LA TRASMISSIONE DELLE INFORMAZIONI QUARTA PARTE 1

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1 LA TRASMISSIONE DELLE INFORMAZIONI QUARTA PARTE 1 I CODICI 1 IL CODICE BCD 1 Somma in BCD 2 Sottrazione BCD 5 IL CODICE ECCESSO 3 20 La trasmissione delle informazioni Quarta Parte I codici Il codice BCD In molte occasioni può risultare utile che i microprocessori elaborino dati non in binario ma in un codice che si possa facilmente trasformare in decimale: per fare ciò si usano codici decimali, codici, cioè, che non codificano in binario il valore di un numero decimale ma ne codificano, invece le singole cifre. Un esempio è il codice BCD (Binary Coded Decimal). Questo codice usa 4 bit per rappresentare le 10 cifre da 0 a 9, sfruttando le combinazioni binarie che esprimono i valori corrispondenti. In maniera più semplice il codice BCD è pari al codice binario su 4 bit, del quale, però, si sacrato le combinazioni che rappresentano i numeri da 10 in poi. BINARIO BCD

2 Se vogliamo rappresentare allora un numero decimale abbiamo, ad esempio NUMERO DA CONVERTIRE BCD NUMERO DA CONVERTIRE BCD Somma in BCD Per effettuare la somma di due numeri BCD si può usare la classica tecnica binaria. Ad esempio PRIMO ADDENDO SECONDO ADDENDO RESTI RISULTATO

3 Può accadere, però, che la somma di due cifre possa dare un risultato maggiore di 9, per cui il nibble corrispondente non sarebbe un codice BCD corretto come nel seguente esempio PRIMO ADDENDO SECONDO ADDENDO RESTI RISULTATO In questo caso si nota come il secondo e terzo nibble non corrispondano ad un codice BCD valido. Si può correggere il risultato sommando la stringa 0110 ai nibble non corretti PRIMO ADDENDO SECONDO ADDENDO RESTI RISULTATO FATTORE CORRETTIVO RESTI

4 Ora il risultato rappresenta correttamente il numero decimale 610. Ma c è un altro caso in cui necessita una correzione. Supponiamo di voler eseguire la seguente somma = In questo caso, eseguendo la somma in binario, avremmo che, poiché in esadecimale, la somma delle due cifre centrali sarebbe già un numero maggiore di 16, otterremmo il seguente risultato PRIMO ADDENDO SECONDO ADDENDO RESTI RISULTATO FATTORE CORRETTIVO RESTI Non ci accorgeremmo del fatto che il secondo nibble non rappresenta una cifra BCD e avremmo il risultato scorretto 120. in realtà occorre sommare il fattore correttivo anche al secondo nibble 4

5 PRIMO ADDENDO SECONDO ADDENDO RESTI RISULTATO FATTORE CORRETTIVO RESTI Per avere il risultato corretto. Come ci accorgiamo che occorre anche qui il fattore correttivo? Sommando i due nibble centrali si è avuto un riporto, sul quarto bit il che significa che avevamo una somma che era già maggiore o uguale a 16. Sottrazione BCD UN metodo per effettuare sottrazioni in BCD è il seguente: invece di effettuare la sottrazione direttamente si fa la somma fra il minuendo e un numero ottenuto dal sottraendo complimentandone a 9 ogni singola cifra (cioè sostituendo ad ogni cifra la differenza fra 9 e se stessa). Effettuata la somma, si scarta il riporto sulla cifra più significativa e si corregge il risultato con sommando un 1 alla cifra meno significativa. Esempio:

6 Come si può notare, si può anche procedere direttamente complimentando a 10 la cifra meno significativa N e tutte le altre a 9, poiché 9-N+1=10-N. Ad esempio = = = =

7 = = = = Per ottenere rapidamente il sottraendo operando in binario (si ricordi che lo scopo è quello di vedere come opera un microprocessore), si può procedere nel seguente modo: Si prende il nibble che rappresenta in BCD ogni cifra del sottraendo e se ne ricava il complemento a due (in modo da ottenere la rappresentazione della cifra cambiata di segno) 7

8 Al nibble rappresentante la cifra meno significativa si somma 1010 (cioè 10) in modo da ottenere la differenza 10-N Ai nibble rappresentanti tutte le altre cifre si somma 1001, in modo da ottenere 9-N Esempio: COMPLEMENTO A 2 DELLE SINGOLE CIFRE FATTORE DI COMPLEMENTAZIONE COMPLEMENTO A 2 DELLE SINGOLE CIFRE FATTORE DI COMPLEMENTAZIONE Da notare che, in tale operazione, le cifre sono separate l una dall altra. In sostanza, se, ad esempio, c è un riporto nella somma che deve dare il secondo nibble esso non 8

9 va propagato al nibble alla sua destra e così via, cioè, per ogni nibble, il riporto sul quarto bit va scartato. Ottenuta la rappresentazione del sottraendo essa si può sommare al minuendo. Se il risultato presenta qualche nibble che non è un codice BCD si somma ulteriormente il fattore 0110 = 6 di correzione Esempi: MINUENDO SOTTRAENDO COMPLEMENTO A 2 DELLE SINGOLE CIFRE FATTORE DI COMPLEMENTAZIONE COMPLEMENTO A 9 DEL SOTTRAENDO MINUENDO RISULTATO IL RISULTATO E' POSITIVO

10 EVENTUALE CORREZIONE IN BCD RISULTATO RISULTATO IN BASE MINUENDO SOTTRAENDO COMPLEMENTO A 2 DELLE SINGOLE CIFRE FATTORE DI COMPLEMENTAZIONE COMPLEMENTO A 9 DEL SOTTRAENDO MINUENDO RISULTATO IL RISULTATO E' POSITIVO

11 EVENTUALE CORREZIONE IN BCD RISULTATO RISULTATO IN BASE MINUENDO SOTTRAENDO COMPLEMENTO A 2 DELLE SINGOLE CIFRE FATTORE DI COMPLEMENTAZIONE COMPLEMENTO A 9 DEL SOTTRAENDO MINUENDO RISULTATO IL RISULTATO E' POSITIVO

12 EVENTUALE CORREZIONE IN BCD RISULTATO RISULTATO IN BASE Ma c è un altro caso in cui occorre un fattore correttivo anche se apparentemente non ce n è bisogno. Facciamo un esempio MINUENDO SOTTRAENDO COMPLEMENTO A 2 DELLE SINGOLE CIFRE FATTORE DI COMPLEMENTAZIONE COMPLEMENTO A 9 DEL SOTTRAENDO MINUENDO RISULTATO Il risultato e' negativo

13 EVENTUALE CORREZIONE IN BCD RISULTATO RISULTATO IN BASE L errore, come si vede dall esempio è dovuto al fatto che la somma del fattore correttivo sul nibble meno significativo provoca un riporto che fa scattare il nibble successivo da 9 a 10 facendone una combinazione non accettata in BCD. Si impone allora anche la regola ulteriore che il fattore correttivo si ha anche nel caso che il valore di un nibble sia già a 9 e ci sia un riporto dal nibble inferiore. Ecco il risultato corretto MINUENDO SOTTRAENDO COMPLEMENTO A 2 DELLE SINGOLE CIFRE FATTORE DI COMPLEMENTAZIONE

14 COMPLEMENTO A 9 DEL SOTTRAENDO MINUENDO RISULTATO IL RISULTATO E' POSITIVO EVENTUALE CORREZIONE IN BCD RISULTATO RISULTATO IN BASE 10 0 Cosa succede se il minuendo è inferiore al sottraendo? Facendo degli esempi possiamo vedere che quando si ha un riporto sul quarto bit del nibble più significativo della somma del minuendo e del complemento a 9 del sottraendo, oppure si ha un riporto quando si somma al risultato gli eventuali fattori di correzione BCD, vuol dire che il minuendo è superiore al sottraendo. Se non si ha riporto in nessuno dei due casi il minuendo è minore del sottraendo e il risultato dovrebbe essere negativo MINUENDO SOTTRAENDO

15 COMPLEMENTO A 2 DELLE SINGOLE CIFRE FATTORE DI COMPLEMENTAZIONE COMPLEMENTO A 9 DEL SOTTRAENDO MINUENDO RISULTATO Il risultato e' negativo EVENTUALE CORREZIONE IN BCD RISULTATO Il risultato che otteniamo va allora interpretato come un numero negativo e per poterne ottenere il modulo bisogna complementare le singole cifre (la meno significativa a 10 e le altre a 9). 15

16 RISULTATO RISULTATO IN BASE RISULTATO NON CORRETTO COMPLEMENTO A 2 DELLE SINGOLE CIFRE FATTORE DI COMPLEMENTAZ IONE COMPLEMENTO A 9 DEL RISULTATO EVENTUALE CORREZIONE IN BCD MODULO DEL RISULTATO RISULTATO IN BASE

17 Vediamo altri esempi MINUENDO SOTTRAENDO COMPLEMENTO A 2 DELLE SINGOLE CIFRE FATTORE DI COMPLEMENTAZIONE COMPLEMENTO A 9 DEL SOTTRAENDO MINUENDO RISULTATO Il risultato e' negativo EVENTUALE CORREZIONE IN BCD RISULTATO RISULTATO IN BASE RISULTATO NON CORRETTO. 17

18 COMPLEMENTO A 2 DELLE SINGOLE CIFRE FATTORE DI COMPLEMENTAZIONE COMPLEMENTO A 9 DEL RISULTATO EVENTUALE CORREZIONE IN BCD MODULO DEL RISULTATO RISULTATO IN BASE

19 MINUENDO SOTTRAENDO COMPLEMENTO A 2 DELLE SINGOLE CIFRE FATTORE DI COMPLEMENTAZIONE COMPLEMENTO A 9 DEL SOTTRAENDO MINUENDO RISULTATO Il risultato e' negativo EVENTUALE CORREZIONE IN BCD RISULTATO RISULTATO IN BASE RISULTATO NON CORRETTO

20 COMPLEMENTO A 2 DELLE SINGOLE CIFRE FATTORE DI COMPLEMENTAZIONE COMPLEMENTO A 9 DEL RISULTATO EVENTUALE CORREZIONE IN BCD MODULO DEL RISULTATO RISULTATO IN BASE Il codice Eccesso 3 Per effettuare le sottrazioni vediamo che è complesso effettuare le sottrazioni BCD mediante somme poiché occorre provvedere a trovare i complementi a 9 o 10 delle cifre del sottraendo. Diventano allora utili i codici autocomplementanti. 20

21 Un codice decimale autocomplementanti è un codice che gode della seguente proprietà: Se prendiamo la combinazione rappresentante un numero N e ne facciamo il complemento ad 1 (invertiamo ogni singolo bit) otteniamo la combinazione del numero 9-N Il codice eccesso 3 è un codice che si ottiene associando ad ogni cifra decimale la combinazione binaria del numero stesso aumentato di 3, così ad esempio, la rappresentazione del numero 4 sarà data dalla rappresentazione binaria del numero 7. Ecco la tabella completa

22 Vediamo alcuni esempi NUMERO DA CONVERTIRE NUMERO DA CONVERTIRE Si noti come si tratta di un codice autocomplementanti. Ad esempio 3 è rappresentato dalla combinazione 0110, negando ogni bit si ha 1001 cioè la rappresentazione di 6 che è il complemento a 9 di 3. Codice Aiken o codice 2421 Un altro esempio di codice autocomplementanti è il codice Aiken. In questo codice le prime cinque combinazioni (corrispondenti ai numeri da 0 a 4) sono coincidenti a quelle binarie. Per le restanti combinazioni si considera il numero complemento a 9 del numero che si vuole rappresentare, si fa il complemento ad 1 della corrispondente combinazione binaria e si ottiene la rappresentazione cercata in codice Aiken

23 Tale codice prende anche il nome di 2421 dai pesi che hanno rispettivamente i bit 3,2,1,0. Infatti, ad esempio, PESO CODICE VALORE DECIMALE = 6 Codice Gray Il codice Gray è un codice esadecimale, non pesato che si costruisce nel seguente modo. Si considera il bit meno significativo e si costruiscono le combinazioni possibili 0 1 Queste combinazioni si ribaltano come in uno specchio

24 Si completano le combinazioni ponendo il secondo bit a 0 nelle prime due combinazioni e a 1 nelle restanti combinazioni Si ribaltano queste combinazioni in modo da ottenerne otto E si completa la tabella ponendo il terzo bit a 0 nelle prime quattro combinazioni e a 1 nelle restanti Si ribalta Tabella

25 E si completa nel modo visto prima Il procedimento si ripete all aumentare del numero di bit del codice. Questo codice ha la caratteristica di essere un codice a distanza unaria o unitaria: questa proprietà consiste nel fatto che ogni combinazione differisce dalla precedente o dalla successiva per il valore di un solo bit. Ad esempio, per passare dalla rappresentazione del numero 3 a quella del numero 4 si deve cambiare soltanto il bit

26 Invece, usando ad esempio il codice binario puro occorre cambiare due bit. Questa caratteristica rende prezioso questo codice in diverse applicazioni. Vediamo un esempio relativo ad un meccanismo di rilevazione di posizione angolare. Supponiamo di voler informare un microprocessore sulla posizione angolare che ha assunto l asse di un motore (in sostanza vogliamo saper di quanti gradi è girato). Per fare ciò possiamo fissare all asse un disco che ha dei settori trasparenti e dei settori opachi, che sono disposti nel senso del raggio del disco. Ipotizziamo che dal centro alla periferia del disco, su ogni raggio si incontrino soltanto tre settori (vedi figura). In parallelo al disco abbiamo tre fotocellule che rilevano il passaggio della luce. Se una fotocellula si trova di fronte ad un settore opaco da in uscita un bit 1, se si trova di fronte ad un settore trasparente da in uscita uno 0. I colori dei settori corrispondono dunque a delle combinazioni binarie. Avere tre settori in direzione radiale significa dunque poter rappresentare un angolo con tre bit. Abbiamo 2 3 = 8 combinazioni diverse. Quindi possiamo esprimere gli angoli a scatti 26

27 di 360/8= 45. Nella figura vediamo che gli angoli sono codificati in binario puro per cui quando si passa dal primo settore al secondo le uscite delle fotocellule passano da 001 a 010 con una modifica di due bit. Ora occorre sapere che questi bit saranno trattati da apparecchiature elettroniche e che apparecchiature apparentemente identiche hanno velocità di reazione diverse alle variazioni degli ingressi. Supponiamo allora che, per fare un esempio, l apparecchio che gestisce la fotocellula centrale si accorga del cambiamento del bit corrispondente in ritardo rispetto all apparecchiatura che gestisce la fotocellula di destra. ne deriva che per il microprocessore, invece di leggere la nuova posizione come 010 la legge come 001, per cui non si accorge che il disco si è spostato. Analogamente quando si passa da 3 (011) a 4 (100) supponiamo che i gestori delle prime due fotocellule da sinistra siano in ritardo rispetto alla terza. Per il microprocessore si passerà da 011 (corrispondente a 45*3=135 ) a 001 (corrispondente a 45 ). Quindi il microprocessore pensa che il motore è addirittura tornato indietro. Vediamo invece un disco in cui i gradi siano codificati in gray 27

28 A causa della proprietà già ricordata, quando si passa da una qualunque posizione all altra deve cambiare lo stato di una sola fotocellula per cui eventuali ritardi differenziati fra le varie apparecchiature elettroniche non sono in grado di far confondere il sistema di controllo del motore. 28

(71,1), (35,1), (17,1), (8,1), (4,0), (2,0), (1,0), (0,1) 0, 7155 2 = 1, 431 0, 431 2 = 0, 862 0, 896 2 = 1, 792 0, 724 2 = 1, 448 0, 448 2 = 0, 896

(71,1), (35,1), (17,1), (8,1), (4,0), (2,0), (1,0), (0,1) 0, 7155 2 = 1, 431 0, 431 2 = 0, 862 0, 896 2 = 1, 792 0, 724 2 = 1, 448 0, 448 2 = 0, 896 2 Esercizio 2.2 La rappresentazione esadecimale prevede 16 configurazioni corrispondenti a 4 bit. Il contenuto di una parola di 16 bit può essere rappresentato direttamente con 4 digit esadecimali, sostituendo

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