I sistemi di numerazione

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1 I sistemi di numerazione 01-INFORMAZIONE E SUA RAPPRESENTAZIONE Sia dato un insieme finito di caratteri distinti, che chiameremo alfabeto. Utilizzando anche ripetutamente caratteri di un alfabeto, si possono costituire dei gruppi di caratteri giustapposti che chiamiamo sequenza. Ad esempio: con l alfabeto costituito dalle lettere latine si possono formare sequenze come CASA, DIRE, BELLO, ecc., con l alfabeto delle cifre arabe si possono formare sequenze come 123, 789, , ecc., con l alfabeto dei numeri romani si possono formare sequenze come VIII, CL, IL, ecc.. La teoria dell informazione stabilisce in quali circostanze si può considerare, associata ad una generica sequenza, una grandezza detta quantità d informazione, valutabile quantitativamente. Sono possibili rappresentazioni diverse di una medesima informazione? Si considerino due alfabeti A e B con lo stesso numero di caratteri e si stabilisca una corrispondenza che associ a ciascun elemento di A un elemento di B e viceversa. In tal caso si può dire che gli insiemi A e B sono l uno la rappresentazione dell altro. In particolare ci interessa considerare possibili corrispondenze tra insiemi di caratteri e l insieme degli stati fisici che possono essere assunti da un insieme di enti binari (ente binario = ogni oggetto suscettibile di trovarsi in uno di due stati fisici distinti). Il concetto astratto di numero è legato a quello di cardinale di un insieme inteso come quel valore che indica la quantità di oggetti in esso contenuti. Questo porta ai numeri naturali che sono la rappresentazione più comoda degli elementi di un insieme. Possiamo definire sistema di numerazione l insieme delle regole che permettono, con l alfabeto dato, di rappresentare un qualsiasi numero naturale. Esistono vari sistemi di numerazione; quello che usiamo più comunemente viene detto posizionale. In un sistema di numerazione posizionale ogni simbolo dell alfabeto ha un valore, un peso, legato alla posizione che occupa in una sequenza di simboli. Risulta quindi evidente che simboli uguali possono portare una diversa quantità di informazione (ad esempio 5, 50, ). Un esempio di sistema di numerazione non posizionale è la numerazione romana. In essa il valore 5 ha il simbolo V mentre il valore 50 ha il simbolo L. Per passare da 5 a 50 non è sufficiente cambiare la posizione del simbolo 5 (V), ma occorre introdurne uno nuovo (L). Questo tipo di numerazione, scomodo da interpretare e poco adatto allo svolgimento dei calcoli, fu abbandonato ed al suo posto fu adottato il sistema posizionale. Il più comune sistema posizionale è quello decimale: in esso i simboli sono 10 e quindi diciamo che questo sistema è in base 10. Nei calcolatori non esiste la possibilità di utilizzare 10 diversi simboli. La macchina può infatti riconoscere solo due stati: ON (presenza di segnale), OFF (assenza di segnale). L alfabeto a disposizione della macchina è formato da due soli simboli: 1 e 0 rispettivamente associati agli stati ON e OFF.

2 Per questo motivo occorre utilizzare un sistema di numerazione che prevede l uso dei soli simboli 1 e 0; per questa sua caratteristica, il sistema prende il nome di sistema binario. Poiché questo sistema di numerazione utilizza un alfabeto costituito da due simboli: A={0, 1} esso risulta essere in base due; le cifre 0 e 1 sono dette BIT (BInary digit). Questo sistema di numerazione è ancora, come quello decimale, posizionale. Riepilogando: un sistema di numerazione è costituito da: o un insieme finito A formato da n simboli (o caratteri o cifre) distinti detto alfabeto; o da un codice, cioè un insieme di regole che permettono di associare ed interpretare un gruppo ordinato di cifre rappresentate da un numero; o da algoritmi per l esecuzione di operazioni fondamentali, cioè regole che dati i codici degli operandi permettono di ricavare il codice risultato dell operazione. Le fondamentali regole del codice dei sistemi di numerazione attualmente usati sono: le cifre sono ordinate in modo che ognuna abbia un valore di una unità più elevato di quella che lo precede; (ad esempio: 0<0+1=1<1+1=2<2+1=3<3+1=4<...<8+1=9) le cifre hanno valore posizionale cioè legato alla posizione occupata nella sequenza di simboli assegnata; il peso delle varie cifre aumenta con l aumentare delle posizioni da destra a sinistra, ad esempio <----- se la quantità da contare è superiore al numero n dei simboli che formano l alfabeto deve essere effettuato il riporto di 1 che si somma alla cifra immediatamente a sinistra. La crescita del valore di un simbolo a seconda della posizione occupata in una sequenza è in diretta relazione alla base scelta, dove per base B di un sistema di numerazione intendiamo il numero di cifre diverse considerate o simboli dell alfabeto. Es. base 2 : 0, 1 base 8 : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 base 10 : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 base 16 : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F La cifra di minor valore è 0 e le altre sono, nell ordine: 1, 2,...,B-1. Una sequenza di n simboli appartenenti all alfabeto di cifre nella base B rappresenta un numero intero N B : c n-1...c 3 c 2 c 1 c 0 dove: c 0 è la meno significativa, cioè quella di peso minore, c n-1 è quella più significativa, cioè quella di peso maggiore. Per tale numero vale dunque la rappresentazione: N B =c n-1 *B n c 3 *B 3 + c 2 *B 2 + c 1 *B 1 + c 0 *B 0 Analogo discorso verrà fatto per un numero frazionario e di conseguenza per un numero misto: c n-1...c 3 c 2 c 1 c 0 c -1 c -2 c -3

3 N B =c n-1 *B n c 2 *B 2 + c 1 *B 1 + c 0 *B 0 + c -1 *B -1 + c -2 *B SISTEMA DI NUMERAZIONE DECIMALE Alfabeto: A={ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} Codice per un numero intero: POSIZIONE VALORE POSIZIONALE Il numero si può scrivere come: valore posizionale elementi dalla sequenza 0 +--> 7*10 = > 2*10 = > 4*10 = > 7*10 = > 5*10 = cioè: 57427=5* * * * *10 0 Codice per un numero misto: POSIZIONE VALORE POSIZIONALE punto decimale cioè: 327,261 =3* * * * * *10-3 = =

4 Nel caso del sistema binario e di ogni altro sistema di numerazione la tecnica di costruzione di una tabella per un numero misto è sempre dello stesso tipo: POSIZIONE VALORE POSIZIONALE CONVERSIONE BINARIO-DECIMALE punto decimale Valutando la forma polinomiale otteniamo la conversione del numero espresso in binario nel corrispondente numero decimale valore posizionale elementi della sequenza 0 +--> 1* 2 = > 0* 2 = > 1* 2 = > 0* 2 = > 1* 2 = cioè: (10101) 2 =1*2 4 +0*2 3 +1*2 2 +0*2 1 +1*2 0 =(21) 10

5 02.2- CONVERSIONE DECIMALE-BINARIO Per la conversione della PARTE INTERA ricordiamo che: n N =c * c * 2 + c * 2 + c * 2 + c * 2 + c * 2 2 n dove c i appartiene all insieme (0,1). Effettuando divisioni successive per 2 fino ad ottenere un quoziente nullo otterremo come resti tutte le cifre binarie c... c c c c c c c n che costituiscono la rappresentazione binaria corrispondente al numero dato N. Il procedimento di conversione si basa sui seguenti passi: dividere il numero decimale per 2 fino ad ottenere quoziente nullo; considerare la successione dei resti; il primo resto è la cifra meno significativa del numero binario, mentre l ultimo resto costituisce la cifra più significativa. Esempi: Conversione di (37) 10 : 37 1 cifra meno significativa quozienti resti cifra più significativa quoziente nullo 0 (37) 10 =(100101) 2 Conversione di (68) 10 : quozienti 68 0 resti quoziente nullo 0 (68) 10 =( ) 2 La conversione della PARTE FRAZIONARIA di un numero in base 10 si ottiene utilizzando il metodo delle moltiplicazioni successive. Sia N la parte frazionaria di un numero : N 2 =c -1 * c -2 * c -m * 2 -m con c i =0 o c i =1

6 Moltiplicando per 2 ambo i membri della precedente uguaglianza, successivamente, si ottiene una sequenza di interi c 1 c -2 c -3 c c -m Il procedimento continua finché la parte frazionaria si annulla, oppure si raggiunge la precisione voluta di numero di cifre decimali dopo il punto radice. I passi del procedimento di conversione sono i seguenti: si moltiplica per 2 la parte frazionaria del numero in base 10, la parte intera del prodotto è una cifra binaria corrispondente al dato, se la parte frazionaria non è nulla oppure non si è ancora raggiunto il desiderato numero di cifre dopo il punto decimale, si considera la parte frazionaria del prodotto e si torna al primo punto. Si scrivono le cifre binarie di cui al secondo punto NELL ORDINE DI DETERMINAZIONE. Conversione in binario di N = * 2 = > 1 ---> bit più significativo * 2 = > * 2 = > * 2 = > 1 ---> bit meno significativo (0.5625) 10 =(0.1001) 2 Conversione in binario di N = * 2 = > 0 ---> bit più significativo * 2 = > * 2 = > * 2 = > * 2 = > 1 ---> bit meno significativo (0.3562) 10 =( ) OPERAZIONI BINARIE Somma La somma corrisponde all operazione logica OR ESCLUSIVO (XOR) ed all operazione di UNIONE fra insiemi (U) con riporto di 1 : (1) 2 +(1) 2 = (10) 2 A=(10111) 2

7 B=(101) = elementi dalla sequenza +--> 1+1 = > = > = > = > 1+0 = Sottrazione La sottrazione di due numeri si ottiene quindi con METODO DIRETTO (cioè con le normali regole) come nel sistema decimale tenendo conto degli eventuali prestiti con prestito di 1 : (10) -(1) = (1) Nel sistema decimale: 1 <- prestito -> = 53 = +---> 63 = > 163 = > cifra meno significativa restituzione del prestito Analogamente nel sistema binario: 1 1 prestiti minuendo = sottraendo 26 = differenza 19

8 03.3- Moltiplicazione La moltiplicazione corrisponde all operazione logica AND ed all operazione di INTERSEZIONE fra insiemi (V) * I passi del procedimento di moltiplicazione binaria sono i seguenti: per ogni serie di prodotti eseguiti spostarsi di un posto verso destra, addizionare i prodotti parziali * 118 * = 25 = prodotti parziali Divisione La divisione binaria si esegue come quella decimale cioè con i seguenti passi: si confrontano gli n bits più significativi del dividendo con gli n bits più significativi del divisore, la prima cifra del divisore sarà 1 ovvero 0 a seconda che il divisore contenga o no il dividendo, si applicano successivamente le regole della divisione decimale * = prova // // 1001 più eventuale resto

9 03.5- Sottrazione in complemento a 2 Esaminiamo il caso decimale: = 1659 ovvero ( ) = = = 1659 complemento a 10 del sottraendo Determinazione del complemento a 10: calcolo della potenza del 10 immediatamente superiore al numero da complementare, sottrazione di 1 a questa potenza, sottrazione cifra per cifra con il numero dato: si ottiene il complemento a 9, addizione di 1 al numero ottenuto: si ottiene il complemento a 10. Calcolo del complemento a 10 di 348: n=3, 10 3 =1000, = complemento a 9 1 = 652 complemento a 10 Tornando alla sottrazione: si effettua il complemento a 10 del sottraendo (3717) = complemento a 9 1 = complemento a 10 si effettua la somma del minuendo con il complemento a 10 del sottraendo = dopo avere eseguito la somma si toglie la cifra più significativa del risultato = (1)1659 Nel caso binario ci si comporta analogamente: si esegue il complemento a 2: invertendo ogni bit del numero e sommando 1,

10 il risultato della somma viene privato del bit più significativo = Procediamo passo passo: si esegue il complemento a 1 del sottraendo (11101): invertendo ogni bit del numero e si effettua il complemento a 2 del sottraendo invertito (00010): sommando 1, complemento a 1 1 = complemento a 2 si effettua la somma del minuendo ( ) con il complemento a 2 del sottraendo (11101) in base = 71 = complemento a 10 di (1) (1)62 dopo avere eseguito la somma si toglie la cifra più significativa del risultato

11 04-SISTEMA DI NUMERAZIONE ESADECIMALE Poiché i numeri binari sono costituiti da sequenza di bit, sono di difficile manipolazione e scrittura da parte dell utente. Per far fronte a tale difficoltà si introduce il sistema di numerazione esadecimale che usa 16 simboli per rappresentare le cifre. La relazione fra sistema binario ed esadecimale consiste nel fatto che il numero 4 di cifre del sistema esadecimale è una potenza del 2 (2 4 =16). Quattro bits permettono pertanto di rappresentare le 16 cifre esadecimali. L equivalenza fra cifre esadecimali e numeri binari è definita dalla seguente tabella: Esadecimale Binario A 1010 B 1011 C 1100 D 1101 E 1110 F 1111 Il sistema di numerazione esadecimale permette la rappresentazione semplificata dei numeri binari. La conversione binario-esadecimale infatti si ottiene raggruppando i bit a gruppi di quattro partendo da destra, pareggiando le cifre con degli zero e sostituendo la corrispondente cifra esadecimale. La conversione esadecimale-binario è di facile interpretazione in quanto consiste nella sostituzione di ogni cifra esadecimale con la corrispondente configurazione di quattro bits. Esemplifichiamo brevemente come è possibile convertire una sequenza di otto bits in due cifre esadecimali. Dato un numero binario N, questo può essere scritto in forma additiva come: N = 2 *c +2 *c +2 *c +2 *c +2 *c +2 *c +2 *c +2 *c dove c i appartiene all insieme (0,1); raccogliendo i fattori comuni si ottiene: N = 2 *(2 *c +2 *c +2 *c +2 *c )+2 *(2 *c +2 *c +2 *c +2 *c ) tenendo conto del fatto che le sequenze del tipo: i i-1 i-2 i-3 2 *c +2 *c +2 *c +2 *c

12 i i-1 i-2 i-3 sono elementi dell alfabeto esadecimale poiché possono assumere solo valori compresi fra 0 e 15, si può scrivere: i i-1 i-2 i-3 d = 2 *c +2 *c +2 *c +2 *c i i i-1 i-2 i-3 con d appartenente all insieme(0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,a,b,c,d,e,f). i Tenendo conto di quanto detto, la sequenza corrispondente ad N può essere scritta come: N = 2 *d +2 *d =16 *d +16 *d che è quindi una sequenza esadecimale scritta in forma additiva. Questo chiarisce come una sequenza qualsiasi di cifre binarie può essere immediatamente rappresentata con la corrispondenza sequenza esadecimale e viceversa.

13 05-ESERCIZI Esercizio 1 Convertire i seguenti numeri: (11011,01) 2 --> (? ) 16 (1001,011) 2 --> (? ) 10 Per la conversione in base 16 usare entrambe le tecniche note. Esercizio 2 Convertire i seguenti numeri: (42,21) --> (? ) 10 2 (241,BA) --> (? ) metodo diretto 16 2 (67,15) --> (? ) metodo diretto 8 2 Esercizio 3 Eseguire le seguenti operazioni binarie: : 1101 con prova con il metodo del prestito ed il metodo del complemento * 111 Esercizio 4 Dire qual è il massimo numero rappresentabile con una sequenza di n cifre: binarie. ottali. Esercizio 5 Data la sequenza 10 dire a quale (o quali) sistema di numerazione può attribuita ed indicare il corrispondente valore. Esercizio 6 Effettuare le seguenti conversioni: a) (101011) > (? ) 10 b) (45.6) > (? ) 2 c) (AB7) > (? ) > (? ) 8 d) (1111,0011) > (? ) > (? ) 2

14 Esercizio 7 Dopo aver determinato il minimo sistema di numerazione di appartenenza delle seguenti sequenze convertirle nelle corrispondenti sequenze decimali: (123)? -----> (? ) 10 (ABC)? -----> (? ) 10 E possibile che uno o più degli esercizi seguenti non siano eseguibili con il sistema di numerazione indicato, in tal caso individuare il minimo sistema di numerazione di appartenenza dei numeri e sostituire quest ultimo a quello proposto spiegando il motivo della scelta. Esercizio 8 Effettuare le seguenti conversioni: a) (67,15) 7 --> (? ) 10 b) (15,5) 10 --> (? ) 7 Esercizio 9 Effettuare la seguente conversione: 1) (100111,10111) ---> (? ) 6) (111101,11111) ---> (? ) ) (100101,11001) ---> (? ) 7) (111111,11111) ---> (? ) ) (110011,00101) ---> (? ) 8) (101010,10101) ---> (? ) ) (111000,00011) ---> (? ) 9) (111100,00111) ---> (? ) ) (110111,11011) ---> (? ) 10) (100101,10111) ---> (? ) Esercizio 10 Effettuare la seguente conversione: 1) (55,12) ---> (? ) 6) (75,89) ---> (? ) ) (89,75) ---> (? ) 7) (45,61) ---> (? ) ) (61,45) ---> (? ) 8) (25,75) ---> (? ) ) (75,25) ---> (? ) 9) (45,22) ---> (? ) ) (12,55) ---> (? ) 10) (79,65) ---> (? ) Esercizio 11 Effettuare la seguente conversione: 1) (32,4) ---> (? ) 6) (42,3) ---> (? ) ) (54,3) ---> (? ) 7) (45,3) ---> (? ) ) (61,5) ---> (? ) 8) (45,1) ---> (? ) ) (75,4) ---> (? ) 9) (74,5) ---> (? ) ) (84,2) ---> (? ) 10) (78,5) ---> (? )

15 Esercizio 12 Eseguire la seguente moltiplicazione: 1) * ) * ) * ) * ) * ) * ) * ) * ) * ) * 1110 Esercizio 13 Dato l insieme di caratteri: 1) A = [ 0,1,2,3,4] 2) A = [ 0,1,2,3,4,5] 3) A = [ 0,1,2,3,4,5,6] 4) A = [ 0,1,2,3,4,5,6,7] 5) A = [ 0,1,2,3,4,5,6,7,8] 6) A = [ 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9] individuare la base B del sistema di numerazione costruito a partire dall insieme A, spiegare i due metodi che abbiamo individuato per calcolare la base B. Esercizio 14 Effettuare le seguenti conversioni: a) (100111,10111) ---> (? ) b) (111101,11111) ---> (? ) c) (100101,10111) ---> (? ) d) (110111,11011) ---> (? ) e) (100101,11001) ---> (? ) f) (111111,11111) ---> (? ) g) (111100,00111) ---> (? ) h) (111000,00011) ---> (? ) i) (110011,00101) ---> (? ) l) (101010,10101) ---> (? ) m) (101010,10101) ---> (? ) n) (110011,00101) ---> (? ) o) (111000,00011) ---> (? ) p) (111100,00111) ---> (? ) q) (111111,11111) ---> (? ) r) (100101,11001) ---> (? ) s) (110111,11011) ---> (? ) t) (100101,10111) ---> (? ) u) (111101,11111) ---> (? ) z) (100111,10111) ---> (? ) Esercizio 15 Effettuare la seguente conversione: a) (AB6) --> (? ) b) (CB7) --> (? ) c) (567) --> (? ) d) (765) --> (? ) e) (CD9) --> (? ) f) (EDB) --> (? ) g) (723) --> (? ) h) (527) --> (? )

16 i) (EF8) --> (? ) l) (A8F) --> (? ) m) (375) --> (? ) n) (465) --> (? ) o) (9AF) --> (? ) p) (9BD) --> (? ) q) (473) --> (? ) r) (345) --> (? ) s) (ABC) --> (? ) t) (A98) --> (? ) u) (654) --> (? ) v) (352) --> (? ) Esercizio 16 Eseguire la seguente sottrazione usando il metodo del prestito ed il metodo del complemento a 2: 1) ) ) ) ) ) ) ) ) ) Esercizio 17 Eseguire la seguente moltiplicazione: 1) * ) * ) * ) * ) * ) * ) * ) * ) * ) * 1110 Esercizio 18 Eseguire la seguente divisione: 1) : ) : ) : ) : ) : ) : ) : ) : ) : ) : 1011 Esercizio 19 Eseguire la seguente divisione: 1) ) ) ) ) ) ) ) ) ) Esercizio 20 Rispondere alle seguenti domande:

17 Cosa si intende per alfabeto? Perché se ne parla a proposito dei sistemi di numerazione? Cosa s intende per sistema di numerazione posizionale? Perché il sistema di numerazione romano non è di tipo posizionale?