SISTEMI VINCOLATI. 1. Punto fisso: il vincolo impedisce ogni spostamento del punto.

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1 SISTEMI VINCOLATI Definizione 1 Si dice vincolo una qualunque condizione imposta ad un sistema materiale che impedisce di assumere una generica posizione e/o atto di moto. La presenza di un vincolo di posizione impedisce al sistma materiale di assumere certe configurazioni, e quindi di compiere certi spostamenti. Consideriamo il caso più semplice di un punto vincolato. I più comuni vincoli per un punto sono: 1. Punto fisso: il vincolo impedisce ogni spostamento del punto. 2. Punto vincolato ad una linea: il vincolo impedisce gli spostamenti in cui c è il distacco dalla linea. 3. Punto vincolato ad una superficie: il vincolo impedisce tutti gli spostamenti in cui c è il distacco dalla superficie. 4. Punto appoggiato ad una superficie: il vincolo impedisce tutti gli spostamenti in cui c è penetrazione al di sotto della superficie. I vincoli di posizione sono tradotti dal punto di vista matematico da relazioni tra le coordinate che individuanola configurazione del sistema. Queste relazioni possono essere: a) Equazioni b) Disequazioni. 1. Punto fisso P (x, y, z) 3 sono le coordinate del punto e 3 sono le equazioni. x = x 0 y = y 0. (1) z = z 0 2. Punto vincolato ad una linea di equazione paramentrica x = x (s) y = y (s), (2) z = z (s) 5 oppure di equazione ½ h (x, y, z) =0 g (x, y, z) =0. (3) 3 sono le coordinate che individuano la posizione del punto nello spazio, tra di loro esistono dei legami espressi da 2 equazioni. Basta una coordinata per individuare la posizione di P (la coordinata può anche essere di tipo non cartesiano). Ad esempio il parametro s. A tale coordinata che indichiamo con qdiamo il nome di coordinata lagrangiana.

2 6 3. Punto vincolato ad una superficie. Il vincolo impedisce tutti gli spostamenti che portano ad un distacco dalla superficie di equazione parametrica x = x (ξ,η) y = y (ξ, η) z = z (ξ,η), (4) oppure in forma implicita g (x, y, z) = 0. Abbiamo 3 coordinate cartesiane ed un vincolo. Bastano 2 coordinate per individuare la posizione di P (ad esempio ξ,η). 4. Punto appoggiato ad una superficie. La relazione che traduce il vincolo è la disequazione g (x, y, z) 0. L appoggio è verificato se vale il segno di uguaglianza; se vale il segno > il punto non è a contatto con il vincolo e deve considerarsi libero. 1), 2) e 3) sono esempi di vincoli bilateri (tradotti da equazioni). 4) è un esempio di vincolo unilatero (tradotto da una disequazione). Definizione 2 Un sistema materiale si dice soggetto a vincoli olonomi se tra le coordinate del sistema esistono dei legami (vincoli) espressi da relazioni finite (vincoli di posizione), oppure se tra le coordinate esistono legami espressi da relazioni differenziali (vincoli sulle velocità) integrabili, ovvero riducibili a forma finita (equivalenti a vincoli di posizione). Definizione 3 Un vincolo si dice anolonomo se la relazione differenziale tra le coordinate non è riducibile a forma finita. Esempio 1 (di vincolo olonomo) Rotolamento senza strisciamento di un disco su una guida fissa. Consideriamo un disco nel piano, vincolato ad appoggiarsi ad una guida rettilinea Senza ulteriori ipotesi occorrono due parametri x G e θ per individuarne la posizione. x G e θ sono le coordinate libere e sono indipendenti l una dall altra. Aggiungiamo il vincolo che il disco rotoli senza strisciare. Questo vincolo impone che i punti di contatto, diciamo A e B (cona appartenente al disco e B appartenente alla guida), abbiano la stessa velocità. Se la guida è fissa B èinquietee v B =0 = v A =0 = A è centro d istantanea rotazione.

3 La velocità del baricentro si può scriver come ³ v G = ω G A ; ω = θ k, (5) oppure come Integrando si ottiene v G = ẋ G i = θr i = ẋ G = R θ. (6) x G = Rθ + cost. (7) Esiste dunque un legame finito tra le coordinate. Quindi basta una coordinata per individuare la posizione di un disco che rotola senza strisciare su una guida fissa. Il rotoalmento senza strisciamento nello spazio non è olonomo (pr esempio, il pallone). Si osservi che se y>roccorre una nuova coordinata. Esempio 2 (di vincolo anolonomo) Disco che rotola senza strisciare su un piano fisso, mantenendo il proprio asse parallelo al piano. 4 coordinate individuano la configurazione del disco: (x, y) coordinate di G rispetto alla terna fissa e due angoli (ψ, ϕ). ψ viene detto angolo di precessione e ϕ è l angolo di rotazione propria. Il terzo angolo di Eulero (nutazione) si mantiene costante (θ = π/2), cosìcomela coordinata z di G (z = R). Sistemi olonomi e loro spostamenti possibili Definizione 4 Si chiama olonomo un sistema soggetto a vincoli olonomi. Consideriamo per semplicità un sistema costituito da N punti. La configurazione del sistema è individuata da 3N coordinate. Supponiamo che il sistema sia olonomo e che tra le coordinate esistano r relazioni (finite). Il numero di parametri indipendenti che occorrono per individuare la posizione del sistema è Indicheremo con k =3N r. (8) q 1,q 2,...,q k (9) tali parametri (coordinate libere o lagrangiane). k è il numero dei gradi di libertà del sistema, che nel caso di un sistema olonomo, coincide con il numero di parametri essenziali. Sia P i (q 1,q 2,...,q k t) (10) la posizione del punto i-esimo nel generico istante t. Il più generico spostamento infinitesimo possibile si scrive dp i = P i dq 1 + P i dq P i dq k + P i dt (11) q 1 q 2 q k t dove dq 1,dq 2,...,dq k,dt sono incrementi infinitesimi arbitrari e indipendenti tra di loro. Un sistema non soggetto esclusivamente a vincoli olonomi si chiama anolonomo. In questo caso il numero delle coordinate libere è superiore a 3N r. Si osservi che 7

4 8 1. un Corpo Rigido libero nello spazio è equivalente ad un sistema olonomo con 6 gradidilibertà(3 coordinate di un punto + 3 angoli di Eulero) 2. uncorporigidoliberonelpianoèequivalenteadunsistemaolonomocon3 gradidilibertà(2 coordinate di un punto + 1 angolo). Esempio 3 Asta incernierata (cerniera fissa) 1 grado di libertà (coordinata libera θ) x 0 = y 0 =0 (12) Esempio 4 Carrello equivalente meccanicamente al Manicotto (o perno ) rotante. E un Vincolo bilatero. Numero di gradi di libertà: 2 Esempio 5 Appoggio (Vincolo unilatero) (13) (14)

5 Esempio 6 Pattino equivalente meccanicamente ad un manicotto (Consente solo la traslazione. Toglie 2 gradi di libertà). 9 Esempio 7 Incastro Toglie all asta ogni possibilità di movimento (fissa A e impedisce la rotazione). Numero di gradi di libertà: 0 (15) (16)

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