Rappresentazione in virgola mobile. 5 ottobre 2015

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1 Rappresentazione in virgola mobile 5 ottobre 2015

2 Punto della situazione Abbiamo visto le rappresentazioni dei numeri: Sistema posizionale pesato per interi positivi (nella varie basi) Sistema posizionale pesato per numeri con la virgola positivi (frazioni proprie) Modulo e segno per interi col segno Complemento a 2 per interi col segno Adesso rappresentazione in virgola mobile per numeri reali/con virgola e segno (con troncamento)

3 Frazioni proprie Numeri Reali Potrebbero essere rappresentati in binario puro = =9.625 Ma dove è posizionata la virgola (punto decimale)? In una posizione fissata (virgola fissa)? Soluzione con molti limiti In una posizione mobile (virgola mobile)? Come facciamo ad indicare dove si trova?

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5 Rappresentazione in Virgola Mobile (b=10) Il numero può essere scritto come: * * * * * * * * * * * * 10-5

6 Rappresentazione in Virgola Mobile (b=2) Il numero può essere scritto come: * * * * * * * * * * * * 2-5

7 Notazione scientifica Notazione scientifica in base 10: N= (-1) s M 10 exp s=segno positivo se s=0, negativo se s=1 M=Mantissa numero decimale con parte intera uguale a 0 exp = esponente opportuno (intero) Esempi: +75,221 = (-1) 0 0, ,1 = (-1) 1 0, ,0089= (-1) 0 0, Notazione scientifica in base 2: N= (-1) s M 2 exp s=segno positivo se s=0, negativo se s=1 M=Mantissa numero decimale con parte intera uguale a 0 exp = esponente opportuno (intero) Esempi: +11,001 = (-1) 0 0, ,1 = (-1) 1 0, ,0011= (-1) 0 0,11 2-2

8 Notazione scientifica normalizzata La rappresentazione in virgola mobile che adotteremo si basa sulla notazione scientifica normalizzata Notazione scientifica normalizzata in base 2: N= (-1) s M 2 exp s = segno positivo se s=0, negativo se s=1 M = Mantissa numero decimale con parte intera uguale a 1 exp = esponente opportuno (intero) Esempi: +11,001 = (-1) 0 1, ,1 = (-1) 1 1, ,0011= (-1) 0 1,1 2-3

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12 Suddivide i 32 bit (singola precisione) in: 1 bit per il segno 8 bit per rappresentare l esponente 23 bit per rappresentare la mantissa

13 Standard IEEE 754: segno Il segno è dato da (-1) s Analogamente alla rappresentazione in complemento a 2: Il bit s=0 rappresenta numeri positivi Il bit s=1 rappresenta numeri negativi

14 singola precisione: Mantissa

15 Standard IEEE 754: esponente Vogliamo usare gli 8 bit per rappresentare esponenti interi negativi e positivi Se usassimo la rappresentazione in complemento a 2, con 8 bit potremmo rappresentare: [-128, +127] = = = = = = = = = = 2 7 2= = =+127 Il confronto non risulta naturale!

16 Standard IEEE 754: polarizzazione Vogliamo rappresentare esponenti interi negativi e positivi Usiamo la rappresentazione in binario; con 8 bit potremmo rappresentare: [0, +255] 0 = lo riserviamo a zero 255 = a infinito e NaN Gli altri interi da [1, +254] li usiamo per rappresentare l intervallo [-126, +127] sottraendo 127 (polarizzazione) (per averne circa metà positivi e metà negativi)

17 Campo esponente (8bit) = 0 RISERVATO (per lo 0) = 1 rappresenta = = 2 rappresenta = = 3 rappresenta 3-127= = +253 rappresenta = = +254 rappresenta = = +255 RISERVATO (ad infinito e NaN)

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19 : esempi

20 Numeri rappresentabili in FP Numeri positivi: NOTA: 2 10 = = (2 10 ) = minimo: + (1, 00.00) = = = 0, Da provare! Massimo: + (1, 11.11) = 2( ) = Numeri negativi: intervallo simmetrico

21 Numeri Rappresentabili con 32 bit (Complemento a 2 e Virgola Mobile) numeri rappresentabili overflow numeri negativi rappresentabili underflow numeri positivi rappresentabili overflow -( ) ( )

22 Aritmetica in virgola mobile

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24 Algoritmo La somma algebrica è più complicata!

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29 Troppo difficile? Esiste anche la doppia precisione su 64 bit ( ) (double in C) Non studieremo moltiplicazione e divisione Le istruzioni MIPS che studieremo tratteranno numeri rappresentati in complemento a 2. Per esempio: add, sub, Il MIPS supporta anche il formato IEEE 754 a singola (e doppia) precisione con istruzioni particolari: Per esempio: add.s, sub.s,

30 Riepilogo e riferimenti I numeri in virgola mobile e lo standard IEEE 754 a singola precisione Somma in virgola mobile: [PH] par. 3.5 (fino a La somma in virgola mobile ) Abbiamo finito le rappresentazioni dell informazione. Dalla prossima volta: algebra di Boole e circuiti combinatorici Faremo un test sul programma fin qui svolto, cioè tutte le rappresentazioni e conversioni studiate. Venerdì 9 ottobre?