Analisi Matematica. Calcolo integrale

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1 a.a. 2014/2015 Laurea triennale in Informatica Analisi Matematica Calcolo integrale Avvertenza Questi sono appunti informali delle lezioni, che vengono resi disponibili per comodità degli studenti. Parte del materiale presentato è tratto dai libri di testo consigliati, la cui consultazione è vivamente incoraggiata.

2 Primitive e integrali indefiniti Sia A un intervallo e siano f, g : A R. Diciamo che g è una primitiva (o anti-derivata) di f in A se g è derivabile in A g (x) = f (x) per ogni x A. Esempi... Osservazioni g primitiva di f in A, c R = g + c primitiva di f in A g, h primitive di f in A = esiste c R tale che h = g + c Non è detto che una funzione abbia primitive. Esempio... (Proveremo che ogni funzione continua su un intervallo ha primitive.) L insieme di tutte le primitive di f si chiama integrale indefinito di f e si denota con il simbolo f (x) dx. 1

3 Integrali indefiniti immediati 1 dx = { x + c c R } = x + c x p dx = x p+1 + c (p 1) p + 1 e x dx = e x + c sinh(x) dx = cosh(x) + c sin(x) dx = cos(x) + c 1 1 x 2 dx = arcsin(x) + c 1 (1 cos(x) 2 dx = + tan(x) 2 ) dx = tan(x) + c 1 dx = ln x + c x a x dx = ax ln(a) + c cosh(x) dx = sinh(x) + c cos(x) dx = sin(x) + c 1 dx = arctan(x) + c 1 + x 2 2

4 Regole di integrazione 1 Integrazione per scomposizione (f1 (x) + f 2 (x) ) dx = c f (x) dx = c f 1 (x) dx + f (x) dx f 2 (x) dx Esempi Calcolare l integrale indefinito delle seguenti funzioni: x 3 4x 2 3e x 2x x x 3 cos(x) 3

5 2 Integrazione per sostituzione f (ϕ(x)) ϕ (x) dx = f (t) dt t=ϕ(x) Esempi e sin(x) cos(x) (arcsin(x)) 2 1 x 2 1 x 3 ln(x) + 2 e x e 2x + 1 e 3x + cos(2x) e ax cos(ax) sin(ax) 1 x 2 + a 2 ϕ (x) ϕ(x) 4

6 3 Integrazione per parti f (x)g (x) dx = f (x)g(x) f (x)g(x) dx. Esempi x e x x sin(2x) (x 2 + x) cos(3x) e 2x sin(x) arctan(x) arcsin(x) ln(x) (x 2 + 3x) ln(x) 5

7 4 Integrazione di alcune funzioni razionali Vogliamo determinare una primitiva della funzione f (x) = P(x) Q(x) con P(x) e Q(x) funzioni polinomiali. Supponiamo deg(p) < deg(q); in caso contrario possiamo scrivere P(x) R(x) = A(x) + Q(x) Q(x) con A(x), R(x) funzioni polinomiali e deg(r) < deg(q). Esempi x x 2 x 2 + 3x + 2 x 2 + 5x + 10 x 5 x + 1 x

8 Procedimento: scomponiamo Q nel prodotto di fattori lineari a x + b e di fattori quadratici irriducibili a x 2 + bx + c (con b 2 4ac < 0); decomponiamo f nella somma di funzioni razionali semplici, cioè del tipo A (a x + b) n (a 0, n N ) A x + B (a x 2 + b x + c) n (a 0, b 2 4ac < 0) (solo n = 1) determiniamo una primitiva per ogni singolo addendo; sommiamo le primitive trovate al passo precedente e otteniamo una primitiva di f. 7

9 Esempi 1 3x 1 1 2x (4x 1) 3 x x x 2 x x + 2 x 2 + 2x x 2 + 2x + 5 x 3 x 2 4x + 7 2x + 7 x 2 x 2 2x + 3 x 2 2x + 5 x 3 x 2 (2x 1) 3 3x 2 2x + 5 (x 2)(x 2 + 9) 3x 2 2x + 5 (x 2)(x 2 + 3x + 9) 3x 2 2x + 5 (x 2) 4 (x 2 + 3x + 9) 8

10 Partizioni di un intervallo Una partizione dell intervallo [a, b] è un insieme del tipo P = { x 0, x 1,..., x n } con a = x0 < x 1 < < x n 1 < x n = b. Se P e P sono partizioni dell intervallo [a, b] tali che P P, diciamo che P è più fitta di P. Esempi P = {a, b} è una partizione dell intervallo [a, b] (partizione banale) { P n = x k := a + k b a } k = 0,..., n è una partizione di [a, b] n (partizione uniforme) P = {0, 32 }, 3 e P = {0, 14, 32, 52 }, 3 sono partizioni di [0, 3]; P è più fitta di P. 9

11 Somme di Riemann Sia f : [a, b] R una funzione limitata. Sia P = {x 0, x 1,..., x n } una partizione di [a, b]. Per ogni k = 1,..., n poniamo Definiamo s(f, P) := S(f, P) := m k := inf f M k := sup f. [x k 1,x k ] [x k 1,x k ] n m k (x k x k 1 ) k=1 n M k (x k x k 1 ) k=1 Significato geometrico per funzioni non negative... somma inferiore di Riemann somma superiore di Riemann Vediamo qualche esempio... 10

12 Proposizione Sia f : [a, b] R una funzione limitata. Per ogni P partizione di [a, b] si ha s(f, P) S(f, P). Se P e P sono partizioni di [a, b] e P è più fitta di P, allora s(f, P ) s(f, P ), S(f, P ) S(f, P ). Se P e P sono partizioni di [a, b] si ha s(f, P ) S(f, P ). 11

13 Integrale di Riemann Sia f : [a, b] R una funzione limitata. Consideriamo l insieme delle somme inferiori di Riemann { } s(f ) := s(f, P) P partizione di [a, b] e l insieme delle somme superiori di Riemann { } S(f ) := S(f, P) P partizione di [a, b]. Osservazione Per la proposizione precedente, questi due insiemi sono separati, cioè: ogni elemento di s(f ) è minore o uguale di ogni elemento di S(f ). Di conseguenza: sup s(f ) inf S(f ). Se vale l uguaglianza sup s(f ) = inf S(f ) diciamo che f è integrabile secondo Riemann in [a, b]. 12

14 Sia f integrabile secondo Riemann. Il numero sup s(f ) o, equivalentemente, inf S(f ), si chiama integrale di Riemann di f e viene denotato con il simbolo [a, b] : dominio di integrazione f : funzione integranda [a,b] f (x) dx. Osservazione L integrale di Riemann di una funzione integrabile f è l elemento di separazione tra le somme inferiori e le somme superiori di f. È caratterizzato dalla proprietà s(f, P ) f (x) dx S(f, P ) [a,b] per ogni P e P partizioni di [a, b]. 13

15 Esempi La funzione costante f (x) c è integrabile in [a, b] e f (x) dx = c (b a). [a,b] La funzione di Dirichlet f (x) = non è integrabile in [a, b]. { 1 se x [a, b] Q 0 se x [a, b] \ Q Teorema Se f è continua in [a, b], allora è integrabile in [a, b]. Motivazione... 14

16 Osservazioni Se f 1 è integrabile in [a, c] e f 2 è integrabile in [c, b], allora la funzione definita ponendo f 1 (x) se x [a, c) f (x) = un qualsiasi valore se x = c f 2 (x) se x (c, b] è integrabile in [a,b] e f (x)dx = [a,b] [a,c] f 1 (x)dx + [c,b] f 2 (x)dx. Se f è continua a tratti in [a, b], allora è integrabile in [a,b]. Esempio: 1 x se x < 0 f (x) = e x se 0 x 2 x + 4 se x > 2 15

17 Integrali e aree Sia f una funzione integrabile in [a, b] non negativa. La regione piana compresa tra il grafico di f e l asse delle ascisse si chiama rettangoloide o trapezoide sotteso al grafico di f. Poniamo area del rettangoloide sotteso al grafico di f := [a,b] f (x) dx Interpretazione geometrica dell integrale Motivazione... Se f è una funzione integrabile in [a, b] di segno qualsiasi, poniamo area della regione piana compresa tra il grafico di f e l asse delle ascisse := f (x) dx Motivazione... [a,b] 16

18 Se f, g sono funzioni integrabili in [a, b], poniamo area della regione piana compresa tra il grafico di f e il grafico di g := f (x) g(x) dx Motivazione... [a,b] 17

19 Media integrale Sia f : [a, b] R una funzione integrabile. Il numero Media(f ) := 1 f (x) dx b a si chiama media integrale di f in [a, b]. [a,b] Teorema (della media integrale) Sia f : [a, b] R una funzione integrabile. inf f Media(f ) sup f. Se f è continua in [a, b], allora esiste x [a, b] tale che f ( x) = Media(f ). Interpretazione geometrica? Dimostrazione... 18

20 Proprietà dell integrale di Riemann 1 Monotonia Siano f, g funzioni integrabili in [a, b]. f 0 in [a, b] = f (x) dx 0 [a,b] f g in [a, b] = f (x) dx g(x)dx [a,b] [a,b] f (x) dx [a,b] f (x) dx (disuguaglianza triangolare) [a,b] f integrabile = f integrabile 19

21 2 Linearità Siano f, g funzioni integrabili in [a, b]. Per ogni α, β R, la funzione αf + βg è integrabile in [a, b] e ( ) αf (x) + βg(x) dx = α f (x)dx + β g(x)dx. [a,b] [a,b] [a,b] 3 Additività Sia f integrabile in [a, b]. Se c [a, b], allora f è integrabile in [a, c] e in [c, b] e f (x) dx = f (x) dx + f (x) dx. [a,b] [a,c] Confrontare con la osservazione di pagina [c,b] 20

22 Integrale definito Sia f : A R con A R intervallo qualsiasi. Diciamo che f è localmente integrabile in A se è integrabile in ogni intervallo chiuso e limitato contenuto in A. Sia f localmente integrabile nell intervallo A e siano a, b A. L integrale definito di primo estremo a e secondo estremo b è il numero f (x) dx se a < b [a,b] b a f (x) dx := 0 se a = b f (x) dx [b,a] se a > b 21

23 Osservazione Le proprietà di linearità e di additività si estendono agli integrali definiti. Precisamente: se f, g : A R sono funzioni localmente integrabili in A e α, β R, allora per ogni a, b, c A si ha b ( ) b b αf (x) + βg(x) dx = α f (x)dx + β g(x)dx a a a b c b f (x) dx = f (x) dx + f (x) dx a a c Tutto bello, ma... come si calcolano gli integrali? 22

24 Il teorema fondamentale del calcolo Sia f una funzione localmente integrabile nell intervallo A e sia a A. Definiamo F : A R ponendo F (x) := x a f (t) dt per ogni x A. La funzione F si chiama funzione integrale di f di punto iniziale a. Esempi Se f è la funzione di costante valore c, allora F (x) = c (x a) per ogni x R. Se f è la funzione identica, allora F (x) = x 2 a 2 2 per ogni x R. 23

25 Teorema (fondamentale del calcolo) Sia f una funzione continua nell intervallo A. 1 Sia a A e sia F la funzione integrale di f di punto iniziale a. Allora: F è una primitiva di f, ossia F è derivabile in A e F (x) = f (x) per ogni x A. 2 Sia g una qualsiasi primitiva di f in A. Per ogni a, b A: b a f (x) dx = g(b) g(a). Formula fondamentale del calcolo integrale Dimostrazione Corollario (un conto in sospeso... ) Ogni funzione continua in un intervallo ammette primitive. 24

26 Esempi [ Calcolare l integrale della funzione cos(x) in π 2, π ]. 2 Calcolare l area del rettangoloide sotteso al grafico della funzione f (x) = x 2 in [1, 3]. Confrontare con pagina Calcolare l area del rettangoloide sotteso al grafico della funzione f (x) = ln(x) nell intervallo [1, e]. x Calcolare l area della regione piana compresa tra il grafico di f (x) = x cos(x), l asse delle ascisse, le rette x = 0, x = 3π/2. Calcolare l area della regione piana compresa tra i grafici di f (x) = x, g(x) = x 2 e le rette x = 0, x = 4. Calcolare la media integrale di f (x) = x 2 in [ 2, 3]. Calcolare la media integrale della funzione f (x) = nell intervallo [ π ] 2, π. sin(x) cos(x)

27 Osservazione Per avvalersi della formula fondamentale del calcolo integrale, è necessario determinare una primitiva della funzione integranda. Tuttavia: per alcune funzioni la determinazione esplicita di una primitiva può essere notevolmente complicata; software esistono funzioni continue per le quali non esiste una primitiva esprimibile attraverso funzioni elementari. Esempio: x e x2, x sin(x) sviluppi in serie, x approssimazioni 26

28 Integrali impropri (solo qualche cenno) Ci proponiamo di generalizzare la nozione di integrale rimuovendo l ipotesi di limitatezza sulla funzione e/o sull intervallo. Per semplicità, supporremo che f sia una funzione di segno costante. Siano a, b R. Poniamo b a + a b f (x) dx := f (x) dx := f (x) dx := lim t b lim t a + lim t + lim t t a b t t a b t f (x) dx se f è continua in [a, b) illimitata in un intorno di b f (x) dx se f è continua in (a, b] illimitata in un intorno di a f (x) dx se f è continua in [a, + ) f (x) dx se f è continua in (, b] Interpretazione geometrica... 27

29 Osservazioni La continuità di f ne garantisce l integrabilità secondo Riemann in ogni intervallo chiuso e limitato. Il segno di f garantisce che le funzioni integrali siano monotone e quindi ammettano limite. L integrale introdotto come limite di integrali definiti si chiama integrale improprio (o generalizzato). Se il limite è finito, diciamo che l integrale improprio converge e che la funzione f è integrabile in senso improprio. Se il limite è infinito, diciamo che l integrale improprio diverge. 28

30 Se f è integrabile in senso improprio in (, a] e in [a, + ), per qualche a R, diciamo che f è integrabile in senso improprio in R e poniamo + f (x) dx := a f (x) dx + + a f (x) dx. Nota: la scelta di a è irrilevante. Esempi La funzione f (x) = x 3 x2 è integrabile in senso improprio in [1, + ). La funzione f (x) = 1 è integrabile in senso improprio in R. 1 + x 2 La funzione f (x) = 1 x p in (0, 1] se e solo se p < 1; in [1, + ) se e solo se p > 1. è integrabile in senso improprio 29

31 Osservazione Siano f, g : [a, + ) R funzioni continue e nonnegative. Supponiamo che g sia integrabile in senso improprio. Se f (x) g(x) per ogni x [a, + ), allora f è integrabile in senso improprio. Se f (x) g(x) per x +, allora f è integrabile in senso improprio. Analoghi criteri di integrabilità valgono negli altri casi in cui abbiamo definito gli integrali impropri. Esempi Stabilire se le seguenti funzioni sono integrabili in senso improprio in intervalli illimitati superiormente: f (x) = x + 1 x f (x) = x + 1 x 3 2 f (x) = x x 3 + 3x 2 f (x) = x + 1 x

32 V E R I F I C H E E D I M O S T R A Z I O N I 31

33 Dimostrazione: teorema fondamentale del calcolo 1 F funzione integrale di f di punto iniziale a: F (x) = x Tesi: F primitiva di f in A, cioè: per ogni x A: a f (t) dt per ogni x A F è derivabile in x con F ( x) = f ( x) Fisso x A; considero la funzione rapporto incrementale di F in x. Per x A \ { x}: x x f (t) dt f (t) dt F (x) F ( x) a a = x x x x x x x x f (t) dt + f (t) dt f (t) dt f (t) dt a x a x = = x x x x 32

34 Se x > x : x x f (t) dt x x Se x < x : x x f (t) dt x x = 1 x x = 1 x x = 1 x x [ x,x] ( [x, x] f (t) dt = media di f in [ x, x] [x, x] f (t) dt ) f (t) dt = media di f in [x, x] In entrambi i casi: F (x) F ( x) x x = media di f nell intervallo di estremi x e x 33

35 Teorema della media = esiste c x nell intervallo di estremi x e x tale che x x = c x x f continua ) = f (c x ) f ( x) F (x) F ( x) = f (c x ) x x F (x) F ( x) = lim = f ( x) x x x x F è derivabile in x con F ( x) = f ( x) 34

36 Dimostrazione: teorema fondamentale del calcolo 2 Fisso g primitiva di f in A e a, b A. Tesi: b a f (x) dx = g(b) g(a) Considero F, la funzione integrale di f di punto iniziale a. In base a 1 : F è primitiva di f in A g, F primitive di f in A = esiste c R tale che g(x) = F (x) + c per ogni x A In particolare: g(b) = F (b) + c = b g(a) = F (a) + c = 0 + c = c a f (t) dt + c = g(b) g(a) = b a f (t) dt 35

37 E S E M P I D I S O M M E D I R I E M A N N 36

38 Calcolo di somme di Riemann f (x) = 2x 2 4x + 4, x [0, 3]; P = {0, 32 }, 3 sottointervallo [0, 3/2] [3/2, 3] ampiezza 3/2 3/2 inf di f 2 5/2 sup di f 4 10 s(f, P ) = = 6.75 S(f, P ) = = 21 37

39 f (x) = 2x 2 4x + 4, x [0, 3]; P = {0, 14, 32, 52 }, 3 sottointervallo [0, 1/4] [1/4, 3/2] [3/2, 5/2] [5/2, 3] ampiezza 1/4 5/4 1 1/2 inf di f 25/8 2 5/2 13/2 sup di f 4 25/8 13/2 10 s(f, P ) = = S(f, P ) = =

40 Un altro esempio di calcolo di somme di Riemann f (x) = x 2, x [1, 3] P n : partizione che divide [1, 3] in n parti uguali Valori delle somme di Riemann, arrotondati alla terza cifra decimale: n s(f, P n ) S(f, P n ) n s(f, P n ) S(f, P n )