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1 Esercitazioni su rappresentazione dei numeri e aritmetica dei calcolatori" slide a cura di Salvatore Orlando & Marta Simeoni " Architettura degli Elaboratori 1

2 Interi unsigned in base 2" Si utilizza un alfabeto binario A = {0,1}, dove 0 corrisponde al numero zero, e 1 corrisponde al numero uno "d n-1...d 1 d 0 con di d i {0,1}" Qual è il valore rappresentato?" N = d n-1 2 n d d Quanti e quali numeri sono rappresentabili su n bit? = = = = 2 n = 2 n = 2 n = 2 n Con sequenze di n bit sono rappresentabili 2 n numeri naturali (da 0 a 2 n -1) Architettura degli Elaboratori 2

3 Interi unsigned in base 2" I seguenti numeri naturali sono rappresentabili usando il numero di bit specificato?" Ricorda che: su 5 bit? " SI su 6 bit? " NO su 9 bit? " SI su 10 bit? " NO 2 0 = = = = = = = = = = = Architettura degli Elaboratori 3

4 Conversione binario-decimale" Esercizio: =??? 10 " = Soluzione: = Architettura degli Elaboratori 4

5 Conversione decimale-binario" Esercizio: =??? 2 " 100 : 2 = 50 resto 0 50 : 2 = 25 resto 0 25 : 2 = 12 resto 1 12 : 2 = 6 resto 0 6 : 2 = 3 resto 0 3 : 2 = 1 resto 1 1 : 2 = 0 resto 1 Soluzione: = Architettura degli Elaboratori 5

6 Conversione dec-bin: metodo più pratico Scriviamo direttamente il numero decimale come somma di potenze di 2. Per far questo, sottraiamo via via le potenze di 2, a partire dalle più significative. " Ricorda che: Esercizio: =??? 2 " = 59 ==> = 27 ==> = 11 ==> = 3 ==> = 1 ==> = 0 ==> 2 0 Allora = Soluzione: = = = = = = = = = = = = Architettura degli Elaboratori 6

7 Conversione binario-ottale e viceversa" Esercizio: =??? 8 " Soluzione: = 2578 Esercizio: =??? 2 " Soluzione: 6358 = Architettura degli Elaboratori 7

8 Base 16" Quali dei seguenti numeri esadecimali sono numeri sono corretti?" BED CAR 938 DEAD BEBE A129 ACI DECADE BAG DAD 4H3 Architettura degli Elaboratori 8

9 Conversione binario-esadecimale e viceversa" Esercizio: =??? 16" B E D Soluzione: = BED16 = Esercizio: A3C9 16 =??? 2" A 3 C Ricorda che: 1 10 = 1 16 = = 2 16 = = 9 16 = = A 16 = = B 16 = = C 16 = = D 16 = = E 16 = = F 16 = Soluzione: A3C916 = = Architettura degli Elaboratori 9

10 Interi signed in complemento a 2" Come si riconosce un numero positivo da uno negativo?" Positivo bit più significativo 0" Negativo bit più significativo 1" Su n bit sono rappresentabili 2 n interi unsigned (da 0 a 2 n -1)" Sempre su n bit, quanti interi signed in complemento a 2?" = = = 2 n-1-1 (massimo pos.) = -2 n-1 (minimo neg.) = -1 in totale sempre 2 n numeri Architettura degli Elaboratori 10

11 Interi signed in complemento a 2" Dato N>0, il numero -N si rappresenta su n bit con il numero unsigned 2 n - N -1 2 n - 1 (1...1) - 2 n-1 2 n - 2 n-1 = 2 n-1 (10...0) Data la rappresentazione di un numero negativo in complemento a due su n bit, il valore corrispondente si determina assegnando - peso negativo al bit di segno (-2 n-1 ) - peso positivo a tutti gli altri bit Esempio su 5 bit: = = -13 Architettura degli Elaboratori 11

12 Complemento a 2: cambio di segno" Esercizio: Rappresentare in complemento a 2 su 8 bit " = = Complemento a uno Soluzione: = Architettura degli Elaboratori 12

13 Complemento a 2: cambio di segno" Esercizio: Rappresentare -35 in complemento a 2 su 8 bit " = Inverti (complementa a 1) tutti i bit a sinistra del bit 1 meno significativo Architettura degli Elaboratori 13

14 Complemento a 2: cambio di segno" Esercizio: Quale numero decimale rappresenta il seguente numero binario in complemento a due? " = = Soluzione: il numero è Architettura degli Elaboratori 14

15 Complemento a 2: somma e sottrazione" Esercizio: eseguire in complemento a due su 8 bit" = complementando: = = (-35) 10 = = ( ) mod = Architettura degli Elaboratori 15

16 Complemento a 2: somma e sottrazione" Esercizio: eseguire in complemento a due su 8 bit" = complementando: = = (-38) 10 = = ( ) mod = Architettura degli Elaboratori 16

17 Overflow" In quali dei seguenti casi si può ottenere overflow?" somma di due numeri con segno concorde? " somma di due numeri con segno discorde? " sottrazione di due numeri con segno concorde? " sottrazione di due numeri con segno discorde? " SI" NO" NO" SI" Architettura degli Elaboratori 17

18 Come scoprire lʼoverflow" Primo caso: " somma algebrica di due numeri positivi A e B. Si ha overflow se A +B>=2 n-1, ovvero se A+B non può essere rappresentata su n bit in complemento a due." Esempi: A=01111 B=00001 (OVERFLOW due ultimi riporti discordi) A=01100 B=00001 (NON OVERFLOW due ultimi riporti concordi) = 00001= Architettura degli Elaboratori 18

19 Come scoprire lʼoverflow" Secondo caso: " somma algebrica di due numeri negativi A e B. Si ha overflow se A + B >2 n -1, ovvero se A + B non può essere rappresentata su n bit in complemento a due." Esempi: A=10100 B=10101 (OVERFLOW due ultimi riporti discordi) A=10111 B=11101 (NON OVERFLOW due ultimi riporti concordi) = 11101= Architettura degli Elaboratori 19

20 Esercizio" Considerate i numeri esadecimali x 1 = 7A x 2 = 13 x 3 = FF x 4 = C1 x 5 = 84 " Scrivere i cinque numeri in codice binario a 8 bit" x 1 = x 2 = x 3 = x 4 = x 5 = Interpretare il codice binario in complemento a due ed eseguire le operazioni x 1 - x 2 ; x 3 + x 4 ; x 4 + x 5 ; x 4 - x x x = ( ) mod 2 8 = overflow? Architettura degli Elaboratori 20

21 Esercizio (continua)" x x = ( ) mod 2 8 = overflow? x x = ( ) mod 2 8 = overflow? x x = ( ) mod 2 8 = overflow? Architettura degli Elaboratori 21

22 Esercizio - caso particolare" Si ricorda che lʼopposto del numero negativo più piccolo su n bit non può essere rappresentato in complemento a due" codifica non simmetrica" Supponiamo quindi:" di lavorare con rappresentazioni in complemento a due su 3 bit" di dover effettuare la sottrazione x-y" dove y=100 2 è il minimo numero rappresentabile (y=-4 10 )" Esercizio: calcolare x-y usando il solito algoritmo, dove x=001 2 " 000 " X 001 +" -Y 100 " " Il complemento a due non ha effetto (0101) mod 2 3 = 101 OVERFLOW, anche se " riporti concordi!!" Abbiamo infatti sottratto un numero negativo da un numero >= 0 il segno atteso è positivo" Architettura degli Elaboratori 22

23 Esercizio - caso particolare (continua)" Esercizio: calcolare x-y, dove x=111 2 " poiché x=111 2 allora x = -1 10" non dovremmo avere overflow, poiché vogliamo effettuare la somma algebrica di due numeri con segno discorde" il risultato da ottenere è x-y= (-4 10 ) = 3 10 " 100 Il complemento " a due non ha effetto X 111 +" -Y 100 " " corretto (1011) mod 2 3 = 011 = 3 10 NO OVERFLOW, anche" " " " " " se riporti discordi!!" Abbiamo infatti sottratto un numero negativo da un numero negativo in questo caso non si può verificare overflow" Architettura degli Elaboratori 23

24 Procedura generale per determinare lʼoverflow" Alla luce dellʼesempio precedente, guardare solo ai due ultimi riporti per controllare lʼoverflow potrebbe quindi portare a risultati erronei" Operazione Somma Somma Somma Somma Sottrazione Sottrazione Sottrazione Sottrazione Segno 1 o operando Segno 2 o operando + Segno atteso qualsiasi qualsiasi + qualsiasi qualsiasi Solo in questi" casi si può " verificare un " OVERFLOW." Possiamo " controllarlo" confrontando" il bit di segno del " risultato con il " segno atteso." Architettura degli Elaboratori 24

25 Numeri con la virgola (virgola fissa)" Data una base B, si assegnano: " n cifre per rappresentare la parte intera" m cifre per rappresentare la parte frazionaria" In base B=2, abbiamo quindi m+n bit per parte intera e frazionazia" Esempio:" d n-1...d 1 d 0. d -1...d -m m n" Qual è il numero rappresentato in base B?" N = d n-1 B n d 1 B 1 + d 0 B 0 + d -1 B d -m B -m Architettura degli Elaboratori 25

26 Virgola fissa" Esercizio: =??? 2 " (usare la rappresentazione in virgola fissa con n=8, m=8)" Conversione parte intera: 23 : 2 = 11 resto 1 11 : 2 = 5 resto 1 5 : 2 = 2 resto 1 2 : 2 = 1 resto 0 1 : 2 = 0 resto 1 Conversione parte frazionaria: x 2 = 1.25 parte intera x 2 = 0.50 parte intera x 2 = 1 parte intera 1 Soluzione: = Architettura degli Elaboratori 26

27 Numeri con virgola mobile" Un numero reale R può essere scritto in base B come " R = ± m B e m = mantissa e = esponente B = base" Esempi con B = 10" R1 = x 10 3 " R2 = x 10-6 " R3 = x 10 2 " R4 = x " Notazione scientifica: m = 0. d -1...d -k " Notazione scientifica normalizzata: m = d 0. d -1...d -k con d 0 0" Architettura degli Elaboratori 27

28 Numeri binari in virgola mobile" Rappresentando mantissa ed esponente in binario in notazione scientifica normalizzata si ottengono numeri del tipo:" " ±1.xx x 2 yy...y! Si osservi che:" Spostare la virgola (punto) a destra di n bit significa decrementare di n " lʼesponente" es: = " Infatti = 1 2 1" Spostare la virgola (punto) a sinistra di n bit significa incrementare di n! lʼesponente " es: = " Infatti ( ) 2 3 = ( ) 2 5" = " Architettura degli Elaboratori 28

29 Numeri FP" Esercizio: =??? 2 FP" = = = Esercizio: =??? 2 FP" = = x 2 = parte intera x 2 = 1 10 parte intera = Quindi = = = Architettura degli Elaboratori 29

30 Numeri FP" Una volta fissato il numero di bit totali per la rappresentazione dei numeri razionali rimane da decidere:" - Quanti bit assegnare per la mantissa?" (maggiore è il numero di bit e maggiore è lʼaccuratezza con cui" si riescono a rappresentare i numeri)" - Quanti bit assegnare per lʼesponente?" (aumentando i bit si aumenta lʼintervallo dei numeri rappresentabili)" OVERFLOW: si ha quando lʼesponente positivo è troppo grande " per poter essere rappresentato con il numero di bit" assegnato allʼesponente " UNDERFLOW: si ha quando lʼesponente negativo è troppo grande" (in valore assoluto) per poter essere rappresentato" con il numero di bit assegnato allʼesponente" Architettura degli Elaboratori 30

31 Numeri FP in standard IEEE754" Standard IEEE754: Singola precisione (32 bit) " Lʼintervallo di valori (decimali) rappresentabili è ± ~ ~ " Standard IEEE754: Doppia precisione (64 bit)" Lʼintervallo di valori (decimali) rappresentabili è ± ~ ~ ! Architettura degli Elaboratori 31

32 Standard IEEE754: Esempio" Esempio: scrivere in notazione floating point, usando lo standard IEEE754 in singola precisione" = - ( ) = - ( /2 + 1/8) = " "= = = " "= (-1) 1 ( ) 2 3" Aggiungendo allʼesponente la polarizzazione il numero diventa: " (-1) 1 ( ) 2 (3+127) " Architettura degli Elaboratori 32

33 Standard IEEE754: Esempio" Esempio: Quale numero decimale rappresenta la seguente sequenza di bit, letta secondo lo standard IEEE754?" esponente: = =141 10" mantissa: = = " Quindi il numero è: ( ) = " oppure:" 1,10011 * 2 14 = = = 26112" Architettura degli Elaboratori 33

34 Somma di numeri FP" Shift Somma Normalizzazione Arrotondamento Architettura degli Elaboratori 34

35 Somma di numeri FP con standard IEEE754" Esercizio: Dati i due numeri esadecimali A=C e B=42F80000" 1. tradurre i numeri in binario" 2. interpretare le sequenze di bit ottenuti come numeri FP espressi secondo lo standard IEEE754 in singola precisione " 3. eseguirne poi la somma specificando tutti i passaggi" 4. rappresentare il risultato ottenuto in esadecimale" Soluzione:" 1. Traduzione in binario" A = B = Interpretazione di A e B come numeri FP:" A = B = cioè:" A = (-1) = (-1) " B = (-1) = (-1) " Architettura degli Elaboratori 35

36 Somma di numeri FP con standard IEEE754" 3. Somma" lʼesponente di A è 2 7 mentre quello di B è 2 6. Allineando B si ottiene:" A = B = " A è negativo e quindi eseguo il complemento a due aggiungendo un bit per il segno" A = B = " somma delle mantisse" A = " B = " " C = è un numero negativo il cui valore assoluto è "" arrotondamento: non necessario " Architettura degli Elaboratori 36

37 Somma di numeri FP con standard IEEE754" normalizzazione" C = (-1) = (-1) " e quindi" C = = Rappresentazione di C in esadecimale" C = C1D00000" Architettura degli Elaboratori 37

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