Modulo di Matematica

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1 Università degli Studi di Udine Anno Accademico / Corso di Laurea in Biotecnologie Modulo di Matematica Esame del 9// N.B.: scrivere nome, cognome e numero di matricola su ogni foglio consegnato. Tempo a disposizione:.5 ore Se lim f() = e lim g() = +, allora lim (f() g()) è A B + C D non ci sono elementi sufficienti per rispondere Se f è una funzione derivabile su ]a, b[ e vale f () < per ogni ]a, b[, allora A f è crescente in ]a, b[ B f è decrescente in ]a, b[ C f è concava in ]a, b[ D f è convessa in ]a, b[ L equazione differenziale y = t sen y + 5t è A B C D un equazione lineare del primo ordine un equazione lineare del secondo ordine un equazione non lineare del primo ordine un equazione non lineare del secondo ordine 4 Il grafico della funzione f() = 7 rappresenta A B C D una retta una parabola un iperbole nessuna delle precedenti 5 a) Scrivere il generico problema di Cauchy associato all equazione y = f(t, y) e dare la definizione di una sua soluzione.

2 Modulo di Matematica, Corso di Laurea in Biotecnologie - Raccolta degli Esami A.A. - 6 Rappresentare il grafico di una funzione g che verifichi contemporaneamente le seguenti proprietà: lim g() = lim g() = lim g() = + lim g() = a) Enunciare il Teorema di de L Hôpital; b) per ciascuno dei seguenti tre limiti lim cos 4 sen + e, lim + sen( ) 4 tg +, lim + + +, determinare se è possibile applicare il teorema ed eventualmente calcolarne il valore. 8 Data la funzione a) determinare il dominio D; b) studiare il segno di g; g() = + c) calcolare i limiti agli estremi del dominio e determinare gli eventuali asintoti; d) determinare gli intervalli in cui la funzione è crescente, quelli in cui è decrescente, e gli eventuali punti di massimo/minimo relativo e/o assoluto; e) determinare gli intervalli in cui la funzione è convessa e quelli in cui è concava; f) disegnare un grafico approssimativo di g. 9 Dato il problema di Cauchy y = y ln y (cos(t) t ) y() = e a) dire se la funzione y(t) = e t è soluzione del problema; b) determinare una soluzione del problema nel caso in cui non lo sia la funzione di cui al punto precedente; oppure, alternativamente b ) calcolare i seguenti integrali ( + ) sen d e ln d. Calcolare il polinomio di Taylor di grado della funzione f() = e nel punto =. Soluzioni dei quesiti dell esame del 9 gennaio A; B; C; 4 B; 5 consultare il libro di testo. 6 In neretto si evidenziano le informazioni date dai limiti. Il grafico della funzione è quindi completato a piacere (linea sottile), per esempio:

3 Modulo di Matematica, Corso di Laurea in Biotecnologie - Raccolta degli Esami A.A. - g() 7 a) consultare il libro di testo; b) il primo limite è della forma /, il secondo /, il terzo + /. Il teorema si può applicare solamente al secondo limite, per il quale si ha + sen( ) H + cos( ) lim = lim 4 tg + 4( + tg ) + = 7. 8 a) Il dominio è D = R \ {} e la funzione è ivi continua e derivabile. b) Il numeratore è positivo quando > /, il denominatore è positivo quando >, quindi g è positiva quando > oppure < /, negativa quando / < < e si annulla in = /. c) Ha senso andare a studiare i limiti in e a ±. Si ha [ ] lim g() = lim + / ± ± = + =, lim ± g() = [ ] ± = ±, quindi il limite in = non esiste e inoltre la funzione non ammette massimo né minimo. d) La derivata prima è g () = ( + ) ( + ) 6 = 4 = Il numeratore è positivo quando /4, il denominatore è sempre positivo nel dominio, quindi <, se ] /4, [ ], + [, g () =, se = /4, >, se ], /4[, perciò la funzione è decrescente in ] /4, [ e in ], + [, mentre è crescente in ], /4[. e) Calcoliamo la derivata seconda: g () = 4 4 (4 + )4 4 (4 + )4 + 8 = 5 = 5. Il numeratore è positivo quando, il denominatore è positivo se >, quindi <, se ], [, g () =, se =, >, se ], [ ], + [. In definitiva la funzione è convessa in ], [ e in ], + [, concava in ], [.

4 Modulo di Matematica, Corso di Laurea in Biotecnologie - Raccolta degli Esami A.A y a) Si ha y (t) = e t e sostituendo si ottiene l equazione e t = e t ln (e t ) (cos(t) t ) che non è identicamente soddisfatta per t R (ad esempio, per t = si ottiene e e). La funzione non è dunque soluzione. Si osservi che la funzione soddisfa invece la seconda condizione, essendo y() = e. b) Scrivendo y = dy dt e utilizzando il metodo di separazione delle variabili si ha ln y y dy = (cos(t) t ) dt e integrando (utilizzando le tabelle) ln y dy = (cos(t) t ) dt = y ln y = sen(t) t4 + c, dove c è la generica costante d integrazione. Quest ultima equazione è equivalente a ln y = sen(t) t4 sen(t) + c y = ep t4 + c. Imponendo la condizione y() = e (nella prima delle due equazioni qui sopra) si ricava = c che risolta nell incognita c fornisce c = /. La soluzione è quindi y(t) = ep sen(t) t4 +. Alternativamente, si poteva utilizzare direttamente la formula risolutiva per le equazioni a variabili separabili (insieme alla formula fondamentale del calcolo integrale) y ln z t dz = (cos(s) s ) ) [ ln ]y [ ] t z sen(s) ds = = s4 e z e = ln y che risolvendo rispetto a y fornisce la soluzione cercata. b ) Dalla prima tabella si ottiene ( + ) sen d = d + / d = sen(t) sen d t4, = / + + cos + c = / cos + c,

5 Modulo di Matematica, Corso di Laurea in Biotecnologie - Raccolta degli Esami A.A. - 5 con c costante arbitraria. Utilizzando la seconda tabella e il Teorema fondamentale del calcolo si ha e ln d = e ln (ln ) d = [ ln 4 4 ] e = ( ) 4 =. Si ha f () = e e f () = 4e da cui f( ) = e, f ( ) = e, f ( ) = 4e perciò il polinomio di Taylor cercato è P () = f( ) + f ( )( ) + f ( ) ( ) = e e ( + ) + e ( + ). Appello del 9 febbraio N.B.: scrivere nome, cognome e numero di matricola su ogni foglio consegnato. Se lim f() = e lim g() =, allora lim f() g() è A B + C D non ci sono elementi sufficienti per rispondere Se f è una funzione derivabile due volte in ]a, b[ e tale che f ( ) = e f ( ) < con ]a, b[, allora A è punto di minimo relativo per f in [a, b] B è punto di massimo relativo per f in [a, b] C è punto di minimo assoluto per f in [a, b] D è punto di massimo assoluto per f in [a, b] L equazione differenziale y = t e t y è A B C D un equazione lineare del primo ordine un equazione lineare del secondo ordine un equazione non lineare del primo ordine un equazione non lineare del secondo ordine 4 La funzione f() = A è decrescente per < e crescente per > B è una funzione dispari C è una funzione pari D è crescente per < e decrescente per >

6 Modulo di Matematica, Corso di Laurea in Biotecnologie - Raccolta degli Esami A.A a) Scrivere la definizione di derivata di una funzione f in un punto. 6 Rappresentare il grafico di una funzione g che verifichi contemporaneamente le seguenti proprietà: lim g() = lim g() = lim + g() = + lim g() = a) Enunciare il teorema fondamentale del calcolo integrale; b) per quali delle tre funzioni f() =, g() = { sgn se se =, cos() h() = se / se è possibile applicare il teorema nell intervallo [, ]? (sgn è la funzione segno.) 8 Data la funzione a) determinare il dominio D; b) studiare il segno di g; g() = c) calcolare i limiti agli estremi del dominio e determinare gli eventuali asintoti; d) determinare gli intervalli in cui la funzione è crescente, quelli in cui è decrescente, e gli eventuali punti di massimo/minimo relativo e/o assoluto; e) determinare gli intervalli in cui la funzione è convessa e quelli in cui è concava; f) disegnare un grafico approssimativo di g. 9 Dato il problema di Cauchy y = y 4 (t )e t y() = a) dire se la funzione y(t) = ( t)e t è soluzione del problema; b) determinare una soluzione del problema nel caso in cui non lo sia la funzione di cui al punto precedente; oppure, alternativamente b ) calcolare i seguenti integrali (sen ( sen ) + ) d ( )e d. Calcolare il polinomio di Taylor di grado di f() = sen nel punto = π/. Soluzioni dei quesiti dell esame del 9 febbraio D; B; A; 4 B; 5 consultare il libro di testo.

7 Modulo di Matematica, Corso di Laurea in Biotecnologie - Raccolta degli Esami A.A In neretto si evidenziano le informazioni date dai limiti. Il grafico della funzione è quindi completato a piacere (linea sottile), per esempio: g() 7 a) consultare il libro di testo; b) anzitutto tutte le funzioni sono definite in [, ]. f è continua dunque si può applicare il teorema; g è banalmente continua per e inoltre si ha lim g() = lim sgn = [ (limitata)] = = g(), dunque g è continua anche in e si può applicare il teorema. Per ultimo, h è continua per e si ha cos() cos() lim h() = lim = 4 lim () = 4 = h(), quindi h non è continua in e non si può applicare il teorema. 8 a) Il dominio è D = R \ {} e la funzione è ivi continua e derivabile. b) Il numeratore è positivo se il denominatore se < quindi la funzione è positiva se < <, negativa se < oppure > e si annulla in =. c) Ha senso andare a studiare i limiti in e a ±. Si ha lim g() = ± lim ± / = [ ] [ ] + =, lim g() = ± =, quindi il limite in = non esiste ed inoltre la funzione non ammette massimo né minimo. La retta di equazione = è un asintoto verticale mentre, essendo lim +± g()/ =, non esistono asintoti obliqui. d) La derivata prima è g () = ( ) ( ) ( ) = ( ) = ( ) ( ). La derivata prima è dunque positiva se > cioè < / e si annulla in = oppure = /. Più precisamente >, se ], [ ], [ ], /[, g () =, se = oppure = /, <, se ]/, + [, perciò la funzione è crescente in ], [ e in ], /[, mentre è decrescente in ]/, + [. In = / ammette un massimo relativo. e) Calcoliamo la derivata seconda: g () = (6 6 )( ) ( )( )( ) ( ) 4 = (6 6 )( ) + ( ) ( ) = ( ) = ( + ) ( ).

8 Modulo di Matematica, Corso di Laurea in Biotecnologie - Raccolta degli Esami A.A. - 8 Poiché + è sempre positivo, il numeratore è positivo quando. Il denominatore è invece positivo quando <, quindi >, se ], [, g () =, se =, <, se ], [ ], + [. In definitiva la funzione è concava in ], [ e in ], + [, convessa in ], [. Il = ammette un punto di flesso y 8 9 a) Si ha y (t) = e t + ( t)e t = ( t)e t e sostituendo si ottiene l equazione ( t)e t = ( t) 4 e 8t (t )e t che non è identicamente soddisfatta per t R (ad esempio, per t = si ottiene ). La funzione non è dunque soluzione. Si osservi che la funzione soddisfa invece la seconda condizione, essendo y() =. b) Scrivendo y = dy dt e utilizzando il metodo di separazione delle variabili si ha y 4 dy = (t )et dt, e integrando si ottiene y 4 dy = (t )e t dt = y = (t 4)et + c, dove c è la generica costante d integrazione. Infatti, utilizzando il metodo d integrazione per parti (t )e t dt = (t )e t e t dt = (t )e t e t + c = (t 4)e t + c. L equazione sopra è equivalente a y = (t 4)et + c y = (4 t)et c con c costante arbitraria. Imponendo la condizione y() = (nella prima delle due equazioni qui sopra) si ricava = 4 + c

9 Modulo di Matematica, Corso di Laurea in Biotecnologie - Raccolta degli Esami A.A. - 9 che risolta nell incognita c fornisce c = /. La soluzione è quindi y(t) = (4 t)et. Alternativamente, si poteva utilizzare direttamente la formula risolutiva per le equazioni a variabili separabili (insieme alla formula fondamentale del calcolo integrale) y z 4 dz = t (s )e s ds = che risolvendo rispetto a y fornisce la soluzione cercata. b ) Dalla prima tabella si ottiene (sen ( sen ) ) + d = d [ ] y z = [(s 4)e s] t = y = (t 4)et + 4 sen d = + ctg arctg + c, con c costante arbitraria. Utilizzando il metodo di integrazione per parti si ha ( )e d = [( ) e = e 4 + ([( 4) e ] ] = e 4 + (5 e 4 + ) [ e ] ( 4) e d 4 e d ) + d = 9 4 e (e 4 ) = 4 e Si ha f () = sen + cos e f () = cos sen da cui f(π/) = π/, f (π/) =, f (π/) = π/ perciò il polinomio di Taylor cercato è P () = f( ) + f ( )( ) + f ( ) ( ) = π ( + π ) π ( π ). 4 Appello del 8 luglio N.B.: scrivere nome, cognome e numero di matricola su ogni foglio consegnato. Tempo a disposizione:.5 ore Se lim f() = e lim g() = +, allora lim f() g() è A B + C D non ci sono elementi sufficienti per rispondere

10 Modulo di Matematica, Corso di Laurea in Biotecnologie - Raccolta degli Esami A.A. - Se f è una funzione derivabile due volte in ]a, b[ e tale che f ( ) > e f ( ) = con ]a, b[, allora A è punto di minimo relativo per f in [a, b] B è punto di massimo relativo per f in [a, b] C è punto di flesso per f in [a, b] D nessuna delle precedenti L equazione differenziale y = te y sen t è A B C D un equazione lineare del primo ordine un equazione lineare del secondo ordine un equazione non lineare del primo ordine un equazione non lineare del secondo ordine 4 La funzione f() = log / A è definita in R B è una funzione decrescente C è una funzione dispari D ha limite per + 5 a) Scrivere la definizione di primitiva di una funzione f in un intervallo I. 6 Rappresentare il grafico di una funzione g che verifichi contemporaneamente le seguenti proprietà: lim g() = + lim g() = lim g() = lim + g() = + 7 a) Enunciare il Teorema di de L Hôpital; b) per ciascuno dei seguenti tre limiti sen( ) arccos lim + ln( + ), lim + ln + 7 5, lim π e π cos, sen determinare se è possibile applicare il teorema ed eventualmente calcolarne il valore. 8 Data la funzione a) determinarne il dominio D; b) studiare il segno di g; g() = ln(5 ) c) calcolare i limiti agli estremi del dominio e determinare gli eventuali asintoti; d) determinare gli intervalli in cui la funzione è crescente, quelli in cui è decrescente, e gli eventuali punti di massimo/minimo relativo e/o assoluto;

11 Modulo di Matematica, Corso di Laurea in Biotecnologie - Raccolta degli Esami A.A. - e) determinare gli intervalli in cui la funzione è concava e quelli in cui è convessa; f) disegnare un grafico approssimativo di g. 9 Dato il problema di Cauchy y = t y 4 t + y() = a) dire se la funzione y(t) = cos(t ) è soluzione del problema in ], + [; b) determinare una soluzione del problema nel caso in cui non lo sia la funzione di cui al punto precedente; oppure, alternativamente b ) calcolare i seguenti integrali ( cos 4 cos 5 ) d, π sen t cos t d. Calcolare il polinomio di Taylor di grado di f() = tg nel punto = π/4. Soluzioni dei quesiti dell esame del 8 luglio A; D; D; 4 B; 5 consultare il libro di testo. 6 In neretto si evidenziano le informazioni date dai limiti. Il grafico della funzione è quindi completato a piacere (linea sottile), per esempio: g() 7 a) consultare il libro di testo; b) il primo limite è della forma (π/)/, il secondo + /, il terzo /. Il teorema si può applicare solamente al secondo limite, per il quale si ha + ln H 6 + / ( lim = lim = lim ) =. 5 8 a) Il dominio è individuato dagli per cui 5 > quindi D =], + [ e la funzione è ivi continua e derivabile. Osserviamo inoltre che la funzione può essere scritta nella seguente forma f() = 5 ln.

12 Modulo di Matematica, Corso di Laurea in Biotecnologie - Raccolta degli Esami A.A. - b) Poiché il denominatore è sempre positivo nel dominio D, si ha che f() se e solo se 5 ln ovvero ln /5 cioè e /5. In definitiva >, se ], e /5 [, g() =, se = e /5, <, se ]e /5, + [. c) Ha senso andare a studiare i limiti a + e in da destra. Si ha [ ] + lim g() = = +, + lim g() = + + lim 5 ln = + [ + ] H 5/ = lim =. + Da questa analisi segue che la retta y = è asintoto orizzontale a +, mentre = è asintoto verticale. d) Calcoliamo la derivata prima: g () = 5 ( 5 ln ) = 5 ln 7. La derivata è positiva quando 5 ln 7 ovvero ln 7/5 cioè e 7/5. Quindi <, se ], e 7/5 [, g () =, se = e 7/5, >, se ]e 7/5, + [, perciò la funzione è crescente in ]e 7/5, + [, mentre è decrescente in ], e 7/5 [. In = e 7/5 ammette un minimo relativo relativo e assoluto. Dal punto c) si vede subito che la funzione non possiede massimo. e) Calcoliamo la derivata seconda: g () = 5 (5 ln 7) 9 ln 4 =. Il denominatore è positivo quando >, il numeratore quando 9 ln ovvero ln 9/ cioè e 9/. Quindi >, se ], e 9/ [, g () =, se = e 9/, <, se ]e 9/, + [, perciò la funzione è convessa in ], e 9/ [, mentre è concava in ]e 9/, + [. 4 y

13 Modulo di Matematica, Corso di Laurea in Biotecnologie - Raccolta degli Esami A.A. - 9 a) Si ha y (t) = t sen(t ). Sostituendo si ottiene l equazione t sen(t ) = t (cos(t )) 4 t +, che non è identicamente soddisfatta per t > (ad esempio, per t = π si ottiene π π+ ). La funzione non è dunque soluzione. Si osservi che la funzione soddisfa la seconda condizione y() =. b) Scrivendo y = dy dt e utilizzando il metodo di separazione delle variabili si ha y 4 dy = t t + dt = y 4 t dy = t + dt, e utilizzando le tabelle y = (t )(t + ) / dt = y = (t + ) / + c = t + + c, / dove c è la generica costante d integrazione. Risolvendo in y si ottiene y = c t + y = c t +. Imponendo la condizione y() = si ottiene = c, da cui si ricava c =. La soluzione è quindi y(t) = t +. Alternativamente, si poteva utilizzare direttamente la formula risolutiva per le equazioni a variabili separabili (insieme alla formula fondamentale del calcolo integrale) y t z 4 s [ ] z y [ dz = s + ds = t = s + ] = y = t +, che risolta rispetto a y fornisce la soluzione cercata. b ) Dalle tabelle si ottiene ( cos 4 cos 5 ) d = d 4 cos d 5 / d = 4 tg 5 / + c = 4 tg + + c, / con c costante arbitraria. Per il teorema fondamentale del calcolo si ha π π sen t d = ( sen t)( cos t) / d = cos t = [ ( cos t) / ] π = / 4 (5/ ). π ( cos t) ( cos t) / d Si ha f () = tg + cos e f () = sen cos + cos da cui f(π/4) = π/4, f (π/4) = + π/, f (π/4) = 4 + π perciò il polinomio di Taylor cercato è P () = f( ) + f ( )( ) + f ( ) ( ) = π π ( π ) π ( π ). 4

14 Modulo di Matematica, Corso di Laurea in Biotecnologie - Raccolta degli Esami A.A. - 4 Appello del 4 settembre Se lim f() = + e lim g() =, allora lim f() g() è A B + C D non ci sono elementi sufficienti per rispondere Se f è una funzione derivabile due volte in ]a, b[ e tale che f () < per ]a, b[, allora A f è crescente in [a, b] B f è convessa in [a, b] C f è concava in [a, b] D f è decrescente in [a, b] L equazione differenziale y = log t e t y sen t è A B C D un equazione lineare del primo ordine un equazione lineare del secondo ordine un equazione non lineare del primo ordine un equazione non lineare del secondo ordine 4 La funzione f() = arccos A è definita in R B è una funzione decrescente C è definita in [, π] D è derivabile nel suo dominio 5 a) Scrivere la definizione di derivata di una funzione f in un punto. 6 Rappresentare il grafico di una funzione g che verifichi contemporaneamente le seguenti proprietà: lim g() = + lim g() = lim g() = lim + g() = +

15 Modulo di Matematica, Corso di Laurea in Biotecnologie - Raccolta degli Esami A.A a) Enunciare il Teorema di de L Hôpital; b) per ciascuno dei seguenti tre limiti lim arcsen sen( ) e, lim cos + (/) , lim sen + ( ), + determinare se è possibile applicare il teorema ed eventualmente calcolarne il valore. 8 Data la funzione a) determinarne il dominio D; b) studiare il segno di g; g() = c) calcolare i limiti agli estremi del dominio e determinare gli eventuali asintoti; d) determinare gli intervalli in cui la funzione è crescente, quelli in cui è decrescente, e gli eventuali punti di massimo/minimo relativo; e) determinare gli intervalli in cui la funzione è concava e quelli in cui è convessa; f) disegnare un grafico approssimativo di g 9 Dato il problema di Cauchy { y = y( + ln y) cos t y() = a) dire se la funzione y(t) = e t è soluzione del problema; b) determinare una soluzione del problema nel caso in cui non lo sia la funzione di cui al punto precedente; oppure, alternativamente b ) calcolare i seguenti integrali (4 + 4 ) d, e d. + e Calcolare il polinomio di Taylor di grado di f() = e cos nel punto =. Soluzioni dei quesiti dell esame del 4 settembre C; C; A; 4 B; 5 consultare il libro di testo. 6 In neretto si evidenziano le informazioni date dai limiti. Il grafico della funzione è quindi completato a piacere (linea sottile), per esempio:

16 Modulo di Matematica, Corso di Laurea in Biotecnologie - Raccolta degli Esami A.A. - 6 g() 7 a) consultare il libro di testo; b) il primo limite è della forma /, il secondo 5/ +, il terzo sen /. Il teorema si può applicare solamente al primo limite, per il quale si ha arcsen sen( ) H lim e = lim cos ( ) cos( ) e + sen = + =. 8 a) La funzione è definita per, perciò il dominio è D = R \ {, } e la funzione (razionale) è ivi continua e derivabile. Osserviamo che g è funzione dispari, dunque potremmo limitarci a studiarne il grafico per gli ottenendo il grafico relativo agli < per simmetria rispetto all origine. b) Il numeratore è positivo se, il denominatore è positivo se > ovvero < oppure >. In definitiva la funzione è positiva per < < e >, negativa per < e < <. Si annulla in =. c) Ha senso andare a studiare i limiti in, in ed a ±. Si ha [ ] lim g() = lim ± ± ± / = = ±, [ ] [ ] lim g() = ± ± = ±, lim g() = ± = ±, quindi la funzione non ammette massimo né minimo. Asintoti: le rette di equazione = e = sono asintoti verticali. Per quanto riguarda quelli obliqui si ha m = g() lim ± = lim ± =, q = lim [g() ] = lim ± dunque la retta di equazione y = è asintoto a e a +. d) La derivata prima è ± g () = ( ) ( ) = 4 ( ) = ( ) ( ). =, Il numeratore è positivo quando > cioè se e solo se < oppure >, il denominatore è sempre positivo nel dominio. Inoltre la derivata si annulla in =, = ±, quindi <, se ], [ ], [ ], [ ], [, g () =, se = oppure = oppure =, >, se ], [ ], + [, perciò la funzione è crescente in ], [ e in ], + [, mentre è decrescente in ], [, in ], [ e in ], [. In = e = ammette, rispettivamente, un massimo e un minimo relativo. In = la funzione ha un punto di flesso a tangente orizzontale.

17 Modulo di Matematica, Corso di Laurea in Biotecnologie - Raccolta degli Esami A.A y e) La derivata seconda è g () = (4 6)( ) ( 4 )( ) ( ) 4 = (4 6)( ) ( 4 )4 ( ) = ( + ) ( ). Il numeratore è positivo quando, il denominatore è positivo se ( ) > cioè se e solo se > ovvero se < oppure >. In definitiva <, se ], [ ], [, g () =, se =, >, se ], [ ], + [, perciò la funzione è concava in ], [ e in ], [, mentre è convessa in ], [ e in ], + [. Come già osservato in precedenza, in = la funzione ha un punto di flesso a tangente orizzontale. 9 a) Si ha y (t) = e t. Sostituendo si ottiene l equazione e t = e t ( + ln e t ) cos t, che non è identicamente soddisfatta per t R (ad esempio, per t = π/ si ottiene e π/ ). La funzione non è dunque soluzione. Si osservi che la funzione soddisfa la seconda condizione y() =. b) Scrivendo y = dy dt e utilizzando il metodo di separazione delle variabili si ha dy = cos t dt = y( + ln y) y( + ln y) dy = cos t dt. Ricordando che una primitiva del coseno è il seno e utilizzando le tabelle si ottiene (ln y) y( + ln y) dy = dy = ln + ln y = ln + ln y = sen t + c, + ln y dove c è la generica costante d integrazione. Osservando che dovrà essere y() =, si può supporre (almeno per i t vicini a ) che + ln y(t) >, perciò risolvendo in y si ottiene + ln y = e sen t+c y = ep ( e sen t+c ). Imponendo la condizione y() = si ottiene = e c, da cui si ricava c = ln. La soluzione è quindi y(t) = ep ( e sen t ).

18 Modulo di Matematica, Corso di Laurea in Biotecnologie - Raccolta degli Esami A.A. - 8 Alternativamente, si poteva utilizzare direttamente la formula risolutiva per le equazioni a variabili separabili (insieme alla formula fondamentale del calcolo integrale) y z( + ln z) dz = t cos s ds = che risolta rispetto a y fornisce la soluzione cercata. c) Dalle tabelle si ottiene (4 + ) 4 d = 4 d [ ] y [ ] t ln + ln z = sen s = ln + ln y ln = sen t, / d + (/4) d = 4 ln / / + (/4) ln(/4) + c = 4 ln 4 ln 4 + c, con c costante arbitraria. Per il teorema fondamentale del calcolo si ha e + e d = (e ) + e d = [ ] ln( + e ) = + e9 ln + e. Si ha f () = e cos e sen e f () = e cos 4e sen da cui f() =, f () =, f () = perciò il polinomio di Taylor cercato è P () = f( ) + f ( )( ) + f ( ) ( ) = + +.