ) e arctan ( ) (ln ) ln(sin ( ) / (sin ) n cos + ) sin ( n ) ln( 2 + 2) 98- ese 6- Tracciare il grafico delle seguenti funzioni : ln e / ln( + 2 ) ke ht ke mt + he nt ke mt he nt e kt ke /2 (k, h, m, n R + ) 99- ese 63- Studiare la funzione ese 68- Studiare , 4 + 2, , 3 + arctan(b2 ) per < cos ln(4 + a) per (determinare a e b per cui f è continua e derivabile in ) ln + ln( 2 ), 43

44 ln( + ) 2 + ln , 9- ese 69- Studiare al variare di k R l equazione ( k 2 3 ) 2 + 2y 2 4 = 92- ese 7- Tracciare il grafico di 3 ( 2) 2 3 ( + 3) 2, 4 ln /( ), arccos ln 2 2 (e 2), 2 k 93- ese 7- Tra i rombi circoscritti ad una conferenza di raggio trovare quello di area minima 94- ese 73- Sia k ln +, >, k R a) Determinare il numero degli zeri di f al variare di k b) Determinare i valori di k per cui esiste l inversa g di f c) Per quesi valori di k calcolare i primi tre termini dello sviluppo di Taylor per g con centro in k ln ɛ + ɛ 95- ese 75- Studiare il grafico di e ese 77- Sia F = f C 2 (R) : a R : f( + a) = f() R} a) Esiste f F non itata su R? b) È vero che ogni f F ammette ma e min assoluti? c) È vero che per ogni f F esiste f()? + d) Se f F e f() ± 44

45 esistono, cosa si può dire di f ()? e) Esiste f F non decrescente e non costante? f) È vero che f ( + a) = f () R? g) Esiste f F : f () > R? a) 97- ese 8- Sia data una funzione dispari g derivabile su tutto R, H R È possibile determinare a, b, R tali che se a + b, la funzione g() se > H h() = k() se H abbia derivata continua su R? b) È posssibile determinare c, d, e R tali che se k() = c2 + d + e la funzione abbia derivata continua su R? g() se > H l() = k() se H 98- ese 84- Data la funzione arcsin 2 + a) Determinare gli zeri di f b) Dire se esiste l inversa di f rispettivamente in [, 2 ] e in [, ] precisando il dominio c) Nei due casi precedenti trovare, se possibile, una formula per l inversa 99- ese 85- Sia g : [, ] R, G è continua in [, ]? G() = supg(t), t } 92- ese 88- Studiare sin 2 2 sin 2 sin( + ln 2 ) arcsin 2 2 sin 4 + cos 4 2/3 e ln 92- ese3 6- Sia lg(e + ) + lg(e ) Disegnare il grafico di f (non è richesto lo studio di f ) Calcolare l ordine di infinito di f per + Trovare un intervallo contenente in cui f è invertibile e e calcolare la derivata dell inversa di f in se esiste 45

46 922- ese3 7- Si consideri l equazione nell incognita : ln[(k )] + k =, k R Determinare, per ogni valore di k, quante soluzioni ha l equazione assegnata Giustificare ogni affermazione 923- ese3 26- Rappresentare nel piano l insieme (, y) R 2 : y + y 2 ln(y) = } successivamente stabilire se esistono due insiemi A, B R e due funzioni f : A R, che f() + f 2 () ln (f()) =, f() = g : B R tali g() + g 2 () ln (g()) =, g( /e) = /e Giustificare ogni affermazione 924- ese3 28- Disegnare il grafico di e (+) ( )/ (+2) precisandone gli insiemi di definizione, continuità, derivabilità, iti agli estremi del campo, monotonia e asintoti Giustificare ogni affermazione 925- ese3 37- Data la funzione f(t) = + sin t 3 t2 t + 2, verificare che f è infinitesima a + e determinarne l ordine di infinitesimo Stabilire se + 3 f(t)dt è convergente e tracciare il grafico della funzione y() = f(t)dt, precisandone insieme di definizione, insieme di continuità, insieme di derivabilità y è continua in 2? 926- ese3 39- Data l equazione nell incognita : e = + k 2, k R scrivere per ogni k R quante soluzioni ha l equazione e se k = 2, verificare che c è una ed una sola soluzione dell equazione in [, /2] e, a partire da tale intervallo, se g() = e , determinare l approssimazione di ottenuta con un solo passo del metodo delle tangenti applicato a g, precisando se l approssimazione è per eccesso o per diffetto Tracciare al variare di k R, il grafico di + k 2 e 46

47 Determinare infine al variare di k l ordine di infinito di f in e se k = 2 l ordine di infinito di f nel punto 927- ese3 44- Sia 3 + t + 2, t R, determinare per quali t f risulta derivabile in R e per quali t f ha punti di minimo assoluto in [, ] Stabilire inoltre per quali valori di t f ha un unico punto di minimo assoluto in [, ] e per quali è invertibile sempre in [, ] Disegnare infine al variare di t il grafico di f 928- ese4 - Si consideri la funzione ln( + 2 ) k arctan() k R Disegnare il grafico di f al variare di k Stabilire il numero degli zeri di f f ha zeri perchè 929- ese4 2- Si consideri la funzione e sin > a 2 + b + c Trovare tutti i valori di a, b, c R per cui f risulta continua in R a = b = c = Per tali valori calcolare f() = Trovare tutti i valori di a, b, c R per cui f risulta derivabile in R a = b = c = Giustificando le affermazioni Per tali valori calcolare f () = Stabilire quale delle seguenti affermazioni sono sempre vere f ammette almeno uno zero in [π/2, 3π/2] f ammette un solo zero in [π/2, 3π/2] f ammette almeno due zeri in [π/2, 3π/2] f ammette infiniti zeri in [π/2, 3π/2] Giustificando le affermazioni Determinare per quali valori a, b, c R, α R + si ha a = b = c = α = f() 2 α = ese6-47

48 Si consideri il seguente grafico di una funzione f Quali delle seguenti affermazioni risulta vera? ( + ) 2 ( 2) ( )( + 2) ( + ) 2 ( 2) ( )( + 2) 2 3( + ) 2 ( 2) ( )( + 2) ( + ) 4 ( 2) ( )( + 2) Disegnare i grafici di f( ) f( + 3) 2 ln(f()) f(ln()) 93- ese6 4- Si consideri la funzione f sull intervallo I ove e /2 > a 2 + b + c I = [, + ) 2 ln( ) < I = (, ] a 2 + b + c ( + ) 2 2 > + I = [, + ) a 2 + b + c 2 arctan() ln( + ) > a 2 I = [3, + ) + b + c Trovare tutti i valori a, b, c reali per cui la funzione data risulta continua in R a = b = c = Calcolare in corrispondenza dei valori trovati f() = 48

49 Trovare tutti i valori a, b, c reali per cui la funzione data risulta derivabile in R a = b = c = Calcolare in corrispondenza dei valori trovati f () = Disegnare il grafico di f per tutti i valori di a, b, c per cui f risulta continua e derivabile in R Stabilire quali delle seguenti affermazioni sono vere f ammette almeno uno zero in I f ammette un solo zero in I f ammette più di uno zero in I f ammette infiniti zeri in I Disegnare il grafico di f in I f è invertibile in I? SI NO in caso affermativo disegnare il grafico di f In corrispondenza dei valori a = b = 2 c = Disegnare il grafico di /f() Disegnare il grafico di f( ) Disegnare il grafico di f(ln()) Disegnare il grafico di ln(f()) In corrispondenza dei valori a = b = 2 c = 4 Disegnare il grafico di f( + ) Disegnare il grafico di /f( 2 ) Disegnare il grafico di f(arctan()) Disegnare il grafico di arctan(f()) In corrispondenza dei valori a = b = c = Disegnare il grafico di f( + ) Disegnare il grafico di f( 2 )) Disegnare il grafico di f(e () ) Disegnare il grafico di e f() In corrispondenza dei valori a = b = 3 c = Disegnare il grafico di /f( + ) Disegnare il grafico di f( 3 ) Disegnare il grafico di f( ) Disegnare il grafico di f() 932- ese6 8- Si consideri la funzione g() = ln ( ) + 49

50 ( ) g() = arctan + g() = arctan() ln( + ) Disegnare il grafico di g 933- ese6 7- Si consideri la funzione ln[(k )] + k, k R Determinare al variare di k R l insieme I di definizione di f I = Disegnare il grafico di f per k = 2 Disegnare il grafico di f per k = 5 Disegnare il grafico di f per k = determinare il numero delle soluzioni dell equazione al variare di k R 934- ese6 8- Disegnare il grafico di y() = (non è richiesto lo studio della derivata seconda) ese6 29- Si consideri la funzione: arcsin(a sin() + b) Determinare il campo di definizione I di f per a =, b = ; Disegnare nel piano l insieme D dei punti (a, b) per iquali f è definita su tutto R Per a = /2 Per a = /2 b = /3 disegnare il grafico di f precisando massimi e minimi assoluti b = /3 determinare un intervallo I in cui f è invertibile e calcolarne l inversa Determinare l insieme E dei valori che sono raggiunti da f al variare di R (a, b) D 936- ese6 38- Si consideri la funzione 3 + e Calcolare f (), f () determinaqre il massimo intervallo contenente /2 in cui f è strettamente crescente Disegnare il grafico di f Sia g la funzione inversa di f in I Trovare l insieme J di definizione di g e disegnare il grafico di g In quali intervalli di J, g è derivabile? Calcolare g( 3) =, g ( 3) = e g ( 3) = 5

51 937- ese6 4- Si consideri la funzione 2 ln + Disegnare il grafico di f ed f, giustificando brevemente le affermazioni Si consideri poi la famiglia di funzioni g a,b () = g() = a 2 ln + b al variare di a, b R + Disegnare al variare di a, b il grafico di g ed g Determinare i valori di a, b per cui g risulta monotona 938- ese6 44- Si consideri la funzione ( ) y f(y) = y ln ln y y Determinare il campo di definizione I di f Stabilire dove f è derivabile e calcolare la sua derivata Calcolare i iti agli estremi del campo di definizione di f giustificando brevemente le affermazioni Calcolare i iti agli estremi del campo di definizione di f giustificando brevemente le affermazioni Disegnare il grafico di f precisando crescenza, decrescenza, convessità e comportamento della retta tangente agli estremi del campo di definizione 939- ese6 45- Si consideri la funzione k Disegnare il grafico di f per k = Disegnare il grafico di f per k = 5 Disegnare il grafico di f per k = 5 Disegnare il grafico di f per k = 25 Disegnare il grafico di f al variare di k R 94- ese6 48- Si consideri la funzione: Determinare il campo di definizione I di f; Determinare l insieme J in cui f è derivabile; 5

52 Disegnare il grafico di f Stabilire se f è decrescente su (, 6] e su [ + 6, + ) e giustificare brevemente l affermazione Stabilire se f è invertibile su [ 6, ) [ + 6, 2) e calcolare f Dopo aver verificato che f è invertibile su (2 + ), detta g l inversa, stabilire se g è derivabile e calcolare g (2) Determinare il rango di f 94- ese6 5- Si consideri la funzione: dt t2 (t )(t + 3) Determinare il campo di definizione I di f giustificando brevemente le affermazioni Determinare l insieme J in cui f è continua giustificando brevemente le affermazioni Determinare l insieme K in cui f è derivabile giustificando brevemente le affermazioni Disegnare il grafico di f Calcolare + 2 e 942- ese6 52- Si consideri la funzione sin( α ) e > ln( + 2 ) < cos() Determinare il campo di definizione di f e studiarne la continuità al variare di α Giustificare brevemente le affermazioni 943- ese6 53- Si consideri la funzione Provare che f è decrescente per < Determinare estremo superiore, estremo inferiore e, se esistono, massimo e minimo di f per < Stabilire se f è invertibile su < ed, in caso affermativo determinare f Giustificare brevemente le affermazioni 944- ese6 55- Si consideri la funzione e

53 Determinare il dominio della funzione f Disegnarne il grafico precisando dove f è crescente e dove f è decrescente Determinare punti e valori di massimo e di minimo relativo ed assoluto Determinare il numero ed il segno delle soluzioni dell equazione k al variare di k R Si consideri successivamente, al variare di k R la funzione g() = e k( ) Provare che g è continua e ammette derivate continue di ogni ordine su R Disegnare il grafico approssimativo di g, g e di g (non occorre precisare il numero degli zeri) Usando il grafico di f precisare il grafico di g individuando il numero ed il segno degli zeri 945- ese6 56- Si consideri la funzione ( + 2 ) sin Determinare il polinomio p 5 di Taylor centrato in = di grado 5 della funzione f Scrivere il resto relativo al polinomio trovato nella forma di Peano Determinare un maggiorante di su [, ] f() p 5 () Determinare l ordine di infinitesimo di f per 946- ese6 57- Si consideri la funzione g() = (2 + ) 2 ( ) Determinare una primitiva di f Determinare tutte le primitive di f Determinare tutte le primitive continue su R di f Calcolare f()d Disegnare il grafico di f (si consiglia di tenere conto della forma di f ottenuta mediante la decomposizione in fratti semplici), illustrare graficamente il significato di f()d e giustificarne il segno 53

54 947- ese6 58- Si consideri la funzione sin(t ) t 2 t dt Determinare campo di definizione e iti agli estremi del campo di f Studiare la continuità di f Studiare la derivabilità di f e calcolarne la derivata Disegnare il grafico di f 948- ese6 67- Si consideri la funzione ln( 2 + ) Disegnare il grafico di f precisando il suo campo di definizione Determinare l insieme in cui f è continua Determinare l insieme in cui f è derivabile Determinare una restrizione di f che sia invertibile e trovarne l inversa, precisando se è possibile invertire f su tutto R e perchè Determinare l ordine di infinitesimo di f per 949- ese6 74- Si consideri la funzione al variare di a, b R, a > (a + b) arctan() Calcolare, dove esistono, f ed f Disegnare il grafico di f Studiare la crescenza di f Studiare la convessità di f Determinare punti di massimo di minimo e di flesso di f e disegnare il grafico di f 95- ese6 93- Si considerino le funzioni f k +() = + 4k f k () = 4k Determinare il campo di definizione di f k ± al variare di k R Disegnare il grafico di f ± precisandone le intersezioni con gli assi 54

55 Verificare che y = f k ± se e solo se 2 + y + y 2 = k Determinare i punti del grafico di f ± aventi distanza massima dall origine 95- ese6 94- Si consideri la funzione ma, 2, arctan } Disegnare il grafico di f calcolare f( /2) Disegnare i grafici di, 2, arctan nello stesso piano cartesiano, precisandone la mutua posizione Disegnare il grafico di 2 + arctan 952- ese6 4- Si consideri la funzione t t 3 + dt Stabilire per quali valori di R f è definita Studiare crescenza e decrescenza di f e tracciare un grafico che tenga conto delle indicazioni ottenute Precisare il comportamento di f agli estremi del campo di definizione, calcolando eventuali asintoti Studiare la convessità e la concavità di f Disegnare il grafico di f tenendo conto di tutti gli elementi trovati 953- ese6 6- Si consideri la funzione 3 + Disegnare il grafico di f Disegnare il grafico di F () = f(t)dt Calcolare F () ± Trovare tutte le primitive di f Calcolare F () a meno di 954- ese6 2-55

56 Si consideri la funzione sin n α = Determinare α R e n N in modo che f sia continua e derivabile Determinare α R e n N in modo che f sia derivabile e invertibile in un intorno di Scelti α R e n N che soddisfano la precedente domanda, calcolare f () Disegnare il grafico di fe di f localmente in Approssimare, se esiste, 2 f()d a meno di ese6 25- Si consideri la funzione ln + Determinare il campo di definizione e di derivabilità di f Calcolare la derivata di f Determinare l insieme in cui f è crescente e quello in cui f è decrescente Disegnare il grafico di f Calcolare, se esiste, la retta tangente al grafico di f nel punto = 956- ese7 - Si consideri la funzione f k () = k 3 + e Disegnare il grafico di f Disegnare il grafico di f Determinare il grafico di f k al variare di k R Stabilire se esistono, ed in caso affermativo determinare, i valori di k per i quali la funzione f k è itata su R ese7 3- Si consideri la funzione 3 + Disegnare il grafico di f Disegnare il grafico di F () = f(t)dt 56

57 Calcolare F () + Trovare tutte le primitive di f 958- ese7 5- Si consideri la funzione f(, y) = 2 + y Disegnare i livelli di f Scrivere il piano tangente al grafico di f nel punto (, ) Disegnare, al variare di e di y, il grafico di g() = f(, y ) e di h(y) = f(, y) Calcolare f(, y)ddy ove D = (, y) R 2 :, y } D 959- ese7 7- Si consideri la funzione e 2 + c Determinare il dominio di f, al variare di c Disegnare il grafico di f per c = 2 Disegnare il grafico di f per c = Disegnare il grafico di f per c = Disegnare il grafico di f al variare di c R 96- ese7 9- Si consideri la funzione E()+ E() (E(t)) 2 + dt Determinare il dominio di f Calcolarne i iti agli estremi del campo Studiare crescenza e decrescenza di f Studiare la derivabilità di f e calcolarne, ove possibile la derivata prima 57