Codifica binaria dei numeri relativi

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1 Codifica binaria dei numeri relativi

2 Introduzione All interno di un calcolatore, è possibile utilizzare solo 0 e 1 per codificare qualsiasi informazione. Nel caso dei numeri, non solo il modulo ma anche il segno deve essere espresso tramite 0 e 1. Il carattere - non esiste nella codifica binaria. Esistono diversi approcci alla codifica del segno, ma tutti basati sulla rappresentazione binaria dei numeri interi positivi e sull uso del bit più significativo come bit di segno.

3 Dalle combinazioni di bit ai numeri Avendo a disposizione n bit, si possono rappresentare 2 n diverse combinazioni (in questo caso, 2 n diversi valori numerici) Negli esempi della scorsa lezione, con 4 bit si rappresentavano 16 valori [ ] cui si facevano corrispondere i numeri interi in base 10 [0..15]. In generale nei calcolatori il tipo numerico più corto usato utilizza 16 bit permettendo combinazioni. Non è strettamente necessario usare le combinazioni sul solo intervallo non negativo.

4 Esempio di assegnamento (teorico) Z

5 Modulo e segno Dati n bit su cui rappresentare il numero relativo: il primo bit (più significativo) è dedicato al segno, con la convenzione 0 = segno positivo, 1 = segno negativo i restanti (n-1) bit codificano il valore assoluto secondo le regole già viste Regola per rappresentare i numeri relativi: se ne calcola il valore assoluto e si rappresenta in base 2 disponendolo su (n-1) bit, poi si aggiunge come bit più significativo il bit di segno. Analogamente, per interpretare un numero negativo si valutano separatamente bit di segno e modulo.

6 Modulo e segno Intervallo di valori rappresentabili con n bit: [-(2 n-1 1) (2 n-1 1)] Rappresentazione dello zero è doppia: e Esempi = [0] = = [1] =

7 Complemento a 1 Dato il numero a > 0, il numero a si ottiene codificando a in base 2 e complementandone (ossia negandone) i bit. I numeri positivi devono avere come bit più significativo 0, che dunque diventa 1 nel caso di numeri negativi. Analogamente, per interpretare un numero in complemento a 1 si valuta dapprima il bit più significativo. Se questo è 0, il modulo è dato dalla sequenza stessa di bit, se invece è 1 il modulo è dato dalla negazione della sequenza di bit.

8 Complemento a 1 Intervallo di valori rappresentabili con n bit: [-(2 n-1 1) (2 n-1 1)] Rappresentazione dello zero è doppia: e Esempi = =

9 Complemento a 2 E il metodo più diffuso per la rappresentazione dei numeri negativi. La sua enorme diffusione è data dal fatto che i circuiti di addizione e sottrazione non devono esaminare il segno di un numero rappresentato con questo sistema per determinare quale delle due operazioni sia necessaria, permettendo tecnologie più semplici e maggiore precisione; si utilizza un solo circuito, il sommatore, sia per l'addizione che per la sottrazione.

10 Complemento a 2 Dato il numero a > 0, il numero a si ottiene codificando a in base 2, complementandone (ossia negandone) i bit e sommando 1. Metodo pratico per ottenere a da a in complemento a 2: leggere la stringa di bit da destra verso sinistra e mantenerla inalterata fino al primo 1 incontrato (compreso), e da lì in avanti complementare le restanti cifre. Lo stesso metodo può essere applicato per ottenere -a da a.

11 Complemento a 2 Intervallo di valori rappresentabili con n bit: [-2 n-1 (2 n-1 1)] Si elimina la ridondanza dello zero Esempi = = Esempi di somme algebriche tra valori in complemento a 2.

12 Overflow In ogni calcolatore viene utilizzato un numero fissato di bit per rappresentare i numeri sia interi che reali. E' possibile, effettuando operazioni con numeri rappresentati da n bit, ottenere un numero non rappresentabile con n bit. Es.: somma algebrica, prodotto. Se il numero è troppo grande si parla di overflow. La condizione di overflow si ha quando il risultato di un calcolo intero è un numero che in binario occupa più bit di quelli a disposizione, di conseguenza ne viene troncata la parte più significativa generando un risultato errato.

13 Considerazioni In tutti i modi di rappresentare i numeri relativi visti precedentemente: il bit più significativo è il bit di segno; 0 denota segno positivo, 1 denota segno negativo; i numeri positivi hanno identica codifica e la loro costruzione o interpretazione non richiede la conoscenza del metodo di rappresentazione dei valori negativi; i numeri negativi non possono essere decodificati ed espressi in base 10 se non conoscendo il metodo di rappresentazione adottato.

14 Notazione in eccesso n Si considerano le combinazioni di bit crescenti, secondo la regola di alternanza di 0 e 1. Si assegna il valore 0 alla combinazione centrale (costituita da un 1 seguito da soli zeri) Es. con 8 bit: 0 10 = I valori interi positivi crescenti sono messi in corrispondenza con quelli via via successivi, i valori interi negativi decrescenti (crescenti in modulo) con quelli via via precedenti.

15 Notazione in eccesso n Intervallo di valori rappresentabili con n bit: [-2 n-1 (2 n-1 1)] Notazione in eccesso 2 (2 bit) Notazione in eccesso 4 (3 bit)

16 Confronto sinottico dei metodi con 4 bit m/s c c ecc

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