Numeri frazionari. sistema posizionale. due modi: virgola fissa virgola mobile. posizionale, decimale

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1 Numeri frazionari sistema posizionale due modi: virgola fissa virgola mobile posizionale, decimale 0,341=tre decimi più quattro centesimi più un millesimo cifre dopo la virgola: decimi centesimi millesimi potenze di dieci decimi, centesimi, millesimi, ecc. sono le potenze di dieci: un decimo = 1/10 = 10-1 un centesimo = 1/100 = 10-2 un millesimo = 1/1000 = 10-3 numero frazionario: regola numeri come 0,23 o come 0,00932 in generale, 0,cifre 0,c 1 c 2 c 3 = c c c numero frazionario: base b al solito: b al posto di 10 0,c 1 c 2 c 3 = c 1 b -1 + c 2 b -2 + c 3 b -3 + conversione in decimale: si calcola questa somma 1

2 conversione in decimale numero ottale 0,645 vale: 0,645 = = 6/8 + 4/(8 8) + 5/(8 8 8) = 0, da binario a decimale numero binario 0, in decimale: 0, = = 1/2 + 1/4 + 0/8 + 1/16 + 0/32 + 1/64 = 0, casi particolari di conversione conversione da una base all altra se una delle due è potenza dell altra: si raggruppano i bit es: tre bit = una cifra ottale è come per il caso intero da decimale ad altra base metodo simile alle divisioni successive ma con moltiplicazioni successive per convertire in base b: moltiplicare il numero per b togliere la parte intera, che è la prima cifra moltiplicare quello che rimane per b conversione in binario: esempio numero decimale 0,6875 0, = 1,375 la parte intera è uno; rimane 0,375 0,375 2 = 0,75 la parte intera è zero; 0,75 2 = 1,5 2

3 la parte intera è uno; rimane 0,5 0,5 2 = 1 la parte intera è uno; togliendola, rimane 0 valore binario: parti intere nell ordine non nell ordine opposto! risultato: 0,1011 quando ci si ferma? quando rimane zero può non succedere mai: 0,2 2=0,4 0,4 2=0,8 0,8 2=1,6, parte intera 1 0,6 2=1,2, parte intera 1 0,2 2=0,4 di nuovo 0,2 si ricomincia da capo numero infinito di cifre conversione da base 10=2 5 a 2 nel 10 c è il 2 nel 2 non c è il 5 in questo caso: 0,2=1/5 quindi conversione infinita 10=2 5 ogni numero binario con cifre finite diventa un numero decimale con cifre finite il contrario non è detto 0,2: infinite cifre binarie 0,375: quattro cifre binarie 3

4 esercizio convertire 0,78125 in binario moltiplicazioni successive per due ogni volta si elimina la parte intera 0, =1,56250, parte intera 1 0,5625 2=1,125, parte intera 1 0,125 2=0,25, parte intera 0 0,25 2=0,5, parte intera 0 0,5 2=1, parte intera 1 parti intere nell ordine 0,11001 non ordine inverso conversione parte intera: resti in ordine inverso conversione parte frazionaria: parti intere nell ordine esempio convertire 0,1875 in binario 0,1875 per 2 fa 0,3750, parte intera 0 0,3750 per 2 fa 0,7500, parte intera 0 0,7500 per 2 fa 1,5000, parte intera 1 0,5000 per 2 fa 1,0000, parte intera 1 risultato: 0,0011. esercizio convertire 0, in ottale moltiplicazioni successive questa volta si moltiplica per otto 4

5 0, per 8 fa 5,125, parte intera 5 0,125 per 8 fa 1, parte intera 1 numero in ottale: 0,51 perchè funziona? numero n in base b: una sequenza di cifre 0,c 1 c 2 c 3 tale che: n = c 1 b -1 + c 2 b -2 + c 3 b -3 + si moltiplica tutto per la base (segue) moltiplicazione per la base n = c 1 b -1 + c 2 b -2 + c 3 b -3 + moltiplicato b: n b = c 1 b 0 + c 2 b -1 + c 3 b -2 + = = c 1 + 0,c 2 c 3 ultimo passaggio: definizione del numero 0,c 2 c 3 (era: 0,c 2 c 3 indica c 2 b -1 + c 3 b -2 + ) parte intera e frazionaria n b = c 1 + 0,c 2 c 3 c 1 intero 0,c 2 c 3 minore di uno parte intera di n b: prima cifra parte frazionaria: 0,c 2 c 3 si può ripetere il procedimento si moltiplica per b, ecc. numeri con parte intera e frazionaria si convertono separatamente le due parti 5

6 in generale, in base b: c k c 0,c -1 c -2 = c k b k + + c 0 b 0 + c -1 b -1 + c -2 b -2 + = i=k,k-1, c k b k esercizio convertire 12,6875 in binario si converte la parte intera si converte la parte frazionaria : parte intera 12,6875 divisioni successive su diviso 2 fa 6 con resto di 0 6 diviso 2 fa 3 con resto di 0 3 diviso 2 fa 1 con resto di 1 1 diviso 2 fa 0 con resto di 1 parte intera del risultato: 1100 (resti in ordine inverso) : parte frazionaria 12,6875 moltiplicazioni successive su 0,6875 0,6875 per 2 fa 1,3750, parte intera 1 0,3750 per 2 fa 0,7500, parte intera 0 0,7500 per 2 fa 1,5000, parte intera 1 0,5000 per 2 fa 1,0000, parte intera 1 parti intere nell ordine: 0,1011 (nell ordine, non in ordine inverso) : risultato 6

7 parte intera - virgola - parte frazionaria: 1100,1011 numero prefissato di bit es: 64 impossibile rappresentare: numeri molto grandi numeri molto piccoli tutte le cifre di un numero con molte cifre dopo la virgola virgola fissa dei 64 bit: alcuni sono per la parte intera (es. 48) gli altri sono per la parte frazionaria (es. 16) oppure: 32 e 32 si dice virgola fissa numeri rappresentabili massimo numero rappresentabile: , (duecentoottantunomilaquattrocentosettantaquattro miliardi, ecc.) minimo numero positivo rappresentabile: 0, non sempre bastano servono anche per i risultati intermedi dei calcoli massimo e numero prima massimo rappresentabile: quarantotto uni virgola sedici uni numero immediatamente inferiore: zero come ultima cifra in decimale: 7

8 , , ha senso distinguerli? granularità della virgola fissa , , numeri dell ordine dei centomila miliardi differiscono per la quinta cifra dopo la virgola nella maggior parte delle applicazioni si possono considerare uguali virgola mobile rappresenta numeri più grandi e più piccoli rinuncia alla precisione su numeri grandi virgola mobile: principio sempre numero preffissato di bit complessivi (es. 64) ma: la posizione della virgola fa parte della rappresentazione del numero virgola mobile: composizione un numero si rappresenta come: mantissa valore, senza la virgola esponente posizione della virgola al suo interno esempi 351#0 valore 351 con virgola in posizione zero, ossia 0, #1 valore 1023 con virgola in posizione uno, ossia 1, #2 valore 1023 con virgola in posizione due, ossia 10,23 21#5 valore 21 con virgola in posizione cinque, ossia 21000,0 8

9 7214#-3 valore 7214 con virgola in posizione meno tre, ossia 0, perchè "esponente"? 351#0=0, #1=1, #2=10,23 21#5=21000,0 7214#-3=0, numero = 0,mantissa 10 esponente 351#0 = 0, = 0, #1 = 0, = 1, #2 = 0, = 10,23 21#5 = 0, = #-3 = 0, = 0, base generica base b numero n rappresentato come: n = m b e dove m=0,cifre non è una limitazione: m=10 e e=4 m=0,1 e e=6 granularità fra 100 e 200 c è una certa differenza fra e no virgola fissa: numeri rappresentati in forma esatta (se il numero di cifre è sufficiente) virgola mobile: le ultime cifre si possono perdere virgola mobile, con molte cifre 100 1# # # #12 9

10 se disponibili solo sei cifre per la mantissa: 100 1# # # #12 (ultimi due uguali) perdita di granularità 100 1# # # #12 ultimi due uguali ma già molto simili in partenza virgola mobile e virgola fissa otto cifre totali vigola mobile (sei cifre di mantissa+due di esponente): e uguali virgola fissa (otto cifre totali): e non si possono rappresentare virgola mobile: principio si rappresenta la "parte principale" di un numero (nell esempio: le prime sei cifre) si trascura quello che segue (se non basta lo spazio) esercizio mantissa 0,5235 ed esponente -2 quanto vale? 10

11 dalla definizione: numero = mantissa b esponente in questo caso: 0, = 0,5235/100=0, oppure, spostando la virgola: 5235#-2 = 0,5235 = 0, esercizio numero decimale 34576,12 come si rappresenta in virgola mobile? quattro cifre decimali di mantissa e una di esponente si porta il numero nella forma 0,cifre 34576,12 = 0, mantissa 0,3457 (solo quattro cifre disponibili!) esponente 5 quanto vale? valutazione del risultato numero da rappresentare: 34576,12 in virgola mobile: 0,3457 e 5 0, = 0, = non solo non ci sono le cifre dopo la virgola si è persa anche l ultima cifra intera esercizio convertire il numero decimale 0,

12 virgola mobile quattro cifre di mantissa e una di esponente 0, = 0, mantissa (quattro cifre); 0,1231 esponente -3 esercizio quattro cifre di mantissa, una di esponente = 0, non basta una cifra di esponente non si può rappresentare per la mantissa sarebbe bastato troncare a 0,1003 numeri non rappresentabili in virgola mobile esponente richiesto troppo grande (es ) esponente richiesto troppo piccolo (es. 0, ) calcoli in virgola mobile sommare 101#3 e 2#2 non si possono sommare le mantisse: 0,101+0,2 101#3 è 0, =101 2#2 è 0, =20 0,101+0,2 sarebbe ovviamente per sommare 101#3 e 2#2: 12

13 nemmeno funziona i numeri sono 101 e 20 somma in virgola mobile calcolare i due numeri in modo esplicito: troppo oneroso si converte il minore nell esponente del maggiore 101#3 è 0, #2 è 0,2 100 = 20 = 0, ora si può fare 0, ,02 = 0,121 risultato: 0, =121#3 somma in virgola mobile: normalizzazione 0, ,02 = 0,121 se veniva maggiore o uguale a uno? la mantissa deve essere nella forma 0,cifre si riporta in quella forma: mantissa divisa per dieci esponente aumentato di uno esempio sommare 95#2 e 7#1 uguagliare gli esponenti: 7#1=0,7 10=0,07 100=07#2 sommare le mantisse: 0,95+0,07=1,02 normalizzare: mantissa 0,102 esponente 3 risultato 102#3 esercizio sommare 994#5 e 671#3 13

14 quattro cifre di mantissa e una di esponente esponente minore: 3 0, = 0, somma mantisse 0, ,00671 = 1,00071 non è minore di uno 1, = 0, esponente 5 diventa 6 0, ha troppe cifre risultato: 1#6 esercizio sommare 9561#3 e 12#4 usare solo la somma fra interi quattro cifre di mantissa e una di esponente aumento esponente minore: 0, = 0, mantisse: 0, ,0956 0,12 0,1200 si sommano come interi: 1 riporti = risultato 2156#4 cambio di esponente 14

15 non serve farlo in modo esplicito 0, = 0, ogni zero in più è un aumento di uno dell esponente 9561#3 = 09561#4 zero davanti alla mantissa incremento di uno dell esponente la somma richiede solo: aggiunte di zeri, incrementi e una somma fra interi somma, algoritmo per sommare a#b e c#d: se b<d: si converte a#b in 0 0a#d gli zeri sono d-b se b>d: lo stesso su c#d si aggiungono zeri in fondo a 0 0a e c in modo che abbiano la stessa lunghezza si sommano: e = 0 0a0 0 + c0 0 se viene una cifra in più, f=max(b,d)-1, altrimenti f=max(b,d) risultato e#f esempio sommare 994#3 con 6169#1 quattro cifre mantissa, due esponente aumentare l esponente del secondo: 7169# #3 uguagliare il numero di cifre: 994# #3 somma fra interi: = normalizzare: una cifra di troppo esponente del risultato = 3+1=4 limitare le cifre: mantissa del risultato = 1001 risultato: 1001#4 esercizio 15

16 sommare 6002#-1 e 12#2 quattro cifre di mantissa e una di esponente esponente minore: 6002#-1= #2 stesse cifre: 12#2= #2 somma: = non è aumentato il numero di cifre risultato: 1206#2 virgola mobile, in base diversa da dieci mantissa ed esponente sono in base b valore: mantissa # esponente = 0,mantissa base esponente normalizzazione: aumentare o diminuire l esponente in modo che la 0,mantissa sia compresa fra 0,1 (incluso) e 1 (escluso) 0,1 in base b è 1/b esempio convertire 123,75 binario, otto bit di mantissa e quattro di esponente parte intera 123, diviso 2 fa 61 con resto di 1 61 diviso 2 fa 30 con resto di 1 30 diviso 2 fa 15 con resto di 0 15 diviso 2 fa 7 con resto di 1 7 diviso 2 fa 3 con resto di 1 3 diviso 2 fa 1 con resto di 1 1 diviso 2 fa 0 con resto di 1 16

17 parte intera: parte frazionaria 123,75 0,75 per 2 fa 1,50, parte intera 1 0,50 per 2 fa 1,00, parte intera 1 parte frazionaria: 0,11 numero complessivo: ,11 esponente numero esponente: basta contare le cifre intere: sette (0111) mantissa: prime otto cifre: risultato: #0111 conversione parte frazionaria numero 0,135 mantissa otto bit, esponente quattro 0,135 per 2 fa 0,270, parte intera 0 0,270 per 2 fa 0,540, parte intera 0 0,540 per 2 fa 1,080, parte intera 1 0,080 per 2 fa 0,160, parte intera 0 0,160 per 2 fa 0,320, parte intera 0 0,320 per 2 fa 0,640, parte intera 0 0,640 per 2 fa 1,280, parte intera 1 0,280 per 2 fa 0,560, parte intera 0 0,560 per 2 fa 1,120, parte intera 1 0,120 per 2 fa 0,240, parte intera 0 0,240 per 2 fa 0,480, parte intera 0 0,480 per 2 fa 0,960, parte intera 0 0,960 per 2 fa 1,920, parte intera 1 0, quando fermarsi? 17

18 numero di bit disponibili 0, inutile andare avanti: massimo otto bit basta l ottavo bit dopo il primo uno 0, # otto bit esponente: -2 = 1110 (complemento a due) risultato: #1110 esercizio numero 2,991 binario, mantissa otto bit, esponente quattro bit parte intera 2 diviso 2 fa 1 con resto di 0 1 diviso 2 fa 0 con resto di 1 due bit: 10 parte frazionaria 0,991 per 2 fa 1,982, parte intera 1 0,982 per 2 fa 1,964, parte intera 1 0,964 per 2 fa 1,928, parte intera 1 0,928 per 2 fa 1,856, parte intera 1 0,856 per 2 fa 1,712, parte intera 1 0,712 per 2 fa 1,424, parte intera 1 basta fermarsi al sesto bit con i due bit di parte intera: otto 10, ,

19 mantissa: gli otto bit esponente: virgola in seconda posizione due = 0010 in binario #0010 formato IEEE 754 sistema usato in pratica versione a 32 bit: un bit di segno 8 bit di esponente 23 bit di mantissa versione a 64 bit: un bit di segno 11 bit di esponente 52 bit di mantissa mantissa ed esponente mantissa rappresentata in modulo e segno le cifre della mantissa sono 1,cifre esponente eccesso 1023; es: 4 si rappresenta come = si rappresenta come 1023+(-9)=1014 versione a 32 bit: eccesso 127 mantissa: perchè 1,cifre? di solito è 0,cifre con la prima cifra diversa da zero in binario: unica cifra diversa da zero: uno 0,1cifre 1,cifre (diminuendo l esponente di uno) l uno è implicito, non si rappresenta 19

20 valori particolari per l esponente e usati per rappresentare condizioni particolari (l overflow, ecc.) esempio numero decimale 349,625 in binary64: in binario: ,101 si sposta la virgola: ,101 = 1, mantissa : esponente: = in binary32: mantissa: uguale, ma solo 23 bit totali esponente: 127+8= i bit del risultato segno 0 (positivo) esponente mantissa: seguito da quarantuno zeri aritmetica a precisione arbitraria si rappresentano i numeri usando tutti i bit che servono se il sistema usa 64 bit per ogni numero: si memorizza ogni cifra decimale come un numero si spezzano i bit che servono su più numeri approccio alternativo si memorizzano numeri razionali ogni numero è una coppia 20

21 esempi: 0,4 2,5 0,3333 1,3 per dividerli: 2,5 / 1,3 = 2 3,5 1 = 6,5 soliti sistemi per le operazioni (ma la radice non produce un razionale) 21