22 gennaio Esercizio. Disegnare i sottoinsiemi del piano determinati dalle seguenti disuguaglianze:

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1 ANALISI Soluzioni del Foglio gennaio Esercizio. Disegnare i sottoinsiemi del piano determinati dalle seguenti disuguaglianze: x + y < 2, x 1 < 0, y < 3, max( x, y ) 4 x + y < 2 Se un punto (x, y) soddisfa la disuguaglianza allora la soddisfano anche i punti ( x, y), (x, y), ( x, y) Quindi basta replicare, in modo simmetrico nel secondo, terzo e quarto quadrante i punti (x, y) del primo quadrante che soddisfano la disuguaglianza x + y < 2 il triangolo rettangolo di vertici (0, 0), (2, 0), (0, 2), ipotenusa esclusa. Figura 1. x + y < 2 1

2 2 L insieme definito dalla prima disuguaglianza é pertanto il quadrato di Figura 1 esclusi i lati. Si tratta di un insieme aperto. x 1 < 0 La disuguaglianza corrisponde a x < 1 ovvero a 1 < x < 1 la striscia verticale del piano delimitata dalle due rette x = 1 e x = 1, che non fanno parte dell insieme. Si tratta di un insieme aperto. y < 3 Si tratta della striscia orizzontale delimitata dalla due rette y = ±3 max( x, y ) 4 Come osservato nel primo caso, se (x, y) soddisfa la disuguaglianza allora la soddisfano anche ( x, y), (x, y), ( x, y). Basta pertanto esplorare la parte del primo quadrante che soddisfa la disuguaglianza { 0 x 4 max(x, y) 4 0 y 4 Si tratta ovviamente del quadratino 0 x 4, 0 y 4 L insieme richiesto é pertanto, tenuto conto delle simmetrie indicate sopra, il quadratone Si tratta di un insieme chiuso. 4 x 4, 4 y Esercizio. Disegnare i seguenti sottinsiemi di R 2 A := {(x, y) : 0 < x 2 + y 2 4}, B := {(x, y) : x 2 + y 2 3} Esaminare, per ciascuno di essi, se si tratta di insieme limitato, se si tratta di insieme chiuso, quali siano i suoi punti interni, quale sia la frontiera.

3 3 A := {(x, y) : 0 < x 2 + y 2 4} La condizione 0 < x 2 + y 2 4 equivale al sistema { x 2 + y < x 2 + y 2 La prima disuguaglianza indica il cerchio di centro l origine e raggio 2, circonferenza inclusa. La seconda disuguaglianza dice che l origine (0, 0) non fa parte dell insieme che pertanto é costituito dal cerchio di cui sopra bucato nel centro. si tratta di insieme limitato, non é un insieme chiuso e non é neanche un insieme aperto, sono interni tutti i suoi punti esclusi quelli della circonferenza che lo delimita, la frontiera é formata dalla circonferenza che lo delimita e dall origine. B := {(x, y) : x 2 + y 2 3 Si tratta del complementare del cerchio x 2 + y 2 < 3: pertanto si tratta di insieme non limitato, é un insieme chiuso in quanto il suo complementare é aperto, sono interni tutti i suoi punti esclusi quelli della circonferenza che lo delimita, la frontiera é formata dalla circonferenza che lo delimita Esercizio. Disegnare i seguenti sottinsiemi di R 2 : A := {(x, y) : x 2 + y 2 = k}, B := {(x, y) : x y 2 = k}, k = 1, 2, 3 Esaminare, per ciascuno di essi, se si tratta di insieme limitato, se si tratta di insieme chiuso, se possiede punti interni, quale sia la frontiera. A := {(x, y) : x 2 + y 2 = k} k = 1, 2, 3

4 4 Diversamente dai precedenti, insiemi definiti da disuguaglianze, si tratta in questo caso di equazioni: quasi sempre in tal caso gli insiemi che ne risultano sono delle curve. x 2 + y 2 = 1, x 2 + y 2 = 2, x 2 + y 2 = 3 sono infatti le tre circonferenze di centro l origine e raggi 1, 2, 3 si tratta di insiemi limitati, si tratta di insiemi chiusi, non possiedono punti interni, tutti i loro punti sono punti di frontiera. B := {(x, y) : x y 2 = k} k = 1, 2, 3 Risposte analoghe alle precedenti (tranne che per la limitatezza): i tre insiemi x = y 2 + 1, x = y 2 + 2, x = y sono tre parabole con asse l asse delle x. si tratta di insiemi non limitati, si tratta di insiemi chiusi, non possiedono punti interni, tutti i loro punti sono punti di frontiera Esercizio. Disegnare i sottoinsiemi del piano determinati dai seguenti sistemi di disuguaglianze { 0 < x 2 + y 2 < 1 x + y < < x + y < 1 ( x 1).( y 1) < 0 Intersezione del { 0 < x 2 + y 2 < 1 0 < x + y < 1 cerchio di raggio 1, centro l origine, bucato nel centro, privo della circonferenza, con la striscia delimitata dalle due rette x + y = 0 e x + y = 1. L intersezione é il segmento circolare a due basi di Figura 2, esclusi sia i due archi di circonferenza che i due tratti rettilinei.

5 5 Figura 2. {0 < x 2 + y 2 < 1} {0 < x + y < 1} Intersezione del x + y < 3 2 ( x 1).( y 1) < 0 quadrato di vertici (0, 3), ( 3, 0), ( 3, 0), (0, 3 ) privato dei lati, quattro semistrisce L intersezione é composta dei quattro triangoli rettangoli simmetrici colorati, vedi Figura Esercizio. Assegnate la successione di punti del piano ( 5 P n = n cos(n π 3 ), 3 n sin(n π ) 3 ) n = 1, 2, 3,... disegnare i primi 4 punti, provare che si tratta di successione limitata, riconoscere che é convergente.

6 6 Figura 3. ( x + y < 3 ) (( x 1).( y 1) < 0) 2 Tenuto conto che ( 5 P n 2 = n cos(n π ) 2 3 ) + ( 3 n sin(n π ) 2 3 ) 34 n 34 2 si riconosce che i punti P n si mantengono dentro il cerchio di centro l origine e raggio 34: costituiscono pertanto un insieme limitato. La successione P n é convergente all origine, infatti 34 d(p n, O) = P n n Esercizio. Sia P n = (cos(n π3 ), sin(n 2π5 ) ), n = 1, 2, 3... riconoscere che si tratta di una successione limitata, estrarre da essa una sottosuccessione convergente, come garantito dal teorema di Bolzano.

7 7 Figura 4. P n = ( 5 n cos(n π 3 ), 3 n sin(n π 3 )) n = 1, 2, 3,... La successione é limitata: infatti La sottosuccessione relativa alla scelta degli indici P n 2 = cos 2 (n π 3 ) + sin2 (n 2π 5 ) 2 P 30 k 30, 60, 90,..., 30 k,... multipli di 30 é addirittura costante, quindi convergente! Esercizio. Assegnata la successione di punti del piano P n = (cos(n), sin(n)), n = 1, 2, 3,... disegnare i primi 4 punti, riconoscere che é una successione non di Cauchy, quindi non convergente.

8 8 Figura 5. P n = (cos(n), sin(n)), n = 1, 2, 3,... I punti P n si possono scrivere anche come i numeri complessi Pertanto e i n d(p n+1, P n ) = P n+1 P n = e i (n+1) e i n = e i n. e i 1 = e i 1 Tenuto presente che e i 1 = cos(1) 1 + i sin(1) = ne segue che d(p n+1, P n ) = ρ > 0 e quindi la successione P n non soddisfa la proprietá di avvicinamento (cos(1) 1) 2 + sin 2 (1) = ρ > 0 detta criterio di Cauchy, necessaria (e sufficiente) alla convergenza di una successione... e quindi la P n non puó essere convergente!

9 13.8. Esercizio. Determinare l insieme di definizione della funzione f : R 2 R, f(x, y) = ln ( 1 x 2 4y 2) Disegnare le linee di livello f(x, y) = 0, f(x, y) = 1, f(x, y) = ln(2) 9 La funzione logaritmo é definita solo sui numeri positivi: pertanto la f sará definita sui punti (x, y) per i quali riesce 1 x 2 4y 2 > 0 x 2 + 4y 2 < 1 insieme racchiuso dall ellisse di semiassi a = 1, b = 1/2, privato della curva che lo delimita. Linee di livello: f(x, y) = 0 1 x 2 4y 2 = 1 (x, y) = (0, 0) f(x, y) = 1 1 x 2 4y 2 = e f(x, y) = ln(2) 1 x 2 4y 2 = 2 Non deve stupire che le linee di livello trovate siano un solo punto la prima e vuote le altre due: (x, y) : 1 x 2 4y 2 1 f(x, y) Esercizio. Disegnare gli insiemi di definizione delle funzioni log(x 2 + y 2 1 2x 1), x2 4y, 1 x y 2 e riconoscere, per ciascuno se si tratta di insiemi aperto o meno, limitato o illimitato. log(x 2 + y 2 2x 1) x 2 + y 2 2x 1 > 0 (x 1) 2 + y 2 > 2 L insieme di definizione é pertanto il complementare del cerchio di centro C = (1, 0) e raggio 2: si tratta di un insieme illimitato e aperto.

10 10 1 x 2 4y 2 x 2 4y 2 0 x 2 4y 2 > 0 Si tratta dei due angoli determinati dalle due rette x = ±2y, contenenti l asse x. Si tratta di un insieme illimitato e aperto. 1 x y 1 x y 0 x + y 1 Si tratta del semipiano al di sotto della retta x + y = 1: si tratta di un insieme illimitato e chiuso Esercizio. Siano A e B due insiemi di R 2, aperti: esaminare quali dei seguenti altri insiemi saranno necessariamente ancora aperti, quali necessariamente chiusi e su quali non é possibile pronunciarsi: A B, A B, A B, CA CB, CA CB ( La notazione CE indica, naturalmente il complementare di E. ) NOTA: Per provare che un insieme é aperto occorre riconoscere che tutti i suoi punti hanno la proprietá di essere punti interni. A B é aperto, tutti i suoi punti P appartengono o ad A o a B (possibilmente anche ad entrambi), il cerchio di centro P e contenuto secondo i casi in A o in B é naturalmente contenuto in A B A B é aperto: per tutti i suoi (eventuali) punti P, punti che naturalmente appartengono sia ad A che a B esistono due cerchi di centro P interamente contenuti rispettivamente in A e in B. Ma allora il cerchio di raggio minore é contenuto in A B. A B nulla si puó dire come si riconosce da esempi: se B non intersecasse A allora A B = A verrebbe quindi aperto, se invece c é intersezione, provate con due cerchi aperti, l insieme differenza non é né aperto né chiuso.

11 11 CA CB é chiuso: infatti il suo complementare C (CA CB) = A B 1 é aperto (unione di due aperti), cosa che riconosce che CA CB é chiuso. CA CB é chiuso: infatti il suo complementare C (CA CB) = A B é aperto (intersezione di due aperti), cosa che riconosce che CA CB é chiuso. 1 La relazione usata rientra nelle cosíddette formule di De Morgan, semplici relazioni insiemistiche (