9 ottobre Esercizio. Verificare se le seguenti affermazioni sono valide per ogni scelta dei parametri in gioco:

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1 ANALISI Soluzioni del Foglio 1 9 ottobre Esercizio. Verificare se le seguenti affermazioni sono valide per ogni scelta dei parametri in gioco: x < a 2 a 2 < x < a 2 ; x y < x + y ; x y x y ; x 2 > 0, x4 > 0 In caso contrario, affermazione non valida, fornire un controesempio dal quale risulti che é falsa per almeno uno dei valori dei parametri in gioco. x < a 2 a 2 < x < a 2 Se x 0 riesce x = x, x < a 2 0 x < a 2. Se x 0 riesce x = x, x < a 2 0 x < a 2 a 2 < x 0 Pertanto x R : x < a 2 a 2 < x < a 2. Nota se a = 0 le soluzioni della disuguaglianza x < a 2 costituiscono... l insieme. x y < x + y vedi Corollario 3.3 Capitolo 1 delle Note, pag.15: la disuguaglianza cessa di essere stretta, diventa cioé un uguaglianza se una delle due x o y sono zero. x y x y La disuguaglianza proposta non é vera per x, y R: infatti ad esempio per x = 1, e y = 1 a primo membro si ottiene x y = 2 mentre a secondo membro si ottiene x y = 0 x 2 > 0 Tenuto presente che ovviamente 0 2 = 0 0 si riconosce che: la disuguaglianza proposta non é vera per x R i valori x R che soddisfano la disuguaglianza, cioé le soluzioni della disuguaglianza, sono x R {0}. x4 > 0 la disuguaglianza proposta non é vera per x R, non é vera per x = 0, Le soluzioni della disuguaglianza sono x R x 0. 1

2 Esercizio. Determinare se ciascuno dei seguenti insiemi é limitato e se ammette massimo e/o minimo, indicare inoltre gli estremi inferiore e superiore: ( {x R : x + 2 > 4}, {x R : x + 1 3}, N 10 ) 3, 5, {x R : x 1 < 2}, {x R : x + 2 4, x 2 5x > 4}, {x R : x + 2 > 4} {x R : 1 2 sin(x)} Scritto x + 2 come x ( 2) si riconosce che l insieme descritto é composto da tutti i punti x che distano da 2 piú di 4 quindi tutta la semiretta negativa a partire da 6 e tutta la semiretta positiva da 2 in poi. {x R : x + 2 > 4} = (x < 6) (x > 2) Si tratta quindi di un insieme non limitato, che non ha né minimo né massimo, che non ha né estremo inferiore né superiore. Sono spesso usate le dizioni l estremo inferiore dell insieme {x R : x + 2 > 4} é, l estremo superiore dell insieme {x R : x + 2 > 4} é +. che hanno esclusivamente il significato delle analoghe affermazioni l insieme {x R : x + 2 > 4} é illimitato inferiormente, l insieme {x R : x + 2 > 4} é illimitato superiormente. {x R : x + 1 3} Con la stessa lettura precedente si riconosce che l insieme é formato da tutti i punti che distano da 1 non piú di 3 {x R : x + 1 3} = [ 4 x 2] Si tratta quindi di un insieme limitato (un intervallo chiuso e limitato) ha minimo min = 4 e massimo max = 2

3 3 riesce inoltre inf{x R : x + 1 3} = 4 e sup{x R : x + 1 3} = 2 N ( 10 3, 5) Tenuto presente che N = {0, 1, 2,...} riesce ( N 10 ) 3, 5 = {0, 1, 2, 3, 4} Si tratta quindi di un insieme limitato, con minimo 0 e massimo 4, valori che rappresentano naturalmente anche l estremo inferiore e l estremo superiore. {x R : x 1 < 2} {x R : x 1 < 2} = { 1 < x < 3} Tenuto presente che x R : x 0 si riconosce che {x R : x 1 < 2} = {0 x < 3} Si tratta quindi dei punti che distano da 0 meno di 3, si tratta cioé dell intervallo aperto 3 < x < 3 Si tratta quindi di un insieme E limitato, che non ha né minimo né massimo, per il quale riesce inf(e) = 3, sup(e) = 3 La simmetria rispetto all origine dell intervallo 3 < x < 3 che rappresenta le soluzioni della disuguaglianza {x R : x 1 < 2} non deve sorprendere: ogni condizione imposta a x se é soddisfatta da un numero é soddisfatta, di conseguenza, anche dal suo opposto: quindi l insieme delle soluzioni non puó che risultare simmetrico rispetto all origine. {x R : x + 2 4, x 2 5x > 4} I punti x che appartengono all insieme devono soddisfare le due condizioni x AND x 2 5x > 4 ovvero devono soddisfare il sistema { x x 2 5x > 4

4 4 La prima condizione i punti che distano da 2 non piú di 4, corrisponde all intervallo [ 6 x 2] La seconda condizione, x 2 5x + 4 > 0, tenuto conto che corrisponde alle due semirette x 2 5x + 4 = (x 1)(x 4) (x < 1) (x > 4) L insieme richiesto é pertanto l intersezione dei due [ 6 x 2] {(x < 1) (x > 4)} = [ 6 x < 1) 6 é il minimo di tale insieme, non esiste il massimo ma 4 é l estremo superiore. {x R : 1 2 sin(x)} Figura 1. {x R : x + 2 4, x 2 5x > 4} Per capire a quale insieme ci si riferisca occorre conoscere la funzione sin(x): conoscere il suo grafico ondulatorio, conoscere la sua periodicitá. Supponiamo di conoscere il grafico di sin(x) e disegniamo, sullo stesso piano cartesiano la linea orizzontale y = 1 2 In ogni intervallo [0, 2π], [2π, 4π], [4π, 6π],... si trova, nella prima parte un intervallo in cui il grafico di sin(x) supera la quota 1/2. É facile ricordare che, nel primo intervallo [0, 2π] si incontrano due punti in cui la funzione seno raggiunge il valore 1 2 ( π ) sin = 1 ( ) 5π 6 2, sin = Il grafico permette di riconoscere che, nel primo intervallo [0, 2π] si ha π 6 x 5π sin(x) I punti x in cui é soddisfatta la condizione sin(x) 1 sono l unione 2 [ π 6 + 2kπ x 5π 6 + 2kπ] k=0,±1,±2,...

5 5 Figura 2. y = 0, y = 1 2, y = sin(x) insieme illimitato sia inferiormente che superiormente Esercizio. Assegnate le funzioni f(x) = 1 x + 1, h(x) = 4 x, β(x) = x x, γ(x) = cos(2x), H(x) = min(0, cos(x)) per ciascuna di esse trovare il dominio di definizione, disegnarne approssimativamente il grafico, determinarne l insieme immagine, dire se si tratta di funzione inferiormente e/o superiormente limitata, dire se ammette massimo e/o minimo. f(x) = 1 x + 1 dominio di definizione: R { 1} grafico: figura 3, insieme immagine: R {0},

6 6 Figura 3. f(x) = 1 x + 1 si tratta di funzione inferiormente e superiormente non limitata, non ammette né massimo né minimo. h(x) = 4 x dominio di definizione: x 4 grafico: figura 4, insieme immagine: tutti i numeri non negativi, si tratta di funzione inferiormente limitata e superiormente non limitata, non ammette massimo, ammette minimo min = 0. β(x) = x x dominio di definizione: R grafico: figura 5, insieme immagine: tutti i numeri non negativi, si tratta di funzione inferiormente limitata e superiormente non limitata, non ammette massimo, ammette minimo min = 0.

7 7 Figura 4. h(x) = 4 x γ(x) = cos(2x) dominio di definizione: R grafico: figura 6, insieme immagine: [ 1, 1], si tratta di funzione inferiormente e superiormente limitata, ammette massimo max = 1, ammette minimo min = 1. H(x) = min(0, cos(x)) dominio di definizione: R grafico: figura 7, insieme immagine: [ 1, 0], si tratta di funzione inferiormente e superiormente limitata, ammette massimo max = 0, ammette minimo min = Esercizio. Sia φ = φ(x) ciascuna delle funzioni dell esercizio precedente: disegnare il grafico delle funzioni definite da ψ(x) = φ(x), ψ(x) = φ(x), ψ(x) = max(0, φ(x)) =: ψ + (x)

8 8 Figura 5. β(x) = x x ψ(x) = φ(x) si ribalta il grafico rispetto all asse x, ψ(x) = φ(x) si ribaltano rispetto all asse x i tratti di grafico che capitavano nel semipiano inferiore e si lasciano invariati gli altri, ψ(x) = max(0, φ(x)) =: φ + (x) si mantengono i tratti del grafico che appartenevano al semipiano superiore e si disegnano tratti orizzontali a quota 0 in corrispondenza dei tratti in cui il grafico cadeva nel semipiano inferiore. Si osservi che φ + (x) = φ(x) + φ(x) Esercizio. Assegnate le tre coppie di funzioni { f(x) = 3x 2 { { f(x) = x + 1 f(x) = log10 g(x) = 1 (x) g(x) = sin(x) g(x) = 1 x 1 x determinare, per ciascuna di essa, f g e g f e specificarne l insieme di definizione.

9 9 Figura 6. γ(x) = cos(2x) f(x) = 3x 2, g(x) = 1 x 1 definita per x 1. ( ) 2 1 f g : x f [g(x)] = 3 = x 1 g f : x g [f(x)] = definita per 3x 2 1 x ± x (x 1) 2 Osservazione 1.1. Come eseguire la composizione f g di due funzioni f e g con il Copia-Incolla del computer: si scrive l espressione di f(x), ad esempio 3x 2 si scrive l espressione di g(x), ad esempio ( 1 x 1) ben racchiusa tra due parentesi, e la si copia, si torna sulla f(x) e si sostituisce ad ogni occorrenza della x l espressione memorizzata. Tutto fatto...!

10 10 Figura 7. γ(x) = cos(2x) f(x) = x + 1, g(x) = sin(x) f g : x f [g(x)] = sin(x) + 1 é definita in tutto R perché sin(x) + 1 é sempre non negativa. g f : x g [f(x)] = sin( x + 1) é definita per x cioé per x 1 f(x) = log 10 (x) g(x) = 1 x é definita in x > 0. é definita per f g : x f [g(x)] = log 10 ( 1 x ) = log 10(x) g f : x g [f(x)] = x > 0 AND x 1 1 log 10 (x) la seconda condizione corrisponde ad avere log 10 (x) 0

11 1.6. Esercizio. Assegnate le funzioni { 1 x 2 se x < 0 f(x) = 3 x se x 0 g(x) = 2 x3 F (x) = arctan(x 2 ), G(x) = x 3 + arctan(x 3 ) indicare quali di esse sono invertibili. 1 x 2 se x < 0, 3 x se x 0 La funzione assegnata ha il grafico di 1 x 2 in corrispondenza del semiasse x negativo, quello di 3 x nel semiasse x positivo: due tratti di grafico entrambi crescenti e che per x = 0 raggiungono lo stesso valore, vedi Figura 8 11 Figura 8. 1 x 2 se x < 0, 3 x se x 0 La funzione, in quanto crescente, é iniettiva: quindi invertibile. g(x) = 2 x3 La funzione x x 3 é crescente, quindi anche la funzione composta x 2 x3 é crescente, quindi iniettiva, quindi invertibile. F (x) = arctan(x 2 )

12 12 La funzione F é una funzione pari F (x) = F ( x): quindi... non puó essere iniettiva! G(x) = x 3 + arctan(x 3 ) La funzione x 3 é crescente, la funzione arctan(x) é crescente, quindi é crescente anche la funzione composta arctan(x 3 ), quindi é crescente anche la somma G(x): essendo crescente essa é iniettiva, quindi invertibile Esercizio. Determinare le funzioni inverse delle precedenti prime due funzioni g(x) e f(x). g(x) La funzione inversa, che ad y fa corrispondere la soluzione dell equazione é definita al modo seguente: g(x) = y g(x) = y 2 x3 = y x 3 = log 2 (y) x = 3 log 2 (y) Osservazione 1.2. Si noti che la scrittura 2 x3 si presta ad ambiguitá: 2 (x3), (2 x ) 3 le due possibili letture conducono a risultati diversi, basta pensare ad x = 2: la prima interpretazione conduce a 2 (23) = 2 8 = 256 mentre la seconda conduce a ( 2 2 ) 3 = 4 3 = 64 Occorre dire che l interpretazione piú comunemente accolta é la prima 2 x3 = 2 (x3). Le ambiguitá osservate corrispondono a dire che... l elevazione a potenza non é associativa!

13 f(x) La funzione inversa, che ad y fa corrispondere la soluzione dell equazione f(x) = y é definita al modo seguente: { 1 y se y 1 f 1 (y) = log 3 (y) se y > Esercizio. La funzione f(x) = 2x 3x 2 non é iniettiva su R: trovare un intervallo [a, b] R tale che la restrizione di f ad [a, b] sia iniettiva, e determinarne l inversa. Il grafico della f(x) é quello di una parabola rivolta verso il basso, f(0) = 0, f( 2) = 0: nella semiretta (, 1 ] si tratta di una funzione 3 3 crescente, nella semiretta [ 1, + ) si tratta di una funzione decrescente. 3 La restrizione della f a ciascuna delle due semirette rappresenta una funzione iniettiva. Pertanto sono invertibili tutte le funzioni ottenute per restrizione della f ad un intervallo che sia completamente contenuto in una delle due semirette indicate Esercizio. Posto I k = [ 1 k, 1 ], sia k I = k=1,2,.. Dimostrare, usando soltanto gli assiomi dei reali che, I = {0}. L insieme I, intersezione di una successione di intervalli chiusi, limitati, non vuoti e incapsulati é, per la proprietá degli intervalli incapsulati, non vuoto. Ovviamente tenuto conto che k N 0 I k riesce 0 I. Se I contenesse oltre 0 un altro x 0 dovrebbe riuscire I k x I k, 1 k x 1 k, k N La proprietá archimedea prova tuttavia che x 1 k k N x 0

14 14 e, analogamente, 1 k x k N x 0 Quindi tale altro x sarebbe ancora lo 0 che quindi si riconosce essere l unico elemento di I Esercizio. Dimostrare, usando l assioma di Archimede, la seguente affermazione a, b R x Q tale che x (a, b) Consideriamo il numero positivo b a: per la proprietá archimedea esiste k 0 N tale che 1 < b a k 0 ed esiste k 1 N tale che ak 0 < k 1. Consideriamo ora tutti i razionali m, m N k 0 Essi distano uno dall altro meno della lunghezza di (a, b): quindi l intervallo (a, b) non puó essere completamente contenuto tra due di tali razionali. In altri termini (a, b) intersecherá almeno uno di tali razionali Esercizio. Dimostrare, usando le proprietà delle disuguaglianze, che in un qualsiasi campo ordinato x 2 0 e dedurne quindi che l equazione x = 0 non ha soluzione. Collaudiamo l affermazione x 2 0 sui vari possibili x se x = 0 é ovvio che x 2 = 0 e quindi soddisfa la condizione x 2 0, se x > 0 é ovvio che x 2 > 0 e quindi soddisfa la condizione x 2 0 se x < 0 é ovvio che x 2 > 0 e quindi soddisfa la condizione x 2 0

15 L impossibilitá dell equazione x = 0 deriva dal fatto che 1 > x 2 > x x 2 > x