Rappresentazione in virgola fissa. Rappresentazione in virgola mobile (floating point)

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1 RAPPRESENTAZIONE DI NUMERI REALI 2 modalità Rappresentazione in virgola fissa Rappresentazione in virgola mobile (floating point) M. GIACOMIN - UNIVERSITA DI BRESCIA ESERCITAZIONI DI FONDAMENTI DI INFORMATICA A 1

2 Rappresentazione in virgola fissa Parte intera Parte frazionaria n I bit n F bit Esempio Peso Ferrari F-2003 GA: 600 kg 2 19 grammi [parte intera: 20 bit] Peso molecola di CO 2 : grammi 2-80 grammi [parte frazionaria: 80 bit] Spreco dei bit disponibili: la precisione dovrebbe essere funzione dell'ordine di grandezza! M. GIACOMIN - UNIVERSITA DI BRESCIA ESERCITAZIONI DI FONDAMENTI DI INFORMATICA A 2

3 Granularità = intervallo tra due numeri consecutivi La granularità della rappresentazione in virgola fissa è costante: Parte intera Parte frazionaria n I bit. n F bit Per un qualsiasi numero I.F, il numero successivo è I.F + 2 la granularità è fissa e pari a 2 (nell esempio, 2-8 ) n F n F M. GIACOMIN - UNIVERSITA DI BRESCIA ESERCITAZIONI DI FONDAMENTI DI INFORMATICA A 3

4 Rappresentazione in virgola mobile (floating point) s M s E mantissa ( m ) esponente ( e ) n M bit n E bit N = m*2 e Forma normalizzata: Stesso numero : 1*2-1 10*2-2 si stabilisce una forma univoca di rappresentazione M. GIACOMIN - UNIVERSITA DI BRESCIA ESERCITAZIONI DI FONDAMENTI DI INFORMATICA A 4

5 Rappresentazione della mantissa Prima cifra significativa diversa da 0 alla destra del punto di radice 1: senza hidden bit 0.1xxxxxxxx *2 e 2: con hidden bit 0.1xxxxxxxx *2 e M. GIACOMIN - UNIVERSITA DI BRESCIA ESERCITAZIONI DI FONDAMENTI DI INFORMATICA A 5

6 Prima cifra significativa diversa da 0 alla sinistra del punto di radice 3: senza hidden bit 1.xxxxxxxxx * 2 e 4: con hidden bit 1.xxxxxxxxx * 2 e M. GIACOMIN - UNIVERSITA DI BRESCIA ESERCITAZIONI DI FONDAMENTI DI INFORMATICA A 6

7 Rappresentazione dell esponente Sono possibili tutte le rappresentazioni di valori interi relativi: Modulo e segno Complemento a due Complemento a uno Con polarizzazione o eccesso M. GIACOMIN - UNIVERSITA DI BRESCIA ESERCITAZIONI DI FONDAMENTI DI INFORMATICA A 7

8 Rappresentazione di numeri relativi con polarizzazione n E bit n E y 0 y 2-1 Rappresento il numero aggiungendovi una costante P (polarizzazione o eccesso ) y = e + P (tipicamente P = 2-1 o P = 2-1 1) esponente valore rappresentato n E n E negativi rappresentati come positivi M. GIACOMIN - UNIVERSITA DI BRESCIA ESERCITAZIONI DI FONDAMENTI DI INFORMATICA A 8

9 Esempio: n E =5, P = = y= e + P e= y - P M. GIACOMIN - UNIVERSITA DI BRESCIA ESERCITAZIONI DI FONDAMENTI DI INFORMATICA A 9

10 Esempio: Il formato floating point standard IEEE P754 (precisione semplice) Mantissa: 23 bit, prima cifra sign. alla sx, hidden bit Esponente: 8 bit, eccesso 127 (8 bit) (23 bit) s y x N = (-1) S * 2 (Y 127) * 1.x M. GIACOMIN - UNIVERSITA DI BRESCIA ESERCITAZIONI DI FONDAMENTI DI INFORMATICA A 10

11 Mantissa normalizzata: ± (s) bit di rappresentazione per la mantissa (y) 0: segno + 1: segno - Esponente: HIDDEN BIT Rappresentazione in 8 bit a eccesso 127 (127 = 2 n-1-1), con le configurazioni e non ammesse! x= e e = x -127 (-126 e 127) X M. GIACOMIN - UNIVERSITA DI BRESCIA ESERCITAZIONI DI FONDAMENTI DI INFORMATICA A 11

12 Esercizio (Appello del 23 set 2003) Definire il concetto di polarizzazione dell esponente nella codifica IEEE 754 dei numeri in virgola mobile (singola precisione). Se il campo esponente di una codifica contiene il numero qual è il valore decimale dell esponente? [2] Soluzione y = e valori rappresentabili da 127 a +128 (NB: gli estremi non sono utilizzati propriamente) Nel caso specifico: y = = 59 quindi e = = -68 M. GIACOMIN - UNIVERSITA DI BRESCIA ESERCITAZIONI DI FONDAMENTI DI INFORMATICA A 12

13 Esercizio (Appello del 7 gen 2003) Ricavare il valore decimale del seguente numero in virgola mobile rappresentato secondo lo standard IEEE 754 a 32 bit: [3] Soluzione Segno: + Esponente: y = 2 7 = 128 e = =1 Mantissa: m = 1.1 N = * 2 1 = 11 2 = 3 10 M. GIACOMIN - UNIVERSITA DI BRESCIA ESERCITAZIONI DI FONDAMENTI DI INFORMATICA A 13

14 Esercizio (Appello del 5 feb 2001) Utilizzando la rappresentazione standard IEEE per numeri floating point su 32 bit, si determini il valore decimale della sequenza di bit corrispondente a 3F in base 16. [2] Soluzione Notazione binaria: segno: + esponente: y = = 126 e = = - 1 N = 1.1 * 2-1 = = = = 0.75 M. GIACOMIN - UNIVERSITA DI BRESCIA ESERCITAZIONI DI FONDAMENTI DI INFORMATICA A 14

15 Esercizio Rappresentare il numero decimale 4.5 secondo lo standard in virgola mobile IEEE 754 a 32 bit. Soluzione Segno: 1 Rapp. binaria: = Forma normalizzata: N = * 2 2 Esponente: e = 2 y = = = IEEE754: M. GIACOMIN - UNIVERSITA DI BRESCIA ESERCITAZIONI DI FONDAMENTI DI INFORMATICA A 15

16 PASSAGGIO IMPORTANTE: normalizzazione ES. 1 Rappresentazione binaria: = * 2 3 (forma normalizzata) ES. 2 Rappresentazione binaria: = * 2-3 (forma normalizzata) M. GIACOMIN - UNIVERSITA DI BRESCIA ESERCITAZIONI DI FONDAMENTI DI INFORMATICA A 16

17 PER ESERCITARSI Convertitore (on line) tra: IEEE754 Binario Decimale Esadecimale E sufficiente inserire un valore in una delle precedenti rappresentazioni per ottenere i valori delle altre tre. M. GIACOMIN - UNIVERSITA DI BRESCIA ESERCITAZIONI DI FONDAMENTI DI INFORMATICA A 17

18 Esercizio Si consideri la seguente rappresentazione floating point: 1 bit per il segno 4 bit per l esponente in complemento a due 19 bit per mantissa, normalizzata con 1 A cifra 0 a dx del punto Rappresentare Soluzione Formato: s yyyy xxxxxxxxxx con mantissa 0.1 Rappresentazione binaria: = = M. GIACOMIN - UNIVERSITA DI BRESCIA ESERCITAZIONI DI FONDAMENTI DI INFORMATICA A 18

19 = M. GIACOMIN - UNIVERSITA DI BRESCIA ESERCITAZIONI DI FONDAMENTI DI INFORMATICA A 19

20 = Forma norm: = * 2 5 Esponente: 5 10 = 0101 già espressa in compl. a due Segno: - Rappresentazione Floating Point: M. GIACOMIN - UNIVERSITA DI BRESCIA ESERCITAZIONI DI FONDAMENTI DI INFORMATICA A 20

21 Esercizio Si consideri la seguente rappresentazione floating point: 1 bit per il segno 5 bit per l esponente in complemento a due 15 bit per mantissa, normalizzata con 1 A cifra 0 a sx del punto di radice con hidden bit Rappresentare Soluzione Formato: s yyyyy xxxxxxxxxxxxxxx con mantissa 1.xxx xxx Rappresentazione binaria del valore assoluto: M. GIACOMIN - UNIVERSITA DI BRESCIA ESERCITAZIONI DI FONDAMENTI DI INFORMATICA A 21

22 351 = bit quanto dobbiamo andare avanti? La forma normalizzata sarà altri 7 bit per arrivare a 15 M. GIACOMIN - UNIVERSITA DI BRESCIA ESERCITAZIONI DI FONDAMENTI DI INFORMATICA A 22

23 Rappresentazione normalizzata: = = * 2 8 Esponente: 8 10 = (già in compl. a 2 con 5 bit) Segno: - Rappresentazione Floating Point: M. GIACOMIN - UNIVERSITA DI BRESCIA ESERCITAZIONI DI FONDAMENTI DI INFORMATICA A 23

24 Esercizio Si consideri la seguente rappresentazione floating point: 1 bit per il segno 5 bit per l esponente in complemento a due 16 bit per la mantissa, normalizzata con 1 A cifra 0 a sx del punto di radice senza hidden bit Rappresentare (in base 8) Soluzione Forma normalizzata del tipo 1.xxxxxxxxxxxxxxx Rappresentazione binaria: (mi bastano 16 bit) M. GIACOMIN - UNIVERSITA DI BRESCIA ESERCITAZIONI DI FONDAMENTI DI INFORMATICA A 24

25 Forma normalizzata: = * 2 9 Esponente: 9 10 = già in complemento a due con 5 bit Segno: + Rappresentazione floating point: M. GIACOMIN - UNIVERSITA DI BRESCIA ESERCITAZIONI DI FONDAMENTI DI INFORMATICA A 25

26 Esercizio Si consideri la seguente rappresentazione floating point: 1 bit per il segno 4 bit per l esponente in eccesso 2 m-1 7 bit per la mantissa, normalizzata con 1 A cifra 0 a dx del punto di radice con hidden bit Trovare il numero decimale corrispondente alla rappresentazione M. GIACOMIN - UNIVERSITA DI BRESCIA ESERCITAZIONI DI FONDAMENTI DI INFORMATICA A 26

27 Soluzione Segno: - Esponente: = 12 in eccesso = 8 y = e + P e = y-p = 12 8 = 4 mantissa : Numero rappresentato : N = * 2 4 = = 13.5 M. GIACOMIN - UNIVERSITA DI BRESCIA ESERCITAZIONI DI FONDAMENTI DI INFORMATICA A 27

28 Limiti della capacità di rappresentazione floating point n E : numero di bit per l'esponente, n M : numero di bit per la mantissa Numero massimo rappresentabile = + MaxMant*2 MaxExp Numero minimo rappresentabile = - MaxMant*2 MaxExp Zero + = + MinMant*2 MinExp Zero - = - MinMant*2 MinExp MIN MAX Nel caso di mantissa 0.1xxxx (senza hidden bit) MaxMant = = 1-2 -Nm MinMant = = 2-1 MaxExp = max valore rappresentabile (+) MinExp = min valore rappresentabile ( «il più grande negativo») M. GIACOMIN - UNIVERSITA DI BRESCIA ESERCITAZIONI DI FONDAMENTI DI INFORMATICA A 28

29 Esempio: IEEE 754 con singola precisione MinExp = -126 MaxExp = +127 [estremi per scopi speciali] Numero più grande normalizzato: ± * *2 127 = Numero più piccolo normalizzato: ± * = OVERFLOW - NORMALIZZATI - DENORM. - UNDERF. DENORM.+ NORMALIZZATI + OVERFLOW M. GIACOMIN - UNIVERSITA DI BRESCIA ESERCITAZIONI DI FONDAMENTI DI INFORMATICA A 29

30 Granularità nella rappresentazione floating point Forma normalizzata: N= 0.1xxxxxxx * 2 e (caso dx, no hidden bit) granularità: *2 e ovvero: 2 -Nm *2 e [Nm: numero di bit per la mantissa] Per esempio con n M =3: e = +3 Granularità = 2-3 * 2 3 = 1 e = 0 Granularità = 2-3 * 2 0 = 2-3 e = -3 Granularità = 2-3 * 2-3 = 2-6 i numeri "si infittiscono" per valori prossimi allo 0 M. GIACOMIN - UNIVERSITA DI BRESCIA ESERCITAZIONI DI FONDAMENTI DI INFORMATICA A 30

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