Università di Pisa - Corso di Laurea in Informatica Analisi Matematica A. Pisa, 12 giugno 2018 D) 73 60

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1 Università di Pisa - orso di Laurea in Informatica nalisi Matematica Pisa, giugno 08 Domanda + B e 3 D 6 e log lim x sin x x = x 0 + B Domanda La successione a n = n e n+ n e n non ha né massimo né minimo B è limitata inferiormente ma non superiormente è limitata D è limitata superiormente ma non inferiormente Domanda 3 4 log x + x 4 dx = B log D y = y cos x + sinx Domanda 4 Sia yx la soluzione del problema di auchy π y = B 3 llora y0 = e D - y = y 4 Domanda Sia yx la soluzione del problema di auchy y =. llora y0 = B 3 3 D e x cos x +ex se x > 0 Domanda 6 La funzione f : R R definita da fx = nel punto x = 0 x 3 + x + se x 0, è derivabile B non è continua è continua ma non derivabile D ha un punto di cuspide Domanda 7 lim x 0 + B - t 7 e t4 dt = 4 D 7 Domanda 8 La funzione f : R R definita da fx = x 3 e x3 non è limitata superiormente B ha minimo ha massimo D è limitata inferiormente ma non ha minimo Domanda 9 Una primitiva della funzione fx = sine x e x è: cose x e x + sine x e x B cose x e x cose x e x D sin e x cos e x D Domanda 0 La successione a n = sin n π+ n è limitata ma non ha limite B ha limite finito non è limitata né superiormente né inferiormente D diverge positivamente codice 6838

2 Università di Pisa - orso di Laurea in Informatica nalisi Matematica Pisa, giugno 08 ognome Nome Numero di matricola Esercizio Studiare la funzione fx = x log x determinandone insiemi di definizione, derivabilità, asintoti compresi quelli obliqui, estremi superiore e inferiore o massimo e minimo, punti di massimo e minimo locali, intervalli di concavità e convessità e punti di flesso. Tracciare un grafico approssimativo della funzione. La funzione è definita per x > 0 data la presenza del logaritmo ed è continua in tutto il suo insieme di definizione perché è prodotto e composizione di funzioni continue. Vediamo ora i limiti. log x lim fx = lim x 0 + x 0 + x = de l Hôpital = lim x 0 + log x 4 x x lim fx = + + = +. = lim x 0 + log x 4 x = 0 = 0. La funzione non ha quindi né asintoti orizzontali né verticali. Potrebbe avere un asintoto obliquo. quindi non c è l asintoto obliquo. La funzione non è limitata superiormente. Vediamo ora la monotonia calcolando la derivata. fx lim x = lim log x = + f x = log x + x log x 4 x = log x 4 log x +. Ricordando che log x 4 = log 4 x otteniamo che tale quantità è sempre maggiore di 0 e non è definita per x =. Nel punto x =, dato che la funzione è continua, otteniamo che f = lim f x = log + x log 4 = 0 + = +. Nel punto x = la funzione non è quindi derivabile e ha retta tangente verticale. Per quanto detto sopra avremo che f x > 0 log x + > 0 log x > x > e. ] La funzione è quindi strettamente decrescente nell intervallo 0, e e strettamente crescente sulla semiretta [ e, +. Il punto di ascissa x = e è punto di minimo locale e assoluto. Il minimo della funzione vale fe = e alcoliamo la derivata seconda per vedere la convessità. f x = 4 log x 9 log x + x log e = e =. e + log x 4 = log x 9 x = log x 9 x log x 4 4 x log x 4 + log x = log x 9 log x 4. x

3 Osserviamo nuovamente che log x 9 = log 9 x quindi la derivata seconda non è definita per x =, dove la funzione non è derivabile. In tutti gli altri punti esiste la derivata seconda. Osserviamo anche che > 0 log x > 0 x >, log 9 x log x 4 > 0 log x > 4 x > e 4. Dato che x > 0 in tutto l insieme di definizione della funzione, otteniamo che f x > 0 x 0, e 4, +, f x < 0 x, e 4, f e 4 = 0. La funzione è convessa in 0, ], concava in [, e 4 ] e convessa in [e 4, +. I punti di ascissa x = e x = e 4 di flesso. sono punti 3,,4,6 0,8 0 0,,, 3 3, -0,8 Esercizio alcolare logx + 3 x dx. Eseguiamo l integrale indefinito per parti integrando e derivando logx + 3: x logx + 3 x dx = logx + 3 x x x + 3 dx = dx logx x xx + 3 = x logx log x x c. Ora calcoliamo l integrale definito utilizzando il teorema di Torricelli: [ logx + 3 x dx = x logx log x x + 3 ] = log + 3 log 3 log = log 3 log 3 log = log. 3 = log + 3 log log + 3 log

4 Esercizio 3 Risolvere il problema di auchy y + 6y = e 4x 3x + 7 y0 = 6 y 0 =. L equazione differenziale è lineare, del secondo ordine a coefficienti costanti, non omogenea. Risolviamo prima l omogenea y + 6y = 0 alla quale è associato il polinomio caratteristico λ + 6 = 0 che non ha radici reali, dato che = = 64 < 0. Le soluzioni dell omogenea saranno quindi del tipo y 0 = e a x c cosωx + c sinωx dove a è il coefficiente di y, quindi in questo caso a = 0, e ω = = 64 = 4. bbiamo quindi y 0 x = c cos4x + c sin4x. Determiniamo ora una soluzione particolare con il metodo dei coefficienti indeterminati. soluzione della forma ȳ = e 4x x + B. Deriviamo due volte per ottenere ercheremo quindi una Sostituendo nell equazione completa, otteniamo Dividendo per e 4x abbiamo ȳ = 4e 4x x + B + e 4x = e 4x 4x + 4B +, ȳ = 4e 4x 4x + 4B + + e 4x 4 = e 4x 6x + 6B + 8. e 4x 6x + 6B e 4x x + B = e 4x 3x x + 3B + 8 = 3x + 7. Uguagliando i coefficienti dei monomi dello stesso grado, otteniamo il sistema lineare 3 = B = 7 che ha come soluzione =, B =. La soluzione particolare cercata è quindi ȳ = e 4x x +. La soluzione generale dell equazione completa si ottiene sommando la soluzione dell omogenea con la soluzione particolare y = y 0 + ȳ = c cos4x + c sin4x + e 4x x +. Determiamo i coefficienti c e c utilizzando le condizioni iniziali. vremo Derivando la soluzione otteniamo y0 = c cos 0 + c sin 0 + e = c +. y = 4c sin4x + 4c cos4x + 4e 4x x + + e 4x

5 y 0 = 4c = 4c + 9. Dalle condizioni iniziali otteniamo il sistema lineare c + = 6 4c + 9 = che ha come soluzione c = 4, c =. La soluzione del problema di auchy è quindi y = 4 cos4x sin4x + e 4x x +.