Lezione 9 Aritmetica in virgola mobile (3)

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1 Lezione 9 Aritmetica in virgola mobile (3) Vittorio Scarano Architettura Corso di Laurea in Informatica Università degli Studi di Salerno Un ripasso Un quadro della situazione: dove siamo, dove stiamo andando e perché Una rivisitazione: Rappresentazione in virgola mobile i principi 2 1

2 Un quadro della situazione Input/Output Memoria Principale Dove siamo Codifica della informazione Sistema di Interconnessione Registri Central Processing Unit Interconnessione interna alla CPU Unità di Controllo Unità Aritmetico Logica Rappresentazione degli interi Aritmetica degli interi Dove stiamo andando.. Aritmetica in virgola mobile Perché: per poter comprendere come vengono trattati dati rappresentati da numeri frazionali 3 La rappresentazione in virgola mobile per i numeri binari Lo stesso approccio può essere seguito per i numeri binari rappresentati come: ± S B ±E ± indica il segno S indica il significante (detto anche mantissa) E indica l esponente Da notare che di solito, la base B è implicita e quindi basta memorizzare solamente segno, significante, esponente Si usa un certo numero di bit (di solito almeno 32) si riserva spazio per segno, significante, esponente 4 2

3 Rappresentazione in virgola mobile 8 bit 23 bit ± E S Segno Esponente Significante polarizzato Il segno è memorizzato nel primo bit 0 = positivo, 1 = negativo L esponente è memorizzato in 8 bit polarizzato Significante (mantissa) su 23 bit normalizzato Dove viene memorizzata la base B? non serve! B vale sempre 2 = ± S B ±E 5 Un riassunto della virgola mobile 6 3

4 Overflow L overflow può essere positivo: quando si devono rappresentari numeri positivi maggiori di ( ) L overflow può essere negativo: quando si devono rappresentari numeri negativi minori di -( ) Underflow L underflow può essere positivo: quando si devono rappresentari numeri positivi minori di 0, L underflow può essere negativo: quando si devono rappresentari numeri negativi maggiori di

5 Organizzazione della lezione Rappresentazione in virgola mobile lo standard IEEE 754 precisione singola precisione doppia operazioni di somma in virgola mobile alcuni commenti sulla rappresentazione in virgola mobile Rappresentazione di caratteri ASCII e Unicode 9 Standard IEEE 754 Formato con: precisione singola a 32 bit esponente a 8 bit precisione doppia a 64 bit esponente a 11 bit base implicita a 2 Alcune sequenze vengono utilizzate per rappresentare valori particolari zero infinito (positivo o negativo) NaN (Not a Number). Esempio:

6 Formato a precisione singola (32 bit) 8 bit 23 bit ± E S Segno Esponente Significante polarizzato Numero di bit: 32 Ampiezza esponente: 8 bit numero di polarizzazione: 127 esponente massimo: 127, esponente minimo -126 unica differenza rispetto alla rappresentazione vista in precedenza abbiamo eliminato il caso di esponente tutti zeri e tutti uni Ampiezza significante: 23 bit bit di posizione -1 non memorizzato (significante normalizzato) ampiezza effettiva: 24 bit = ± S B ±E 11 Rappresentazione dello zero Per rappresentare lo zero: si usa la intera parola (di 32 o 64 bit) messa a zero Perché questa rappresentazione è particolare: gli esponenti (polarizzati) vanno da = 1 10 (valore corrispondente -126) in poi quindi l esponente non è mai zero In questo caso, il significante viene messo tutto a zero Utilità della rappresentazione: zero in complemento a due (interi) = zero in virgola mobile controllo per zero semplice: tutti i bit a zero 12 6

7 Rappresentazione dell infinito e NaN Per rappresentare l infinito: si usa l esponente a tutti uno e significante a tutti zero Perché questa rappresentazione è particolare: gli esponenti (polarizzati) arrivano fino a = (valore corrispondente 127) quindi un esponente non è mai (= ) A seconda del segno: infinito positivo o negativo Per rappresentare il NaN si usa l esponente a tutti uno e significante diverso da zero 13 Operazione di somma in virgola mobile Consideriamo un esempio in notazione scientifica: Sommiamo A = ( ) e B= ( ) Osservazione:non possiamo sommare i significanti: le cifre hanno peso diverso: il peso del 4 di B è uguale al peso del 3 di A Quindi, dobbiamo allineare i significanti: ,56 = 127,

8 L allineamento dei significanti Si deve aumentare l esponente del numero più piccolo Fino ad ottenere esponenti uguali: ,56 = 127, = , = , La addizione (1) Addendi X = (X S 2 X E) e Y = (Y S 2 Y E) Passi da seguire: 1. Verifica se X o Y sono zero in questo caso il risultato viene dato dall altro addendo 2. Allinea i significanti modificando l esponente più piccolo 3. Addizione dei significanti 4. Normalizzazione del risultato 16 8

9 La addizione (2) Addendi X = (X S 2 X E) e Y = (Y S 2 Y E) Assumendo che X E Y E La addizione viene effettuata come segue: X+Y = (X S 2 X E-Y E +Y S ) 2 Y E Infatti: X S 2 X E-Y E equivale all allineamento del significante dell addendo con esponente minore Da notare che comunque si deve normalizzare il risultato 17 Commenti (1) Osservazione: in maniera assolutamente indipendente dalla rappresentazione usata, con 32 bit possiamo rappresentare solamente 2 32 oggetti diversi I numeri rappresentati in virgola mobile hanno una densità maggiore vicino allo zero: un numero che non sia rappresentabile viene approssimato al valore rappresentabile più vicino o 18 9

10 Commenti (2) Diversi compromessi nelle scelte del formato Se si incrementa la dimensione dell esponente si diminiuisce la dimensione del significante si ottiene una espansione dell intervallo di rappresentazione esponenti maggiori ma si perdono di cifre significative (precisione) Possibile usare basi (implicite) diverse IBM S/390 usa base 16 il che aumenta l intervallo a scapito della precisione sono pur sempre 32 bit (=2 32 diversi oggetti rappresentabili) 19 Non di soli numeri vive l informatico.. Si devono rappresentare anche i caratteri Storicamente il codice più utilizzato è il codice ASCII American Standard Code for Information Interchange In ASCII vengono usati 7 bit per i caratteri l ottavo bit era riservato per il controllo di parità Scelta oculata della rappresentazione per permettere facile operazione di conversione maiuscolo/minuscolo facile conversione per convertire caratteri che indicano cifre (ad es. 9 ) nel corrispondente valore intero (cioè 9) 20 10

11 Il codice ASCII NUL CR 001 SP! " # $ % & ( ) * +, -. / : ; < = >? A B C D E F G H I J K L M N O 100 P Q R S T U V W X Y Z [ \ ] ^ _ 101 ` a b c d e f g h i j k l m n o p q r s t u v w x y z { } ~ DEL 21 Estensioni di ASCII e Unicode ASCII esteso (Latin-1, ISO ) 8 bit, con caratteri nazionali (come òàçù) Rappresentazione Unicode rappresentazione su 16 bit comprende (con i primi 8 bit a zero) la rappresentazione ASCII (7 bit) la estensione Latin-1 (8 bit) (ISO ) In Unicode supporto per alfabeto Farsi, ebraico, etc. etc

12 Esercizi Fare la somma (seguendo l'algoritmo di somma per i numeri rappresentati in virgola mobile) delle seguenti coppie di numeri (rappresentati in base 10) evidenziando l'uso dei 4 passi dell'algoritmo: Problemi Studiare la precisione doppia dello standard IEEE Perché nella operazione di allineamento si allinea (aumentando l'esponente) il numero con esponente più piccolo? Perché nella somma si deve esplicitamente fare il controllo se uno dei due operandi è zero? Quale è la operazione di sottrazione per la rappresentazione in virgola mobile (Stallings, par. 8.5) Dimostrare che con n bit si possono ottenere 2 n stringhe diverse