SISTEMI DI NUMERAZIONE

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1 Università degli Studi di Roma Tor Vergata Facoltà di Ingegneria Corso di Laurea in Ingegneria Medica SISTEMI DI NUMERAZIONE Come nei calcolatori sono rappresentati i numeri

2 Numeri I numeri rappresentano il modo simbolico per descrivere su un supporto delle quantità. Fin dall antichità gli esseri umani hanno avuto bisogno di quantificare le cose e gli eventi. Anche gli animali hanno un loro modo di quantificare e qualificare Ci sono popolazioni che ancora usano solo piccoli numeri Alcune popolazioni hanno ideato le loro modalità di rappresentazione Informatica - Ingegneria Medica Franco Del Bolgia Slide 2 of 55_

3 Numerali Numerale è una stringa di simboli che rappresentano un numero 124 BF189AH MCMLXXXVIII Il valore non è definibile se non si conoscono le regole che sono state definite per le modalità di rappresentazione NUMERI Maya - Babilonesi - Egizi - Etruschi Sistemi additivi e sistemi posizionali Informatica - Ingegneria Medica Franco Del Bolgia Slide 3 of 55_

4 Sistemi di numerazione SISTEMI ADDITIVI Sono stabiliti dei simboli base Il valore del numero risulta dalla somma o differenza di una sequenza di tali simboli posizionati in modo opportuno Nella rappresentazione è insita una operazione matematica non costante Risulta a volte impossibile rappresentare tutti i numeri Per i Maya ci sono 20 simboli base costituiti da 3 ripetuti Per i Babilonesi 60 costituiti da 2 simboli ripetuti Per i romani sono 7 (I V X L C D M) Informatica - Ingegneria Medica Franco Del Bolgia Slide 7 of 55_

5 Sistemi di numerazione NUMERAZIONE ROMANA I II III IV V VI VII simboli usati e loro peso I uno V cinque X dieci L cinquanta C cento D cinquecento M mille Il simbolo può avere valore positivo o negativo a secondo che preceda un simbolo minore o uguale oppure segua un simbolo di peso maggiore. IV (4=-1+5) VI (6=5+1) XL (40=-10+50) LX (60=50+10) Poi ci sono altre regole.. C = C *1000 = Informatica - Ingegneria Medica Franco Del Bolgia Slide 8 of 55_

6 Sistemi di numerazione SISTEMI POSIZIONALI o Arabi Vi troviamo due condizioni essenziali: 1-E definito un insieme di simboli base 2-Ad ogni simbolo è associato un peso, che NON cambia mai. Il valore del numero è funzione del valore assegnato al simbolo e della posizione in cui il simbolo stesso si trova nel numerale SIMBOLOGIA della CIFRA decimale Informatica - Ingegneria Medica Franco Del Bolgia Slide 9 of 55_

7 Criterio di rappresentazione-numeri Naturali Il peso di ogni singolo simbolo è relazionato al precedente ed al successivo dall aggiunta o dalla sottrazione del peso unitario = 4 = precede 5 segue Giunti all ultimo simbolo si ricomincia dal primo simbolo con il riporto di una unità nella PRIMA colonna a sinistra = 0 con il riporto di 1 = = 0 con il riporto di 1 che sommato a 1(decine) da 2(decine) = 20 e così via fino a = 0 unità con il riporto di 1(decine) che sommato a 9 da 0 con il riporto di 1(centinaia) = 100 Informatica - Ingegneria Medica Franco Del Bolgia Slide of of XX 55_

8 Sistema decimale 24 D = 2x10 (1) + 4x10 (0) = Rappresentazioni numeriche 4735 D = 4x10 (3) + 7x10 (2) + 3x10 (1) + 5x10 (0) = La costruzione di un qualsiasi numero può essere effettuata aggiungendo allo 0 più a destra l unità tenendo presente che ogni volta che si arriva a 9, l ulteriore valore è dato dall aggiunta (riporto) nella colonna a sinistra di 1 e riazzerando il simbolo più a destra. Esempio: migliaia centinaia decine unità Perché gli uomini hanno scelto un sistema decimale! Perché hanno 10 dita! Informatica - Ingegneria Medica Franco Del Bolgia Slide 11 of 55_

9 Sistema decimale-numeri Naturali Tutti gli infiniti valori interi positivi sono ottenuti da combinazioni ordinate di un numero definito di cifre. Ogni singola cifra assume quindi un peso nel numero, che è funzione della sua posizione D = 7* * * * D = 4* * * * D = 3* * * * *10 0 Informatica - Ingegneria Medica Franco Del Bolgia Slide of of XX 55_

10 SISTEMI DI NUMERAZIONE RIPORTO 1 ma con errore OVERFLOW Informatica - Ingegneria Medica Franco Del Bolgia Slide of of XX 55_

11 Realizziamo ora, come esempio una nostra base numerica del tutto arbitraria formata da solo 3 simboli & di peso 0 $ di peso 1 di peso 2 Nunerazione ternaria Base 3 Base 10 scriviamo i valori che possiamo rappresentare con quattro cifre partendo da zero si ottiene la seguente tabella dove nella colonna di sinistra è rappresentato il numero espresso con la nostra base ternaria, mentre nella colonna di destra il numero espresso in base decimale Informatica - Ingegneria Medica Franco Del Bolgia Slide 15 of 55_

12 L elettronica nel calcolo Elettronicamente si possono realizzare dispositivi in grado di effettuare operazioni matematiche. Dispositivi analogici Sommatore Amplificatore Integratore Derivatore Questa tecnologia è però imprecisa e risente in modo pesante di varie condizioni al contorno Temperatura, rumore, caratteristiche dei singoli componenti nel tempo Informatica - Ingegneria Medica Franco Del Bolgia Slide 16 of 55_

13 Rappresentazione Binaria Anche i calcolatori sono realizzati con tecnologie elettroniche ma le modalità con cui rappresentano le informazioni sono diverse. I circuiti che li compongono vengono fatti funzionare come elementari interruttori, dando così luogo a due soli stati possibili circuito APERTO o CHIUSO 0 o 1 Informatica - Ingegneria Medica Franco Del Bolgia Slide of of XX 55_

14 Rappresentazione Binaria Questa condizione può essere sfruttata per definire una base di numerazione diversa da quella decimale con una base di due soli simboli che possiede le stesse proprietà e segue le stesse regole dell algebra. Con opportuni insiemi di interruttori e circuiti adeguati si possono Rappresentare e memorizzare i numeri binari Rappresentare funzioni da svolgere Informatica - Ingegneria Medica Franco Del Bolgia Slide of of XX 55_

15 Nel sistema binario il set di simboli base è composto solo da 0 e 1 Utilizzando ad esempio una combinazione di 4 cifre binarie ( interruttori ) Perché Perché nei computer i computer si adottano utilizza il un sistema sistema binario binario?! Rappresentazione Binaria Perché un circuito può avere 2 soli stadi stabili ben definiti aperto o chiuso! Perché un circuito può avere 2 soli stadi stabili aperto o chiuso! Decimale unità Informatica - Ingegneria Medica Franco Del Bolgia Slide 20 of 55_

16 Rappresentazione Binaria Il valore della combinazione sarà allora : 1011 B 1* * * *2 0 = B binario = 11 D decimale Così come per il sistema decimale, possiamo stabilire di lavorare con un numero prefissato di cifre 999 tre cifre cinque cifre 9 una cifra La singola cifra prende il nome di BIT (Binary Digit) Informatica - Ingegneria Medica Franco Del Bolgia Slide 21 of 55_

17 Rappresentazione Binaria Con 4 cifre decimali si conta da 0 a 9999 avendo a disposizione combinazioni Con k cifre a disposizione posso rappresentare (10 k -1) numeri Con 4 cifre binarie si conta da 0 a 1111 (15 D ) avendo a disposizione 16 combinazioni Con n cifre a disposizione posso rappresentare (2 n -1) numeri Con 8 cifre binarie da 0 a (255 D ) avendo a disposizione 256 combinazioni Informatica - Ingegneria Medica Franco Del Bolgia Slide 22 of 55_

18 Ripetizione dei simboli Informatica - Ingegneria Medica Franco Del Bolgia Slide 23 of 55_

19 Codifica esadecimale La numerazione esadecimale base 16 (sedici simboli pesati) nasce per la necessità di associare (rappresentare un numero binario di 4 cifre), con un unico simbolo pesato, i 6 pesi che hanno valori superiori al 9, dal 10 al A B C D E F Informatica - Ingegneria Medica Franco Del Bolgia Slide 24 of 55_

20 Un numero esadecimale è composto da lettere che assumo i per da 10 a 15 con una sola cifra e la base diventa di 16 simboli A3CD H = A* * C* D*16 0 = = 10* * * *1 = A3CD H = D Informatica - Ingegneria Medica Franco Del Bolgia Slide 25 of 55_

21 Codifica dei dati Tipologia dei dati Numerici Numeri naturali interi razionali - irrazionali 0,1,2,3,4,5,. ; -5,-4,-3,,0,1,2,3,4,5,.; ½ ; ¼, 1/8, 1/10 \ 1/3 0,5 ; 0,25 ; 0,125 ; 0,1 ; \ 0,3333 Non numerici (Alfabetici o Alfanumerici) A,a,B,b,C,c,.., 00150, Istruzioni +, -, *, /, carica, deposita, trasferisci,.. Informatica - Ingegneria Medica Franco Del Bolgia Slide 26 of 55_

22 Rappresentazione a numero finito di bit Nell utilizzo dei sistemi informatizzati è di questione fondamentale stabilire il numero di bit da utilizzare per la rappresentazione dei numeri. Tale numero di bit ci permette di stabilire il massimo \ minimo valore rappresentabile per evitare le condizioni di OVERFLOW \ UNDERFLOW Informatica - Ingegneria Medica Franco Del Bolgia Slide 27 of 55_

23 Errori di rappresentazione Numeri a precisione finita numero di cifre definito a priori (es. 2) = 03? (103) errore chiusura o overflow) Associazione nelle operazioni =? 70+(80-60)= = 90 (70+80)-60 = = -10 (Proprietà associativa) Errori di arrotondamento / troncamento È possibile rappresentare esattamente un numero decimale? SI - Se la parte decimale è multiplo di frazioni di 2 fino al numero di bit che uso per la rappresentazione binaria multiplo di ½ per 1 bit o ¼ per 2 bit o 1/8 per 3 bit etc Informatica - Ingegneria Medica Franco Del Bolgia Slide 28 of 55_

24 Rappresentazione dei decimali I decimali si rappresentano con lo stesso criterio posizionale con cui rappresentiamo gli interi. S* S* S*10 0 +S*10-1 +S*10-2 +S*10-3 (dec) ½ ¼ 1/8 1/16.. 0,5 0,25 0,125 0, ,1011 B = ,5 + 0, ,0625 5,6875 D Rappresentazione in virgola fissa esempi Informatica - Ingegneria Medica Franco Del Bolgia Slide 29 of 55_

25 Numeri interi I numeri interi sono l estensione ai valori negativi dei numeri naturali Si rappresentano con il segno (meno) davanti al numero Per i numeri espressi in binario scritto su carta non ci sono problemi è la stesso meccanismo, ma (pensiamo al supporto elettronico) Rappresentazione con bit di segno + = 0 - = 1 Rappresentazione complemento ad 1 (obsoleto) Rappresentazione complemento a 2 Informatica - Ingegneria Medica Franco Del Bolgia Slide 30 of 55_

26 Rappresentazione con bit di segno 1 bit in più Se usiamo 5 bit, 1 bit per il segno e 4 bit per il numero Intervallo [-15, +15] È poco usata per l elevata complessità della circuiteria da realizzare Doppia rappresentazione dello zero Informatica - Ingegneria Medica Franco Del Bolgia Slide 31 of 55_

27 Rappresentazione complemento a 1 Se usiamo 4 bit, 1 bit per il segno e 3 bit per il numero Intervallo [-7, +7] Per cambiare di segno si complementa bit a bit Doppia rappresentazione dello zero [-2 n-1 +1, +2 n-1-1] Il complemento si ottiene cambiando 0 in 1 e 1 in complementato 1010 Informatica - Ingegneria Medica Franco Del Bolgia Slide 32 of 55_

28 Rappresentazione complemento a 2 I valori negativi sono ottenuti complementando il valore positivo e sommando 1 Con 4 bit (1+3) Intervallo [-8, +7] UNICA rappresentazione dello zero [-2 n-1, +2 n-1-1] Informatica - Ingegneria Medica Franco Del Bolgia Slide 33 of 55_

29 Rappresentazione complemento a 2 Intervallo più esteso di una unità Intervallo asimmetrico Intervallo [-8, +7] Il segno è associato alla sola cifra più significativa Si rappresentano i numeri -2 n-1,+2 n-2, , +2 0 Esempio complem = = = *(-2 3 )+ 0*(2 2 )+ 1*(2 1 ) +0*(2 0 ) = =-6 Informatica - Ingegneria Medica Franco Del Bolgia Slide 34 of 55_

30 Interpretazione grafica Numeri reali positivi Negativi segnati Negativi c 1 e c 2 Informatica - Ingegneria Medica Franco Del Bolgia Slide 35 of 55_

31 Operazioni algebriche Somma A+B+C+D+E = Risultato A+B=x x+c=y y+d=z z+e=r Sottrazione A-B-C-D=Risulatato A-(B+C+D) = Risultato B+C=x x+d=y A-y=R Moltiplicazione A * B = Risultato A+A+A+A+A+A.B volte = Risultato B+B+B+B+B..A volte = Risultato oppure. Divisione A / B = Risultato esempio Informatica - Ingegneria Medica Franco Del Bolgia Slide 36 of 55_

32 Operazione somma Regole della somma: 0+0 = = 1 Le operazioni di somma possono aver bisogno di 1 bit in più Sommare i due numeri e a 5 bit riporti = = = 1 con riporto di = 53 (21) Informatica - Ingegneria Medica Franco Del Bolgia Slide 37 of 55_

33 Operazioni-Somma Le operazioni matematiche nel sistema binario si eseguono con le identiche modalità del sistema decimale Errore di overflow su numeri definiti positivi OVERFLOW 173 D 101 D 274 D 274 D > 255 D Informatica - Ingegneria Medica Franco Del Bolgia Slide 38 of 55_

34 Operazioni prodotto Le operazioni di prodotto possono aver bisogno di 2n bit dove n è il numero bit stabiliti per la rappresentazione Moltiplicare i due numeri 111 e 011 a 3 bit * = * 3 = 21 Moltiplicare i due numeri 111 e 111 a 3 bit 7 * 7 = 49 3 bit = = Risultato 6 bit Informatica - Ingegneria Medica Franco Del Bolgia Slide 39 of 55_

35 Sottrazione Regole della sottrazione: 0-0 = = = = 1 con prestito di 1 Informatica - Ingegneria Medica Franco Del Bolgia Slide 40 of 55_

36 Operazioni - sottrazione I numeri naturali non ammettono i negativi Il minuendo deve essere sempre maggiore del sottraendo 15 6 = prestiti = prestiti (25) 13 6 = prestiti Se non ho definito i numeri negativi il suo valore è sbagliato Informatica - Ingegneria Medica Franco Del Bolgia Slide 41 of 55_

37 Esempi di somme Sommare i numeri lavorando a 4 bit segnati e non 1 1 riporti riporti NS = = = 12 S (-4) rip = S = -12 (4) 3 bit con overflow 4 bit senza overflow La regola è se il risultato ha segno opposta agli operandi di egual segno allora se c è stato un overflow il risultato non è corretto. Informatica - Ingegneria Medica Franco Del Bolgia Slide 42 of 55_

38 Sottrazione svolta come somma A B = C La sottrazione prevede un minuendo A un sottraendo B un risultato differenza C 9 4 = = 1 5 Lo stesso risultato si ottiene sommando il minuendo A al complemento del sottraendo B alla base numerica ed eliminando il riporto 6 è il complemento a 10 di = = è il complemento a 10 di 8 Informatica - Ingegneria Medica Franco Del Bolgia Slide 43 of 55_

39 Sottrazione Nella numerazione binaria effettuare il complemento a due equivale a trasformare gli 1 in 0 e gli 0 in 1 e sommare 1 al risultato (11) il suo C1s è = (-11) Operazione da svolgere decimale Operazione svolta in complemento con base 10 Operazione da svolgere binario Complemento a 2 del sottraendo Operazione svolta in complemento con base 9 6 = = = (1001+1) = = = = ( ) = Informatica - Ingegneria Medica Franco Del Bolgia Slide 44 of 55_

40 Numerali Un numerale è una stringa di cifre (sequenza di simboli) che può rappresentare un numero solo se viene specificata la base. Lo stesso numerale può rappresentare più valori se considerato scritto su basi numeriche diverse base centouno mila centodieci in decimale Valore decimale se. 46 D se letto come binario naturale -17 D se letto in complemento a 1-18 D se letto in complemento a D se letto in ottale D se letto in esadecimale Informatica - Ingegneria Medica Franco Del Bolgia Slide 45 of 55_

41 Conversioni tra basi numeriche diverse La conversione tra basi numeriche diverse si può eseguire utilizzando la formula standard già vista in precedenza: Indicando con S il simbolo della base di origine e con B valore nella base di destinazione: S n-1 S n-2.. S 2 S 1 S 0 = B n-1 x B n-1 + B n-2 x B n B 1 x B 1 + B 0 x B D = 101 x x x D = 101 x x x D = D = (10 D bit) Informatica - Ingegneria Medica Franco Del Bolgia Slide 46 of 55_

42 Conversioni tra basi numeriche diverse Osserviamo la relazione B n-1 x B n-1 + B n-2 x B n B 1 x B 1 + B 0 x B 0 B n-1 x B n-1 + B n-2 x B n B 1 x B 1 + B 0 x 1 n-1 n-2 Bn-1 xb Bn-2 xb.. B1 xb B0 B 1 B n-1 xb n-2 B n-2 xb n-3.. B 1 B 0 B n-2 n-3 Bn-1 xb Bn-2 xb.. B1 dove B0 è il r esto Informatica - Ingegneria Medica Franco Del Bolgia Slide 47 of 55_

43 Conversioni tra basi numeriche diverse Esempio: 573 D da convertire in binario valore quoziente resto ,5 1 Cifra meno significativa , , , , ,5 1 Cifra più significativa Informatica - Ingegneria Medica Franco Del Bolgia Slide 48 of 55_

44 Rappresentazione in virgola mobile Risulta molto spesso più agevole rappresentare i numeri in formato diverso (normalizzato) la virgola viene spostata fintantoché la cifra delle unità è 0 mentre la prima cifra decimale è la cifra più significativa del numero, il tutto moltiplicato per una potenza di 10 elevata al numero di passi di cui si è spostata la virgola positiva quando si sposta verso sinistra, negativa quando si sposta verso destra D 0, D - 0, D x 10 7 D 0, D x 10-5 D segno negativo segno positivo mantissa mantissa 7 esponente positivo -5 esponente negativo Informatica - Ingegneria Medica Franco Del Bolgia Slide 49 of 55_

45 Rappresentazione in virgola mobile Lo stesso vale per la numerazione binaria tutti i numeri sono espressi in base ,01 B 0, B - 0, B x 10 B 101 (5) 0, B x 10 B 1001 (-3) Complemento a 2 1, B 0, B 1 segno - 0 segno B mantissa B mantissa 101 (5) esponente base (-3) esponente negativo Informatica - Ingegneria Medica Franco Del Bolgia Slide 50 of 55_

46 Numero di bit per le rappresentazioni Numeri in precisione singola 32 bit 23 per la mantissa il primo con segno 8 per l esponente di cui il primo è il segno Si rappresentano i numeri tra e e bit mantissa 0 7 bit esponente Modello ISO (internationl Organization for Standardization) OSI (Open System Interconnection protocols) e standard IEEE segno 8 bit esponente 22 bit mantissa Informatica - Ingegneria Medica Franco Del Bolgia Slide 51 of 55_

47 Numero di bit per le rappresentazioni Numeri in doppia precisione 64 bit 52 per la mantissa il primo con segno 11 per l esponente Si rappres. i numeri tra e e Numeri in quadrupla precisione 128 bit 112 per la mantissa il primo con segno 15 per l esponente Informatica - Ingegneria Medica Franco Del Bolgia Slide 52 of 55_

48 esempio 52,6975 0, x 10 D ,1011 x 10 0 B convertito in binario shift della virgola calcolo dell esponente 0, x B 2 6 = 64 riconversione in decimale 0, D x 64 D = 52, S mantissa S Esponente Informatica - Ingegneria Medica Franco Del Bolgia Slide 53 of 55_

49 Esempio di somma in virgola mobile Supponiamo di voler sommare i valori 5,5 e 2,625 = 8,125 5,5 2, ,1 * ,5 10,101* ,5+0+0,125 0,1011 * 2 3 0,10101*2 2 0,1011 * 2 3 0,010101*2 3 Risultato binario 1,000001*2 3 0, *2 4 Risultato 0, * 16 = 8, _ (0,5 + 0, )*16 somma 0, , , A sei bit di mantissa 0,5 *16= 8 0,100000*2 4 (0,5)*16 Informatica - Ingegneria Medica Franco Del Bolgia Slide 54 of 55_

50 Moltiplicare o dividere per la base In base 10 moltiplicare per 10 equivale ad effettuare lo spostamento di tutte le cifre di una posizione verso sinistra mentre dividere equivale a uno spostamento verso destra In base 2 vale la stessa regola quando si moltiplica o divide per potenze di 2 base 10 con 5 cifre cifra 4 cifra 3 cifra 2 cifra 1 cifra x / x 100 Errore Overflow / 100 base 2 con 5 cifre x / x 4 Errore Overflow / 4 Informatica - Ingegneria Medica Franco Del Bolgia Slide 55 of 55_

51 Università degli Studi di Roma Tor Vergata Facoltà di Ingegneria Corso di Laurea in Ingegneria Medica Fine Lezione 3