Secondo Compitino di Analisi Matematica Corso di laurea in Informatica, corso B 18 Dicembre 2015 Fila A. i 1 2i. z 2 = (1 + i)(1 i)(1 + 3i).

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1 Secondo Compitino di Analisi Matematica Corso di laurea in Informatica, corso B 8 Dicembre 05 Fila A Esercizio Si considerino i numeri complessi z = i + i i (a) Calcola il modulo di z e il modulo di z. (b) Calcola il modulo di z z. z = ( + i)( i)( + i). Soluzione. (a) Scriviamo z in forma normale: z = i + i i = i + i i + i + i = i + i + 4 = i, z = =. Poiché z è scritto come prodotto di tre numeri complessi, allora il suo modulo è il prodotto dei moduli dei tre fattori: z = + i i + i = 4 = 4. (b) Poiché vale z z = z z per ogni z, z C, allora z z = 4 = 4. Esercizio Considera la funzione f : R R di legge f(x) = x x +. (a) Calcola il dominio, gli zeri e il segno di f. (b) Discuti la continuità di f nel suo dominio. (c) Studia la derivabilità di f nel suo dominio, classificando eventuali punti di non derivabilità. (d) Calcola estremo superiore, estremo inferiore, massimo e minimo assoluti (se esistono) di f. (e) Disegna un grafico qualitativo di f (non è richiesto lo studio della concavità e convessità).

2 Soluzione. (a) Poiché la radice cubica è sempre estraibile, allora il dominio è D = R. Per calcolare gli zeri di f, occorre risolvere f(x) = 0, cioè x x + = 0. Poiché la radice di un numero è 0 se e solo se quel numero è 0, allora gli zeri di f soddisfano x x + = 0 che, risolta, dà gli zeri x = e x =. Poiché il segno di una radice di indice dispari è dato dal segno del suo argomento, allora il segno di f è uguale al segno di x x +. Risolvendo x x + > 0 concludiamo che f(x) > 0 se e solo se x (, ) (, + ). (b) La funzione f è composizione delle funzioni g(x) = x e h(x) = x x +, entrambe continue. Pertanto anche f è continua. (c) Calcoliamo la derivata di f: f (x) = (x x + ) (x ) = x (x x + ). Vediamo che la derivata non è definita in x = e x = (perché in questi punti si annulla il denominatore), dunque questi due sono punti di non derivabilità. Calcoliamo i limiti destri e sinistri per classificare i punti: lim f (x) = x lim f (x) = + x lim f (x) = x + lim f (x) = +, x + pertanto x = e x = sono entrambi punti a tangente verticale. (d) Calcolando i limiti a infinito di f, lim x x + = +, x ± possiamo subito concludere che sup f = +, dunque f non ammette massimo assoluto. Studiando il segno della derivata prima, abbiamo che f (x) > 0 x (, + ), perciò x m = è punto di minimo relativo. Poiché per ogni x > x m f(x) è crescente e per ogni x < x m f(x) è decrescente, allora concludiamo ( ) che x m è anche punto di minimo assoluto. Il minimo assoluto vale f(x m ) = f = 4. (e) In figura il grafico di f. Esercizio Risolvi due dei tre seguenti integrali indefiniti: x + dx x x 5x 7 dx e x cos(x)dx.

3 Grafico della funzione f(x).5.5 y x Figura : Grafico della funzione f(x) = x x +.

4 Soluzione.. Conviene scrivere l integrale come somma di due integrali: x + dx = x dx + dx. x x x Il primo è della forma (g(x)) α g (x)dx, a patto di moltiplicare e dividere per, mentre il secondo è un integrale immediato, di arcsin(x): x dx = x x dx = x dx = arcsin(x) + c, x + ( x ) + + c = x + c x + x dx = arcsin(x) x + c.. Per risolvere questo integrale procediamo operando la sostituzione 5x 7 = t, x = t + 7 e dx = tdt. Pertanto l integrale diventa: t 5 tdt = t +7 = t dt = 7 ( ) dt t ( ) dt = ( ) t arctan + c. t Operando la sostituzione inversa, otteniamo: ( ) x 5x 7 dx = 5 arctan 7 7 x + c. Conviene integrare per parti due volte, integrando e x e derivando cos(x): e x cos(x)dx = e x cos(x) + e x sin(x)dx = [ ] = e x cos(x) + e x sin(x) e x cos(x)dx = = e x cos(x) + e x sin(x) 4 e x cos(x)dx. Chiamando I := e x cos(x)dx, otteniamo l equazione I = e x cos(x) + e x sin(x) 4I, e x cos(x)dx = 5 ex [cos(x) + sin(x)].

5 Esercizio 4 Siano f, g : R R funzioni convesse. (a) Dimostra che se f è crescente e f, g sono derivabili due volte allora f g è convessa. (b) Mostra esibendo un controesempio che se f non è crescente la precedente non è vera in generale. Soluzione. (a) Poiché f e g sono entrambe derivabili due volte, anche f g lo è, dunque possiamo calcolare la derivata seconda: (f g) = f (g(x))g (x) (f g) = (f (g(x))g (x)) = f (g(x))(g (x)) + f (g(x))g (x). Poiché f e g sono convesse, allora f e g sono > 0; inoltre (g (x)) > 0 perché è un quadrato e infine f (g(x)) 0 perché per ipotesi f è crescente. Ne segue che tutti i termini che compongono (f g) sono positivi e perciò concludiamo che (f g) > 0, f g convessa. (b) Ad esempio, prendendo f(x) = e x e g(x) = x abbiamo che: f e g sono entrambe convesse; f non è crescente (anzi, è decrescente); f g = e x non è convessa, infatti la sua derivata seconda è D e x = e x (4x ), ( che è < 0 (e quindi concava) se x, ).

6 Primo Compitino di Analisi Matematica Corso di laurea in Informatica, corso B Novembre 04 Fila B Esercizio Si considerino i numeri complessi z = i i + i (a) Calcola il modulo di z e il modulo di z. (b) Calcola il modulo di z z. z = ( i)( + i)( + i). Soluzione. (a) Scriviamo z in forma normale: z = i i + i = i i + i i i = i i = i, z = = 5. Poiché z è scritto come prodotto di tre numeri complessi, allora il suo modulo è il prodotto dei moduli dei tre fattori: z = i + i + i = 4 = 4. (b) Poiché vale z z = z z per ogni z, z C, allora z z = 5 4 = 5. Esercizio Considera la funzione f : R R di legge f(x) = x + x +. (a) Calcola il dominio, gli zeri e il segno di f. (b) Discuti la continuità di f nel suo dominio. (c) Studia la derivabilità di f nel suo dominio, classificando eventuali punti di non derivabilità. (d) Calcola estremo superiore, estremo inferiore, massimo e minimo assoluti (se esistono) di f. (e) Disegna un grafico qualitativo di f (non è richiesto lo studio della concavità e convessità).

7 Soluzione. (a) Poiché la radice cubica è sempre estraibile, allora il dominio è D = R. Per calcolare gli zeri di f, occorre risolvere f(x) = 0, cioè x + x + = 0. Poiché la radice di un numero è 0 se e solo se quel numero è 0, allora gli zeri di f soddisfano x + x + = 0 che, risolta, dà gli zeri x = e x =. Poiché il segno di una radice di indice dispari è dato dal segno del suo argomento, allora il segno di f è uguale al segno di x + x +. Risolvendo x +x+ > 0 concludiamo che f(x) > 0 se e solo se x (, ) (, + ). (b) La funzione f è composizione delle funzioni g(x) = x e h(x) = x + x +, entrambe continue. Pertanto anche f è continua. (c) Calcoliamo la derivata di f: f (x) = (x + x + ) (x + ) = x + (x + x + ). Vediamo che la derivata non è definita in x = e x = (perché in questi punti si annulla il denominatore), dunque questi due sono punti di non derivabilità. Calcoliamo i limiti destri e sinistri per classificare i punti: lim f (x) = x lim f (x) = + x lim f (x) = x + lim f (x) = +, x + pertanto x = e x = sono entrambi punti a tangente verticale. (d) Calcolando i limiti a infinito di f, lim x + x + = +, x ± possiamo subito concludere che sup f = +, dunque f non ammette massimo assoluto. Studiando il segno della derivata prima, abbiamo che f (x) > 0 x (, + ), perciò x m = è punto di minimo relativo. Poiché per ogni x > x m f(x) è crescente e per ogni x < x m f(x) è decrescente, allora concludiamo ( che x m è anche punto di minimo assoluto. Il minimo assoluto vale f(x m ) = f ) = 4. (e) In figura il grafico di f. Esercizio Risolvi due dei tre seguenti integrali indefiniti: x dx x x x dx e x sin(x)dx.

8 Grafico della funzione f(x).5.5 y x Figura : Grafico della funzione f(x) = x + x +.

9 Soluzione.. Conviene scrivere l integrale come somma di due integrali: x dx = x dx + dx. x x x Il primo è della forma (g(x)) α g (x)dx, a patto di moltiplicare e dividere per, mentre il secondo è un integrale immediato, di arcsin(x): x dx = x x dx = x dx = arcsin(x) + c, x + ( x ) + + c = x + c x x dx = arcsin(x) + x + c.. Per risolvere questo integrale procediamo operando la sostituzione x = t, x = t + e dx = tdt. Pertanto l integrale diventa: t + t tdt = + t dt = ( ) dt t + = ( ) dt = t + ( t arctan Operando la sostituzione inversa, otteniamo: ( ) x x dx = arctan x + c ) + c.. Conviene integrare per parti due volte, integrando e x e derivando sin(x): e x sin(x)dx = e x sin(x) e x cos(x)dx = [ ] = e x sin(x) e x cos(x) + e x sin(x)dx = = e x sin(x) e x cos(x) 9 e x sin(x)dx. Chiamando I := e x sin(x)dx, otteniamo l equazione I = e x sin(x) e x cos(x) 9I, e x sin(x)dx = 0 ex [sin(x) cos(x)].

10 Esercizio 4 Siano f, g : R R funzioni concave. (a) Dimostra che se f è decrescente e f, g sono derivabili due volte allora f g è concava. (b) Mostra esibendo un controesempio che se f non è decrescente la precedente non è vera in generale. Soluzione. (a) Poiché f e g sono entrambe derivabili due volte, anche f g lo è, dunque possiamo calcolare la derivata seconda: (f g) = f (g(x))g (x) (f g) = (f (g(x))g (x)) = f (g(x))(g (x)) + f (g(x))g (x). Poiché f e g sono concave, allora f e g sono < 0; inoltre (g (x)) > 0 perché è un quadrato e infine f (g(x)) 0 perché per ipotesi f è decrescente. Ne segue che i termini che, sommati, danno (f g) sono negativi e perciò concludiamo che (f g) < 0, f g concava. (b) Ad esempio, prendendo f(x) = e x e g(x) = x abbiamo che: f e g sono entrambe convesse; f non è crescente (anzi, è decrescente); f g = e x non è concava, infatti la sua derivata seconda è D e x = e x (4x ), ( che è > 0 (e quindi convessa) se x, ) ( ), +.