Numeri binari Conversioni numeriche: decimali-binario Operazioni algebriche con numeri binari Russo ing. Saverio

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1 Numeri binari Conversioni numeriche: decimali-binario Operazioni algebriche con numeri binari Russo ing. Saverio Arch. Elab. - S. Orlando 1

2 Il trionfo dello ZERO Il trionfo dello ZERO C era una volta un povero zero tondo come un O, tanto buono ma però contava proprio zero e nessuno lo voleva in compagnia per non buttarsi via. Una volta per caso trovò il numero Uno di cattivo umore perché non riusciva a contare fino a tre. Vedendolo così nero il piccolo zero si fece coraggio, sulla sua macchina gli offerse un passaggio, e schiacciò l acceleratore, fiero assai dell onore di avere a bordo un simile personaggio. D un tratto chi si vede fermo sul marciapiede? il signor tre che si leva il cappello e fa un inchino fino al tombino e poi, per Giove, il sette, l otto, il nove che fanno lo stesso. Ma che cosa è successo? che l uno e lo zero seduti vicini, uno qua l altro là formavano un gran dieci: nientemeno, un autorità! Da quel giorno lo zero fu molto rispettato, anzi da tutti i numeri ricercato e corteggiato: gli cedevano la destra con zelo e premura, (di tenerlo a sinistra avevano paura), lo invitavano a cena, gli pagavano il cinema, per il piccolo zero fu la felicità. Gianni Rodari Arch. Elab. - S. Orlando 2

3 Lo Zero, usato a volte come sinonimo di Niente, è in realtà un numero speciale che merita un attenzione particolare. E quella cifra, apparentemente innocua, che nasconde poteri insospettati! Separa i numeri positivi (+) e quelli negativi ( ), se si trova a destra delle altre cifre ne amplifica il valore (10000 verso l infinitamente grande), se sta alla loro sinistra le riduce con altrettanta potenza (0,00001 verso l infinitamente piccolo). Pare che il simbolo grafico "O" derivi dalla traccia, lasciata sul terreno, una volta tolto l oggetto che rappresentava un numero (il numero che non c è più). Arch. Elab. - S. Orlando 3

4 Tabella di conversione D b3 b2 b1 b0 O H A B C D E F D DECIMALE B BINARIO O OTTALE H ESADECIMALE Arch. Elab. - S. Orlando 4

5 Interi unsigned in base 2 Si utilizza un alfabeto binario A = {0,1}, dove 0 corrisponde al numero zero, e 1 corrisponde al numero uno d n-1...d 1 d 0 con di d i {0,1} Qual è il numero rappresentato? N = d n-1 2 n d d Quanti numeri sono rappresentabili su n bit? = = = = 2 n = 2 n = 2 n = 2 n Con sequenze di n bit sono rappresentabili 2 n numeri naturali (da 0 a 2 n-1 ) Arch. Elab. - S. Orlando 5

6 Interi unsigned in base 2 I seguenti numeri naturali sono rappresentabili usando il numero di bit specificato? Ricorda che: su 5 bit? su 6 bit? su 9 bit? su 10 bit? SI NO SI NO 2 0 = = = = = = = = = = = Arch. Elab. - S. Orlando 6

7 Peso dei numeri binari = 1 2^0 0, = 0,5 2^ = 2 2^1 0, = 0,25 2^ = 4 2^2 0, = 0,125 2^ = 8 2^3 0, = 0,0625 2^ = 16 2^4 0, = 0, ^ = 32 2^5 0, = 0, ^ = 64 2^6 0, = 0, ^ = 128 2^7 0, = 0, ^- 256 Arch. Elab. - S. Orlando 7

8 Conversione binario-decimale Esercizio: =??? = Soluzione: = Arch. Elab. - S. Orlando 8

9 Conversione decimale-binario Esercizio: =??? : 2 = 50 resto 0 50 : 2 = 25 resto 0 25 : 2 = 12 resto 1 12 : 2 = 6 resto 0 6 : 2 = 3 resto 0 3 : 2 = 1 resto 1 1 : 2 = 0 resto 1 Soluzione: = Arch. Elab. - S. Orlando 9

10 Conversione dec-bin: metodo più pratico Scriviamo direttamente il numero decimale come somma di potenze di 2 Per far questo, sottraiamo via via le potenze di 2, a partire dalle più significative Ricorda che: Esercizio: =??? = 39 ==> = 7 ==> = 3 ==> = 1 ==> = 0 ==> 2 0 Allora = Soluzione: = = = = = = = = = = = = Arch. Elab. - S. Orlando 10

11 Conversione binario-ottale e viceversa Esercizio: =??? Soluzione: = 2578 Esercizio: =??? Soluzione: 6358 = Arch. Elab. - S. Orlando 11

12 Conversione binario-esadecimale e viceversa Esercizio: =??? B E D Soluzione: = BED16 = Esercizio: A3C9 16 =??? 2 A 3 C Ricorda che: 1 10 = 1 16 = = 2 16 = = 9 16 = = A 16 = = B 16 = = C 16 = = D 16 = = E 16 = = F 16 = Soluzione: A3C916 = = Arch. Elab. - S. Orlando 12

13 Possiamo introdurre le operazioni di somma, sottrazione, prodotto e divisione tra numeri in binario. Introduciamo a tale scopo la: Addizione 0+0=0 0+1=1 1+0=1 1+1=0 con riporto di 1 Sottrazione 0 0=0 0 1=1 prestito di 1 1 0=1 1 1=0 Prodotto 0 0=0 0 1=0 1 0=0 1 1=1 Divisione 0:0 non definita 0:1=0 1:0 non definita 1:1=1 Arch. Elab. - S. Orlando 13

14 Interi signed in complemento a 2 Come si riconosce un numero positivo da uno negativo? Positivo bit più significativo 0 Negativo bit più significativo 1 Su n bit sono rappresentabili 2 n interi unsigned (da 0 a 2 n -1) Sempre su n bit, quanti interi signed in complemento a 2? = = = 2 n-1-1 (massimo) = 2 n-1 (minimo) - 2 n-1 = 2 n-1-2 n = 2 n = 2 n n Dato N>0, il numero -N si rappresenta su n bit con il numero 2 n - N -1 2 n - 1 (1...1) - 2 n-1 2 n - 2 n-1 = 2 n-1 (10...0) Arch. Elab. - S. Orlando 14

15 Complemento a 2 Esercizio: Rappresentare in complemento a = = Complemento a uno Soluzione: = Arch. Elab. - S. Orlando 15

16 Complemento a 2 Esercizio: Rappresentare -35 in complemento a = Inverti (complementa a 1) tutti i bit a sinistra del bit 1 meno significativo Arch. Elab. - S. Orlando 16

17 Complemento a 2 Esercizio: Quale numero decimale rappresenta il seguente numero binario in complemento a due? = = Soluzione: il numero è Arch. Elab. - S. Orlando 17

18 Complemento a 2: somma e sottrazione Esercizio: eseguire in complemento a due su 8 bit = complementando: = = (-35) 10 = = ( ) mod = = Arch. Elab. - S. Orlando 18

19 Complemento a 2: somma e sottrazione Esercizio: eseguire in complemento a due su 8 bit = complementando: = = (-38) 10 = = ( ) mod = = Arch. Elab. - S. Orlando 19

20 Overflow In quali dei seguenti casi si può ottenere overflow? somma di due numeri con segno concorde? somma di due numeri con segno discorde? sottrazione di due numeri con segno concorde? sottrazione di due numeri con segno discorde? SI NO NO SI Arch. Elab. - S. Orlando 20

21 Esercizio Considerate i numeri esadecimali x 1 = 7A x 2 = 13 x 3 = FF x 4 = C1 x 5 = 84 Scrivere i quattro numeri in codice binario a 8 bit x 1 = x 2 = x 3 = x 4 = x 5 = Interpretare il codice binario in complemento a due ed eseguire le operazioni x 1 - x 2 ; x 3 + x 4 ; x 4 + x 5 ; x 4 - x x x = ( ) mod 2 8 = overflow? Arch. Elab. - S. Orlando 21

22 Esercizio (continua) x x = ( ) mod 2 8 = overflow? x x = ( ) mod 2 8 = overflow? x x = ( ) mod 2 8 = overflow? Arch. Elab. - S. Orlando 22

23 Sottrazione con complemento a 2 Arch. Elab. - S. Orlando 23

24 Moltiplicazione di numeri binari Arch. Elab. - S. Orlando 24

25 Divisione di numeri binari Arch. Elab. - S. Orlando 25

26 Numeri con la virgola (virgola fissa) Data una base B, si assegnano: n cifre per rappresentare la parte intera m cifre per rappresentare la parte frazionaria In base B=2, abbiamo quindi m+n bit per parte intera e frazionazia m n Esempio: d n-1...d 1 d 0. d -1...d -m Qual è il numero rappresentato in base B? N = d n-1 B n d 1 B 1 + d 0 B 0 + d -1 B d -m B -m Arch. Elab. - S. Orlando 26

27 Virgola fissa Esercizio: =??? 2 (usare la rappresentazione in virgola fissa con n=8, m=8) Conversione parte intera: 23 : 2 = 11 resto 1 11 : 2 = 5 resto 1 5 : 2 = 2 resto 1 2 : 2 = 1 resto 0 1 : 2 = 0 resto 1 Conversione parte frazionaria: x 2 = 1.25 parte intera x 2 = 0.50 parte intera x 2 = 1 parte intera 1 Soluzione: = Arch. Elab. - S. Orlando 27

28 Numeri con virgola mobile Un numero reale R può essere scritto in base B come R = ± m B e m = mantissa e = esponente B = base Esempi con B = 10 R1 = x 10 3 R2 = x 10-6 R3 = x 10 2 R4 = x Notazione scientifica: m = 0. d -1...d -k Notazione scientifica normalizzata: m = d 0. d -1...d -k con d 0 0 Arch. Elab. - S. Orlando 28

29 Numeri binari in virgola mobile Rappresentando mantissa ed esponente in binario in notazione scientifica normalizzata si ottengono numeri del tipo: ±1. ss...s 2 yy...y Si osservi che: Spostare la virgola (punto) a destra di n bit significa decrementare di n l esponente es: = Infatti = Spostare la virgola (punto) a sinistra di n bit significa incrementare di n l esponente es: = Infatti ( ) 2 3 = ( ) = Arch. Elab. - S. Orlando 29

30 Numeri FP Esercizio: =??? 2 FP = = = Esercizio: =??? 2 FP = = x 2 = parte intera x 2 = 1 10 parte intera = Quindi = = = Arch. Elab. - S. Orlando 30

31 Numeri FP Una volta fissato il numero di bit totali per la rappresentazione dei numeri razionali rimane da decidere Quanti bit assegnare per la mantissa? (maggiore è il numero di bit e maggiore è l accuratezza con cui si riescono a rappresentare i numeri) Quanti bit assegnare per l esponente? (aumentando i bit si aumenta l intervallo dei numeri rappresentabili) OVERFLOW: si ha quando l esponente positivo è troppo grande per poter essere rappresentato con il numero di bit assegnato all esponente UNDERFLOW: si ha quando l esponente negativo è troppo grande (in valore assoluto) per poter essere rappresentato con il numero di bit assegnato all esponente Arch. Elab. - S. Orlando 31

32 Numeri reali Rappresentazione di un insieme continuo Fissata una base b, un numero x è rappresentato dalla coppia: ( m, e ) tale che: x = m * b^e Il metodo prende il nome di codifica in virgola mobile m viene detto mantissa, e viene detto esponente Arch. Elab. - S. Orlando 32

33 Normalizzazione Per ogni numero esistono infinite coppie che lo rappresentano. Esempio (b = 10): 346,09801 è rappresentato da ( 346,09801, 0 ) oppure ( ,01, -3 ) oppure ( 0, , 4 ) ecc. Si fissa la posizione della virgola rispetto alla prima cifra significativa (di solito subito dopo) Unico rappresentante: ( 3, , 2 ) + sinistra < virgola > destra - Arch. Elab. - S. Orlando 33

34 Intervallo di rappresentazione Esempio con b = 10, usando 4 cifre per m e 2 per e (esclusi i segni), l insieme rappresentato è: [ *10^99, *10^-99 ] U { 0 } U [ *10^-99, *10^99 ] -9,999*10^99-1*10^-99 1*10^-99 9,999*10^99 0 Arch. Elab. - S. Orlando 34

35 Limitazione dell intervallo Overflow: il numero è troppo grande per essere rappresentato Underflow: il numero è troppo piccolo per essere rappresentato Underflow graduale: se il numero diventa piccolo, diminuisce il numero di cifre della mantissa. esempio: ^Emin ^Emin / 10 => ^Emin ^Emin / 10 => ^Emin ^Emin / 10 => ^Emin ^Emin / 10 => ^Emin Arch. Elab. - S. Orlando 35

36 Numeri floating point Forma: Arbitraria 363,4 * 10^34 Normalizzata 3,634 10^36 Notazione binaria Normalizzata 1.xxx 2^yy Forma standardizzata : IEEE 754 Singola precisione 8 bit esponente, 23 bit mantissa Doppia precisione 11 bit esponente, 52 bit mantissa Arch. Elab. - S. Orlando 36

37 Standard IEEE 754 Il bit '1' bit più significativo della mantissa è implicito si risparmia 1 bit Esponente è biased (polarizzato), per avere numeri sempre positivi: esponente minimo esponente massimo Bias 127 per singola precisione, 1023 per doppia precisione Esempio di esponente biased (semplice precisione) : se gli 8 bit dell esponente biased contengono = 163 allora l esponente vale: = 36 se gli 8 bit dell esponente biased contengono = 39 allora l esponente vale: = -88 Valore -> (-1)segno * (1 + mantissa) * 2^(esponente_biased bias) Arch. Elab. - S. Orlando 37

38 Esempio 1 Rappresentazione in semplice precisione di: rappresentazione decimale: = - 3/4 = - 3 / 22 rappresentazione binaria: -11 * 2^2 = - 0,11 = - 1,1 2^-1 Floating point: bit segno: = 1 mantissa: = 1 +, esponente biased: = ( ) = segno esponente biased mantissa Arch. Elab. - S. Orlando 38

39 Esempio 2 Esercizio 1. 1) Dati due numeri decimali A=0, e B=2,1875. Fornire la codifica completa in virgola mobile a singola precisione di A e B. 2 )Effettuare la somma A+B Arch. Elab. - S. Orlando 39

40 Soluzione Esempio 2 pag.1 Devo codificare in singola precisione i due numeri. Codifico separatamente la parte intera e la parte decimale. A: I=0 codifica=0 (intero) D=0, Per la parte decimale, invece che fare la divisione per 2, moltiplico per 2. Se il risultato supera 1.0, l'uno viene messo nella colonna di sinistra e entra nella mantissa: > 0,546886*2= 1, , e la mantissa si legge dall'alto verso il basso. Il numero (I.D) risulta: 0,100011, che normalizzato diventa: x 2-1 Segno: 0 Esponente: = 126 = Mantissa: (ricordarsi di eliminare il bit nascosto) Arch. Elab. - S. Orlando 40

41 Soluzione esempio 2 pag.2 B: Si procede in modo analogo: I=2 codifica 10 D=0, Parte decimale =0011 Il numero risulta: , che normalizzato diventa: x 2+1 Segno: 0 Esponente: = 128 = Mantissa: (ricordarsi di eliminare il bit nascosto) A: B: Arch. Elab. - S. Orlando 41

42 Soluzione esempio 2 pag.3 A: B: Ora per sommarli devo portarli ad avere lo stesso esponente: A: -1 B: +1 B ha esponente più grande, quindi traslo A: x x 2+1 Ora posso sommare i due numeri dato che hanno lo stesso esponente, considerando (per B) anche il bit nascosto: A B Il risultato quindi sarà: Arch. Elab. - S. Orlando 42

43 Soluzione esempio 2 - pag.4 Cioè: Esponente: > 128 -> exp = = 1 Numero: (riaggiungo il bit nascosto) x 2^1 = Che, riconvertendo parte intera e parte decimale separatamente diventa: che è il risultato di Arch. Elab. - S. Orlando 43

44 Semplice precisione a 32 bit Standard IEEE 754 (1985) SEGNO ESPONENTE MANTISSA Semplice precisione a 64 bit SEGNO ESPONENTE MANTISSA Arch. Elab. - S. Orlando 44

45 Numeri FP in standard IEEE 724 Standard IEEE754: Singola precisione (32 bit) si riescono a rappresentare numeri Standard IEEE754: Doppia precisione (64 bit) si riescono a rappresentare numeri Arch. Elab. - S. Orlando 45

46 Esempio 3 Convertire il numero (-23,375)D in un numero binario in virgola mobile in singola precisione secondo lo standard IEEE-P754. Soluzione: Si converta separatamente parte intera e parte frazionaria per ottenere: 23,375D => 10111,011B In forma normalizzata con bit nascosto: 10111,011 = * 2^4 Per cui la mantissa risulta: M = Per l esponente in eccesso 127 si ottiene: E = = 131D => B Per il segno: S = 1 Il numero completo risulta: B => C1BB0000 H Arch. Elab. - S. Orlando 46

47 Esempio 4 Esprimere i seguenti numeri decimali in una rappresentazione binaria su 8 bit con eccesso 127: Soluzione: = 127D => B 0; +5; -51; = 132D => B = 76D => B = 253D => B Arch. Elab. - S. Orlando 47

48 Esempio 5 Sia dato il seguente numero binario in virgola mobile in singola precisione secondo lo standard IEEE-P754, espresso per comodità in formato esadecimale BE900000H. Calcolarne il valore decimale. Soluzione: Il numero trascritto in binario diventa: BE900000H => B Segno : S = 1 => negativo Esponente : E = B => 125D Mantissa : M = 001 Il numero decimale vale: -1.M 2^( ) = -1,001*2^-2 = 0,01001 => - (1 * 2^ *2^-5) = -0,28125 Arch. Elab. - S. Orlando 48