Fig. 1. ove v è la velocità raggiunta dal punto alla quota h e g è l accelerazione di gravità:

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1 PECHE, DI DUE CICLISTI CHE PECOONO LA MEDESIMA DISCESA SENZA PEDALAE E CON BICICLETTE UGUALI, E PIU VELOCE QUELLO CHE PESA DI PIU, IN APPAENTE CONTADDIZIONE COL FATTO CHE L ACCELEAZIONE DI GAVITA E UGUALE PE ENTAMBI? Viene spiegato un modello meccanico che ne rende conto. Questo paradosso è a olte indicato col nome di Paradosso del camion. L autista che trasporta un carico di pietrisco in discesa lungo i tornanti di un colle ne è consapeole e mette in atto i giusti proedimenti di guida. Per impostare il modello che risponde alla domanda del titolo, incominciamo col richiamare, riferendoci alla Fig., la nota formula che esprime la elocità con la quale un punto materiale (di massa M) che percorre un piano inclinato sotto l azione della forza di graità, raggiunge un punto finale P partendo da fermo da un punto iniziale P. Fig. c L energia cinetica E e l energia potenziale E del punto materiale alla generica quota h rispetto al riferimento delle quote mostrato in figura, sono date rispettiamente dalle seguenti relazioni: p M E c () E Mgh p () oe è la elocità raggiunta dal punto alla quota h e g è l accelerazione di graità: m g 9,8 s (3) L energia complessia del punto materiale, alla generica quota h, è quindi: E tot M + Mgh (4)

2 Poiché si fa astrazione da fenomeni dissipatii, l energia totale è costante durante il moto. Possiamo quindi applicare il Teorema di conserazione dell energia, scriendo l uguaglianza tra l energia in P e quella in P. Poiché in P è nulla l energia cinetica (il punto parte da fermo), mentre in è nulla l energia potenziale ( per P passa la linea di riferimento delle quote), aremo: P Mgh M (5) da cui si trae: gh (6) Questa formula dimostra, non contenendo la massa, che la elocità finale per un punto materiale che parta da fermo, dipende solo dalla quota iniziale di partenza. Pertanto ogni corpo assimilabile ad un punto materiale che, partendo da fermo, percorra senza attrito un piano inclinato, giunge in un punto finale con la medesima elocità qualunque sia la sua massa. (Esperimento di Galileo). Si può allora dire, dal momento che l esperienza dice che la elocità di un ciclista in discesa non pedalante è influenzata dalla sua massa (o peso), che il modello punto materiale per lui non è applicabile al fine di calcolare la sua elocità finale. Ecco, perché stiamo ricercando un modello dierso. Pensiamo che non occorrano spiegazioni per assumere come più aderente alla realtà del sistema bicicletta-ciclista, il modello raffigurato in Fig., consistente in due ruote omogenee (dischi) di massa m e raggio e da un asta rigida omogenea di massa M e lunghezza l che le collega. Fig. In questo schema, nel quale l asta simula il ciclista aente massa M >> m, le ruote rotolano senza strisciare sul piano inclinato, mentre l asta trasla parallelamente ad esso, come iene mostrato la Fig. 3.

3 L energia cinetica dell asta E e la sua energia potenziale E, quando il baricentro dell asta Fig. 3 G (asta) si troa sulla erticale corrispondente alla generica quota h del piano inclinato, sono date rispettiamente dalle relazioni: c(asta) p(asta) M E c(asta) (7) E Mgh p(asta) (8) oe h è dato da: h h +, (9) essendo la quota aggiuntia del baricentro G (asta) douta alle ruote. Venendo a considerare le energie cinetica e potenziale delle due ruote, posteriore e anteriore, queste sono nell ordine: E + c(ruota post) m I Gω (0) l E p(ruota post) mg h + senα () E c(ruota ant) Ep(ruota ant) m + I Gω () l mg h senα (3) 3

4 oe I G è il momento d inerzia delle ruote rispetto al loro asse di rotazione e ω, la elocità di rotolamento. Nelle relazioni scritte si tiene conto del fatto che il baricentro delle ruote ha la stessa elocità istantanea del baricentro dell asta, e del fatto che la loro quota si ottiene sommando o G (asta) l sottraendo ad h la quantità di quota senα (. Fig. 4) Si tengano per il seguito presenti le formule: Fig. 4 m I G (4) ω (5) che esprimono, la prima, il momento d inerzia baricentrale delle ruote, e la seconda, la relazione tra la elocità lineare e la elocità angolare nel rotolamento. Abbiamo ora tutti gli elementi per scriere l espressione dell energia complessia del sistema assunto come modello, in quanto questa è data dalla somma: E E + E + E + E + E + E tot c(asta) c (ruota post) c (ruota ant) p (asta) p (ruota post) p (ruota ant) (6) che in base alle formule precedenti fornisce: ( ) + ( M + m) gh E tot (7) Applicando, come nel caso del punto materiale, il Teorema di conserazione dell energia (giustificato dalla supposta assenza di azioni dissipatie), il che ci permette di uguagliare l energia tota- 4

5 le associata alla configurazione in cui G giace sulla erticale per P, all energia totale associata (asta) alla configurazione in cui G giace sulla erticale per P, otteniamo: (asta) + (8) ( M m) gh ( ) + ( M + m) gh oe è: h h + (9) h (0) Dalla (8), tenendo conto delle (9) e (0), si ricaa: M + m gh () e osserando che: M + m m m () si ha in definitia: m gh (3) la quale fornisce la elocità finale in P col modello assunto. Vediamo così che con questo modello discretamente aderente al sistema fisico bicicletta-ciclista, la elocità finale iene ad essere dipendente dalla massa M (o peso) del ciclista, nel senso che a maggior massa corrisponde maggiore elocità finale. (Infatti per M crescente la quantità entro parentesi nella (3) si approssima al alore che è il massimo consentito. La (3) ci permette anche di troare il legame tra il modello studiato e quello (inadatto) fondato sul solo punto materiale di massa M. Vediamo infatti, che se poniamo m 0 nella (3), ricadiamo nella formula (6). Si conclude quindi che è proprio la presenza delle ruote a dar ragione dell apparente contraddizione racchiusa nella domanda-titolo. Il che, forse, era da immaginare! ESEMPIO NUMEICO Massa della ruota della bicicletta: m 93 kg Massa del primo ciclista + telaio: M 00 kg Massa del secondo ciclista + telaio: 50 kg Quota iniziale (disliello) M h 00 m 5

6 Con i dati di cui sopra, la formula (3) fornisce: Per il primo ciclista: () m 6 s Per il secondo ciclista: () m 6 s Gli alti alori sono douti alla supposta assenza di resistenze, soprattutto di quella dell aria. Come si ede, il fenomeno studiato non è però tale da comportare grandi differenze tra i due casi. Alberto Busato 6