Lezione 3. Sommario. Le operazioni aritmetiche binarie. L aritmetica binaria. La somma La sottrazione La moltiplicazione

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1 Lezione 3 Le operazioni aritmetiche binarie Sommario L aritmetica binaria La somma La sottrazione La moltiplicazione 1

2 Definizione Si indica con il termine bit più significativo il bit più a sinistra, o di peso superiore Si indica con MSB (Most Significant Bit) Si indica con il termine bit meno significativo il bit più a destra, o di peso inferiore Si indica con LSB (Least Significant Bit) La somma Come per numerazione decimale gli operandi sono incolonnati allineandoli a destra procedendo dai bit di peso inferiore a quelli di peso superiore, ovvero dal LSB al MSB si esegue la somma bit a bit secondo le seguenti regole: 0+0=0 0+1=1+0=1 1+1=0 con riporto di 1 se la somma genera riporto allora al passo successivo si sommano 3 bit: i due bit degli operandi e 1 (il bit di riporto) 2

3 La somma Infatti convertendo in decimale e poi nuovamente in binario: 0+0 (2) =0+0 (10) =0 (10) =0 (2) 0+1 (2) =1+0 (2) =0+1 (10) =1+0 (10) =1 (10) =1 (2) 1+1 (2) = 1+1 (10) =2 (10) =10 (2) =0 (2) con riporto di 1 Esercizio = = = = = =

4 Overflow Si ha la condizione di overflow quando il risultato di una operazione è un numero che non è più rappresentabile Se i numeri vengono rappresentati con un numero di cifre fissato n e la somma di due operando è un numero maggiore del massimo numero rappresentabile con n cifre si ha la condizione di overflow Ovvero si genera overflow nella somma di due numeri di n cifre quando si ha un riporto oltre la cifra di peso n Esercizio Se si sceglie di rappresentare i numeri con 4 bit allora la seguente somma genera una condizione di overflow: (2) =10000 (2) infatti convertendo in decimale: 4+12 (10) =16 (10) ma con 4 bit è possibile rappresentare numeri fino a: 2 4-1=15 (10) 4

5 La sottrazione L operando minore è incolonnato allineandolo a destra sotto quello maggiore si esegue la sottrazione bit a bit procedendo dal bit di peso minore verso quello di peso maggiore secondo le seguenti regole: 0-0=0 1-0=1 0-1=1 con prestito di 1 1-1=0 se la sottrazione genera un prestito allora al passo successivo si esegue la sottrazione tra tre bit: i due operandi e successivamente si sottrae 1 (il bit di prestito) La sottrazione Infatti convertendo in decimale e poi nuovamente in binario: 0-0 (2) =0-0 (10) =0 (10) =0 (2) 1-0 (2) =1-0 (10) =1 (10) =1 (2) 1-1 (2) = 1-1 (10) =0 (10) =0 (2) 0-1 (2) = (si prende a prestito 1)=10-1 (2) =2-1 (10) = 1 (10) = 1 (2) 5

6 = 0 Esercizio = = = = Nota sulla sottrazione Non si può sottrarre un numero maggiore da uno minore Pertanto occorre verificare sempre prima il modulo dei due operandi 6

7 Esercizio La seguente sottrazione non è possibile all interno del campo dei numeri interi positivi (2) =2-3 (10) =? Infatti: = = 10-1? = 110 Shift o scalamento Si può shiftare di un numero m di bit a destra o a sinistra shiftare di m bit a sinistra significa aggiungere m bit a 0 in posizione meno significativa shiftare di m bit a destra significa eliminare gli m bit meno significativi 7

8 Esercizio Scalare a destra e sinistra di 1 2 e 3 posizioni il numero Risultato: Destra: 1: 1001, 2:100, 3:10 Sinistra: 1: , 2: , 3: La moltiplicazione Algoritmo di somma e scorrimento Si incolonna a destra e si riporta la moltiplicazione del moltiplicando per ogni bit del moltiplicatore su linee successive Ogni numero risultante va scalato (shiftato) di un numero di posizioni verso sinistra pari alla posizione del bit moltiplicatore si sommano poi tutti i numeri risultanti Le regole base della moltiplicazione tra due bit sono: 0x0=0 0x1=1x0=0 1x1=1 8

9 La moltiplicazione Infatti convertendo in decimale e poi nuovamente in binario: 0x0 (2) =0x0 (10) =0 (10) =0 (2) 0x1 (2) =1x0 (2) =0x1 (10) =1x0 (10) =0 (10) =0 (2) 1x1 (2) = 1x1 (10) =1 (10) =1 (2) Esercizio x 101 =

10 Moltiplicazioni veloci Dato che moltiplicare per 0 e poi sommare il risultato è equivalente a non eseguire alcuna operazione si può procedere a semplificare l operazione di moltiplicazione incolonnando opportunamente solo le repliche shiftate del moltiplicando Esercizio x 101 =

11 Moltiplicazione per una potenza del 2 Moltiplicare per una potenza della base di numerazione è equivalente a shiftare il numero di un numero di posizioni pari alla potenza Ex: moltiplicare per 8 in binario equivale a moltièlicare per 2 3, ovvero per 100 (2), ovvero shiftare di 3 posizioni il moltiplicando Esercizio x 100 =

12 Conversione da Ottale in Binario La conversione da Ottale in Binario si può eseguire notando che 8=2 3 quindi ad ogni cifra in ottale corrispondono 3 cifre in binario Si ha: 0 (8) =000 (2) 1 (8) =001 (2) 2 (8) =010 (2) 3 (8) =011 (2) 4 (8) =100 (2) 5 (8) =101 (2) 6 (8) =110 (2) 7 (8) =111 (2) Conversione da Ottale in Binario In pratica basta comporre il numero in binario utilizzando le triplette binarie: 275 (8) = (8) = (2) 12

13 Conversione da Ottale in Binario Infatti: 275 (8) = 2* * * (8) = 2*(2 3 ) 2 + 7*(2 3 ) 1 + 5*(2 3 ) (8) = 2* * *2 0 si esegue lo shift di 6, 3, 0 posizioni rispettivamente 275 (8) = 010* * *1 (2) 275 (8) = (2) 275 (8) = (2) Conversione da Esadecimale in Binario Analogamente al caso Ottale si ha: 0 (16) =0000 (2) 1 (16) =0001 (2) 2 (16) =0010 (2) 3 (16) =0011 (2) 4 (16) =0100 (2) 5 (16) =0101 (2) 6 (16) =0110 (2) 7 (16) =0111 (2) 8 (16) =1000 (2) 9 (16) =1001 (2) A (16) =1010 (2) B (16) =1011 (2) C (16) =1100 (2) D (16) =1101 (2) E (16) =1110 (2) F (16) =1111 (2) 13

14 Conversione da Esadecimale in Binario Per la conversione si usano le quadruple binarie: 4AF (16) = (2) La spiegazione è analoga al caso di conversione Ottale - Binaria Esercizio Quanti bit sono necessari per rappresentare il prodotto tra due numeri di n e m bit? (2 n -1) * (2 m -1) = 2 n+m - 2 n - 2 m +1 pertanto sono necessari nel caso peggiore n+m bit Se i due numeri sono rappresentati con lo stesso numero di bit (n=m) allora per poter rappresentare tutti i possibili risultati di una moltiplicazione si devono usare un numero doppio di bit 14

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