Numeri DISPARI Prova scritta di Matematica per l Economia e Matematica Generale - 11 aprile 2007 Corsi A-D, E-N, O-Z. 1 x 3 sen

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1 Prova scritta di Matematica per l Economia e Matematica Generale - 11 aprile 2007 Corsi A-D, E-N, O-Z (1) Calcolare il seguente integrale definito 3/π 1/π 1 3 sen ( 1 ) d integrando dapprima per sostituzione ponendo 1/ = t e quindi per parti. (sen ) 7/2. + (tg ) f() = ( + 2) 3 e tracciarne approssimativamente il grafico. Determinare, inoltre, l equazione della retta tangente al grafico di f nel punto di ascissa 0 = 0. (4) Dare la definizione di insieme misurabile secondo Peano-Jordan in IR 2 e della relativa misura. Stabilire quindi se è misurabile il cilindroide di base [ 1, 1] relativo alla funzione g : [ 1, 1] IR definita ponendo ( ) 1 sen, se 0, g() = 0, se = 0, giustificando esaurientemente la risposta. (5) Mostrare che la funzione h : [ 1, 1] IR definita ponendo h() = arccos 1 2 ( 1 1) è derivabile in tutto l intervallo [ 1, 1] e determinare l espressione della derivata prima (Sugg. Ricordare che le funzioni arccos e 1 2 non sono derivabili in ±1). E possibile affermare che h è continua in [ 1, 1]? (6) Dire se la funzione f : IR IR data da f() = per ogni IR a) è continua in IR; b) è derivabile in 0 (Sugg. Si utilizzi la definizione di derivata come ite del rapporto incrementale); c) verifica le ipotesi del teorema di Lagrange relativamente all intervallo [ 2, 2].

2 Prova scritta di Matematica per l Economia e Matematica Generale - 17 gennaio 2007 Corsi A-D, E-N, O-Z (1) Calcolare il seguente integrale definito e (si ponga log = t e quindi si integri per parti). 1 cos (2 log 1) d (1 + 2 tg 2 ) 1/ 1. arcsen(3) f() = e 1 /2 e tracciarne approssimativamente il grafico. Determinare, inoltre, l equazione della retta tangente al grafico di f nel punto di ascissa 0 = 4. (4) Enunciare e dimostrare il primo teorema di confronto sui iti. Siano quindi f, g : IR IR e si supponga che esista f() = 1 e che f() < g() per ogni 0; dire se le seguenti affermazioni sono vere o false, giustificando esaurientemente la risposta: a) g() 1; b) g() > 1; c) non è detto che g(), ma, se esiste, è 1 ; d) non è detto che g(), ma, se esiste, è > 1 ; e) non può essere g() =. (5) Tracciare il grafico della funzione g() = +, precisando se g è itata (inferiormente e/o superiormente), monotona, continua, derivabile, concava o convessa. Mostrare infine che la restrizione di g ad ogni intervallo chiuso e itato di IR è integrabile e che b a g() d = b2 2 se a < 0 < b. (6) Dare la definizione di funzione strettamente decrescente in un punto; mostrare quindi che la funzione h : IR IR definita ponendo h() = cos(2) cos 2 per ogni IR è strettamente decrescente in 0 = π/4 utilizzando il test della derivata prima. E possibile affermare che h è strettamente decrescente in un intorno di 0?

3 Prova scritta di Matematica per l Economia e Matematica Generale - 18 luglio 2007 Corsi A-D, E-N, O-Z (1) Calcolare il seguente integrale indefinito log ( + 1) 2 d mediante la regola di integrazione per parti. + arcsen log(tg ). f() = (log ) 2 e tracciarne approssimativamente il grafico. Determinare, inoltre, l equazione della retta tangente al grafico di f nel punto di ascissa 0 = e 3. (4) Dare la definizione di funzione continua in un punto ed in un intervallo ed enunciare il secondo teorema di Weierstrass. Stabilire quindi se verifica le ipotesi di tale teorema la funzione g : [ 1, 1] IR definita ponendo { sen(2), se 0, g() = 2, se = 0, giustificando esaurientemente la risposta. (5) Dare la definizione di primitiva di una funzione ed elencarne le principali proprietà. Dire quindi se è dotata di primitiva la funzione h : IR IR definita ponendo {, se 1 1, h() = 2, se < 1 oppure > 1, giustificando esaurientemente la risposta. (Sugg. Può essere utile tracciare preinarmente il grafico di h). (6) Dire se la funzione f : IR IR data da f() = 2 per ogni IR a) è continua; b) è derivabile; c) verifica le ipotesi del teorema di Lagrange relativamente all intervallo [0, 1].

4 Prova scritta di Matematica per l Economia e Matematica Generale del 12/12/ ore 13,30 Corsi A-D, E-N, O-Z (1) Calcolare il seguente integrale indefinito mediante la sostituzione tg = t. e tracciarne approssimativamente il grafico. tg tg d ( sen 3 ( )) 2 tg 2. f() = (2 log ) 2 (4) Dire se esistono valori di k per i quali la funzione g : [ 1, 1] IR definita ponendo è integrabile secondo Riemann. 5 g() = 2, se ±1, 1 k, se = ±1, (5) Dire se la funzione h : IR IR definita ponendo ( ) 2 1 sen, se 0, h() = 0, se = 0, a) è continua in 0; b) è derivabile in 0 (si valuti il ite del rapporto incrementale); c) verifica le ipotesi del teorema di Lagrange relativamente all intervallo [ 1, 1]. (6) Utilizzando il teorema di Torricelli-Barrow, mostrare che la funzione F : IR IR definita ponendo F () = π/4 t 2 dt per ogni IR 2 + arctg t è strettamente crescente; scrivere, inoltre, l equazione della retta tangente al grafico di F nel punto di ascissa 0 = π/4.

5 Prova scritta di Matematica per l Economia e Matematica Generale - 9 Luglio 2008 Corso O-Z (1) Calcolare il seguente integrale indefinito e log(e + 2) d effettuando la sostituzione e = t. ( ) 1/ 3 sen + cos (Sugg. Ricordare che, almeno formalmente, f() g() = e g() log f() ). f() = 1 e 2 e tracciarne approssimativamente il grafico. Determinare, inoltre, l equazione della retta tangente al grafico di f nel punto di ascissa 0 = log 3. (4) Dire se la funzione g : IR IR definita ponendo g() = { arctg, se < 0,, se 0, verifica le ipotesi dei teoremi di Bolzano, degli zeri e di Weierstrass rispettivamente, motivando esaurientemente la risposta (Sugg. Può essere utile tracciare preinarmente il grafico di g). (5) Dopo aver determinato il dominio della funzione h() = sen + tg, verificare che il punto 0 = π è punto di flesso per h, utilizzando il test della derivata terza; scrivere, infine, l equazione della relativa tangente inflessionale. (6) Di una funzione f : IR IR, continua in IR, è noto che arccotg π 4 cos( 1 3 1) = 1 f(t) dt per ogni IR. Mediante l utilizzo del teorema di Torricelli-Barrow, calcolare l espressione di f().

6 Prova scritta di Matematica per l Economia e Matematica Generale - 10 Settembre 2008 Corso O-Z (1) Calcolare il seguente integrale indefinito log d, effettuando dapprima la sostituzione = t e quindi integrando per parti. (2) Individuare e classificare le eventuali discontinuità della funzione funzione f : [0, π/2[ IR definita ponendo 3 log(tg ) + 2 sen, se 0 < < π/2, f() = 1, se = 0. f() = log e tracciarne approssimativamente il grafico. Determinare, inoltre, l equazione della retta tangente al grafico di f nel punto di ascissa 0 = 1. (4) Stabilire per quali valori dei parametri a e b la funzione g : IR IR definita ponendo a + b, se 1, g() = 1 e, se > 1, è derivabile in tutto IR. (5) Dire se la funzione h : ]0, + [ IR definita ponendo 1 1, se 0 < < 1, + 1 h() = log, se 1, è dotata di primitiva. In caso affermativo, determinarne la primitiva nulla in 1. E possibile affermare che h è integrabile secondo Riemann? (6) Mostrare che la funzione u : ]0, + [ IR definita ponendo u() = 2 + per ogni > 0, ha tutte le proprietà di una funzione di utilità, cioè u è continua insieme alle sue derivate prima e seconda, è strettamente crescente, strettamente concava con + u () = 0.

7 Prova scritta di Matematica per l Economia e Matematica Generale - 5 Novembre 2008 Corso O-Z (1) Calcolare il seguente integrale indefinito 3e e 2 e + 1 d effettuando la sostituzione e = t. ( ) tg. sen + e tracciarne approssimativamente il grafico. f() = (4) Stabilire per quale valore del parametro a la funzione g : ], 1] IR definita ponendo verifica le ipotesi dei teoremi di Bolzano. e 1, se < 0, a g() = 1, se = 0, log(1 + ), se 0 < 1, (5) Data la funzione F : [0, 1] IR definita ponendo e t F () = 3 + dt per ogni [0, 1], 1 t + 2 mostrare che F è strettamente crescente e strettamente convessa; inoltre, utilizzando opportunamente il teorema degli zeri, dimostrare che F si annulla in un unico punto c ]0, 1[. (6) Dopo aver determinato il dominio della funzione h() = log(2 + 1), mostrare che essa è strettamente crescente nel punto 0 = 1 utilizzando il test della derivata prima. E possibile affermare che h è strettamente crescente in un intorno di 0?

8 Numeri PARI Prova scritta di Matematica per l Economia e Matematica Generale - 14 Gennaio 2009 (1) Data la funzione a) determinarne il dominio D f ; Corsi E-N e O-Z f() = log 4 ( log + 2 ), b) dire perchè f è dotata di primitiva, giustificando esaurientemente la risposta; c) determinare la primitiva di f nulla in 0 = e (Sugg. Nell integrare si ponga log = t). (1 cos 2) tg arcsen. ( ) 1 f() = arccotg 2 e tracciarne approssimativamente il grafico. Mostrare inoltre che la funzione è prolungabile con continuità in 0 e che tale prolungamento è derivabile in 0 con derivata uguale a 0. (4) Data la funzione a) determinarne il dominio D F ; F () = 0 t 3 t5 + 2 dt, b) dire se F è derivabile ed, in caso affermativo, calcolare F () ed il + F (); c) determinare gli intervalli in cui F è strettamente crescente o strettamente decrescente; d) dire per quale teorema sui iti sicuramente esiste il F (), giustificando esaurientemente la + risposta. (5) Dire per quali valori non nulli dei parametri a e b la funzione h : IR IR definita ponendo a( 1) 2 + 1, se < 1, h() = a, se = 1, e b + a 2 arctg, se > 1, verifica le ipotesi dei teoremi di Bolzano. E possibile affermare che, in corrispondenza dei valori di a e b trovati, la funzione h è integrabile secondo Riemann? (6) Determinare il dominio e gli eventuali punti di estremo locale della funzione f(, y) = log 1 + y + + y 2.

9 Prova scritta di Matematica per l Economia e Matematica Generale - 15 Aprile 2009 (1) Determinare la primitiva della funzione Corsi E-N e O-Z f() = arccotg che in 0 assume valore 1 (Sugg. Si ponga = t e quindi si integri per parti). +( ) cotg. f() = 3 ( log ) e tracciarne approssimativamente il grafico. Determinare, inoltre, l elasticità di f nel punto 0 = e. (4) Data la funzione g() = arcsen( 1 log ), a) determinarne il dominio D g ; b) mostrare che g è continua e strettamente monotona; c) determinare il codominio di g; dire, quindi, se g ammette minimo e/o massimo globale, indicando gli eventuali punti di minimo o massimo globale; d) dire se g è invertibile ed, in caso affermativo, calcolare la funzione inversa g 1. (5) Dire se la funzione h : IR IR definita ponendo a) è continua; arctg, se < 0, h() = e t2 1 dt, se 0, 0 b) è derivabile; in caso affermativo, scrivere l equazione della retta tangente al grafico di h nel punto di ascissa 0; c) verifica le ipotesi del teorema di Lagrange relativamente all intervallo [0, 1]. (6) Determinare il dominio e gli eventuali punti di estremo locale della funzione f(, y) = e (y 2 2y).

10 Prova scritta di Matematica per l Economia e Matematica Generale - 14 Gennaio 2009 (1) Calcolare l integrale definito Corsi E-N e O-Z 2 1 sen 1 d effettuando la sostituzione 1 = t e quindi integrando per parti. arcsen(tg ) + arctg(3 sen 2 ) + log(1 +. sen ) f() = e 2 e tracciarne approssimativamente il grafico. Determinare, inoltre, l equazione della retta tangente al grafico di f nel punto di ascissa 0 = 3/2. (4) Data la funzione F : IR IR definita ponendo F () = 0 arctg(e t2 ) dt per ogni IR, dire, giustificando esaurientemente la risposta, a) se F è continua; b) se F è derivabile (in caso affermativo calcolare F () ed il F ()); c) se il codominio di F è un intervallo; d) se la restrizione di F all intervallo [ 1, 1] è dotata di minimo e massimo valore. (5) Dire per quale valore del parametro a la funzione h : [ 1, 2] IR definita ponendo 2, se 1 0, h() = arctg, se 0 < 1, π/4 a( 1), se 1 < 2, verifica le ipotesi del teorema di Lagrange. E possibile affermare a priori, senza effettuare alcun calcolo, che la funzione h è integrabile secondo Riemann per ogni valore del parametro a? (6) Determinare il dominio e gli eventuali punti di estremo locale della funzione f(, y) = e (y 2 + y).

11 Prova scritta di Matematica per l Economia e Matematica Generale - 10 settembre 2009 Corsi E-N e O-Z (1) Utilizzando la regola di integrazione per parti, calcolare l integrale indefinito sen 2 (3) d. 2 e sen +. 5 f() = e /2 ( 2 3) e tracciarne approssimativamente il grafico. Determinare, inoltre, l elasticità di f nel punto 0 = 1. (4) Trovare l errore nel seguente ragionamento: si consideri la funzione h : IR IR definita ponendo Poichè risulta si ha { cos, se < 0, h() = arctg( 2 ), se 0. 6 sen, se < 0, h () = 2, se > 0, h () = h () = 0 e dunque h è derivabile in 0 con h (0) = 0. + (5) Determinare per quali valori del parametro k la funzione g :] 1, + [ IR definita ponendo (k 1), se 1 < < 0, g() = ( + 1) e k2 + 4k 2, se 0, è derivabile in ] 1, + [. E possibile affermare che per ogni k la restrizione di g ad un qualsiasi intervallo chiuso e itato incluso in ] 1, + [ è integrabile secondo Riemann? (6) Determinare il dominio e gli eventuali punti di estremo locale della funzione f(, y) = e y e.

12 Prova scritta di Matematica per l Economia e Matematica Generale - 15 luglio 2009 (1) Calcolare la primitiva F () della funzione Corsi E-N e O-Z f() = e tale che + F () = tg. (e sen2 t 1) dt f() = arctg(e ) e tracciarne approssimativamente il grafico. Determinare, inoltre, l elasticità di f nel punto 0 = log 3. (4) Data la funzione g() = log(1 2 ), a) determinarne il dominio D g ; b) studiare il segno e la monotonia di g e determinare il suo codominio; c) dire se alla restrizione di g all intervallo [ 1/2, 1/2] è applicabile il teorema di Lagrange; in caso affermativo determinare il punto (o i punti) c che ne soddisfano la tesi; d) mostrare che la restrizione di g all intervallo ] 1, 0] è invertibile e determinare l espressione della funzione inversa. (5) Dare la definizione di funzione continua in un punto ed in un intervallo. Individuare, quindi, e classificare gli eventuali punti di discontinuità della funzione 2 2 2, se < 0, 1 2, 2 3 h() = 3, se = 0, = 1 e = 2, 2 + 9, se > 0. (6) Determinare il dominio e gli eventuali punti di estremo locale della funzione f(, y) = y.

13 Numeri PARI Prova scritta di Matematica per l Economia e Matematica Generale - 4 novembre 2009 Corsi E-N e O-Z (1) Calcolare il seguente integrale indefinito log( + 1) d mediante la regola di integrazione per parti. 2 sen 2 (arctg ) 3 arctg(sen 2 ) 1 cos( 2. + ) f() = 2 1 e tracciarne approssimativamente il grafico. Determinare, inoltre, l elasticità f nel punto 0 = 3. (4) Siano a, b IR, a < b, ed f : [a, b] IR; stabilire se le seguenti affermazioni sono vere o false, giustificando esaurientemente la risposta: a) se f è continua in [a, b], di certo il grafico di f non ha asintoti verticali; b) se f è dispari, di certo f è invertibile; c) se f è continua in [a, b] ed f(a) = 3, f(b) = 5, di certo l equazione f() = 0 ha almeno una soluzione; d) se f è monotona in [a, b], di certo f ammette minimo e massimo assoluti. (5) Dopo aver dato la definizione di funzione continua in un punto ed in un intervallo, determinare e classificare gli eventuali punti di discontinuità della funzione g() = log 3, se > 0, e3 0, se = e 3. Dire infine se la funzione è integrabile secondo Riemann nell intervallo [1, e 4 ], giustificando esaurientemente la risposta. (6) Determinare il dominio e gli eventuali punti di estremo locale della funzione f(, y) = (y)e. (7) Dire, giustificando esaurientemente la risposta, se la funzione h : [1, e] IR definita ponendo 1, se = 1, h() = log, se 1 < < e, 2, se = e, verifica le ipotesi del teorema del valor medio.