LE TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE NEL PIANO

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1 LE TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE NEL PIANO Una trasformazione geometrica è una funzione che fa corrispondere a ogni punto del piano un altro punto del piano stesso Si può pensare come MOVIMENTO di punti e figure nel piano euclideo MOVIMENTO di punti e di grafici nel piano cartesiano MOVIMENTI nel piano euclideo MOVIMENTI nel piano cartesiano RIGIDI Non RIGIDI ISOMETRIE traslazioni ribaltamenti rotazioni ingrandimenti stiramenti deformazioni traslazioni simmetrie rotazioni proiettività.. affinità Ogni trasformazione è caratterizzata da alcuni elementi o proprietà che restano invariate dopo la trasformazione stessa (invarianti). Possono essere: La lunghezza dei segmenti A B L ampiezza degli angoli C A B C Il parallelismo tra rette A B A B Le direzioni delle rette C D Il rapporto tra i segmenti C D L orientamento dei punti sul piano B A B C C A

2 LE ISOMETRIE Una isometria è una trasformazione geometrica che lascia invariate le distanze. 1. La traslazione Spostamento o di un grafico in una direzione rettilinea r r P P Fig. 1 Traslazione lungo l asse X (orizzontale) - L ascissa di un qualunque punto P viene incrementata di una costante k X = x + k equazioni P(x, y) P (x+k, y) o anche (1) della = y traslazione - La traslazione di una funzione si ottiene sostituendo nella sua equazione a x e y x = X k equazioni le espressioni ricavate nella (1) ossia (2) della y = traslazione In breve la funzione y = f(x) ha per traslata orizzontale = f(x k) In figura 1: traslazione orizzontale di +5 (k = +5) il punto P( 1, +3) P ( 1+5, +3) ossia P (+4, +3) la retta r: y = 2x + 5 r : = 2(X 5) + 5 ossia = 2X 5

3 r r r P P P Fig. 2 Traslazione lungo l asse (verticale) - L ordinata di un qualunque punto P viene incrementata di una costante k X = x equazioni P(x, y) P (x, y+h) o anche (3) della = y + h traslazione - La traslazione di una funzione si ottiene sostituendo nella sua equazione a x e y x = X equazioni le espressioni ricavate nella (3) ossia (4) della y = h traslazione In breve la funzione y = f(x) ha per traslata verticale h = f(x) o = f(x) + h In figura 2: traslazione verticale di 2 (h = 2) il punto P (+4, +3) P (+4, +3 2) ossia P (+4, +1) la retta r : y = 2x 5 r : ( 2) = 2X 5 = 2X 5 2 ossia = 2X 7

4 Traslazione lungo una direzione qualunque (vettore) Le due traslazioni si possono combinare per traslare un punto o una funzione di un vettore qualunque (k, h) e le relazioni per la traslazione generica diventano - Le coordinate di un qualunque punto P vengono incrementate delle costanti k e h che si possono interpretare come le coordinate del vettore traslazione ῡ che porta P in P X = x + k equazioni P(x, y) P (x+k, y+h) o anche (I) della = y + h traslazione - La traslazione di una funzione si ottiene sostituendo nella sua equazione a x e y x = X k equazioni le espressioni ricavate nella (I) ossia (II) della y = h traslazione In breve la funzione y = f(x) ha per traslata rispetto a (k, h) = f(x - k) + h In figura 2: il vettore traslazione ῡ(+5, 2) porta il punto P nel punto P e la retta r nella retta r direttamente (vettore in giallo)

5 2. La simmetria assiale (rispetto a una retta) Riflessione (come allo specchio) o di un grafico rispetto ad una retta data (asse di simmetria) Simmetria rispetto all asse X r r P O 1 Q X P Fig. 3 - L ordinata di un qualunque punto P viene cambiata di segno X = x equazioni P(x, y) P (x, y) o anche (1) della = y simmetria sostituendo nella sua equazione a x e y x = X equazioni le espressioni ricavate nella (1) ossia (2) della y = simmetria In breve la funzione y = f(x) ha per simmetrica (rispetto all asse X) = f(x) In figura 3: simmetria rispetto all asse X il punto P(+1, +3) P (+1, 3) la retta r: y = 2x + 5 r : = 2X + 5 ossia = 2X 5 Note: Il punto Q resta associato a se stesso e si chiama punto unito

6 Simmetria rispetto all asse r r Q P P Fig. 4 - L ascissa di un qualunque punto P viene cambiata di segno X = x equazioni P(x, y) P ( x, y) o anche (3) della = y simmetria sostituendo nella sua equazione a x e y x = X equazioni le espressioni ricavate nella (3) ossia (4) della y = simmetria In breve la funzione y = f(x) ha per simmetrica (rispetto all asse ) = f( X) In figura 4: simmetria rispetto all asse il punto P(+1, +3) P ( 1, +3) la retta r: y = 2x + 5 r : = 2( X ) + 5 ossia = 2X + 5 Q è l unico punto unito della simmetria

7 Simmetria rispetto ad una retta parallela all asse r x = k r k-x k-x P P Q Fig. 5 - L ascissa di un qualunque punto P viene trasformata sommando ad essa due volte la distanza k x dalla retta asse di simmetria; quindi si ottiene x + 2(k x) = 2k x X = 2k x equazioni P(x, y) P (2k x, y) o anche (1) della = y simmetria sostituendo nella sua equazione a x e y x = 2k X equazioni le espressioni ricavate nella (1) ossia (2) della y = simmetria In breve la funzione y = f(x) ha per simmetrica (rispetto a x = k) = f(2k-x) In figura 5: simmetria rispetto alla retta x = 4 il punto P(+1, +3) P (2 4 1, +3) ossia P (+7, +3) la retta r: y = 2x + 5 r : = 2(2 4 X ) + 5 = 2(8 X ) + 5 ossia = 2X 11 Q è l unico punto unito della simmetria

8 Simmetria rispetto ad una retta parallela all asse X r r y = h y-h P Q y-h P Fig. 6 - L ordinata di un qualunque punto P viene trasformata sottraendo ad essa due volte la distanza y h dalla retta asse di simmetria; quindi si ottiene y 2(y h) = 2h y X = x equazioni P(x, y) P (x, 2h-y) o anche (3) della = 2h y simmetria sostituendo nella sua equazione a x e y x = X equazioni le espressioni ricavate nella (1) ossia (4) della y = 2k simmetria In breve la funzione y = f(x) ha per simmetrica (rispetto a y = h) = f(x) + 2k In figura 6: simmetria rispetto alla retta y = 1 il punto P(+1, +3) P (+1, 2 1 3) ossia P (+1, 1) la retta r: y = 2x + 5 r : 2 1 = 2X = 2X + 5 ossia = 2X 3 Q è l unico punto unito della simmetria

9 Simmetria rispetto alla bisettrice del primo e terzo quadrante (y = x) r r Q P Q P y=x Q Fig. 7 - L ascissa e l ordinata di un qualunque punto P vengono scambiate tra loro X = y equazioni P(x, y) P (y, x) o anche (3) della = x simmetria sostituendo nella sua equazione a x e y x = equazioni le espressioni ricavate nella (1) ossia (4) della y = X simmetria In breve la funzione y = f(x) ha per simmetrica (rispetto alla bisettrice y = x) che, se la funzione è invertibile, va esplicitata rispetto a X = f() In figura 7: simmetria rispetto alla retta y = x il punto P(+1, +3) P (+3, 1) la retta r: y = ½x + 5/2 r : X = ½ + 5/2 2X = + 5 ossia = 2X 5 Q è l unico punto unito della simmetria

10 Attenzione: se la funzione non è invertibile (come la parabola in figura 8) la curva simmetrica non è più una funzione esplicitabile del tipo y = f(x) P = + X Q P O X = X y=x Fig. 8 Se la parabola y = x 2 equazione diventa viene trasformata per simmetria rispetto alla bisettrice, la sua X = 2 che, cercando di esplicitarla rispetto alla può dare = + X oppure = X ossia due funzioni, le quali rappresentano rispettivamente la mezza parabola sopra all asse X (quella positiva) e la mezza parabola sotto all asse X (quella negativa) I punti uniti della simmetria sono due: l origine O ed il punto Q Note: La simmetria rispetto ad una retta qualunque qui non è trattata

11 La simmetria centrale (rispetto a un punto) Riflessione o di un grafico rispetto ad un punto dato (centro di simmetria) Simmetria rispetto all origine r r P Fig. 9 P - L ascissa e l ordinata di un qualunque punto P vengono cambiate di segno X = x equazioni P(x, y) P ( x, y) o anche (1) della = y simmetria sostituendo nella sua equazione a x e y x = X equazioni le espressioni ricavate nella (1) ossia (2) della y = simmetria In breve la funzione y = f(x) ha per simmetrica (rispetto all origine) = f( X) In figura 9: simmetria rispetto origine il punto P(+1, +3) P ( 1, 3) la retta r: y = 2x + 5 r : = 2( X ) + 5 ossia = 2X 5

12 Simmetria rispetto ad un punto generico C(a, b) r r P C P Fig L ascissa e l ordinata di un qualunque punto P vengono cambiate di segno e incrementate del doppio delle coordinate del centro di simmetria X = x + 2a equazioni P(x, y) P ( x+2a, y+2b) o anche della (1) = y + 2b simmetria sostituendo nella sua equazione a x e y x = X + 2a equazioni le espressioni ricavate nella (1) ossia (2) della In breve la funzione y = f(x) ha per simmetrica (rispetto al centro C) In figura 10: simmetria rispetto al centro C(4, 2) y = + 2b = f( X+2a) + 2b simmetria il punto P(+1, +3) P ( 1+2 4, 3+2 2) ossia P(+7, +1) la retta r: y = 2x + 5 r : = 2( X + 2 4) = 2( X + 8) = +2X ossia = 2X + 15 Note: L ultima isometria (che qui non è descritta) è la rotazione Teorema: la composizione di due o più isometrie resta sempre una isometria

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