Soluzioni del Foglio 9

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1 ANALISI Soluzioni del Foglio 9 4 dicembre Esercizio. Si scriva il polinomio di Taylor T 5 (x, ), di punto iniziale x = e ordine n = 5 della funzione f(x) = ex e x La funzione f(x) assegnata é, generalmente, indicata con il simbolo sinh(x) che corrisponde al nome seno iperbolico, ad essa si associa la coseno iperbolico cosh(x) = ex + e x I nomi seno e coseno, e l aggettivo iperbolico con cui sono indicate corrispondono all identitá cosh (x) sinh (x) = che le lega, identitá alternativa alla cos (x) + sin (x) = che lega seno e coseno. Noti i polinomi di Taylor di punto iniziale x = e ordine n per la funzione e x P n (x) = + x + x! xn n! = n se ne deduce, per linearitá, quello richiesto, relativo a sinh(x): T 5 (x, ) = {P 5(x) P 5 ( x)} = x + x! + x5 5! Osservazione 9.. Si osservi che la linearitá con cui si determinano i coefficienti dei polinomi di Taylor (derivate nel punto iniziale) conduce, qualunque sia il punto iniziale x e l ordine n a riconoscere che il polinomio P αf+βg relativo alla combinazione lineare αf +βg é esattamente la combinazione lineare αp f + βp g dei polinomi P f e P g relativi alle due funzioni f e g. k= x k k!

2 9.. Esercizio. Assegnate le funzioni f, g : [, ] R, costanti a tratti se x < f(x) = se x < se x 4 se x < g(x) = se x determinare la funzione somma s(x) = f(x) + g(x), e la funzione prodotto p(x) = f(x). g(x), x [, ] e fornire loro espressioni come funzioni costanti a tratti. Figura. Funzioni costanti a tratti Per gestire somme e/o prodotti di due o piú funzioni costanti a tratti é necessario rappresentarle riferite alla stessa partizione dell intervallo. Pertanto consideriamo la partizione di [, ] determinata dai punti,,,,

3 e rappresentiamo f(x) e g(x) riferendoci a tale partizione di [, ] in 4 intervallini: se x < 4 se x < f(x) = se x < se x < se x g(x) = 4 se x < se x se x Riferendoci a tali rappresentazioni il calcolo della somma f(x) + g(x) e del prodotto f(x). g(x) risulta del tutto naturale, vedi anche Figura se x < 4 se x < f(x)+g(x) = 6 se x < se x < se x f(x). g(x) = 8 se x < se x se x Osservazione 9.. Quanti sono i tratti che servono a rappresentare una funzione costante a tratti? Un numero arbitrario: come si é visto nel caso precedente abbiamo, ad esempio, rappresentato la funzione g(x), inizialmente assegnata facendo ricorso a due soli tratti, servendoci, per comoditá, di 4 tratti. Problemi che si possono porre assegnata una funzione costante a tratti, sono: c é un numero minimo di tratti sotto il quale non si puó scendere? siano f e g assegnate usando rispettivamente n ed m tratti, su quanti tratti dobbiamo attenderci di vedere definite la somma e il prodotto? 9.. Esercizio. Assegnata la funzione f(x) = x, nell intervallo [, 5] determinare le somme integrali S(f, P n ), S(f, P n ), n = 5, essendo P n la partizione di [, 5] in n parti uguali.

4 4 La funzione f(x) = x é monotona crescente nell intervallo [, 5]: quindi, in ogni intervallo [a, b] [, 5] riesce inf f(x) = f(a), sup x [a,b] Riesce pertanto, se n = 5 f(x) = f(b) x [a,b] S(f, P 5 ) = 5 5 { } = S(f, P 5 ) = 5 5 { } = 55 Nel caso n = si ha invece un numero doppio di addendi, che conviene rappresentare con notazioni piú compatte, S(f, P ) = 5 S(f, P ) = 5 9 k= k= ( ) k = 8 ( ) k = 8 9 k= k= essendosi serviti della formula m k = m(m + )(m + ) 6 k= k = 85 8 k = 85 8 Si noti come i 4 valori trovati rispettino la catena di disuguaglianze S(f, P 5 ) S(f, P ) S(f, P ) S(f, P 5 ) e come il valore esatto dell integrale 5 soddisfi la catena di disuguaglianze 85 8 x dx = Esercizio. Assegnata la funzione { se x f(x) = se < x determinare le sue primitive F (x) determinare la primitiva che soddisfa la condizione F () = 5.

5 5 Figura. f(x) costante a tratti e una sua primitiva F (x) La funzione f(x) assegnata, costante a tratti, non ha primitive F (x) in tutto R, cioé continue e derivabili e tali che x R riesca F (x) = f(x) Si possono tuttavia determinare funzioni F (x) primitive di f(x) in ciascuno degli intervalli (, ) e (, + ):é evidente che tali funzioni F (x) dovranno essere { x + a se x < F (x) = x + b se x > La libertá di scelta delle costanti a e b consente di soddisfare la prolungabilitá per continuitá di F in zero: a = b di soddisfare la richiesta F () = 5 : +b = 5 b = 8 di determinare cioé funzioni F (x) continue in R Esiste un teorema (abbastanza fine) che prova che la derivata di una funzione derivabile in un intervallo ha necessariamente come immagine un intervallo. Dal momento che l immagine della f(x) assegnata é formata da due soli numeri, e, e quindi non é un intervallo se ne deduce che non esiste alcuna funzione derivabile in R di cui f(x) sia la derivata.

6 6 derivabili in R {} la cui derivata F (x) coincida, in R {}, con f(x). Si puó quindi considerare F (x) = { x + 8 se x < x + 8 se x > come la funzione richiesta, vedi grafico in Figura. Osservazione 9.. La primitiva richiesta coincide naturalmente con l espressione 5 + x f(t) dt Si tratta infatti di espressione che vale 5 quando x = e che, in ogni punto x é derivabile e ha derivata f(x) Esercizio. Assegnata la funzione f(x) = x + calcolare l integrale f(x) dx Nell intervallo [, 4] riesce x + > quindi, vedi Figura, x+ = x+ x+ dx = (x+) dx = x + x 4 = Esercizio. Indicata con F (x) = x t dt calcolare i valori F ( ), F (), F (), calcolare la derivata F (x), disegnare il grafico di F (x). F ( ) = t dt = = ( t)dt Seguendo la Figura 4 il valore trovato corrisponde all opposto dell area del triangolo azzurro a sinistra.

7 7 Figura. f(x) = x +, f(x) dx Il valore F () é, ovviamente zero, mentre si ha F () = t dt = t dt = l area, questa volta con il segno giusto, del triangolo giallo a destra. La derivata di F (x) é garantita dal teorema fondamentale del calcolo che si applica agli integrali di funzioni continue: F (x) = Le due informazioni implicano F (x) = x t dt F (x) = x x R F () =, x + a se x < x + b se x > F (x) = x F () = {a = b = }

8 8 Figura 4. F (x) = x t dt da cui segue F (x) = x x se x < se x > 9.7. Esercizio. Calcolare l area della regione { E R : x, y x } L insieme E assegnato é il sottografico della funzione non negativa x relativo all intervallo [, ], vedi Figura 5, quindi riesce, per definizione, A(E) = x dx

9 9 Figura 5. E R : { x, y x } Tenuto presente che x se x [, ] x = x se x [, ] x se x [, ] ne segue che x dx = ( x x + (x ) dx + (x x ( x + x ( x )dx + (x ) dx = = = Esercizio. Disegnare la regione di piano limitata compresa tra i grafici delle funzioni f(x) = x e g(x) = x, calcolare l area di tale regione. Dire quale dei seguenti integrali rappresenta l area della regione limitata compresa tra i grafici di due funzioni continue u(x) e

10 v(x), per x [a, b]: b a b [u(x) v(x)] dx, [ u(x) v(x) ] dx, b a b a a [v(x) u(x)] dx, u(x) v(x) dx, Figura 6. f(x) = x e g(x) = x L area della regione, vedi Figura 6, é rappresentata dall integrale ( x ) (x) dx = ( x x) dx = (x x x = Dei quattro integrali proposti il quarto b a u(x) v(x) dx rappresenta l area della regione delimitata dai due grafici di u(x) e v(x) per x [a, b] essendo naturalmente a b.

11 9.9. Esercizio. Sia f(x) = x x: determinare tutti i punti c [, 4] tali che f(x) dx = 6 f(c) Esaminare se esistono punti c [, 4] tali che nel caso di g(x) = sign(x). g(x) dx = 6 g(c) Figura 7. f(x) = x x, f(x) dx = 6 f(c) L equazione nell incognita c da risolvere é f(x) dx = 6 f(c) = 6(c c) c = ± I due punti ± [, 4] rappresentano i punti ξ garantiti dal teorema della media relativo all integrale di funzioni continue: l area del rettangolo giallo in Figura 7 é uguale all integrale f(x) dx.

12 Riferendosi alla funzione g(x)sign(x) l equazione da risolvere nell incognita c é g(x) dx = 6 g(c) = 6 sign(c) equazione che non ha soluzioni tenuto conto che i valori di sign(x) sono solo,,. Il fatto non contraddice il teorema della media che si riferisce al caso di integrali di funzioni continue, mentre la g(x) = sign(x) assegnata non lo é. 9.. Esercizio. Sia f(x) = + x : determinare il volume del solido di rivoluzione ottenuto ruotando il grafico di f(x) relativo all intervallo [, ] intorno all asse x. Il volume del solido di rivoluzione determinato ruotando il grafico di una funzione non negativa f(x), x [a, b] intorno all asse x é dato da = π π b a f (x) dx π ( + x ) dx + π ( + x + x ) dx = ( x) dx + π (x)dx = 7 π