Corso di Analisi Matematica. Calcolo differenziale

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1 a.a. 2013/14 Laurea triennale in Informatica Corso di Analisi Matematica Calcolo differenziale Avvertenza Questi sono appunti informali delle lezioni, che vengono resi disponibili per comodità degli studenti. Parte del materiale presentato è tratto dai libri di testo consigliati, la cui consultazione è vivamente incoraggiata.

2 Variazione e rapporto incrementale In questo capitolo, salvo avviso contrario, A è un intervallo oppure l unione di intervalli disgiunti. Denotiamo con Å l insieme dei punti interni di A, cioè i punti diversi dagli estremi. Sia f : A R e sia x Å. Per ogni x A \ { x} consideriamo: f (x) f ( x): variazione assoluta della grandezza espressa da f ; f (x) f ( x) : variazione media della grandezza espressa da f ; x x Interpretazione cinematica e biologica? Definiamo la funzione rapporto incrementale di f in x : x A \ { x} f (x) f ( x). x x Ha senso considerarne il limite per x x?

3 Derivata e derivabilità in un punto Sia f : A R e sia x Å. Se la funzione rapporto incrementale di f in x è regolare per x che tende a x, il suo limite si chiama derivata di f in x e si denota con f ( x). In simboli: Notazione alternativa: f f (x) f ( x) ( x) := lim. x x x x Se f ( x) R, diciamo che f è derivabile in x. df dx ( x), Df ( x) Nota: la derivata corrisponde alla variazione istantanea della grandezza espressa da f. Interpretazione cinematica e biologica? Esempi Stabilire se le seguenti funzioni sono derivabili nei punti indicati: { f (x) = x 2 x = 1 x sin (1/x) per x 0 f (x) = 3 f (x) = x = 0 x x = 0 0 per x = 0

4 Se la funzione rapporto incrementale di f in x è regolare per x che tende a x da sinistra, il suo limite si chiama derivata sinistra di f in x e si denota con f ( x). In simboli: f ( x) f (x) f ( x) := lim. x x x x Se f ( x) R, diciamo che f è derivabile a sinistra in x. Se la funzione rapporto incrementale di f in x è regolare per x che tende a x da destra, il suo limite si chiama derivata destra di f in x e si denota con f +( x). In simboli: f +( x) f (x) f ( x) := lim. x x + x x Se f +( x) R, diciamo che f è derivabile a destra in x.

5 Osservazioni Le derivate unilaterali in x possono essere definite anche se x è un estremo del dominio di f. Se x è interno al dominio di f : la derivata di f in x esiste se e solo se esistono le derivate sinistra e destra in x e tali derivate coincidono; in tal caso: f ( x) = f ( x) = f +( x); f è derivabile in x se e solo se è derivabile a sinistra e a destra in x e le derivate unilaterali coincidono. Esempi Per f (x) = (x 1) 3, si ha f +(1) = 0. E f (1)?

6 Derivabilità e continuità Proposizione Se f è derivabile (a sinistra, a destra) in x, allora è continua (a sinistra, a destra) in x. Verifica... Corollario Se f non è continua in x, allora non è derivabile in x. Esempi Le funzioni parte intera e mantissa non sono derivabili in x Z. Osservazione La continuità in un punto è condizione necessaria ma non sufficiente per la derivabilità. Esempi?

7 Retta tangente e significato geometrico della derivata Sia f : A R, sia x A e supponiamo che f sia derivabile in x. Chiamiamo retta tangente in x al grafico di f la retta di equazione y = f ( x) + f ( x)(x x). Motivazione? Esempio Scrivere l equazione della retta tangente in x = 1 al grafico di f (x) = x 2. Questa definizione fornisce il significato geometrico della derivata: se f è derivabile in x, f ( x) è il coefficiente angolare della retta tangente nel punto di coordinate ( x, f ( x)) al grafico di f. Se f è derivabile a sinistra / a destra in x, la derivata sinistra / destra in x è il coefficiente angolare della retta tangente nel punto di coordinate ( x, f ( x)) alla porzione del grafico di f posta a sinistra / destra della retta di equazione x = x. Interpretazione geometrica di una derivata infinita...

8 Classificazione dei punti di non derivabilità Siano A un intervallo, f : A R, x A. Supponiamo f continua e non derivabile in x. Se la derivata di f in x è infinita, diciamo che x è un punto a tangente verticale, se è un estremo di A, punto di flesso a tangente verticale, se è interno ad A. Esempi: f (x) = n x, x = 0 Flesso? Se x è interno ad A e le derivate sinistra e destra di f in x sono diverse tra loro e entrambe infinite, diciamo che x è un punto cuspidale; Esempio: f (x) = x, x = 0 diverse tra loro e almeno una di esse è finita, diciamo che x è un punto angoloso. { x se x 0 Esempi: f (x) = x, x = 0; f (x) =, x = 0 x se x > 0

9 Retta tangente, convessità e concavità Sia A un intervallo e sia f : A R, continua in A e derivabile in tutti i punti di Å. Diciamo che f è (strettamente) convessa se per ogni x Å si ha f (x) > f ( x) + f ( x)(x x) x A \ { x} il grafico di f è al di sopra della retta tangente in x (strettamente) concava se per ogni x Å si ha f (x) < f ( x) + f ( x)(x x) x A \ { x} il grafico di f è al di sotto della retta tangente in x

10 Sia x Å. Diciamo che x è un punto di flesso se f cambia concavità in x, cioè se esistono un intorno sinistro di x in cui f è convessa e un intorno destro di x in cui f è concava, o viceversa. Osservazione In un punto di flesso la tangente al grafico di f attraversa il grafico. Vero anche in un punto di flesso a tangente verticale...

11 Funzione derivata Sia f : A R. La funzione che a ogni x A in cui f è derivabile fa corrispondere il numero f (x) si chiama funzione derivata (prima) di f e si denota con f (oppure Df ). Se f è definita in A A, diciamo che f è derivabile in A. Esempi (Catalogo-I) Ogni funzione costante f (x) c (c R) è derivabile in R con f (x) 0. La funzione identica f (x) = x è derivabile in R con f (x) 1. La funzione valore assoluto f (x) = x è derivabile in R con f (x) = sign(x); ha in x = 0 un punto angoloso. La funzione esponenziale f (x) = e x è derivabile in R con derivata f (x) = e x. La funzione seno è derivabile in R con D sin(x) = cos(x).

12 Come ottenere funzioni derivabili da funzioni derivabili Derivabilità e operazioni algebriche Se f e g sono derivabili in x e λ R, anche le funzioni f +g, f g, f g, λ f sono derivabili in x e si ha (f +g) (x) = f (x) + g (x) regola della somma (f g) (x) = f (x) g (x) regola della differenza (f g) (x) = f (x) g(x) + f (x) g (x) regola del prodotto (di Leibniz) (λ f ) (x) = λ f (x) regola del multiplo 1 Se g(x) 0, anche le funzioni g e f sono derivabili in x e si ha g ( 1 ) (x) g (x) = g g(x) 2 regola del reciproco ( f ) (x) f (x) g(x) f (x) g (x) = g g(x) 2 regola del rapporto Verifica delle regole di somma, prodotto e reciproco...

13 Esempi (Catalogo-II) La funzione potenza con esponente naturale p n (x) = x n (n 2) è derivabile in R con p n(x) = n x n 1. Ogni funzione polinomiale è derivabile in R. Ogni funzione razionale è derivabile nel proprio dominio. Esempio: f (x) = 3x 2 2x + 1 x 3 x La funzione reciproco f (x) = 1 x con f (x) = 1 x 2. è derivabile in R

14 Derivabilità e composizione funzionale Siano f e g due funzioni tali che la funzione composta f g sia definita in un intorno di x. Se g è derivabile in x e f è derivabile in g(x), allora la funzione composta è derivabile in x e si ha Motivazione... (f g) (x) = f (g(x)) g (x) ( chain rule ) Generalizzazione a più funzioni... Esempi (Catalogo-III) La funzione coseno è derivabile in R con D cos(x) = sin(x). La funzione tangente è derivabile in R con 1 D tan(x) = cos(x) 2 = 1 + tan(x)2. La funzione esponenziale in base qualsiasi f (x) = a x è derivabile in R con f (x) = ln(a) a x.

15 Derivabilità e inversione funzionale Sia f la funzione inversa di una funzione g continua in un intervallo. Sia x dom(f ) tale che g sia derivabile in f (x) con g (f (x)) 0. Allora: f è derivabile in x e si ha f 1 (x) = g (f (x)). Interpretazione geometrica... Esempi (Catalogo-IV) La funzione radice r n (x) = n x è derivabile in dom(r n ) \ {0} con r n(x) 1 = n n x ; n 1 ha in x = 0 un punto/punto di flesso a tangente verticale se n è pari/dispari. La funzione logaritmo è derivabile in (0, + ) con D log a (x) = 1 ln(a) x. In particolare, D ln(x) = 1 x. (segue)

16 La funzione potenza con esponente qualsiasi f (x) = x α (α R) è derivabile in (0, + ) con f (x) = α x α 1. Casi particolari già incontrati... Le funzioni arcoseno e arcocoseno sono derivabili in ( 1, 1) 1 con D arcsin(x) = e D arccos(x) = 1 ; 1 x 2 1 x 2 per entrambe, x = 1 e x = 1 sono punti a tangente verticale. La funzione arcotangente è derivabile in R con D arctan(x) = x 2.

17 Esercizio Calcolare le derivate delle seguenti funzioni applicando le regole di derivazione. Individuare e classificare i punti di non derivabilità. f (x) = 3 x 4 5 x + e1/x f (x) = 3x 2 4x f (x) = cos(x 4 3e x ) sin(x) f (x) = x (x + 1) 3 f (x) = (x 2 + 2e 3x tan(x)) 4 f (x) = (x 1) 3 x 2 3x + 2 f (x) = 4 arctan(ln(x))

18 Alcune applicazioni della nozione di derivata Teorema di Fermat Sia A un intervallo e sia f : A R. Sia x Å un punto di estremo locale per f in A. Se f è derivabile in x, allora si ha f ( x) = 0. Dimostrazione... Interpretazione geometrica? Nota I punti in cui la derivata di f è uguale a 0 si chiamano punti stazionari. Corollario Condizione necessaria affinché un punto interno al dominio di f sia di estremo locale è che il punto sia stazionario oppure di non derivabilità per f. È anche sufficiente?

19 Esempi Individuare i possibili punti di estremo locale delle funzioni f (x) = x 3 x x 2 f (x) = 2 5x x + 1

20 Teorema del valor medio (di Lagrange) Sia A un intervallo. Sia f : A R, continua in A e derivabile in Å. Allora: per ogni x 1, x 2 A, con x 1 x 2, esiste x strettamente compreso tra x 1 e x 2 tale che Dimostrazione... f (x 2 ) f (x 1 ) x 2 x 1 = f ( x). coefficiente angolare della retta secante variazione media (velocità media) coefficiente angolare della retta tangente variazione istantanea (velocità istantanea)

21 Criterio di monotonia Sia A un intervallo. Sia f : A R, continua in A e derivabile in Å. (a) f (x) 0 per ogni x Å = f è crescente in A. stesse ipotesi del teorema del valor medio (b) f (x) > 0 per ogni x Å = f è strettamente crescente in A. (c) f (x) 0 per ogni x Å = f è decrescente in A. (d) f (x) < 0 per ogni x Å = f è strettam. decrescente in A. Verifica... Osservazione In (a) e (c) vale l implicazione contraria. Verifica... E in (b) e (d)? Esercizio Verificare le proprietà di monotonia delle funzioni del catalogo attraverso lo studio del segno delle rispettive derivate.

22 Test della derivata prima Sia f : A R una funzione continua e sia x Å candidato punto di estremo locale. Supponiamo f derivabile vicino a x. Se, vicino a x, f (x) ha lo stesso segno a sinistra e a destra di x, allora x non è un punto di estremo locale. (È un punto di flesso a tangente orizzontale, se stazionario.) Se, vicino a x, f (x) ha segni discordi a sinistra e a destra di x, allora x è un punto di estremo locale. Precisamente: segno di f (x) segno di f (x) vicino a x, a sinistra vicino a x, a destra classificazione di x positivo negativo punto di massimo locale negativo positivo punto di minimo locale Dimostrazione: immediata!

23 Esercizio Determinare i punti di estremo locale di ciascuna delle seguenti funzioni: f (x) = x x f (x) = 3 x 2 5x + 6 x + 1 Attraverso l analisi del comportamento di f agli estremi del dominio, stabilire se f ha estremi globali; in caso affermativo, determinarli. Esercizio Verificare che la disuguaglianza per ogni x [ 1, + ). (1 + x) (1 + x 5 ) è soddisfatta

24 Caratterizzazione delle funzioni a derivata nulla Sia A un intervallo. Sia f : A R, continua in A e derivabile in Å. Allora: f 0 in Å se e solo se f è costante in A. Dimostrazione: immediata! Esercizio Verificare che la funzione f (x) = 2 π e la funzione segno coincidono in R. ( ) arctan(x) + arctan (1/x)

25 Proposizione Si dimostra usando il teorema del valor medio Sia f continua in [ x, x + δ) e derivabile in ( x, x + δ). Se f è regolare per x che tende a x da destra, si ha: lim f (x) = f +( x). x x + Analogamente per la derivata sinistra, supponendo che f sia continua in ( x δ, x] e derivabile in ( x δ, x).

26 Osservazioni Il risultato precedente non è banale, in quanto non si presuppone alcuna ipotesi sulla continuità delle derivate; fornisce uno strumento per verificare la derivabilità di funzioni definite a tratti; fornisce un procedimento alternativo per la classificazione dei punti di non derivabilità di una funzione: invece di calcolare il limite destro / sinistro del rapporto incrementale di f in un punto x, possiamo determinare la derivata di f vicino a x e poi calcolarne il limite destro / sinistro per x che tende a x.

27 Esempi Studiare la continuità e la derivabilità delle funzioni f (x) = { x se x < 0 e x se x 0 { x 2 3x + 2 se x 2 f (x) = ln(x 1) se 2 < x f (x) = arcsin(x) se 1 x < 1 0 ( ) se x = 1 1 arctan se x > 1 x 1 f? Verificare che x = 1 è punto a tangente verticale per la funzione arcoseno.

28 Derivata seconda e derivate successive Sia f una funzione derivabile in un insieme A; ciò significa che la derivata f è una funzione definita in A. Se f è derivabile in x A, si dice che f è derivabile due volte in x. La derivata di f in x si denota con f (x) e si chiama derivata seconda di f in x. La funzione che a ogni x in cui f è derivabile due volte associa la derivata seconda di f in x si chiama funzione derivata seconda di f e si denota con f. Iterando il ragionamento, possiamo introdurre la nozione di funzione derivabile in un punto tre volte, quattro volte, e così via, e definire la derivata terza, quarta, e così via. La derivata n-esima si denota anche con f (n). (Per uniformità di notazioni, porremo f (0) = f.)

29 Esempi La funzione f (x) = x 2 è derivabile due volte in R con f (x) 2. La funzione f (x) = x x è derivabile in R con f (x) = 2 x ; è derivabile due volte in R ; non è derivabile due volte in x = 0 (di più: non ha derivata seconda in x = 0). Esercizio Calcolare la derivata seconda delle funzioni del catalogo.

30 Criterio di convessità Sia A un intervallo. Sia f : A R derivabile due volte in A. (Basta un po meno... ) (a) f (x) > 0 x Å = f (strettamente) convessa in A (b) f (x) < 0 x Å = f (strettamente) concava in A Verifica... Cosa si può dire se f (x) = 0 x A? Esercizio Verificare le proprietà di convessità delle funzioni del catalogo attraverso lo studio del segno delle rispettive derivate seconde.

31 Osservazioni In un punto di flesso la derivata seconda, se esiste, è uguale a 0. Non vale il viceversa. Esempio? Non è detto che in un punto di flesso la derivata seconda esista. Esempio? I punti di flesso sono punti di estremo locale per la derivata prima. Interpretazione pratica?

32 Esercizio Verificare che la disuguaglianza e x 1 + x x R. è soddisfatta per ogni Esercizio (da ricordare) Studiare le proprietà asintotiche, di monotonia e di convessità delle seguenti funzioni, e tracciarne un grafico approssimativo: φ(x) = 1 2π e x2 /2 funzione gaussiana sinh(x) = ex e x 2 cosh(x) = ex + e x 2 seno iperbolico coseno iperbolico