Rappresentazione dell informazione
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- Carlotta Perri
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1 Rappresentazione dell informazione
2 La codifica delle informazioni codifica forma adatta per essere trattata dall elaboratore INFORMAZIONI DATI interpretazione G. Di Modica Fondamenti di Informatica 2
3 Informazioni Numeri Interi positivi Positivi e negativi Reali Testi Immagini fisse Vettoriali Bitmap Audio Video Informazioni tradizionali Informazioni multimediali G. Di Modica Fondamenti di Informatica 3
4 Rappresentazione dell informazione Interessa soprattutto distinguere informazioni diverse Con un solo simbolo è impossibile Pertanto l insieme minimo è costituito da 2 simboli (alfabeto binario) G. Di Modica Fondamenti di Informatica 4
5 Rappresentazione dell informazione Le informazioni vengono rappresentate mediante sequenze di simboli Nel caso dei simboli binari, le informazioni (numeri, oggetti, parole) sono rappresentate da sequenze dei due simboli (0 e 1) Servono regole di manipolazione dei simboli G. Di Modica Fondamenti di Informatica 5
6 Sistemi numerici
7 Sistemi numerici Per determinare un sistema numerico serve: un insieme limitato di simboli (le cifre), che rappresentano quantità prestabilite (1, 2, V, X, M) le regole per costruire i numeri: sistemi numerici posizionali sistemi numerici non posizionali G. Di Modica Fondamenti di Informatica 7
8 Sistemi numerici Sistemi numerici posizionali: il valore delle cifre dipende dalla loro posizione all interno del numero (ogni posizione ha un peso) Sistemi numerici non posizionali: valore delle cifre è indipendente dalla posizione Es. sistema di numerazione romano XII, XIII, CXI G. Di Modica Fondamenti di Informatica 8
9 Sistemi numerici posizionali Esempio: N = d3 d2 d1 d0 ; V(N) = d3*p3 + d2*p2 + d1*p1 + d0*p0 N rappresentazione del numero V(N) valore del numero Sistemi a base fissa: p i = r i dove: r è la base del sistema di rappresentano le cifre G. Di Modica Fondamenti di Informatica 9
10 Sistemi posizionali a base fissa N = dn-1 dn-2 d1 d0 V(N) = dn-1*r n-1 + dn-2*r n d1*r 1 + d0*r 0 Proprietà È a rango illimitato (ogni numero intero vi può essere rappresentato) È a rappresentazione unica (ad ogni numero intero corrisponde un solo insieme ordinato di cifre) È irridondante (ad ogni insieme ordinato di cifre corrisponde un solo numero non rappresentato da altri insiemi ordinati) G. Di Modica Fondamenti di Informatica 10
11 Sistema decimale È un sistema numerico posizionale a base fissa Il sistema decimale utilizza: r = 10 d = 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 G. Di Modica Fondamenti di Informatica 11
12 Sistema decimale 8427 = 8* * * *10 0 G. Di Modica Fondamenti di Informatica 12
13 Sistema binario Anche il sistema binario è un sistema numerico posizionale a base fissa Il sistema binario utilizza: r = 2 d = 0,1 Ogni cifra è detta bit (da BInary digit) G. Di Modica Fondamenti di Informatica 13
14 Sistema binario 1011 = 1* * * *2 0 = G. Di Modica Fondamenti di Informatica 14
15 Altri sistemi utilizzati Sistema ottale: r = 8 d = 0,1,2,3,4,5,6,7 Sistema esadecimale: r = 16 d = 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F G. Di Modica Fondamenti di Informatica 15
16 Conversioni di base Dal sistema binario a quello decimale Utilizzando la definizione: = (1*8 + 0*4 + 1*2 + 0*1)10 = = (8+2)10 = 1010 Oppure si può utilizzare il seguente formato: N = ((dn-1*r + dn-2)*r + dn-3) )*r + d0 G. Di Modica Fondamenti di Informatica 16
17 Conversioni di base Dal sistema decimale a quello binario Esempio: = : d d1 d d3 d d5 d6 G. Di Modica Fondamenti di Informatica 17
18 Numeri frazionari E possibile anche rappresentare numeri frazionari: le potenze variano anche nel campo negativo N = Σ i d i *r i = dn-1*r n d0*r 0 + d-1*r d-m*r -m G. Di Modica Fondamenti di Informatica 18
19 Conversioni di base (per numeri frazionari) Dal sistema binario a quello decimale Sempre utilizzando la definizione: = 0* * * *2-3 = = ( )10 = G. Di Modica Fondamenti di Informatica 19
20 Conversioni di base (per numeri frazionari) Dal sistema decimale a quello binario Esempio: = : * * * = G. Di Modica Fondamenti di Informatica 20
21 Conversioni di base Dal sistema decimale a quello binario N.B.: Per convertire un numero composto da una parte intera e una frazionaria in un altro sistema numerico, occorre convertire separatamente le due parti e successivamente giustapporre. G. Di Modica Fondamenti di Informatica 21
22 Conversione da binario ad esadecimale = 2 4!!! 8B h G. Di Modica Fondamenti di Informatica 22
23 Numero di cifre necessario Le macchine hanno vincoli spaziali: è necessario conoscere il massimo valore rappresentabile: con n bit si può rappresentare al massimo il numero 2 n -1 è facile determinare che, dato un numero X, per rappresentarlo ci vogliono un numero di bit pari a: n = INT( log2 (X+1) ) G. Di Modica Fondamenti di Informatica 23
24 Operazioni aritmetiche Per effettuare operazioni è necessario conoscere la definizione del comportamento per ogni coppia di simboli Per ogni operazione esiste una tabella G. Di Modica Fondamenti di Informatica 24
25 Somma binaria La tabella di definizione è: = = = = 0 con riporto di 1 (ovvero, 10) = 1 con riporto di 1 (ovvero, 11) G. Di Modica Fondamenti di Informatica 25
26 Somma tra decimali Nel sistema decimale per eseguire un addizione occorre mettere in numeri in colonna allineando la cifra delle unità = Sommare le cifre partendo da destra, se c è una somma maggiore di 9, occorre tenere conto del riporto. Nell esempio 9+5=4 col riporto di = G. Di Modica Fondamenti di Informatica 26
27 Somma tra binari Nel sistema binario per eseguire un addizione occorre mettere i numeri in colonna allineando con il bit meno significativo (posizione 0) = Sommare le cifre partendo da destra. Se c è una somma maggiore di 1, occorre tenere conto del riporto. Nell esempio 1+1= 0 col riporto di = G. Di Modica Fondamenti di Informatica 27
28 Esempio: somma tra binari = = G. Di Modica Fondamenti di Informatica 28
29 Sottrazione binaria La tabella di definizione è: 0-0 = = = = 1 con prestito di 1 dal bit di peso superiore Esempi G. Di Modica Fondamenti di Informatica 29
30 Sottrazione tra decimali Nel sistema decimale per eseguire una sottrazione occorre mettere in numeri in colonna allineando la cifra delle unità = Sottrarre le cifre partendo da destra, se c è una sottrazione minore di 0, occorre effettuare un prestito dalla cifra successiva. Nell esempio 0-5=5 col prestito di 1 da parte della cifra 3 (che quindi diventa 2) G. Di Modica Fondamenti di Informatica 30
31 Sottrazione tra decimali Nel sistema decimale per eseguire una sottrazione occorre mettere in numeri in colonna allineando la cifra delle unità = Sottrarre le cifre partendo da destra, se c è una sottrazione minore di 0, occorre effettuare un prestito dalla cifra successiva. Nell esempio 0-5=5 col prestito di 1 da parte della cifra 3 (che quindi diventa 2) = G. Di Modica Fondamenti di Informatica 30
32 Sottrazione tra decimali Nel sistema decimale per eseguire una sottrazione occorre mettere in numeri in colonna allineando la cifra delle unità = Sottrarre le cifre partendo da destra, se c è una sottrazione minore di 0, occorre effettuare un prestito dalla cifra successiva. Nell esempio 0-5=5 col prestito di 1 da parte della cifra 3 (che quindi diventa 2) = G. Di Modica Fondamenti di Informatica 30
33 Sottrazione tra decimali Nel sistema decimale per eseguire una sottrazione occorre mettere in numeri in colonna allineando la cifra delle unità = Sottrarre le cifre partendo da destra, se c è una sottrazione minore di 0, occorre effettuare un prestito dalla cifra successiva. Nell esempio 0-5=5 col prestito di 1 da parte della cifra 3 (che quindi diventa 2) x = G. Di Modica Fondamenti di Informatica 30
34 Sottrazione tra decimali Nel sistema decimale per eseguire una sottrazione occorre mettere in numeri in colonna allineando la cifra delle unità = Sottrarre le cifre partendo da destra, se c è una sottrazione minore di 0, occorre effettuare un prestito dalla cifra successiva. Nell esempio 0-5=5 col prestito di 1 da parte della cifra 3 (che quindi diventa 2) x = G. Di Modica Fondamenti di Informatica 30
35 Sottrazione tra decimali Nel sistema decimale per eseguire una sottrazione occorre mettere in numeri in colonna allineando la cifra delle unità = Sottrarre le cifre partendo da destra, se c è una sottrazione minore di 0, occorre effettuare un prestito dalla cifra successiva. Nell esempio 0-5=5 col prestito di 1 da parte della cifra 3 (che quindi diventa 2) x = 5 G. Di Modica Fondamenti di Informatica 30
36 Sottrazione tra decimali Nel sistema decimale per eseguire una sottrazione occorre mettere in numeri in colonna allineando la cifra delle unità = Sottrarre le cifre partendo da destra, se c è una sottrazione minore di 0, occorre effettuare un prestito dalla cifra successiva. Nell esempio 0-5=5 col prestito di 1 da parte della cifra 3 (che quindi diventa 2) x = 1 5 G. Di Modica Fondamenti di Informatica 30
37 Sottrazione tra decimali Nel sistema decimale per eseguire una sottrazione occorre mettere in numeri in colonna allineando la cifra delle unità = Sottrarre le cifre partendo da destra, se c è una sottrazione minore di 0, occorre effettuare un prestito dalla cifra successiva. Nell esempio 0-5=5 col prestito di 1 da parte della cifra 3 (che quindi diventa 2) x = 1 5 G. Di Modica Fondamenti di Informatica 30
38 Sottrazione tra decimali Nel sistema decimale per eseguire una sottrazione occorre mettere in numeri in colonna allineando la cifra delle unità = Sottrarre le cifre partendo da destra, se c è una sottrazione minore di 0, occorre effettuare un prestito dalla cifra successiva. Nell esempio 0-5=5 col prestito di 1 da parte della cifra 3 (che quindi diventa 2) x 0 3 x = 1 5 G. Di Modica Fondamenti di Informatica 30
39 Sottrazione tra decimali Nel sistema decimale per eseguire una sottrazione occorre mettere in numeri in colonna allineando la cifra delle unità = Sottrarre le cifre partendo da destra, se c è una sottrazione minore di 0, occorre effettuare un prestito dalla cifra successiva. Nell esempio 0-5=5 col prestito di 1 da parte della cifra 3 (che quindi diventa 2) x 0 3 x = 1 5 G. Di Modica Fondamenti di Informatica 30
40 Sottrazione tra decimali Nel sistema decimale per eseguire una sottrazione occorre mettere in numeri in colonna allineando la cifra delle unità = Sottrarre le cifre partendo da destra, se c è una sottrazione minore di 0, occorre effettuare un prestito dalla cifra successiva. Nell esempio 0-5=5 col prestito di 1 da parte della cifra 3 (che quindi diventa 2) x 0 x 0 3 x = 1 5 G. Di Modica Fondamenti di Informatica 30
41 Sottrazione tra decimali Nel sistema decimale per eseguire una sottrazione occorre mettere in numeri in colonna allineando la cifra delle unità = Sottrarre le cifre partendo da destra, se c è una sottrazione minore di 0, occorre effettuare un prestito dalla cifra successiva. Nell esempio 0-5=5 col prestito di 1 da parte della cifra 3 (che quindi diventa 2) x 0 x 0 3 x = 1 5 G. Di Modica Fondamenti di Informatica 30
42 Sottrazione tra decimali Nel sistema decimale per eseguire una sottrazione occorre mettere in numeri in colonna allineando la cifra delle unità = Sottrarre le cifre partendo da destra, se c è una sottrazione minore di 0, occorre effettuare un prestito dalla cifra successiva. Nell esempio 0-5=5 col prestito di 1 da parte della cifra 3 (che quindi diventa 2) x 0 x 0 3 x = G. Di Modica Fondamenti di Informatica 30
43 Sottrazione tra decimali Nel sistema decimale per eseguire una sottrazione occorre mettere in numeri in colonna allineando la cifra delle unità = Sottrarre le cifre partendo da destra, se c è una sottrazione minore di 0, occorre effettuare un prestito dalla cifra successiva. Nell esempio 0-5=5 col prestito di 1 da parte della cifra 3 (che quindi diventa 2) x 0 x 0 3 x = G. Di Modica Fondamenti di Informatica 30
44 Sottrazione tra binari Nel sistema binario per eseguire una sottrazione occorre mettere i numeri in colonna allineando con il bit meno significativo (posizione 0) = Sottrarre le cifre partendo da destra, se c è una sottrazione minore di 0, occorre effettuare un prestito dalla cifra successiva. Nell esempio, in seconda posizione 0-1=1 col prestito di 1 da parte della cifra in posizione 3 G. Di Modica Fondamenti di Informatica 31
45 Sottrazione tra binari Nel sistema binario per eseguire una sottrazione occorre mettere i numeri in colonna allineando con il bit meno significativo (posizione 0) = Sottrarre le cifre partendo da destra, se c è una sottrazione minore di 0, occorre effettuare un prestito dalla cifra successiva. Nell esempio, in seconda posizione 0-1=1 col prestito di 1 da parte della cifra in posizione = G. Di Modica Fondamenti di Informatica 31
46 Sottrazione tra binari Nel sistema binario per eseguire una sottrazione occorre mettere i numeri in colonna allineando con il bit meno significativo (posizione 0) = Sottrarre le cifre partendo da destra, se c è una sottrazione minore di 0, occorre effettuare un prestito dalla cifra successiva. Nell esempio, in seconda posizione 0-1=1 col prestito di 1 da parte della cifra in posizione = 0 G. Di Modica Fondamenti di Informatica 31
47 Sottrazione tra binari Nel sistema binario per eseguire una sottrazione occorre mettere i numeri in colonna allineando con il bit meno significativo (posizione 0) = Sottrarre le cifre partendo da destra, se c è una sottrazione minore di 0, occorre effettuare un prestito dalla cifra successiva. Nell esempio, in seconda posizione 0-1=1 col prestito di 1 da parte della cifra in posizione = 0 0 G. Di Modica Fondamenti di Informatica 31
48 Sottrazione tra binari Nel sistema binario per eseguire una sottrazione occorre mettere i numeri in colonna allineando con il bit meno significativo (posizione 0) = Sottrarre le cifre partendo da destra, se c è una sottrazione minore di 0, occorre effettuare un prestito dalla cifra successiva. Nell esempio, in seconda posizione 0-1=1 col prestito di 1 da parte della cifra in posizione = 0 0 G. Di Modica Fondamenti di Informatica 31
49 Sottrazione tra binari Nel sistema binario per eseguire una sottrazione occorre mettere i numeri in colonna allineando con il bit meno significativo (posizione 0) = Sottrarre le cifre partendo da destra, se c è una sottrazione minore di 0, occorre effettuare un prestito dalla cifra successiva. Nell esempio, in seconda posizione 0-1=1 col prestito di 1 da parte della cifra in posizione x = 0 0 G. Di Modica Fondamenti di Informatica 31
50 Sottrazione tra binari Nel sistema binario per eseguire una sottrazione occorre mettere i numeri in colonna allineando con il bit meno significativo (posizione 0) = Sottrarre le cifre partendo da destra, se c è una sottrazione minore di 0, occorre effettuare un prestito dalla cifra successiva. Nell esempio, in seconda posizione 0-1=1 col prestito di 1 da parte della cifra in posizione x = 0 0 G. Di Modica Fondamenti di Informatica 31
51 Sottrazione tra binari Nel sistema binario per eseguire una sottrazione occorre mettere i numeri in colonna allineando con il bit meno significativo (posizione 0) = Sottrarre le cifre partendo da destra, se c è una sottrazione minore di 0, occorre effettuare un prestito dalla cifra successiva. Nell esempio, in seconda posizione 0-1=1 col prestito di 1 da parte della cifra in posizione x1 0 x = 0 0 G. Di Modica Fondamenti di Informatica 31
52 Sottrazione tra binari Nel sistema binario per eseguire una sottrazione occorre mettere i numeri in colonna allineando con il bit meno significativo (posizione 0) = Sottrarre le cifre partendo da destra, se c è una sottrazione minore di 0, occorre effettuare un prestito dalla cifra successiva. Nell esempio, in seconda posizione 0-1=1 col prestito di 1 da parte della cifra in posizione x1 0 x = 0 0 G. Di Modica Fondamenti di Informatica 31
53 Sottrazione tra binari Nel sistema binario per eseguire una sottrazione occorre mettere i numeri in colonna allineando con il bit meno significativo (posizione 0) = Sottrarre le cifre partendo da destra, se c è una sottrazione minore di 0, occorre effettuare un prestito dalla cifra successiva. Nell esempio, in seconda posizione 0-1=1 col prestito di 1 da parte della cifra in posizione x1 0 x = 0 0 G. Di Modica Fondamenti di Informatica 31
54 Sottrazione tra binari Nel sistema binario per eseguire una sottrazione occorre mettere i numeri in colonna allineando con il bit meno significativo (posizione 0) = Sottrarre le cifre partendo da destra, se c è una sottrazione minore di 0, occorre effettuare un prestito dalla cifra successiva. Nell esempio, in seconda posizione 0-1=1 col prestito di 1 da parte della cifra in posizione x1 0 x = G. Di Modica Fondamenti di Informatica 31
55 Sottrazione tra binari Nel sistema binario per eseguire una sottrazione occorre mettere i numeri in colonna allineando con il bit meno significativo (posizione 0) = Sottrarre le cifre partendo da destra, se c è una sottrazione minore di 0, occorre effettuare un prestito dalla cifra successiva. Nell esempio, in seconda posizione 0-1=1 col prestito di 1 da parte della cifra in posizione x1 0 x = G. Di Modica Fondamenti di Informatica 31
56 Moltiplicazione e divisione Si utilizzano le stesse procedure: per la moltiplicazione: somma e scorrimento per la divisione: differenza e scorrimento G. Di Modica Fondamenti di Informatica 32
57 Esempi di moltiplicazione * = * = G. Di Modica Fondamenti di Informatica 33
58 Esempio di divisione (1/4) Si supponga di voler effettuare la seguente divisione fra numeri binari: : Dapprima si separano le prime tre cifre del dividendo e si dividono per il divisore ottenendo come quoziente : G. Di Modica Fondamenti di Informatica 34
59 Esempio di divisione (2/4) Si moltiplica il quoziente e il divisore scrivendo il risultato incolonnato sotto il dividendo e si effettua la sottrazione (ricordare le regole della sottrazione binaria) : G. Di Modica Fondamenti di Informatica 35
60 Esempio di divisione (3/4) Si abbassa la successiva cifra a destra e si ripete la divisione, come prima : Si abbassa un altra cifra a destra, e così via fino a quando tutte le cifre sono state abbassate, ottenendo alla fine il quoziente e il resto della divisione G. Di Modica Fondamenti di Informatica 36
61 Esempio di divisione (4/4) : G. Di Modica Fondamenti di Informatica 37
62 Esempio di divisione (4/4) : quoziente G. Di Modica Fondamenti di Informatica 37
63 Esempio di divisione (4/4) : quoziente resto G. Di Modica Fondamenti di Informatica 37
64 Esercitazione Si eseguano le seguenti operazioni binarie: * : 10 G. Di Modica Fondamenti di Informatica 38
65 Rappresentazione dei numeri nei calcolatori
66 Rappresentazione dei numeri nei calcolatori Nei calcolatori esiste un limite al numero di bit impiegati per rappresentare un numero (8, 16, 32, 64) In un calcolatore può essere rappresentato solo un sottoinsieme finito di numeri G. Di Modica Fondamenti di Informatica 40
67 Overflow e Underflow Sono condizioni in cui si ha un errore nella rappresentazione del risultato Generalmente la rappresentazione è formata da un numero finito di bit: se si supera tale limite si ha errore Se il numero da rappresentare è troppo grande per poter essere rappresentato col numero di bit a disposizione -> overflow Se il numero da rappresentare è troppo piccolo per poter essere rappresentato col numero di bit a disposizione -> underflow G. Di Modica Fondamenti di Informatica 41
68 Esempio di Overflow Supponiamo di poter disporre di 8 bit (1 byte) per la rappresentazione dei numeri interi I numeri 201 e 192 sono due interi entrambi rappresentabili su 8 bit in forma binaria 201 (10) -> (10) -> La somma non lo è!! (overflow) G. Di Modica Fondamenti di Informatica 42
69 Esempio di Overflow Se cercassimo di memorizzare la somma negli 8 bit a disposizione, la macchina troncherebbe la cifra più significativa (quella più a sinistra) = G. Di Modica Fondamenti di Informatica 43
70 Esempio di Overflow Se cercassimo di memorizzare la somma negli 8 bit a disposizione, la macchina troncherebbe la cifra più significativa (quella più a sinistra) = 1 X G. Di Modica Fondamenti di Informatica 43
71 Esempio di Overflow Se cercassimo di memorizzare la somma negli 8 bit a disposizione, la macchina troncherebbe la cifra più significativa (quella più a sinistra) = 1 X (2) = 137 (10) G. Di Modica Fondamenti di Informatica 43
72 Esempio di Overflow Se cercassimo di memorizzare la somma negli 8 bit a disposizione, la macchina troncherebbe la cifra più significativa (quella più a sinistra) = 1 X (2) = 137 (10) G. Di Modica Fondamenti di Informatica 43
73 Rappresentazione dei Numeri positivi La rappresentazione di numeri positivi non è di per se problematica Al più, come appena visto, si può avere un overflow se il risultato delle operazioni richiede un numero maggiore di bit di quanto disponibile G. Di Modica Fondamenti di Informatica 44
74 Rappresentazione dei Numeri negativi Esistono diverse possibilità di rappresentazione: modulo e segno complemento a 2 G. Di Modica Fondamenti di Informatica 45
75 Modulo e segno Convenzione per il bit più significativo: 0 : segno positivo 1 : segno negativo esistono due rappresentazioni per lo 0 Si supponga, ad esempio, di disporre di 5 bit > > > > G. Di Modica Fondamenti di Informatica 46
76 Complemento a 2 (complemento alla base) I numeri positivi sono rappresentati dal loro modulo e segno zero I numeri negativi sono rappresentati dal complemento a 2 del corrispondente numero positivo Rappr. (X)= X 2 N, X se, 0 se X 2 N 2 1 N 1 X 0 G. Di Modica Fondamenti di Informatica 47
77 Complemento a 2 Se X=01011, n= X = = Il complemento a 2 di un numero si ottiene invertendo i bit del corrispondente intero positivo (detto anche complemento a 1 ) e aggiungendo 1 Regoletta pratica: il complemento a 2 si trova analizzando i bit del numero a partire da destra: fintanto che trovo degli zeri, li riporto invariati; appena trovo un bit a 1, questo lo riporto invariato e da lì in poi si complementano (0 1, 1 0) tutti gli altri bit rimanenti Es. Rappr. +5 Rappr G. Di Modica Fondamenti di Informatica 48
78 Complemento a 2 Es. Rappr. +12 Rappr Rappr. +45 Rappr Ricordarsi che i numeri negativi hanno il bit più significativo sempre a 1. G. Di Modica Fondamenti di Informatica 49
79 Uso dei numeri negativi Modulo e segno: la somma algebrica di numeri positivi e negativi può generare problemi servono sistemi hardware specifici per la gestione corretta del formato Complemento a due: la somma algebrica non genera problemi G. Di Modica Fondamenti di Informatica 50
80 Complemento a 2 Motivazione: Sia dato un numero di bit n i numeri che si possono rappresentare sono nel range [0 2 n -1] si vuole calcolare A-B si sostituisce -B con (2 n -B) si ottiene A+(2 n -B) La sottrazione si esegue mediante una somma! G. Di Modica Fondamenti di Informatica 51
81 Numeri negativi: intervallo valori rappresentabili Rappresentazione modulo e segno -2 n N 2 n-1-1 Rappresentazione in complemento a due -2 n-1 N 2 n-1-1 G. Di Modica Fondamenti di Informatica 52
82 Rappresentazione numeri reali Rappresentazione in virgola fissa Data una base B, si assegnano: n cifre per rappresentare la parte intera m cifre per rappresentare la parte frazionaria In base B=2, abbiamo quindi m+n bit per parte intera e frazionazia m Esempio: d n-1...d 1 d 0. d -1...d -m n Qual è il numero rappresentato in base B? N = d n-1 B n d 1 B 1 + d 0 B 0 + d -1 B d -m B -m G. Di Modica Fondamenti di Informatica 53
83 Virgola fissa Esercizio: =??? 2 (usare la rappresentazione in virgola fissa con n=8, m=8) Conversione parte intera: 23 : 2 = 11 resto 1 11 : 2 = 5 resto 1 5 : 2 = 2 resto 1 2 : 2 = 1 resto 0 1 : 2 = 0 resto 1 Conversione parte frazionaria: x 2 = 1.25 parte intera x 2 = 0.50 parte intera x 2 = 1 parte intera 1 Soluzione: = G. Di Modica Fondamenti di Informatica 54
84 Virgola fissa Spreco di memoria e limiti di rappresentazione Spreco di bit per memorizzare zeri: es. in base 10, con 5 cifre per la parte intera e 2 cifre riservate alla parte frazionaria oppure Intervallo di numeri rappresentabili piccolo. Es. in base 2, con N bit per parte intera e K per parte frazionaria, il numero max rappresentabile è 2 N -1/2 K, il minimo numero positivo è 1/2 K. Es: per N=4 e K=3, il max è = , mentre il minimo positivo è = G. Di Modica Fondamenti di Informatica 55
85 Virgola mobile Questo metodo di scrittura permette di rappresentare un amplissimo insieme numerico all'interno di un determinato numero di cifre, cosa che la virgola fissa non concede Notazione scientifica - numeri espressi nella forma: X.YYY * 10 WW X: parte intera Y: parte frazionaria W: esponente G. Di Modica Fondamenti di Informatica 56
86 Virgola mobile Nomenclatura: A = M * B E M: mantissa (detta anche precisione) B: base E: esponente (indica dove sta la virgola) Necessita di un segno per la mantissa e uno per l esponente G. Di Modica Fondamenti di Informatica 57
87 Virgola mobile Forma normalizzata: numero = ± 0.XXXXXXX * 2 a.xxxxxxx parte frazionaria a è detto esponente vero G. Di Modica Fondamenti di Informatica 58
88 Virgola mobile Rappresentazione standard (IEEE P754) Segno: 1 bit di segno (0 per i positivi, 1 per i negativi) Esponente: l esponente vero è rappresentato come numero senza segno su 8 bit usando la rappresentazione eccesso 127 (il valore che quindi si rappresenta è a+127; il valore dell esponente vero dovrà essere in modulo minore di 127) Mantissa: vengono rappresentati i primi 23 bit della parte frazionaria della forma normalizzata (hidden bit : la parte intera di peso 2 0 viene sottintesa) G. Di Modica Fondamenti di Informatica 59
89 Virgola mobile: esempi In base 10, il numero ha varie rappresentazioni in virgola mobile, del tipo (M, E), come: ( ,+3), cioè *10 3 [forma normalizzata] ( ,+4), cioè *10 4 ( ,-2), cioè *10-2 Nella forma normalizzata, la mantissa ha la prima cifra significativa (diversa da zero) subito dopo la virgola. G. Di Modica Fondamenti di Informatica 60
90 Virgola mobile: esempi In base 2 la situazione è del tutto analoga. Es: in base 2, il numero positivo (che vale in base 10) ha varie rappresentazioni in virgola mobile, come: ( ,+3), cioè *2 3 [forma normalizzata] ( ,+4), cioè *2 4 ( ,-3), cioè *2-3 Nella forma normalizzata, la mantissa ha la prima cifra significativa (diversa da zero) subito dopo la virgola. G. Di Modica Fondamenti di Informatica 61
91 Virgola mobile: esempi Per rappresentare numeri in virgola mobile nel computer, dobbiamo fissare un numero di bit Nm per il valore assoluto della mantissa, e un numero di bit Ne per l'esponente in complemento a 2 (o in notazione in eccesso) Numeri negativi: rappresentiamo il valore assoluto, mettendo 1 nel bit del segno. Se Nm = 4 e Ne = 3 abbiamo una rappr. su 8 bit come segue. G. Di Modica Fondamenti di Informatica 62
92 Virgola mobile: conversione da binario a decimale Fissiamo Nm = 4 e Ne = 3. Come si ottiene il numero razionale in base 10 corrispondente a un dato byte? Es: (segno 1, esponente 010, mantissa 1010) 1. Converto l'esponente (in complemento a 2 su tre bit) in base 10: 010 vale +2; 2. Aggiungo 0. (0 virgola) prima della mantissa (che deve cominciare con 1). Quindi 1010 diventa ; 3. Sposto la virgola di un numero di posizioni pari all'esponente verso destra se positivo, verso sinistra se negativo. Quindi poiché l'esponente è +2, diventa 10.10; 4. Converto il numero frazionario in base 10: vale 2.5; 5. Poichè il bit del segno è 1, il numero è negativo diventa quindi -2.5 in base 10 G. Di Modica Fondamenti di Informatica 63
93 Virgola mobile: conversione da decimale a binario Fissiamo Nm = 4 e Ne = 3. Come si ottiene la configurazione di bit corrispondente a un numero razionale in base 10? Es: Se il numero è negativo, metto 1 nel bit del segno e considero il valore assoluto. Quindi continuo con Converto il numero razionale in base 2: diventa in base 2; 3. Prendo come mantissa i primi Nm bit a partire da quello più significativo (il primo 1 da sinistra); aggiungo zeri se necessario; eventuali 1 dopo i primi Nm bit vengono persi con conseguenti errori di troncamento. Quindi la mantissa di è Per l'esponente: conto di quante posizioni devo spostare la virgola verso sinistra per arrivare a sinistra del primo 1. L'esponente di è -1, perché devo spostare la virgola a destra di una posizione. In complemento a 2 su 3 bit, -1 vale Quindi viene rappresentato come G. Di Modica Fondamenti di Informatica 64
94 Virgola mobile Rappresentazione IEEE P754 (32 bit) 1 bit per il segno 8 bit per l esponente (rappresentazione eccesso 127) 23 per la mantissa (parte frazionaria - normalizzata) Segno S Esponente E Mantissa F N = (-1) S * 2 E-127 * 1.F G. Di Modica Fondamenti di Informatica 65
95 Virgola mobile - precisione S (1 bit) E (8 bit) F (23 bit) 32 bit (singola precisione), M=127 S (1 bit) E (11 bit) F (52 bit) 64 bit (doppia precisione), M=1023 S (1 bit) E (15 bit) F (112 bit) 128 bit (quadrupla precisione), M=16383 G. Di Modica Fondamenti di Informatica 66
96 Codici Codice: sistema di simboli che permette la rappresentazione dell informazione Esempi: G. Di Modica Fondamenti di Informatica 77
97 Definizioni SIMBOLO: entità di cui non si da qui una definizione formale ALFABETO: insieme finito di simboli STRINGA: sequenza finita di simboli giustapposti (lunghezza della stringa, stringa vuota) LINGUAGGIO: insieme di stringhe di simboli tratti da un alfabeto G. Di Modica Fondamenti di Informatica 78
98 Esempi di alfabeti Alfabeto italiano: {A, B, C, D, Z} Alfabeto greco: {α, β, γ, δ,...ω} Alfabeto binario: {0, 1} G. Di Modica Fondamenti di Informatica 79
99 Fenomeni interpretabili dal calcolatore Interruttore (aperto/chiuso) Foro su scheda (aperto/chiuso) Transistor (in conduzione/spento) Tensione (alta/bassa) Dominio di magnetizzazione ( / ) Riflettività di un areola (alta/bassa) G. Di Modica Fondamenti di Informatica 80
100 Alfabeto usato dal calcolatore Gli elaboratori utilizzano una logica e un aritmetica binaria Ai due stati di un dispositivo vengono associati i due simboli 0 e 1 G. Di Modica Fondamenti di Informatica 81
101 Codifica dei simboli E necessario determinare delle regole di corrispondenza, dette codifiche La codifica mette in corrispondenza (biunivoca) ogni simbolo appartenente all alfabeto più ricco con una stringa di simboli appartenente all alfabeto più ridotto. G. Di Modica Fondamenti di Informatica 82
102 Codifica dei caratteri I codici usati per i dati alfanumerici sono: 1.EBCDIC (Extended Binary Code Decimal Interchenge Code); 2.ASCII (American Standard Code for Information Interchange). In tali codifiche le sequenze numeriche sono interpretate come stringhe (sequenze di caratteri) (es: non è un numero intero ma, per esempio, un numero di telefono) G. Di Modica Fondamenti di Informatica 91
103 Codice ASCII Si utilizzano 7 bit quindi 128 simboli diversi ASCII esteso (8bit) diverse estensioni in dipendenza dal paese caratteri stampabili (valore >32) lettere (maiuscole e minuscole), cifre, punteggiatura, apici vari, simboli matematici, parentesi varie caratteri di controllo o non stampabili (valore <=32) escape, space, tab, return (invio), del (canc), G. Di Modica Fondamenti di Informatica 92
104 Codice ASCII - note Codice ASCII Carattere '0 '1 '2 '3 '4 '5 '6 '7 '8 '9 Codice ASCII Carattere 'a 'b c 'd 'e 'f 'g Codice ASCII Carattere \b \t \n... \r G. Di Modica Fondamenti di Informatica 93
105 Codice ASCII G. Di Modica Fondamenti di Informatica 94
106 Codice ASCII - note I caratteri alfabetici sono consecutivi e in ordine (alfabetico) La distanza tra una lettera minuscola e la corrispondente maiuscola è costante Le cifre decimali sono consecutive e in ordine (da 0 a 9) G. Di Modica Fondamenti di Informatica 95
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